竞赛讲座(代数式初步)

竞赛讲座(代数式初步)

一、 知识要点

1、代数式

定义1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。

2、代数式的值

定义2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

3、列代数式

列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。

4、求代数式的值

代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。

二、 例题精讲

例1 轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b

分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。 解 因为轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b

b a +S , 逆流所用时间是b

a -S ，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以往返所用时间的和，即a

b a b a S b a S 222S

-=-++. 评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。

例2一支部队排成a 米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t 1分钟追上了团长。为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t 2分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么要( )分钟。

A 、2121t t t t +

B 、21212t t t t +

C 、21212t t t t +

D 、2

1212t t t t +

分析：这是行程问题中的相遇问题。

解 部队的行军速度为2

t a 米/分。t 1分钟内，队尾的战士比部队多走了a 米，则他的速度为1

12t a t t a +?米/分=???? ??+12t a t a 米/分。他从最前头跑步回到队尾的过程中，队尾恰好与他相向而行，故所需时间应为=???? ??+÷=???? ??++÷12212121t t t a t a t a a 2

1212t t t t +(分), 选C.

例3 若a

A 、ax+by+cz

B 、ax+cy+bz

C 、bx+ay+cz

D 、bx+cy+az

分析：由于本题涉及的字母比较多，直接比较四个代数式的大小很困难。因为是选择题，故可采用特值排除法来解。

解：∵a

评注：用特值排除法来解选择题，有时能取到事半功倍的效果。

例4 已知()

122101011111212621a x a x a x a x a x a x x ++++++=+- ，求 0281012a a a a a +++++ 的值。

分析 此题若将左边六次方展开，计算相当繁琐。注意到求的是偶次幂项的系数和，故可

将x=1和x= -1分别代入已知等式的两边，得到1012101112=++++++a a a a a a 和2970129101112=+-++-+-a a a a a a a ，相加除以2即可得所求的值。 解 将x=1代入已知等式，得1012101112=++++++a a a a a a

将x= -1代入已知等式，得2970129101112=+-++-+-a a a a a a a

两式相加，得2(0281012a a a a a +++++ )=730

∴0281012a a a a a +++++ =365

评注：本题采用的是特值法。

例5 已知当x=7时,代数式ax 5+bx-8=8,求x=7时,

8225++x b x a 的值. 分析 代数式ax 5+bx-8中有三个字母,将x=7代入，仍无法求出a,b 的值，影响直接代入求值，但通过观察，发现将x=7代入,可整体地求出75a+7b 的值，从而问题得到解决。

解 由已知条件知：a ?75+b ?7-8=8，所以a ?75+b ?7=16.

当x=7时，8225++x b x a =21(a ?75+b ?7)+8=2

1?16+8=16. 评注：本题采用的是“整体处理思想”，整体处理是一种常用的数学思想。

例6 若ab=1，求1

1+++b b a a 的值. 分析 此题的解法很多，关键是如何充分利用好ab=1，如由ab=1得出b a 1=

，然后直接代入计算；如利用ab=1巧秒地将式子中的“1”代换成ab ；如在式子的一个分式的分子、分母上乘以a 或b ，然后化成同分母进行计算。

解法1 由ab=1得b a 1=，从而11+++b b a a =1111111111

=++=+++=+++b b b b b b b b

b . 解法2 ∵ab=1，∴11+++b b a a =11

111=+++=+++b b b b b ab a a . 解法3 ∵ab=1，∴11+++b b a a =11

111=+++=+++b b b b b b ab ab . 评注：本题中的解法2与解法3巧秒地应用了 “1”的代换，“1”的代换是恒等变形中

的常用技巧之一。

例7 若a 、b 、c 全不为零，且11,11=+=+c b b a 求证：11=+a

c . (1978丹东市数学竞赛试题)

分析 本题是由两个已知等式来证明一个等式，容易发现，所求证等式中没有b ，因而可设法从两已知等式中消去b 。

证明：由a b b a -==+1111得，由c

b c b 1111-==+得, 两式相乘得 ()??? ??--=c a 1111 整理得c

a c a =+1,

去分母得ac+1=a ，因为a ≠0，故两边同除以a 得11=+a

c . 评注：本题是证明条件恒等式，条件恒等式的证明关键是充分利用好条件式。

例8 对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法。现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值。

解 由已知条件知 1*2=a+2b+2c=3 ①

2*3=2a+3b+6c=4 ②

x *d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③

由③得 a+cd=1 bd=0

因为d ≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4

从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4

评注：解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算。

例9已知代数式d

cx b ax ++2，当1,,1o x -=时的值分别为－1，2，2，而且d 不等于0，问当2=x 时该代数式的值是多少？(第11届希望杯数学竞赛培训题)

分析：所给代数式中含有4个字母a 、b 、c 、d ，将所给的三个x 取值代入，可得三个方程，要直接求出a 、b 、c 、d 的值不可能，但可将d 视为常数，从而三个方程可组成关于a 、b 、c 方程组，可将a 、b 、c 用d 表示出来，代入将代数式化简后求值。

解：将1,0,1-=x 分别代入该代数式，得到

.2;2;1=++=-=++-d

c b a

d b d c b a 由此可得 ;d c b a --=+- ).(2;2d c b a d b +=+- 将d b 2=代入第一个和第三个等式中，得,2d c d a --=+- ,222d c d a +=+

∴d c a 3-=+-； .02=-c a 进而得到 .3,2,6d c d b d a ===

将b a ,和c 代入代数式d cx b ax ++2中，得到d

dx d dx d cx b ax ++=+-22326＝d x d x )13()26(2++ 1

3262++=x x ；再将2=x 代入，得.13141)2(32262=+?+? 即当2=x 时该代数式的值是.1314 评注：本题采用的是方程思想，方程思想是常用的数学思想，含有未知数的等式常常可看作一个方程。

三、 巩固练习

选择题

1、若代数式2y 2+3y+7的值是2，则代数式4y 2+6y-9的值是( )

A 、1

B 、-19

C 、-9

D 、9

2、在代数式xy 2中，x 与 y 的值各减少25%，则代数式的值( )

A 、减少50%

B 、减少75%

C 、减少其值的6437

D 、减少其值的64

27 3、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个

两位数是( )

A 、26

B 、28

C 、36

D 、38

4、在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

5、实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，且abc=1则c

b a 111++的值( ) A 、是整数 B 、是零 C 、是负数 D 、正、负不定

6、如果11111=++=++z

y x z y x ，那么下列说法正确的是( ) A 、x 、y 、z 中至少有一个为1 B 、x 、y 、z 都等于1

C 、x 、y 、z 都不等于1

D 、以上说法都不对

填空题

7、某人上山、下山的路程都是S ，上山速度为v ，下山速度为u ，则此人上、下山的平均速度是 .

8、已知032)-(2=-+y x ，则代数式x x +y y -x y -y x 的值是 .

9、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2，n=c 2+d 2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是 .

10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y

x y x y x -+=* 则()()31*191211**= . 11、如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式，那么

=+c b a 12、如果(x-a) (x-4)-1能够分解成两个多项式x+b 、x+c 的乘积，且b 、c 均为整数，则a= .

解答题

13、已知()55

44332210512x a x a x a x a x a a x +++++=-，求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5. 14、a 、b 、c 互不相等，化简()()()()()()

b c a c b a c a b c b a c b c a b a c b a ----+----+----222. 15、已知x-2y=2，求8

463---+y x y x 的值。

16、若abc=1，求1

11++++++++c ca c b bc b a ab a 的值. 17、已知a+b+c=0，求3111111+??

? ??++??? ??++??? ??+b a c a c b c b a 的值。

18、已知y

xy x y xy x y x ---+=-2232311，求的值. 19、已知ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406. 求1999(x+y)+6xy ()b a +-

217的值. 20、一个四位数，这个四位数与它的各项数字之和是1999，求这个四位数。

答案

1、∵2y 2+3y+7=2 ∴2y 2+3y= -5 ∴4y 2+6y-9=2(2y 2+3y)-9=2?(-5)-9= -19 故选B

2、∵ x(1-25%)[y(1-25%)]2=2264274343xy y x ?=??? ??? ∴代数式的值减少1-64

376427= 故选C 3、 设两位数为10x+y ，则10x+y=3 (x+y)-2 得7x=2 (y-1)

∵x 、y 只能取0，1，2，…，9(x ≠0) 由上式知x 只能取偶数

∴x=2、4、6、8，经验证得 x=2,y=8 ∴这个两位数为28

4、式子4321+++++++x x x x 的值的几何意义是数轴上的点到定点-1、-2、-3、-4的距离和，由此得最小值为4 选D

5、∵abc=1 ∴c b a 111++=ab ac bc c abc b abc a abc ++=++ 又∵a+b+c=0 两边平方得a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=0

∴ab+bc+ca=()

22221c b a ++-<0，即c b a 111++<0 ∴选C 6、由条件得xy+yz+zx=xyz ，x+y+z-1=0, ∴(x-1)(y-1)(z-1)=0

即x 、y 、z 中至少有一个为1，故选A

7、u

S v +S

2S

8、∵032)-(2=-+y x ，∴x=2且y=3， ∴x x +y y -x y -y x =22+33-23-32=4+27-8-9=14

9、mn=(a 2+b 2) (c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2= a 2c 2+2abcd+b 2d 2+a 2d 2-2abcd+b 2c 2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2

10、()()31*191211**=()()()1131636252362523625233119311912111211=??

? ??---??? ??-+-=??? ??-*-=-+*-+ 11、a(x-1)2+b(x-1)+c=ax 2+(b-2a)x+a-b+c ，∴由题意得 a=2, b-2a= -3, a-b+c= -1 从而解得 a=2，b=1，c= -2 ∴

=+c b a 2

3- 12、由题意，(x-a) (x-4)-1=(x+b) (x+c)，则x 2 –(a+4)x+4a-1=x 2+(b+c)x+bc

∴b+c= –(a+4) ① bc=4a-1 ② 由①得 a= - (b+c)-4 代入②得

bc= -4(b+c)-17 ∴ bc+4b+4c+17=0 ∴(b+4)(c+4)=-1

∵ b 、c 均为整数 ∴b+4=1, c+4=-1或b+4=-1, c+4=1

从而b=-3,c=-5或b=-5,c=-3 代入①得 a=4

13、在()55

44332210512x a x a x a x a x a a x +++++=-中 令x=1 得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1

令x=0得a 0= -1

∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=2

14、原式=0111111=-+-+-+-+-+-b

c a c a b c b c a b a 15、由x-2y=2得x=2y+2，将x=2y+2代入8

463---+y x y x 得 原式=

()()177********==--+-++y y y y y y 16∵abc=1 ∴

111++++++++c ca c b bc b a ab a =b

bc bca bc b bc b abc a ab a ++++++++1 =11

11111=++++=++++++++b bc bc b b bc bc b bc b bc b 17、原式=0=++++++++=++++++++c

c b a b c b a a c b a c c b b a a b c a c a b c b c a b a 18、()()5323332211311212123222322232=--+?-=-???

? ??--+???? ??--=---+=÷--÷-+=---+y x y x x y x y xy y xy x xy y xy x y xy x y xy x 19、∵(ax+by) (x+y)=( ax 2+by 2)+xy (a+b)

(ax 2+by 2) (x+y)=( ax 3+by 3)+xy (ax+by)

(ax 3+by 3) (x+y)=( ax 4+by 4)+ xy (ax 2+by 2)

∴由已知条件得，7 (x+y)=49+ xy (a+b) ①

49 (x+y)=133+7 xy ②

133 (x+y)=406+49 xy ③

由②、③解得x+y=2.5，xy = -1.5，代入①得 a+b=21

∴ 原式=1999?2.5+6?(-1.5)2

1721?-=4997.5-9-178.5=4810 20、设这个数为abcd ，由题意得1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=1999

即 1001a+101b+11c+2d=1999

(1) 显然a=1，否则，1001a>2000 ∴101b+11c+2d=998

(2)因为11c+2d的最大值为99+18=117，故101b≥998-117=881，有b=9∴11c+2d=89

(3)由于0≤2d≤18，则71≤11c≤89，故c=7或8

当c=7时，11c+2d=77+2 d =89，有d=6

当c=8时，11c+2d=88+2 d =89，有d=0.5 (舍去)

∴这个四位数为1976

2020年初中数学代数式的变形与代数式的求值练习题

代数式的变形与代数式的求值 （时间：100分钟 分数：100分） 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．在x ，13，23xy ，12x+12y ，xy -2，a π 中，单项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．x 的5倍与y 的差等于（ ） A ．5x-y B ．5（x-y ） C ．x-5y D ．x 5-y 3．用正方形在日历中任意框出的四个数一定能被（ ）整除 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．现规定一种运算：a*b=ab+a-b ，其中a 、b 为常数，则2*3+1*4等于（ ） A ．10 B ．6 C ．14 D ．12 5．已知一个凸四边形ABCD 的四条边长依次是a 、b 、c 、d ，且a 2+ab-ac-bc=?0，?b 2+bc-bd-cd=0， 那么四边形ABCD 是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．梯形 6．若m 2x 2-2x+n 2是一个完全平方式，则mn 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．±1 D ．±2 7．某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个赢利60%，?另一个亏本20%，在这次买卖中这家商店（ ） A ．赔38元 B ．赚了32元 D ．不赔不赚 D ．赚了8元 8．要使22969 m m m --+的值为0，则m 的值为（ ） A ．m=3 B ．m=-3 C ．m=±3 D ．不存在 9．已知23x ++23x -+22189 x x +-的值为正整数，则整数x 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．4或5 D ．无限个 10．已知有理数a 、b 满足ab=1，则M=11a ++11b +，N=1a a ++1b b +的大小关系是（ ） A ．M>N B ．M=N C ．M

初中奥数恒等变形知识点及习题2019

初中奥数恒等变形知识点及习题2019 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个. 反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r 例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立

设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6 再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得出

代数式恒等变形及答案

代数式恒等变形 A 卷 1、若3265122-+ -+=+--x b x a M x x x ，a 、b 是常数，则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C 解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴?? ???-=--=++-=1 236051b a M b a M M ，解得：??? ??=-==831 b a M 提示：利用待定系数法解决问题。 2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192=+- x x ，则=+441 x x （ ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、4 27 答案：C 解答：∵0≠x ∴2191= + x x ，411 122=+x x ∴16892112 2244 =-??? ? ?+=+x x x x 提示：本题的关键是利用2112 22 -??? ? ?+=+x x x x 进行化简。 3、（2001年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D 解答：∵143=-x x ∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。

200道代数式的恒等变形练习题

代数式的恒等变形 1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009= 2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ． 3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab = 6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2 +3m + n - 1 = 0. 则m + n= 9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21 c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17 199562x y xy a b ++-+= . 11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111 ()()()3+++++=-a b c b c a c a b ， 则a+b+c= . 12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ．

13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a - 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++= 15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++= 16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3 =abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于 17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是 18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y ++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2= 20.已知y x z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ． 21.若正数m ，n 满足 43,+=m n = ． 22.已知a+b=8，ab=c 2 +16，则a+2b+3c= ． 23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004x y +的值是 。

代数式的变形竞赛题

代数式的变形（整式与分式） 在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍. 1．配方 在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题. 例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2, 所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2. 例2 设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求的值. 解将条件化简成 2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴x=y=z,∴原式=1. 2.因式分解 前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子. 例3 如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值. 解∵a为x2-3x+1=0的根, ∴ a2-3a+1=0,,且=1. 原式 说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算. 3.换元 换元使复杂的问题变得简洁明了. 例4 设a+b+c=3m,求证: (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则 p+q+r=0. P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0 ∴p3+q3+r3-3pqr=0

代数式的恒等变形

代数式的恒等变形 一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求2 211 11b a +++的值 [解] 把ab=1代入，得 22 11 11b a +++ =22 b ab ab a ab ab +++ =b a a b a b ++ + =1 例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值： 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同． 同理 练习：1 111,1=++++++++=c ca c b b c b a ab a abc 证明：若 二、配方法 例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b a a b + 之值。 [解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1 =(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0 ∴?? ?==-.1,0ab b a 解得?? ?==;1,1b a ?? ?-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，b a a b + =1+1=2 当a=-1，b=-1时， b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、 c 、 d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数 的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2

初一代数式的变形整式与分式

[文件] sxjsck0009 .doc [科目] 数学 [关键词] 初一/代数式/整式/分式 [标题] 代数式的变形（整式与分式） [内容] 代数式的变形（整式与分式） 在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍. 1． 配方 在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题. 例1 （1986年全国初中竞赛题）设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的 平方和，其形式是______. 解mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2) =a 2c 2+2abcd+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2, 所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2. 例2（1984年重庆初中竞赛题）设x 、y 、z 为实数，且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2 =(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求)1)(1)(1() 1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值. 解 将条件化简成 2x 2+2y 2+2z 2-2xy-2x 2-2yz=0 ∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴x=y=z,∴原式=1. 2.因式分解 前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子. 例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a 是x 2-3x+1=0的根,试求 1825222 345+-+-a a a a a 的值. 解 ∵a 为x 2-3x+1=0的根, ∴ a 2-3a+1=0,,且132+a a =1. 原式. 1131 3)32)(13(22 232-=+-=+-+++-=a a a a a a a a a 说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算. 3.换元 换元使复杂的问题变得简洁明了. 例4 设a+b+c=3m,求证: (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c 则

整式恒等变形

第8讲整式恒等变形 模块一恒等变形→降幂迭代与换元 基础夯实 题型一降幂迭代法与大除法 【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________． 【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试) 已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．

题型二 整体代入消元法 【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值． 【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值． 题型三 换元法 强化挑战 【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2． 【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()() ()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值． 模块二 恒等变形→因式分解与不定方程 题型一 因式分解 基础夯实 【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________． (2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________． 【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________． (2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y 的值． 强化挑战 【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ． 【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．

初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形附答案

初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c ++ +的值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a 、b 、c 为实数，2 26 23 2222 π π π + -=+ -=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值 （ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 不大于0 D. 小于0 7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 2 22+ +的值是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、若13649832 2 ++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿ 2、已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+-+-+a a a a 得＿＿＿＿＿＿＿

分式的恒等变形(一)

分式的恒等变形（一） （1）已知2202010a a -+=，则代数式2220202403911a a a -+++的值是__________。 【答案】由已知可得12020a a + =，原式()212202012120202019a a a a =-+++=-++= （2）已知2410a a ++=，则代数式42321912192a a a a a ++++的值是__________。 【答案】由已知可得14a a +=-，22114a a +=，原式22119333211219a a a a + +===++ （3）已知4x y +=-，12xy =-，则1111 y x x y +++++的值是__________。 【答案】由已知可得2240x y +=，原式()()()()()()22 11402423411412115y x x y ++++?-+===-++-+-+ （4）已知4ab x a b = +，则2222x a x b x a x b +++--的值是__________。 【答案】由已知可得()4ab a b x =+， 原式()()()()()()()()() 222222222228222224x a x b x b x a x a b x x ab x a x b x a b x ab x a b x +-++--+-====---++-+ （5）已知612ab a b bc b c ?=??-??=?-?，则ac a c -的值是_________。 【答案】取倒数后两式相加得 14a c ac -=，所以4ac a c =- （6）解方程： ()()()()()111333669218 x x x x x x x ++=++++++ 【答案】裂项相消，111339218x x x ??-= ?++??，解得2x =

(完整)初中数学竞赛因式分解专题

初中数学竞赛专题——因式分解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

代数式的恒等变换

代数式的恒等变换方法与技巧 例：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤????≥??+-≤≥??? 222(4)8(2)44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件 24(4)44048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤ 。 这时，原方程有惟一实根x =。 一、分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。 例1：当x 取什么样的实数值时，下列等式成立： （a =； （b 1=； （c 2=。 解： (0)m m =≥ 记方程左边为f(x)， 则()f x =

1 |1|1|1 1 2 x x ≥ == ≤≤ 由此可知， 当m=时，原方程的解集为 1 [,1] 2 ； 当m∈时，解集为?； 当) m∈+∞ m =，解得2 1 (2) 4 x m =+。 即当) m∈+∞时，原方程的解集为2 1 {(2)} 4 m+。 例2：在复数范围内解方程组222 555 3, 3, 3. x y z x y z x y z ++= ? ? ++= ? ?++= ? 解：考虑数列* , n n n n a x y z n =++∈N。不难证明此数列满足递推式321 ()() n n n n a x y z a xy yz zx a xyza +++ =++-+++，其中 125 3,3 a a a ===。 利用基本恒等式，得2 12 1 ()3 2 xy yz zx a a ++=-=， 3123 11 [()] 33 xyz a a a xy yz zx a =--++=， ∴{} n a的递推式化为* 3213 1 33, 3 n n n n a a a a a n +++ =-+?∈N 由此得 432313543323 11 3349,331027 33 a a a a a a a a a a a a =-+?=---+?=- 由 5 3 a=，得 3 10273 a-=，∴ 3 3 a=。∴ 3 1 1 3 xyz a ==。 综上所述知，原方程组等价于 3, 3, 1. x y z xy yz zx xyz ++= ? ? ++= ? ?= ? 由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程33 3310 t t t -+-=的三根， 此三次方程即3 123 (1)0,1 t t t t -=∴===， 这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。 注：此题还可以利用三次单位根 1 2 ω=-+的性质来解。 二、利用对称性 对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，x2y+y2z+z2x是轮换 式，但不是对称式。由轮换的特点，在解题中，为方便起见，可指定变元中x 1最大（或最小）。

初中数学竞赛“取特殊值”快速求出代数式的值(含答案)

“取特殊值”快速求出代数式的值 （初一、初二） 当已知条件是关于y x ,的二元不定方程()0,=y x f ，求关于y x ,的代数式()y x g ,的值时。我们可以将满足二元不定方程()0,=y x f 的一组特殊的解，代入()y x g ,中，计算得到结果，这比用常规的整体代入的方法简洁，快速。 1 例1 若,010432=-+y x 则y x x y xy y x x 65034203152223--++++= . （第3届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题） 解：取二元不定方程010432=-+y x 的一组特殊的解：?? ???==250y x ，代入待求式得： 原式=10152525625402=-=?-?? ? ???+ 注意： 1.因为满足二元不定方程()0,=y x f 的解有无数组，所以，取满足二元不定方程()0,=y x f 一组特殊值的原则是：要求代入待求代数式()y x g ,中便于计算。 2.此题的常规解法是用因式分解的方法，凑出10432-+y x 这个因式，利用,010432=-+y x 整体代入求解。 y x x y xy y x x 65034203152223--++++ =()101015)1043(2=+++-+y x y x

3.相比较而言，取满足二元不定方程()0,=y x f 一组特殊值，再代入待求代数式()y x g ,来计算，这种解法要快速得多。对解答填空题，不失为好方法。 4.对待这类求值问题，我们常规的解题方法是将()y x g ,恒等变形为含有()y x f ,的代数式： ()y x g ,=()y x f ,()k y x +,? 其中()() 的整式为关于为常数， y x y x k ,,? 利用()0,=y x f 进而求出结果，即()k y x g =,。 例2．若1-=+y x ，则43222234585y xy xy y x y x y x x ++++++的值等（ ） （A ）0；（B ）－1；（C ）1；（D ）3 （第14届“希望杯”全国数学邀请赛试题） 分析与解答：因为满足不定方程1-=+y x 的y x ,有无数个，为了计算简便，不妨取特殊值1,0-==y x 直接代入待求多项式计算。 原式=0+()41-=1 选（C ） 评注：常规解法是对待求多项式进行恒等变形，整理成关于y x +的新多项式()()()y x xy y x xy y x +++++24，然后再整体地将1-=+y x 代入计算，使用该方法要求解题者具有熟练的代数式恒等变形的能力。而取特殊值，则简化了计算过程，提高了解题的效率。 注意：上述解题方法，对已知条件是关于y x ,的二元不定方程()0,=y x f ，求关于y x ,的代数式()y x g ,的值有效，切忌不分青红皂白地使用该方法。 同步练习：

代数式的变形与代数式的求值专题训练

代数式的变形与代数式的求值 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．在x，1 3 ， 2 3 xy ， 1 2 x+ 1 2 y，xy-2， a π 中，单项式有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．x的5倍与y的差等于（） A．5x-y B．5（x-y） C．x-5y D．x5-y 3．用正方形在日历中任意框出的四个数一定能被（）整除 A．3 B．4 C．5 D．6 4．现规定一种运算：a*b=ab+a-b，其中a、b为常数，则2*3+1*4等于（） A．10 B．6 C．14 D．12 5．已知一个凸四边形ABCD的四条边长依次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=?0，?b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 6．若m2x2-2x+n2是一个完全平方式，则mn的值为（） A．1 B．2 C．±1 D．±2 7．某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个赢利60%，?另一个亏本20%，在这次买卖中这家商店（） A．赔38元 B．赚了32元 D．不赔不赚 D．赚了8元 8．要使 2 2 9 69 m m m - -+ 的值为0，则m的值为（） A．m=3 B．m=-3 C．m=±3 D．不存在 9．已知 2 3 x+ + 2 3x - + 2 218 9 x x + - 的值为正整数，则整数x的值为（） A．4 B．5 C．4或5 D．无限个 10．已知有理数a、b满足ab=1，则M= 1 1a + + 1 1b + ，N= 1 a a + + 1 b b + 的大小关系是（） A．M>N B．M=N C．M

初高中衔接第四讲 《代数式的恒等变形》

第四讲 代数式的恒等变形 姓名 基础知识呈现 1、 恒等式与条件等式： 如果一个等式中字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式就叫做恒等式。如：()a b b a a a b ab a b a +=+-=+-=-,,2222 等都是恒等式。而12=x 不是恒等式， 因为只有当2 1 = x 时，等式才成立。因此称为条件等式。 2、 恒等变形 把一个式子变形为与原式恒等的另外不同形式的式子，这种变形叫恒等变形，例如y z z x y x -+-=-就是恒等变形。 两个多项式恒等的充要条件是它们的对应项系数相等，即： ?++++=++++----01110111b x b x b x b a x a x a x a n n n n n n n 001111,,,b a b a b a b a n n n n ====--。 实际上，待定系数法的依据就是多项式的恒等的性质。 3、 代数式恒等变形是解决初等数学乃至高等数学问题的一种重要方法，是研究函数和方程的重要 工具。代数式的恒等变形包括：代数式化简，求代数式的值，证明恒等式或条件等式等等。 例题讲解 例1、 证明恒等式()()()() 22222 2 y x b a ay bx by ax ++=++-。 例2、 证明恒等式()() bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2 2 2 3 3 3 3。 例3、 证明恒等式() () ()2 2 2 2 111 1 1 1 ?? ? ??-+-+-=-+ -+ -a c c b b a a c c b b a 例4、 证明恒等式()()()()()a c c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+ -+-=---+---+---2 22)( 例5、 已知11 ,11=+=+ z y y x ，求证：11=+x z 。

代数式恒等变形

代数式的恒等变形 模块一 基本代数式变形 知识导航 若已知x +y =5,xy =3,以此为基本量，可以求出一系列齐次式的值： ()2222x +y x y xy =+- ()()224x y x y xy -=+- ()24422222x y x y x y +=+- ||x y -= ()()()()233223x y x y x xy y x y x y xy ??+=+-+=++-?? 若已知x 2－5x +1=0，可得x ＋ 1x =5，由此可以求出一些典型代数式的值： x 2＋21x =212x x ??+- ?? ? 22114x x x x ????-=+- ? ????? 24242112x =x x x ??++- ??? 1x x -= 刻意练习 1．若x ﹣y ＝﹣4，xy =12,求22x y +，()2 x y +，x y +，22x y -，22x xy y -+，44x y +的值． 2．已知14x =x -，求221x x +，1x x +，221x x -，441x x +的值．

（2016—2017六中八上月考） 若0＜x ＜1，1 3x =x +，则221 x =x -________． 练习 （2016—2017汉阳区八上期末） 已知a ＋b ＝5，ab ＝3，则11b a a b +++的值为（ ） A ．2 B ．8 3 C ．4 D ．349 例2 （1）已知13x x +=，求2 42________1x x x =++ （2）已知2410a a ++=，且42321 33a ma a ma a ++++＝5，求m ． 练习 已知2421x x x ++＝14，则4225155 _________3x x x -+=．

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精心整理 代数式恒等变形 A 卷 2 b ，a 、b 是常数，则（） 1、若 2 x 1 M a x 5x 6 x 2 x 3 A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、 M a b 6 D 、 a b M 10 答案： C 解答： 由已知等式得： x 2 1 Mx 2 5M a b x 6M 2 2b x 2 5x 6 x 2 5 x 6 ∴ x 2 Mx 2 5M a b x 6M 2 2b M 1 M 1 ∴ 5M a b 0 ，解得： a 3 6M 3a 2b 1 b 8 提示： 利用待定系数法解决问题。 2、（2002 年重庆市初中竞赛题）若 x 2 19 4 1 （） 2 x 1 0 ，则 x 4 x A 、 11 B 、 121 C 、 89 D 、 27 4 16 16 4 答案： C 解答： ∵ x 0 ∴ x 1 19 ， x 2 x 2 ∴ x 4 1 x 21 x 4 x 2 1 11 2 x 4 2 89 2 16 1 1 2 提示： 本题的关键是利用 x 2 x 2 进行化简。 x 2 x 3、（2001 年全国初中数学竞赛）若 3 4 3 2 的值是（） 4x x 1 ，则 8x 12x 2 x 5 x 5 A 、2 B 、4 C 、6 D 、8

精心整理 答案： D 解答：∵4 x 3x 1 ∴ 8x 412x3 2 x25x 5 2 x 4x 3x 3 4 x 3x 2 x 5 2x 3 2x 58 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。 4、（全国竞赛题）如果 a b 2 a 1 4 b 2 3 c c ，则 a b c 的值是（） 35 2 A、6 B、8 C、20 D、24 答案： C 解答：∵ a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 c 5 2 ∴ a 1 2 a 1 1 b 2 4 b 2 4 1 c 3 6 c 3 9 2 3 5 0 2 2 2 1 c 2 ∴ a 1 1 b 2 2 2 3 3 ∴ a 1 1 0 ， b 2 2 0 ， c 3 3 0 ∴a 2 ， b 6 ， c 12 ∴a b c 20 提示：本题利用添项构造完全平方式解决问题。 5 、（第1 6 届“希望杯”初二年级竞赛题）已知 a 是整数， x、 y 是方程x 2 xy ax ay 1 0 的整数解，则x y __________或. 答案： 1 解答：原方程可以变形为：x x y a x y 1 即 x y x a 1 ∵a、x、y 都是整数 ∴ x y 1 或x y 1 x a 1 x a 1

代数式的变形(整式与分式)-

代数式的变形（整式与分式） 在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍. 1． 配方 在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题. 例1 设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的平方和， 其形式是______. 解 mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2) =a 2c 2+2abcd+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2, 所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2. 例2 设x 、y 、z 为实数，且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求)1)(1)(1()1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值. 解 将条件化简成 2x 2+2y 2+2z 2-2xy-2x 2-2yz=0 ∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴x=y=z,∴原式=1. 2.因式分解 前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子. 例3 如果a 是x 2 -3x+1=0的根,试求1825222 345+-+-a a a a a 的值. 解 ∵a 为x 2-3x+1=0的根, ∴ a 2-3a+1=0,,且1 32+a a =1. ∴原式23222(31)(23)33 1.11 a a a a a a a a a -+++-==-=-++ 说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算. 3.换元 换元使复杂的问题变得简洁明了. 例4 设a+b+c=3m,求证: (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c,则

初中数学奥林匹克竞赛题word版含答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2， －1，0共4个．选C。

6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。