2014年自主招生考试数学模拟试题
一、一个赛跑机器人有如下特性：
（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；
（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．
解：约定用x 轾犏
表示不小于实数x 的最小整数． 设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a ? ．机器人迈出50
a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次
数为50
1a 轾犏-犏犏
，于是，所需时间
50
()1f a a a 骣轾÷?犏=?÷?÷?犏桫犏
．
计算得：
(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====， 而 1.4a ￡时，50()15048.6(1.8)f a a a f a
骣÷
?匙-=-?÷?÷?桫.
于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．
二、在ABC
中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。
解：因为
)sin sin sin A B C ++
s i n 2s i n
c o s 22
sin 2
2sin cos .22
B C
B C
A A
A A A +-=+
?骣?=+?桫
令sin
2
A
x =，则01x <<，于是
()2sin cos 2
2A A f x 骣?=+?桫
(
2x =+ （ 01x <<）
求导，得 (
)(
'0f x x =+
，得22
x -=
.
在20,2x 骣-?西??÷桫上，有()'0f x >
；在22
x 骣-÷?西?÷?÷桫上，有()'0f x <.
所以(
max 2()(32
f x f -==+
当22arcsin 2A -=
时，三角式)sin sin sin A B C ++
取得最大值(
3+
三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b
+=>>
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点
构成的三角形的面积为
3
.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为1
2-
，求斜率k 的值； （2）若点7
(,0)3M -，求证：MA MB ? 为定值.
解：（1）因为22
221(0)x y a b a b
+=>>满足：
222a b c =+，
c a =
122b c ??=. (翻译，列出方程组) 解得22
55,3
a b ==，（代入消元法解方程组）
所以，椭圆方程为22
155
3x y +=.
将(1)y k x =+代入22
155
3
x y +=中，得
2222(13)6350k x k x k +++-=，
4222364(31)(35)48200k k k k ?=-+-=+>.
设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）
则 2122631k x x k +=-+
（韦达定理）
因为AB 中点的横坐标为12
-
， 所以 2231
312k k -=-+,
解得 3
k =±. (解方程)
（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，2122
35
31
k x x k -=+，（韦达定理） 所以112212127777
(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ?=++=+++ （内积公式）
2121277
()()(1)(1)33x x k x x =+++++
（代入消元）
2221212749
(1)()()39
k x x k x x k =++++++
222
2
222357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）
422
2
316549
319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()2
2223154931
9k k k k ++=-
+
++
4
.9
=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：
（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，
商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？
解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：
P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，
即不超过20人排队结算的概率是0.75.
（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=
2
1，
一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为7
7)2
1(C ；
一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为61
7)21)(21(C ；
一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5
227)2
1()21(C ；
所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：
75.0128
99])21()21()21)(21()21([15
227617707>=++-C C C ，
所以，该商场需要增加结算窗口.
五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +
∈，有
n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.
（1）求通项n a ；
（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值. 解：（1）由条件等式，得
211(2)()n n n n a a n a a +++-=+-
1(2)(1)()n n n n a a -=++-
21(2)(1)43()(2)!
n n a a n ==++????-=+
所以 )!2(12+=-++n a a n n .
于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a
=12!3!!(1)n n ++++≥ .
（2）注意到 33!4!3!2!14=+++=a ，能被11整除，
845!(1667678)a a =+++?+??， 1089!(110)a a =++能被11整除，
当11≥n 时，)!
11!
121(!1110n a a n +
+++= 能被11整除。 故所求的自然数为+
∈N n ，且{
}9,67,5,3,2,1?n . 六、 已知()ln a
f x x x x
=
+，32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数
M ；
（3）如果对任意的1,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围． 讲解： （1）当2a =时，2
()ln f x x x x
=
+，
（代入法） 2
2
'()ln 1f x x x
=-
++，（求导） (1)2f =，'(1)1f =-， （求切点纵坐标，求斜率）
所以, 曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+. （斜截式） （2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，等价于：
12max [()()]g x g x M -≥， （变更问题）
考察3
2
()3g x x x =--，2
2'()323()3
g x x x x x =-=-，
由列表可知：min max 285
()(),()(2)13
27
g x g g x g ==-
==， （求函数最值） 12max
max min 112
[()()]()()27
g x g x g x g x -=-=， 所以，满足条件12()()g x g x M -≥的最大整数4M =. （3）对任意的1
,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥成立, 等价于：
在区间1[,2]2
上，函数()f x 的最小值不小于()g x 的最大值。（变更问题） 由（2）知，在区间1[,2]2
上，()g x 的最大值为(2)1g =.
(1)1f a =≥，可证当1a ≥时，在区间1
[,2]2
上，函数()1f x ≥恒成立.
当1a ≥且1[,2]2x ∈时，1
()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，（消失a ！）
记1
()ln h x x x x =+， （构造函数）
21
'()ln 1h x x x
=-++， '(1)0h =.
当1[,1)2
x ∈时，有21
'()ln 10h x x x =-
++<； 当(1,2]x ∈时，有21
'()ln 10h x x x
=-++>，
所以, 函数1()ln h x x x x =+在区间1
[,1)2
上递减，在区间(1,2]上递增，于是
min ()(1)1h x h ==，（求出最小值）
即 ()1h x ≥，
所以，当1a ≥，且1
[,2]2
x ∈时，有()1f x ≥成立， 即对任意1,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥.
故实数a 的取值范围1a ≥.
七、设,,0a b c ≥，且3a b c ++=，求满足 2
2
2
4a b b c c a abc λ+++≤ 的实数λ的最大值。
解：特别取1a b c ===，由2
2
2
4a b b c c a abc λ+++≤，得1λ≤.
下面证明，当1λ=时，2
2
2
4a b b c c a abc +++≤不等式成立。
事实上，不妨设a b c ≤≤，或c b a ≤≤，则有 ()()0b a b c c --≤， 得 2
2
2
.b c c a abc c b +≤+ 于是 2
2
2
a b b c c a abc +++
()()()()222
2
3
2122
21234.
a b c b abc a c b
a c
b a
c a c b ≤++=+=
?+?++++??≤?????=
当1a b c ===，或{}{},,0,1,2a b c =时等号成立. 故所求实数λ的最大值为1。
八、求证：三角形三边的垂直平分线交于一点。
证明： 如图，在ABC 中，
取三边,,AB BC CA 的中点D ， E,，F ， 作OD AB ^，OE BC ^交于O ，连接OF ， 只要证明OF CA ^.
因为OD AB ^，OE BC ^，
所以 0OD AB ? ，0OE BC ?
，
即 ()0O F F A A D AB ?++
， ()0O F F C
C E BC ?
++
，
有 11220OF CA AB AB 骣÷??÷?+÷桫+ ， 11220OF AC CB BC 骣÷??÷+÷?桫+ ，
得 12
0O A CB B F 骣÷??÷+?÷桫
， ①
12
0O B AB C F 骣÷??÷+?÷桫 . ②
由①+②，得 0O F O B F A B
C ??
，
即 ()
0A B B C OF ?= ，所以0AC OF ?
，于是 OF CA ^，获证。
九、某建筑物内有一个水平直角型过道如图4所示，两 过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平 移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为1米，长为7米.
问：该设备能否水平移进拐角过道？
解：由题设，我们以直线OB ，OA 分别为x 轴，y 轴建立直 角坐标系，问题可转化为：求以M (3,3)点为圆心，半径为1的圆
的切线被x 的正半轴和y 的正半轴所截的线段 AB 长的最小值． 设直线AB 的方程为1x y a b
+=，
∵它与圆()()22
331x y -+-=相切，
∴
331a b +-=（1） 又∵原点O (0,0)与点M (3,3)在直线1x y
a b
+=的异侧， ∴
33
10a b
+-> ，
3m
A
∴（13()a b ab =+- （2）
下面求AB =
（a >0,b >0）的最小值．
设sin ,cos ,0,0,
.2a r b r r πθθθ??
==>∈ ??
?
代入（2）得 ()3sin cos 1
sin cos r θθθθ
+-=
（3）
再设sin cos θθ=+t ，(
0,,2t πθ??
∈∴∈ ???
.21sin cos 2t θθ-=,代入（3）
得2621
t r t -=
- ，2
620rt t r ∴--+=，记2()62=--+f t rt t r ，(
∈t ，0>r ． ∵(1)40=- 2620rt t r ∴--+= 在( t ∈内有解?202f r r =-≥?≥．这时 .4 t π θ=?= 这说明能水平移过的宽1米的矩形的长至多为min 3 ()26272 r t = 另解:() ( 226424,()[3]0,.1111t r r t t t t t t '= +=-+<∈+-+- ∴()r t 在( t ∈上是减函数， min ()2r t r ==． 十、有一种彩票，购买者在每注彩票上填写六位数字(首项可以为0)abcdef ，开奖时，开奖人随机填写一个六位数000000a b c d e f ，并且规定只要： 0000000000 ,,,,ab a b bc b c cd c d de d e ef e f ===== 中至少有一个成立，则称该彩票中奖，请问至少要购买多少张彩票才能保证其中至少有一张彩票中奖？ 解：至少要买64注彩票才能保证中奖. 首先，我们证明若只买63注彩票(163)i i i i i i a b c d e f i ≤≤则无法保证中奖. 设有k 个数字在1263,,,b b b 出现的次数少于10次，不妨设他们是0,1,,1k - ，设有l 个数在1263,,,e e e 中出现的次数少于10次，不妨设他们是0,1,,1l - .设第二位数字为j 的所有彩票第三位上的数字构成集合(01)j S j k ≤≤-，第五位数字为j 的所有彩第四位数字构成的集合(01)j T j l ≤≤-.设 1 k j j S -= 中有m 个数字，不妨设他们是0,1,,1m - ，设 1 l j j T -= 中有n 个数字，不妨设他们是0,1,,1n - ，则第二位为0,1,,1k - 的彩票共至少有mk 注，为,1,,9k k + 的彩票至少有10(10)k -注，从而 10(10)63mk k +-≤· ·····① 同理，有 10(10)63nl l +-≤·····② 由①、②知，,0k l ≠.若存在数字,c d 使1 1 ,k l j j j j c S d T --==?? ，且(163)i i cd c d i ≠≤≤， 则由1 k j j c S -=? 知必存在{0,1,,1}b k ∈- 使(163)i i bc b c i ≠≤≤，又b 在(163)i b i ≤≤中出 现的次数少于10次，故存在数字a 使(163)i i ab a b i ≠≤≤.同样地我们可以找到,e f 使 i i de d e ≠，(163)i i ef e f i =≤≤，于是若开奖者填写abcdef 则无彩票中奖.现在反证，若 63注能中奖，则对1 k j j c S -=? ，1 l j j d T -=? ，必存在163i ≤≤使得i i cd c d =.注意到这样的cd 共有(10)(10)m n --个，且第三位是0,1,,1m - 之一的彩票至少有mk 注，从而 (10)(10)63mk m n +--≤· ·····③， 同理有(10)(10)63ml m n +--≤······④ 不妨设m n ≥，则1010m n -≤-由③可知： 263(10)(10)(10)mk m n mk m ≥+--≥+-······⑤ 且将①化简可得：(10)37m k -≥······⑥ 由⑤知2 (10)6364m -≤<故3m ≥；由⑥知37(10)10(10)m k m ≤-≤-，故6m ≤.当m 为3，4，5，6时，由⑥可知k 至少为6，7，8，10，这均将导致2 (10)63mk m +->，矛盾，故买63注彩票无法满足要求.再证明，买64注彩票是足够的. 特别的，取414244414244i i i i i i b b b e e e i ++++++======== ， 4141i j i j c d j ++++==(05,03)i j ≤≤≤≤， 1025102610341025102610346i i i i i i b b b e e e i ++++++========+ ， 25102510(03,010)i j i j a f j i j ++++==≤≤≤≤, 25625654,i i c c i +++===+ 2564i j d j ++=+(05,05)i j ≤≤≤≤, 其余数字可以任取，此时设开奖号码为abcdef ，若69b ≤≤，必有某i i a b ab =（因为同一个数字在同一位置只要出现了10次，只要两边的数取遍0~9，必会中奖），同理若69e ≤≤也必中奖.当05,05b e ≤≤≤≤时，则若03c ≤≤，必有某i i b c bc =.同理，在该情形下若 03d ≤≤也有彩票中奖，若49,49c d ≤≤≤≤，也必有某i i c d cd =，也会中奖，故上述 64张彩票满足要求. 附彩票填图表：64张彩票（空格处可任意填数字） 数学试卷 一、选择题（30分） 1．在0，-2, 1，-3这四个数中，最小的数是( ). A ．0 B ．-2 C ．1 D ．-3 2. 函数中，自变量的取值范围是( ). A ．x≥1 B ．x≤1 C ．x≥-1 D ．x≤-1 3．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( ). A ． B ． C ． D ． 4．如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是( ). A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根，则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6．我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A ． B ． C ． D ． 7．已知 ，我们又定义 ，， ，……，根据你观察的规律可推测出＝( ). 1 0 1 0 1 0 1 0 A. B. C. D. 8．如图，在矩形中，M、N分别为边、边的中点， 将矩形沿折叠，使A点恰好落在上的点F处， 则∠的度数为( ). A．20°B．25 °C．30°D．36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机 抽取了4%的学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论：①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人；②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°；③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%；④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10．如图，等腰△中，∠90°，4，⊙C的半径为1，点P在斜边上，切⊙O于点Q，则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题（18分） 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处） 1．如图，数轴上点A表示数a，则|a﹣1|是（） A．1B．2C．3D．﹣2 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝0 3．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（） A．84株B．88株C．92株D．121株 4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（） A．﹣＝4B．﹣＝4 C．﹣＝4D．﹣＝4 5．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（） A．B． C．D． 6．如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°，∠DCA＝90°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，若房屋的高BC＝5米，则高DE的长度是（） A．6米B．6米C．5米D．12米 7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（） A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵 C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵 2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、计算= . 2、分解因式：= . 3、函数中，自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1，x2，…，x n的方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10x n＋5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上，⊙、⊙的半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个． 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm， 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： 则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移，使平移后的图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△P AB的面积等于8 cm2，△P AD的 面积等于7 cm2，，△PCB的面积等于12 cm2，则△PCD的面积是cm2. （第10题图）（第11题图） 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 13、已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求：①a∶b∶c② 中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两 点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环 6.如图，点A 在函数=y x 6 -)0( 则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点 P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15 =2cm ，S △BQC 25=2cm ， 则阴影部分的面积为 2cm ． . 19.将背面相同，正面分别标有数字 1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．． ），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则 组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳 动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. 21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、 D 的点， 若10 10 sin = ∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠. 22.如图，抛物线的顶点坐标是?? ? ??892 5，－，且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式； (2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标； (3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．试判断：PB PA +与BC AC +23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点(第21题图) N (第22题图) C D F （第16题图） 2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成； 4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9 【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】 8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】 2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温 3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图 高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 A B C D B ' D C ' 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分) １1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案: 2017高中自主招生考试数学模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）． 1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（） A ． m＞3 B．m≥3C．m≤3D． m＜3 2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（） （2）（3）A．B．C．D． 3．（3分）（2011?南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（） A．到CD的距离保持不变B．位置不变 C． 等分 D．随C点移动而移动 4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（） A． 2﹣1 B． 4﹣2 C． 3﹣2 D． 2﹣2 5．（3分）（2010?泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（） A．B．C．D． 6．（3分）如图（6），已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（） A． 6圈B．圈C． 7圈D． 8圈 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图（7），则以下结论正确的有：①abc＞0； ②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（） （6）（7）（8）A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个 8．（3分）如图8，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（） A． 1 B．C． 2 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=_________． 10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________． 11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则= _________． （11）（12） 12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________． 数学素质考查卷 一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ） A.2322()x y y y x y -=- B.424(2)(x x x x -=+ C.21 1(1)x x x x x --=-- D.21(2)(1)(3)a a a --=-- 2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ） A.换元法 B.配方法 C.数形结合法 D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1 4x - 的值是（ ） A.-2 B.1 C.-1或2 D.-2或1 4、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数k y x =的图像还必过点（ ） A. (-1,6) B.(1,-6) C.(-2,-3) D.(2,12) 5、现规定一种新的运算：“*”：*()m n m n m n -=+，那么51 *22＝（ ） A. 54 B.5 C.3 D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝ （ ） A.180° B.150° C.160° D.170° 7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ） A.不增不减 B.增加4％ C.减少4％ D.减少2％ 小升初自主招生考试数学试题 一、填空。（16分，每空1分） 1、南水北调中线一期工程通水后，北京、天津、河北、河南四个省市沿线约60000000人将直接喝上水质优良的汉江水（横线上的数读作）。其中河北省年均调水量配额为三十四亿七千万立方米（横线上的数写作，省略亿位后面的尾数， 约是亿）， 2、 直线上A 点表示的数是（ ），B 点表示的数写成小数是（ ）， C 点表示的数写成分数是（ ）。 3、分数a 8 的分数单位是（ ），当a 等于（ ）时，它是最小的假分数。 4、如下图，把一个平行四边形剪成一个三角形和一个梯形。如果平行四边形的高是0.5厘米，那么三角形的面积是（ ）平方厘米，梯形的面积是（ ）平方厘米。 5、寒暑表中通常有两个刻度——摄氏度和华氏度，他们之间的换算关系是：摄 氏度×5 9 ＋32＝华氏度。当5摄氏度时，华氏度的值是（）；当摄氏度的值是 （）时，华氏度的值等于50。 6、赵明每天从家到学校上课，如果步行需要15分钟，如果骑自行车则只需要9分钟，他骑自行车的速度和步行的速度比是（ ）。 7、把一个高6.28厘米的圆柱的侧面展开得到一个正方形，这个圆柱的底面积是 （ ）平方厘米。 8、按照下面图形与数的排列规律，下一个数应是（ ），第n 个数是（ ）。 二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（16分、每题2分） 1、一根铁丝截成了两段，第一段长37米，第二段占全长的3 7 。两端铁丝的长度比较（ ） A 、第一段长 B 、第二段长 C 、一样长 D 、无法比较 2、数a 大于0而小于1，那么把a 、a 2、 a 1 从小到大排列正确的是（ ）。 A 、a ＜a 2＜a 1 B 、 a ＜a 1＜a 2 C 、a 1＜a ＜a 2 D 、a 2＜a ＜a 1 3、用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到， 从左面看到（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、无法确定 4、一次小测验，甲的成绩是85分，比乙的成绩低9分，比丙的成绩高3分。那么他们三人的平均成绩是（ ）分。 A 、91 B 、87 C 、82 D 、94 5、从2、3、5、7这四个数中任选两个数，和是（ ）的可能性最大。 A 、奇数 B 、偶数 C 、质数 D 、合数 6、观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（ ） 第2题 自主招生考试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点： 1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。 2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。做在试题卷上无效。 3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。 4．答题过程不准使用计算器。 【 祝你成功! 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个 符合题目要求） 1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定根的情况 2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形 P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< $ C S S S 132<< D S S S 123== 3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是 A π－1 B π－2 C 121-π D 22 1 -π … 4．由325x y a x y a x y a m -=+??+=??>??>?得a>－3,则m 的取值范围是 A m>－3 B m ≥－3 C m ≤－3 D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB 2017年自主招生数学试题 (分值: 100分 时间:90分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1、若对于任意实数a ，关于x 的方程0222 =+--b a ax x 都有实数根，则实数b 的取值范围是（ ） A b ≤0 B b ≤2 1 - C b ≤81- D b ≤-1 2、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为（ ） A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶9 D ．1∶16 3、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD) 恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300 ，在C 处测得电线杆 顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600 角，CD=4m ，则电线杆的高(AB)是（ ） A ．)344(+m B ．)434(-m C ．)326(+m D ．12m 4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点 E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。 A ．53 B ． 12 C ．43 D ．23 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 5、如图，在反比例函数x y 2 - =的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数x k y =的图 象上运动，若tan ∠CAB=2，则k 的值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6、如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB 绕点B 逆时针 旋转600得到线段O′B，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600 得 到；②∠AOB=1500 ；③633AOBO'S =+四边形93 6AOB AOC S S +=△△（ ） 罗田县第一中学2008年自主招生考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 1. 若M＝3x2－8xy+9y2－4x+6y+13(x,，y是实数)，则M的值一定是( ). (A) 零(B) 负数(C) 正数(D)整数 2.已知sin＜cos，那么锐角的取值范围是（） A．300＜＜450 B. 00＜＜450 C. 450＜＜600 D. 00＜＜900 3．已知实数满足＋＝，那么－20082值是（） A．2009 B. 2008 C. 2007 D. 2006 4．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于（）． A. B. C. D. 5.二次函数的图象如图所示，是 图象上的一点，且，则的值为（）． A. B. C.－1 D.－2 6.矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于（）． A. 7．若，则一次函数的图象必定经过的象限是（）（A）第一、二象限（B）第一、二、三象限（C）第二、三、四象限（D）第三、四象限 8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形 BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=， 那么AC的长等于() (A) 12 (B) 16 (C) (D) 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 9.已知,那么代数式的值是 . 10.已知为实数，且，则的取值范围为． 11.已知点A（1，3），B（5，-2），在x轴上找一点P，使│AP-BP│最大，则满足条件的点P的坐标是 _______． 12．设…，为实数，且满足 ...=...=...=...= (1) 则的值是． 13．对于正数x，规定f（x）= , 计算f（）+ f（）+ f（）+ …+ f（）+ f（）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（98）+ f（99）+ f（100）= ． 14.如果关于的方程有一个小于1的正数根，那么实数的 取值范围是． 15.在Rt△ABC中,∠C＝900,AC＝3,BC＝4.若以C点为圆心, r为半径所作的圆与斜边AB 一.选择题 1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（ ） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ） A ．3524 B ．3624 C ．3724 D ．前三个答案都不对 3.已知x ∈[0,2 π]，对任意实数a ，函数y=2cos x ?2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．前三个答案都不对 4.已知2010?202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．前三个答案都不对 5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD 的面积等于 2 AB CD BC AD ?+?，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.3 D ．前三个答案都不对 二.填空题 6.满足等式120151 11+)(1)2015 x x +=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2 2222()()() ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________ 8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________ 9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=222 2b a c ba +-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ?|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________ 三．解答题 11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值 12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B + 14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ?=c(c 为定值),记AB 的中点为X ， 求证：X 的轨迹为双曲线 15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ?，使得i a <1 ##Answer## 浙江萧山中学自主招生考试数学试卷(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 1 / 8 数学试卷 满分为100分，考试时间为70分钟。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠 方式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 一件衣服 420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券 A B C D B ' D ' C ' 2009年鄂州高中自主招生考试数学试题 一、选择题（3分*12=36分） 1、已知a=2009x+2008，b=2009x＋2009，c=2009x+2010，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为 （） A、0 B、1 C、2 D、3 2、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） 3、第二象限有一点P（x , y），且，则点P关于原点的对称点的坐标是（） A、（－5，7） B、（5，－7） C、（－5，－7） D、（5，7） 4、若方程x2＋（4n＋1）x＋2n=0（n为整数）有两个整数根，则这两个根（） A、都是奇数 B、都是偶数 C、一奇一偶 D、无法判断 5、如右下图，等边ΔABC外一点P到三边距离分别为h1，h2，h3，且h3＋h2－h1=3，其中PD= h3， PE= h2，PF= h1。则ΔABC的面积SΔABC=（） A、B、C、D、 6、某班有50人，在一次数学考试中，得分均为整数，全班最低分为48分，最高分为96分，那么 该班考试中（） A、至少有两人得分相同 B、至多有两人得分相同 C、得分相同的情况不会出现 D、以上结论都不对 7、若实数a 满足方程，则=（），其中表示不超过a的最大整数。 A、0 B、1 C、2 D、3 8、在⊿ABC中，P、Q分别在AB、AC上，且，则PQ一定经过⊿ABC的（） A、垂心 B、外心 C、重心 D、内心 9、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每 隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（）千米处。 A、36 B、37 C、55 D、91 10、已知x2－ax＋3－b=0有两个不相等的实数根，x2＋（6－a）x＋6－b=0有两相等的实数根，x2 浙江省杭州市自主招生考试数学试卷 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．（4分）（2006?潍坊）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（） A．2 B．C．D．1 2．（4分）（2006?潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（） A．B．C．1﹣D．1﹣ 3．（4分）（2004?宁波）已a，b为实数，ab=1，M=，N=，则M，N的 大小关系是（） A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定 4．（4分）（2005?淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能 准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（） A．20分钟B．22分钟C．24分钟D．26分钟 5．（4分）（2012?大田县校级自主招生）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x2的图象（） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 6．（4分）（2011?浙江校级自主招生）下列名人中：①比尔盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（） A．①④⑦ B．②④⑧ C．②⑥⑧ D．②⑤⑥ 7．（4分）（2012?麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（） 原价（元）优惠方式 欲购买的 商品 一件衣服420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物 券 一双鞋280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购 物券 一套化妆品300 付款时可以使用购物券，但不返购物券 A．500元B．600元C．700元D．800元 8．（4分）（2012?麻城市校级自主招生）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深H的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（） A．B．C．D． 二、填空题：（每题6分，共30分） 9．（6分）（2013?福建校级自主招生）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a=． 10．（6分）（2011?浙江校级自主招生）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为cm2． 11．（6分）（2014?南充自主招生）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是． 12．（6分）（2011?萧山区校级自主招生）已知方程x2+（a﹣3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是． 13．（6分）（2011?萧山区校级自主招生）如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、 4、3、2、1、2、3、4、 5、4、3、2、1…的规律报数，那么第2007名学生所报的数是． 三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．14．（8分）（2011?萧山区校级自主招生）田忌赛马 齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上初中升高中-学校自主招生选拔考试-数学试题
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