重庆交通学院
硕士学位论文
曲线箱梁桥等参有限元分析及施工过程受力性能研究
姓名：钱立
申请学位级别：硕士
专业：桥梁与隧道工程
指导教师：邹毅松;王银辉
20050426
摘要
摘要
本文以曲线桥梁为研究对象，通过曲梁平衡微分方程的推导，提出了考虑变曲率的等参有限元方法，并利用模型试验和空间有限元分析，系统的研究了悬臂施工连续刚构桥在施工过程中的受力性能。本文所作的工作主要有：
①推导了考虑了截面剪切中心与形心不重合的变曲率箱梁的平衡微分方程。并在此基础上，推导了考虑曲率连续变化、截面剪切中心与形心不重合、剪切变形对结构刚度的影响的三结点等参曲梁单元列式。
②在前面理论的基础上，利用ＭＡＴＬＡＢ软件编写了有限元程序ＣＢＩＡ．。通过算例比较，表明ＣＢＩＡ程序是可靠的，其用于曲线桥梁的计算比较接近结构的实际情况，可以获得比较高的精度。
④针对悬臂旆工的曲线连续刚构桥，制作了１：５０的有机玻璃模型。通过模型试验，研究了曲线连续刚构桥施工过程中和成桥后的受力性能，初步探索了曲线连续刚构施工过程中和成桥后的受力特性。
④利用大型有限元软件ＡＮＳＹＳ，对不同曲率半径和不同墩高的曲线连续刚构桥的进行分析比较，进一步探讨了影响曲线连续刚构桥受力的主要因素，对修建大跨度盐线连续刚构桥和曲线连续梁桥提供了若干建议，供实际设计中参考。
关键词：曲线连续刚构桥，等参单元，悬臂旋工，内力，变形
垒璺！！坠曼！
一一
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
ＴａｋｉｎｇｃｕｒｖｅｄＭｉｄｇｅａｓｓｔｕｄｙｏｂｊｅｃｔ，ｔｈｒｏｕｇｈｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｂａｌａｎｃｅ．ｅｑｕａｔｉｏｎｆｏｒｃｕｒｖｅｄｂｅａｍ，ｉｓｏｐａｒａｍｅｔｒｉｃｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ
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ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｍｅｔｈｏｄｉｓｓｙｓｔｅｍｉｃａｌｌｙｓｔｕｄｉｅｄｗｉｔｈｍｏｄｅｌｔｅｓｔｒｉｇｉｄｆｒａｍｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｗｉｔｈ
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ｗｉｔｈｓｏｍｖａｒｅＭＡＴＬＡＢＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎＳｅｃｏｎｄｌｙ，ＦＥＡｐｒｏｇｒａｍＣＢＩＡｉｓｃｏｍｐｉｌｅｄ
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学位论文作者签名：黏壶
同期：如Ｄ５年４月王‘目
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本学位论文属于
不保密凹。
（请在以上方框内打“√”）
指导教师繇铆厥勃论文作者签名：镄立
日期：２呻５年斗月２６日
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一笙二皇堑堡————————』
——————＿———，———————————＿———————＿———————＿——————————————一
第一章绪论
１．１曲线梁桥的国内外发展现状
随着国家经济持续、快速发展，交通运输和城市基础设施的建设日益受到重视。公路、铁路、城市道路和立交枢纽等各种工程建设蓬勃发展，方兴朱艾。与此同时桥梁结构工程中，曲线梁桥的运用越来越广泛。特别是随着计算机在土木工程中广泛运用，计算手段日渐丰富，加之大型旌工机械设备的使用，曲线梁桥的跨径越来越大，出现了许多大跨径的预应力混凝土曲线桥梁。
国外曲线桥梁的发展比较早，在六十年代初，国外的～些桥梁专家和学者就已经开始了曲线桥梁的计算理论的研究，并在工程实践中不断的发展。法国在１９７６年就采用悬浇完成最大跨径为１７２ｍ的五跨曲线梁桥一一让纳维利桥Ⅲ。日本更是在１９８７年完成了主跨２４０ｍ、边跨１２８ｍ的青森大桥，特别是其曲率半径为４０～８００肘“３。表１．１列出了国外部分已建曲线桥梁。
最近二十年来，我国的学者也在曲线桥梁计算理论方面作了大量的研究，并取得了不少的成果。国内也出现了许多大跨径的预应力混凝土曲线桥梁。如南昆铁路上板其２号大桥一主跨为７２ｍ的３跨预应力砼曲线刚构桥，是我国铁路第一座曲线刚构桥，平曲线半径为４５０ｍ”。石崆山ＩＩ号桥是漳龙高速公路上连接石崆山Ｉ号高架桥和建安关高架桥的一座特大桥梁，其右线为６５＋１１５＋１５５＋３Ｘ１１５＋６５ｍ，七孔一联变截面预应力砼箱梁连续一刚构组合体系，平曲线半径为７６２．１１５ｍ。其最大跨径１５５ｍ，采用挂篮悬臂浇筑施工，方法和规模为国内同类桥梁之最。１。表ｌ‘２列出了国内部分已建盐线刚构桥。
表１．１国外部分已建曲线桥梁
桥名跨度（ｍ）曲率半径（ｍ）施工方法拉斯诺玛桥５３．６＋７１．３＋５３．６Ｒ＝７６现浇Ｃ１，ｌｃＶＩＬＬＥＲｏＤＥＵＮＤ职ＰＡｓＳ５１。２Ｘ２Ｒ＝３５０支架现浇横向１号桥２４．９＋３６＋４２Ｘ６＋３４．７Ｒ＝２５０顶推ＫｅｌｅｓｋｕＢｒｉｄｇｅ７１．９＋１３２＋７１。９Ｒ＝１４３递进悬臂施下青森大桥１２８＋２４０＋１２８Ｒ＝４０～８００悬臂施．ＴＬｉｎｎＣ０ｖｅＶｉａｄｕｃｔ３０＋４Ｂ＋５５×４＋５０＋３０Ｒ＝７６悬臂拼装施工Ｂｏ＇ｗＲｉｖｅｒＢｒｉｄｇｅ４０＋５０Ｘ７＋４０Ｒ－１３０～２００悬臂浇筑
第一章绪论
表１．２国内部分已建曲线刚构桥
桥名跨径（ｍ）平曲线半径（ｍ）板其２号大桥３×７２Ｒ＝４５０
石崆山ＩＩ号桥６５＋１１５＋１５５＋３×１１５＋６５Ｒ＝７６２．１１５
云南阿墨江大桥７０＋２×１３０Ｘ７０Ｒ＝２６０
陕西长武黑河大桥６０＋６×１００４－６０Ｒ＝５８２．９６３
贵州银沙沟大桥６８＋１２８＋６８Ｒ＝６２０云南元磨高速路Ｋ３０６大桥７７＋１４０＋７７Ｒ＝２６０．０６福建马腰隔大桥４５＋３×７５＋４５Ｒ＝５８４厦门海仓大桥西航道７８＋１４０＋７８＋４２＋４２Ｒ－＝９００
另外，我国学者还进行了较多数目的曲线梁桥模型试验和实桥测试，这些试验及成果验证了理论成果，丰富了我们对曲线桥梁力学特征的了解。
目前随着国家西部大开发战略的实施，西部交通基础建设大发展，修建了很多大跨径预应力混凝土刚构桥梁。在西部地区修建高速公路，由于地质、地貌等条件的限制和公路线形的制约，采用高墩大跨的曲线粱桥式十分普遍，根据这种桥型结构的工程特点，多选用悬臂施工的曲线刚构桥。随着国家对西部高等级公路建设投入的加大，曲线刚构桥凭借其适应山区特点的优势必将更多的出现在西部的高等级公路中ｕ，。
１．２曲线梁轿的力学特点…”１
与直线桥梁相比，由于曲线梁曲率的影响，导致曲线梁产生“弯一扭，，耦合效应，使曲线粱的内力与变形较直线桥梁复杂。“弯一扭’’耦合效应可由符拉索夫微分方程组加以描述。
等∥一号导Ｖ１＋砜严吼ｎ等一碘（１．１）卜＋等Ｐ一等Ｖ。＋等∥一（半ｐ。氇＋誓ｍｚ，ｑ∽＋吾”…＋专材。］＝誓一譬一≥一≥∽。，从符拉索夫微分方程组可以看出，式（１．３）只包含独立的横向位移“。而式
第一章绪论３
（１．１）和式（１．２）同时含有竖向位移ｖ和扭转角庐。因此，该方程不是独立的ａ求解竖向位移ｖ和扭转角一必须联立两式求解。这充分反应了曲线梁中弯陆和扭转耦合作用的受力特点。
曲线梁桥与直线桥在受力性能方面的主要不同之处为：轴向变形和平面内弯曲的耦合；竖向弯曲和扭转的耦合，以及它们与截面畸变的耦合。精确的反映所有各种耦合往往是困难的且是不必要的，因此可以按采用刚性截面假定的纵向分析办法先计算出截面内力（包括Ｍ、Ｑ、丁、口。等），然后分项计算各种内力引起的应力，最后再考虑截面畸变的影响。
曲线梁桥在任意荷载作用下，四种基本变形与位移状态引起的横截面上的应力状态为：
曼竺？：盯ｍ＋０＂ｏ＋仃ｍ’
舅腰刀：ｆ＝ｆ０＋Ｚ＂ｄ＋ｒｍ＋ｆ咖Ｊ
式中：ａ■、ｆ０——分别为弯距和剪力Ｑ引起的截面正应力和剪应力（相对于
纵向弯曲变形状态）：
乃——为截面刚性转动时圣维南扭距Ｌ引起的剪应力；
仃。、ｆ。——分别为截面刚性转动时翘曲双力矩占。和翘啦扭距Ｌ引起
的正应力和剪应力；
盯。、ｆ。——分别为截面畸变双力矩玩。和畸变扭距７ｋ引起的正应力
和剪应力（对应于截面畸变变形状态）
在曲线梁桥中，由于弯扭耦合作用，其扭距通常比直线桥梁大，因此截面扭转和畸变引起的纵、横截面上的应力要比同样条件的直线桥为大。但是在混凝土曲线梁桥中，其翘曲应力虽比直线桥梁大，但其数值往往只占基本弯陷应力和纯扭转剪应力的５％～１０％。
１．３曲线梁桥理论的国内外研究现状…№儿圳㈨“山“４“Ⅷ“叫
曲线粱桥由于考虑弯扭耦合效应的影响，其受力特性较直线桥梁复杂，故其理论分析方法也较后者复杂。在曲线桥梁的发展过程中，国内外的专家、学者作了大量的基础研究工作，并建立了许多适用于曲线梁桥的分析理论和实用计算方法。归纳起来可以分为解析法、半解析法和数值法。
１．３．１理论方法和使用计算方法的研究
（Ｄ解析法：
解析法是基于一定的假设基础上，根据结构力学和弹性力学的理论建立方程来求解曲线梁桥内力的方法。
１）结构力学方法：
第一章绪论
最先用于分析曲线桥的方法是沿用结构力学方法。这种方法的特点是能利用公式直接计算曲线桥的内力与变形，简单明了，且能够得出精确的唯一解。
根据曲线桥横截面受力后是否保持为平面，可分为单纯扭转理论和翘曲扭转理论。
曲线桥按单纯扭转理论分析的基本假定为：
（１）横截面的尺寸与跨长相比很小，可将实际结构视为集中在剪切中心上的弹性曲线梁。
（２）平截面假定，即曲线梁变形后横截面仍保持为平面。
（３）刚截面假定，即曲线梁变形后横截面的周边形状保持不变。
（４）截面剪切中心轴线与曲线梁形心轴线相重合。
曲线桥按翘曲扭转理论分析的基本假定在单纯扭转理论的基础上考虑曲线梁变形后横截面不再保持为平面，而是发生了纵向翘曲位移。当截面的纵向翘曲位移受到约束，便产生了约束正应力和相应的附加剪应力。
当翘曲扭转在总扭转中占有相当大的比例时，采用纯扭转理论就不能够得到准确的结果，特别是对于壁厚很薄的预应力混凝土曲线箱梁桥或钢曲线梁桥，其误差在实用中不能忽略，所以必须考虑翘曲扭转的影响。
２）梁格理论：
梁格理论是将上部结构用一个等效的梁格来代替，分析这种梁格后再将其还原到原结构就可以得到所需的计算结果，这种方法基本概念清晰，易于理解和使用，应用范围广，而且是一种比较精确的方法。它不仅适用于由弯主梁和横梁组成的弯格子梁桥，也适用于板式（包括实心板和空心板）、肋板式及箱形截面等大部分曲线梁桥的上部结构。
用于分析梁格的方法很多，国内外许多学者提出过分析梁格的实用计算方法，如高岛春生（同）在《曲线梁桥》Ⅻ中和Ｃ．Ｐ．汉斯在《结构杆件的弯曲和扭转》…，中都有这方面的介绍：利用刚性横粱法计算横向分布也是其中的一种特殊情况。
３）梁系理论：
梁系理论将弯桥沿主梁宽度方向用纵缝分开，在切口处待以超静定赘余力函数：弯距、竖向剪力、纵向扭转等等，利用能量原理或其他位移协调条件计算赘余力函数，进而求得各主梁的内力和位移，此理论常用于计算横向分布。
４）折板分析方法：
折板分析方法是Ｇｏｌｄｂｅｒｇ和Ｌｏｖｅ在１９５７年提出的精确分析荷载引起结构反应的折板理论。Ｓｃｏｒｄｅｌｉｓ等将折板理论推广应用于分析曲线形折板结构。此后折板理论逐渐应用于分析弯梁桥中。
折板分析时把结构看作相互连接且为常厚度的弯板条单元所组成。翼板单元
第一章绪论５
的弯曲作用和薄膜作用相互独立，不相耦合。腹板单元的弯曲作用和薄膜作用相互耦合。
其和有限条法一样适用于各种型式的等截面弯梁ａ
②半解析法：
有限差分法，它是在对曲线粱桥的基本微分方程采用近似的数值解法时用差分代替微分，建立差分方程式，联立求解求得问题的数值解。
③数值法：
１）有限单元法：
印年代以来，有限单元法在工程结构领域中得到了，“泛的使用。在用有限单元分析弯桥方面，Ｍｅｙｅｒ和Ｓｃｏｒｄｅｌｉｓ等做了大量的工作。
有限单元法的应用范围极广，几乎所有型式的弯桥都可以用有限单元法分析。这种方法，将弯桥结构离散成什么样的单元是分析问题的关键。用于分析弯桥的各种单元大致可分为面（壳）状单元、线性单元和实体单元两大类。面（壳）状单元如Ｌｙｏｕｓ提出的平面薄壳单元，１９７１年，Ｓａｗｋｏ和Ｍｅｒｒｉｍａｎ将弯桥视为扇形正交异性板，提出的扇形有限单元，ｃｈｕ和Ｐｉｎｊａｒｋａｒ将顶、底板理想化为水平扇形板，腹板则以竖向圆柱壳单元表示，考虑了板和壳单元的薄膜效应与受弯作用。１９７２年，Ｓｈｏｒｅ和Ｌａｎｓｂｅｒｒｙ提出了完全相容的环形段有限单元。当采用板壳单元对弯粱桥进行三维离散时，虽然可以充分计入翘曲、畸变、剪力滞等影响，计及泊松比的影响，但是此种计算模型也有其缺点，第一，计算机输出的是一组综合数据，设计者无法专门分析单项因素的影响，以使有目的地采取构造措施减小其影响程度；第二，计算分析所需准备和处理的数据量极大，若分析程序无前处理模块和模型校验模块，很难保证分析结果的正确性：第三，输出结果为应力状态，其与现行桥规按内力进行配筋的方式不匹配，若将应力空间积分为内力，因工作量大和复杂性高，可行性不大。多用于结构的局部受力分析。
因此不少学者致力于研究比较简单的线状单元。如谢旭、黄剑源提出７节点自由度的薄壁曲梁空间分析单元，能对箱梁进行约束扭转下翘曲、畸变和剪力滞效应计算“…。韦成龙和曾庆元在普通曲梁单元的基础上，通过增加节点位移未知量，提出一种每节点具有１４个自由度的能同时考虑拉压、弯曲、扭转、扭转翘曲、畸变翘曲、畸变横挠、剪力滞效应及他们之间耦合作用的薄壁曲线箱梁空间分析单元㈨。
相对而言采用实体单元对曲线梁桥进行分析还比较少。主要是因为空间网格划分复杂，对计算机的性能要求比较高。大型通用有限元程序，如ＡＮＳＹＳ、ＮＡＳＴＲＡＮ都可以采用实体单元对弯桥进行分析。国内交通部公路科学研究所研制的三维预应力空问分析程序１＾ｄｇｅＫＦ，该程序采用实体单元作为分析模式。“。
第一章绪论６
２）有限条法：
有限条法自自１９６８年由张佑启（Ｙ．Ｋ．Ｃｈｅｕｎｇ）首先提出以来，在结构分析领域里的应用越来越广泛。从最初应用于直梁发展到曲线梁。其实质是一种半解析法。有限条法是把结构划分为若于薄板条。同时和或分别考虑其弯曲作用和薄膜作用。它与有限元法的区别在其位移函数在一个方向选择为级数而在另一方向为多项式。
弯桥有线条分析的基本假定：
（１）弯梁桥的截面尺寸和曲率沿梁长不变。
（２）材料是线弹性的，腹（肋）板和翼缘等是由各向同性或正交各项异性的材料制成。
（３）端部横隔板在自身平面内的刚度为无限大，垂直其平面则为完全柔性，其作用是保证端截面不变形。
优点：
与有限元法具有同样高的精度，原理简单，电算时间和内存量都比有限元法少，输入数据简单不易出错。
缺点：
不能很好解决变高度梁和不规则异性结构的分析问题，只适用于各种形式的等截面弯梁。
１．３，２国内曲线桥梁的研究现状川”叭”’
现阶段国内与曲线连续刚构有关的项目课题有：
①《山区高等级公路修建关键技术》的子课题“弯坡斜高墩高架桥设计理论与施工控制方法研究”。
②由西安公路研究所马宝林主持的“大跨径预应力混凝土曲线连续刚构桥的研究”。
③２００２年西部交通科技项目“高墩大跨径弯桥的设计与施工技术研究”。项目依托工程一贵州沙银沟大桥的设计、施工提供了宝贵的经验，同时通过悬臂拼接和成桥试验获得大量的空间试验数据，这对分析高墩大跨径弯连续刚构桥空闯结构受力特性提供验证和分析平台。
１．４曲线梁桥的构造特点及施工方法Ⅲ拦儿Ⅲ剐
１．４．１曲线梁桥的构造特点”’
曲线粱桥支座设簧与直线桥梁不同，由于扭矩的存在，简支曲线梁需要在一。端布置抗扭支座，所以简支曲线即为一次超静定结构；也可布置成两端抗扭约束的简支超静定形式；也可以在支点处构造成完全箝固的方式，即支点处既是抗扭
墨＝至堑塑一一二
约束也是抗弯约束。设在中间支承处采用三种图示：（１）各向可转动的球铰支座：（２）横向剐结，纵向铰结：（３）纵横向均为弹性固结。结合国内的实际情况，对于多跨连续弯梁桥的中间支承，大都采用盆式橡胶支座或圆形板式橡胶支座。以适应桥梁纵横向的变形要求。但是，如果采用墩高较大的独柱式中墩构造时，宜采用“墩一梁”弹性固结的构造，充分利用桥墩的柔性以适应曲线梁桥的变形要求。１．４．２曲线梁桥的施工方法
曲线梁桥的施工多采用搭架现浇的方式，对于小跨径和地形比较平坦的桥址情况下，这种施工方法无疑是晟好的。常采用搭架现浇的方法，影响了桥梁的跨度。悬臂施工已经成为连续梁桥、连续刚构和斜拉桥等大跨预应力混凝土桥梁最常用的施工方法，其施工工艺日趋成熟。曲线梁桥一方面由于受到弯扭耦合的影响，梁体的受力性能和一般的直线梁有很大的差别；另一方面，在施工过程中梁体受力不对称，使悬臂施工在曲线连续梁桥中的使用存在一定的难度。但是随着大跨径预应力混凝土曲线桥梁的大量出现，悬臂施工方法在国内曲线桥梁上的应用同益成熟。国内，上海杨盛河桥即采用移动式桁梁悬吊模架法横移悬臂浇注施工，该桥位于半径为３００米的圆曲线上，为３５＋５０＋３５米三跨等高度预应力混凝土连续曲线梁。而且国内在西部地区修建了不少的平弯连续刚构桥，均是采用悬浇浇筑的施工方法。国外，欧美和日本等发达国家，均已有小半径和中等跨径以上的曲线连续梁采用悬浇和悬拼的成功例子。
结构体系多采用连续曲线形式。虽然悬臂形式可以选择，但是从施工上考虑，悬臂形式很少采用，且监线粱桥的跨径一般都比较小。考虑到箱形截面具有较大的抗扭剐度，截面多采用箱形截面。而且为了简化结构构造和旌工工艺，截面多采用等高度。但是当桥梁跨径增大的时候，曲线梁桥也有采用交高度和悬臂施工的实例。随着道路等级的提高和桥梁施工工艺的逐渐成熟，曲线梁桥向大跨径发展?采用变高度箱梁截面和悬臂施工的曲线梁桥将会越来越多。
１．５本文研究的主要内容
１．本文在前面所述的文献的基础上，首先演引了变曲率箱梁考虑截面形心和剪切中心不重合时的平衡微分方程，并利用三结点等参曲梁单元”ｍ１来进行分析。在三结点等参曲粱单元中考虑了变曲率、截面形心和剪切中心不重合并且在纯扭转理论的基础上引进了Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁的假定（即考虑了梁的横向剪切变形）。利用这种单元来分析曲梁结构比较方便，可以适应不同的曲线形式和复杂的边界条件，且具有相当高的精度。本文在前述理论的基础上，利用ＭＡＴＬＡＢ软件编制了有限元程序。
２．本文针对采用悬臂施工方式的曲线刚构桥，利用模型试验和数值计算，对
第一章绪论
平弯连续刚构桥的施工过程进行了分析，包括平弯连续刚构桥在施工过程中的应力及变形，对平面曲线上修建大跨连续刚构桥提供了若干建议，供实际设计时参考。
第二章变曲率箱梁平衡微分方程式９第二章变曲率箱粱平衡微分方程式
２．１基本假定
在《薄壁结构的扭转分析一一曲线桥与斜支箱形梁》【坫１中列出截面剪切中心和截面形心不重合的曲线梁的六个基本平衡方程。本章在其基础上计入了曲率变化和剪切变形的影响，其基本假定为：
１．在各种荷载作用下，衄线梁的薄壁截面的周边形状保持不变。
２．梁的横截面各项尺寸与跨度相比很小，实际结构可以作为集中在梁轴线上的弹性曲杆来处理。
３．曲梁的横截面在变形后仍保持平面，在变形后曲梁横截面不再垂直于中性轴，如图２．１所示。
出
Ｑ．古典粱理论面
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豳２．１曲梁的横截面变形假定
ｂ．Ｔｌｍｏｓｈｅｎｋｏ架理论
４．曲梁的截面具有一根对称轴。实际工程中采用的闭１３断面薄壁曲线梁通常都是具有一根与曲率平面垂直的竖向对称轴。其截面的剪切中心与形心均位于对称轴上。
２．２曲线粱的基本平衡方程“叫
为研究曲线箱梁在弯曲和扭转共同作用下的平衡微分方程，首先研究由两相
第二章变曲率箱粱平衡微分方程式１０可
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图２．２曲线箱粱截面形式及坐标系
假设这单元体上作用的外力荷载有沿工，ｙ暑方向的均布荷载以妒，妒：以及相对于剪心曲轴的均布荷载ｍ，和相对于形心主轴的肌，埘。。则茁箱梁左截面剪心吖点上作用的力有剪力ＱＩ砩和扭矩ｒ，此外还有相对于断面形心轴ｘ，Ｙ的弯距Ｍ，、
Ｍ，和作用在形心ｓ上的轴向力Ｎ，其于左截面相距出＝Ｒｏｄｐ的右截面上各相应的力分别为：
ｒ＋罢，绞＋警出，ｇ＋警出，Ⅳ＋罢出，坂＋警如，屿＋警出考虑剪心和形心不重合情况的力平衡微分方程，设断面剪心沿ｘ妒方向距其形
心的距离为‰虬，且％＞＞‰，根据曲线粱单元的平衡条件，可以建立６个平衡方程
（１）＝！！：只＝０的平衡条件
警＋嵩也＝。ｃｚ．，，（２）∑Ｅ＝０的平衡条件
挈Ⅵ：ｏ
蓄＋ｎ。０
（２．２）（３）∑Ｅ＝０的平衡条件
第二章变曲率箱粱平衡微分方程式１ｌ
掣一盟＋．Ｐ：：ｏＲ昆．一（４）∑Ｍ，＝０的平衡条件
警＋击仃＋㈧一ｇ＋％＝。
（５）∑Ｍ，＝ｏ的平衡条件ｉＯＭｙ一级＋聊，：Ｏ位。（６）∑Ｍ：＝０的平衡条件
Ｑ。和轴向力Ⅳ，＋．砂ｏ）＋啊＝０（２．３）
（２．４）
（２．６）
（２．６））所给出的６个曲线粱平衡微分方程，我们可以消去剪力Ｑ、简化为只包含弯距肘，朋，和扭距ｒ的三个微分方程式
％为轴线曲率半径
由式（２．５）可得：
，、
ＯＭｕＪ．Ｊｙｇ。一百一珥，ｕ‘将式（２１８）代入式（２．９）可得：
肚一＊尝Ｏｚ一生Ｏｚ旭］＝士ｆ等＋鲁七Ｉ２’…。ｌ—ｒＩ‘＿矿＋ｉ（２．７）
（２．８）（２．９）
（２．１０）
将式（２．１０）对：求导可得：
警＝一；降＋誓一寸文等每一刳
眩Ⅲ，石∞旺，一％到一）卯一出¨一（式，一‰＝
ｒ设堕‘｝ｊ
等
堑出：ｐ得＋澜盟玉乏●～ｒ撼肚＼，●●／以
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％堕如ｒ科Ｌ卜亟如隰垫劳坦＋鬻可趴目）、√¨只引堕昆和呻柳等式．竺∥将一
第二章变曲率箱梁平衡微分方程式１２
将上式展开并化简后可得：
１芦一ｉ亨＋ｒｉ２一百ｆ＋ｉｉ蓄一ｉ以一妒：２０訾一鲁誓膏誓一粤＋生誓－ｉＣ２ｍｙ＋誓一生旷一ｏ
（２．１２）由式（２．２）可得：
Ｐｙ：一孥（２．１３）
一ｉ（２?１３’
田氏ＬＺ．４Ｊ口Ｊ得：
ｇ＝警＋ｒ仃＋Ｑ，ｙｏ）帆（２．１４）警＝警“ｐ＋‰）＋可署＋警‰］＋警忆㈣
将式（２．１５）代入式（２．１３）可得：
等＋譬ｏＡＴ…．～可ａ２Ｍｙ。虬警＝叩ｙ＋Ｍ＇Ｙｏ％“坩％一警
由将式（２．９）式（２．６）可得：
詈一扯＋爿等＋誓吧¨ｍ，：。
鼍一谢；一等协＝誓‰礓‰氇慨ｍ
这样式（２．１２）式（２．１６）和式（２．１７）就构成了不包括弯距Ｍ。村。和扭距，的三个基本平衡方程。
（７）薄壁曲线梁的平衡微分方程除了上述６个关系式外，尚须根据翘曲双力矩占，翘曲扭转力矩瓦和作用在曲线梁上的单位长度翘曲双力矩ｍ。，建立平衡关Ｂ’一乙＋ｍ。＝０（２．１８）２．３曲梁单元位移与内力的关系
探求曲梁位移与内力的关系，首先要了解曲线箱梁内任一点ｂ，ｙ，＝）的空间位移关系曲线箱粱的位移可以由７个基本位移来描述，即形心处平行于。，ｙ，。的位移心Ｄ）虬０）叱０），截面绕径向（水平）中心轴的绕转角建（刁，截面绕竖直中心轴的绕转角＾ｋＪ，绕剪一ＧＭ的扭转角目∽，怒曲位移函数烈刁。
第二章变曲率箱粱平衡微分方群式
在初等梁理论中，假定变形前垂直于中性轴的法线在变形以后仍保持直线，并垂直于中性轴。这种假定忽略了梁的弯曲剪切变形能的贡献，所以，直线初等梁理论中有：
丸Ｇ）＝一宴丸Ｇ）＝娑
０＂２‘也
由于箱粱截面一般比较高，特别是犬跨径连续箱梁桥。这种情况下忽略梁的剪切变形的影响是不恰当的，所以在此引入了Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁的理论。参照图２．１所示，直线梁的截面绕转角可写为：
丸（ｚ）＝一詈＋以或∽２謇＋＂Ｔｙ
所以，对于曲线箱梁绕截面径向形心轴的转角丸扛）和径向形心轴的转角妒。（ｚ）可以由下式写出：
丸Ｇ）＝一誓＋以（２．１９）
以Ｇ）＝警ｑ（２－２。）
式中／ｔ＂＝ｌ／Ｒｏ，为ｚ轴的曲率，由于此处研究变曲率箱梁，所以ｒ是＝的函数。假定横截面上的翘曲纵向位移与自由扭转纵向位移的分布规律是相同的，自由扭转时，单位曲梁长的扭转率为：
ｒ＝护。扛）一或（ｚ扣
所以约束扭转单位梁长扭率可以写为：
ｆ＝ｐ’０）一九（ｚｋ（２．９１）式中烈ｚ）是与ｒ、匕、０以及截面刚度有关的截面翘曲函数。
所以，曲线箱梁任意截面上一点Ｇ，Ｙ，ｚ）的位移为：
“Ｇ，ｙ，ｚ）＝“。（ｚ）一（）’一Ｙ。）暖彳）
ｖ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝匕Ｇ）＋ｘ北）
ｑｘ，ｙ，ｚ）＝毗ｂＪ一办Ｏ扛＋丸，一国协。一娥ｂ）Ｊ∞为主扇形坐标，可由下式表示：
拈弦荐ｆ字
钿辱（２．２２）（２．２３）（２．２４）
第二章变曲率箱梁平衡微分方程式１４帅＝ｆ础一妒ｒ字
其中Ｑ＝２Ｆ＝２ｑｐｄｓ，即刚口截向由周边壁厚中心线所围成的回积的２倍：ｐ为扭转中一ｂＭ到任意点（ｘ，儿ｚ）的沿周边壁厚中心线的切线的距离。
本文主要研究具有一个对称轴Ｙ轴的矩形箱梁，如图２．２所示，所以有：ｏ＝４户凼＝２协，＋６６Ｊ－ｈ／２＝２ｂ，ｈ（２．２５）
拦：笠＋堕＋竺：笠＋笠＋２ｈ（２．２６）
ｏｆ
ｆｌｆ２ｆ，ｆ】ｒ２ｂ
式（２．２１）到式（２．２３）为曲线箱梁截面剪心和形心不重合的情况下，截面任意一点的关于扛，只ｚ）三个方向的位移关系式。
接下来需要求出曲线箱梁截面剪心和形心不重合的情况下，曲线箱梁内任一点仗ｙ，：）的内力与位移的几何关系。为了建立曲线梁断面内力与位移的弹性关系式，先需要分析曲线梁在弯曲和约束扭转共同作用下纵向应变ｓ．与位移Ｕ、ｖ、ｗ，转角虫、庐，以及扭转角０之闻的几何关系。
考虑到曲线梁在曲率平面内由于轴向位移Ｗ与径向位移“产生纵向应变。假设取长度为出的曲线梁微段ＡＢ，其在变形后的位置为爿～Ｂ，如图２．３所示。
该微段由于轴向位移Ｗ引起的伸长为一Ｏｗｄｒ，，而由于径向位移“引起的轴向伸长为：
（，一甜琊一删＝－ｕｄｑｋ（２．２７）于是，得到由位移Ｗ和Ⅱ产生的纵向应变为：
ｓ．：竺～堕：塑一』Ｌ（２．２８）
４
ｄｚ出ｄｚＲｏ—ｘ
式中Ｒ为起点的曲率半径，≯为Ａ、Ｂ两点的径向的交角。
将式（２．２３）和式（２．２１）代入上式，可得：
屯＝秕一以ｘ＋≯：ｙ一囟ｐ’一蛾）１｝一瓦毛缸。由一ｙ。）ｏｌ（２．２９）令之妥＝击ｅｈ毒ｊ＊击【¨云ｊ甜ｃ¨材，ｃｚ．。。，所以将式（２．３０）代入式（２．２９），则可以写成如下形式：
ｔ＝ｋ—ｘ盛＋ｙ以一ｂ∞‘一绣）】ｊ—ｒ（１＋艇）ｋ。一◇一ｙ。弦】（２．３１）
第二章变曲率箱梁平衡微分方程式
一争
圉２．３曲线箱梁微段的轴向和径向位移
由于箱梁为变曲率，所以式中除基本未知量外，ｒ也为＝的函数。考虑前面的纵向应变通过虎克定律可以求出正应力ｔｌｒ的表达式为：
仃＝Ｅ以一ｘ一＋ｙ丸－－０）∽’一ｒ’以一硪）一砷＋糕ｈ。一ｂ—Ｙ。矽】｝（２．３２）将此仃代入轴向力，弯距Ｍ，和Ｍ。，翘曲双力矩Ｂ的表达式中：
Ⅳ＝胁Ｍ，＝ｆｏｙｄＡＭ，一肛
对于剪切中心的主扇形坐标脚必须满足：
Ｓ。２膨２０｝
ｋ。抄删。０｝（２．３３）』一２ｌ删＝０Ｊ
ｏ＝￡ｘｙｄ４＝０Ｉ
墨＝ｌｙｄＡ＝Ｏ｝
Ｓｙ＝肛＝ｏｊ
由于截面关于算对称，截面满足１秒２ｄＡ＝Ｏ
设‘＝≠ｌ办相
于是得到曲线粱内力与位移弹性关系式如下：
Ⅳ＝Ｅｄｈ÷一ｒ?越。一ｆ－Ｙｏ?口ＪＭｒ＝ＥＩ＾姣＋Ｋ０１（２．３４）（２．３５）