函数与导数综合题型一网打尽汇编(可作教师版的习题材料)

函数与导数高考题1.(安徽理3)设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x'-x,则f()=(A)-3 (B)- 1 (C)1 (D)3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法 .属容易题.【解析】f()= - f( - 1)= - 42( - 1)²- ( - 1)]= - 3 .故选A.2 . (安徽理10)函数f (x )=ax ”g 1- x )“在区 间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ,n 的值可 能 是(A)m=1,n=1(B) m=1,n=2(C) m=2,n=1(D) m=3,n=1【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【 解 析 】 代 入 验 证 ， 当m = 1 , n = 2 , f ( x ) = a x g ( 1 - x ) ² = n ( x ³ - 2 x ² + x ) ,则f ' ( x ) = a ( 3 x ² - 4 x + 1 ) , 由 ,结合图像可知函数应在递增，在 递减，即在, 知 a 存 在 . 故 选 B .3.(安徽文5)若点(a,b)在y=lgx 图像上，a≠1,则下列点也在此图像上的是(A)(,b) (B)(10a,1 b) (C)(,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系 .【 解 析 】 由 题 意b = 1 g a , 2 b = 2 1 l g a = 1 g a ² , 即( a ² , 2 b )也 在 函 数 y = l g x 图 像 上 .4 . (安徽文10) 函数f(x )=ax ”g (1 - . x )² 在区间(0,1)上的 图像如图所示，则n 可能是 (A)1 (B) 2取得最大值，由f'(x)=a(3x²-4x+1)=0可知，(C) 3 (D)4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当7=1时，f(x)=axg(1-x)²=a(x³-2x²+x),则f(x)=a(3r²-4x+1)由f ( x ) = a ( 3 x ² 4 x + 1 ) = 0 可知，,结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由, 知a 存在. 故选A .7 . (福建理5) 等于A.1B.e- 1C. CD.e+1【答案】C8 . (福建理9 )对于函数f ( x ) = a s i n x + b x + c (其中，a , b ∈R , c ∈Z ) ,选取a , b , C 的一组值计算f ( )和f ( - 1 )所得出的正确结果一定不可能是A . 4和6B . 3和1C . 2和4D . 1和2【答案】D9 . ( 福建理1 0 ) 已知函数f ( x ) = e⁴+ x , 对于曲线y = f ( x ) 上横坐标成等差数列的三个点A , B , c , 给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B10.(福建文6)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A.(- 1,1)B.(-2,2)C.(-o,-2)U(2,+o)D.(-o,- 1)U(1,+c)【答案】C11. (福建文8)已知函数 ,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于A. 3B. 1C. 1D. 3【答案】A12.(福建文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于A.2B.3C. 6D. 9【答案】D13.(广东理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A . f(x)+1g(x)是偶函数B . f(x) - 1g(x)是奇函数c.if(x)\+g(x)是偶函数 D . i f ( x ) - g ( x )是奇函数【答案】A【解析】因为g(x)是R 上的奇函数，所以lg(x)是R 上的偶函数，从而f(x)+1g(x)是偶函数，故选A.14 . (广东文4)函 的定义域是 ( )A.(-~,- 1)B.(1,+~) c.(- 1,1)U(1,+oo) D.(-0,+oo)【答案】C16.(湖北理6)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a¹-a ⁴+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)=A.2B.C.D. a² 【答案】B【解析】由条件f(2)+g(2)=a²-a²+2,f(-2)+g(-2)=a²-a²+2, 即-f(2)+g(2)=a²-a²+2, 由此解得g(2)=2,f(2)=a²-a-所 以 a = 2 ,, 所 以 选 B18 . (湖南文7)曲线主点处的切线的斜率为( )A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】19.(湖南文8)已知函数f(x)=e¹-1,g(x)=-x²+4x -3.若有f(a)=g(b),则b 的取值范围为A.[2-√2,2+√2]B.(2-√2.2+√2)c.[1,3] p.(1,3)【答案】B【解析】由题可知f(x)=e ⁴- 1>- 1,g(x)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1≤1,若有f(a)=g(b),则g(b) ∈(- 1,1), 即-b²+4b-3>- 1,解得2-√Z<b<2+√2., 所 以,y=020 . (湖南理6)由直线 与曲线y=COSX 所围成的封闭图形的面积为( )A.2B.1C.D.√3 【答案】D【解析】由定积分知识可得, 故 选 D 。

一、 分类讨论：分类讨论复杂影响定义域， 导是否有根，最高次项系数(开口方向) 例1.(大兴19)已知函数f(x) (22 m)X .x m(I)当m 1时，求曲线f (x)在点(1, f (1))处的切线方程； (n)求函数f(x)的单调区间.(2 m)(x 2m) (2 m)x 2x fW--- K (1 )当 m 0时，f(x)-.x因为f '(x)当 f'(x) 0 时，x 0,或x 0.所以函数f (x)的单调减区间为(，0),(0,)，无单调增区间(2) 当m 0时，f (x)的定义域为{xxm}.当 f'(x) 0时，x 、、 m 或.m x . m 或x 、. m ,所以函数f (x) 的单调减区间为(,j m ),( —, —),(~m, 单调增区间•(3) 当 m 0时，f'(x) (m 2)(x 2 而2x 扁).(x 2 m)2①当0 m 2时，若 f '(x) 0，则 x. m 或x . m ，(13分)解：(I)当 m 1 时，f(x)x x 2 1.因为f '(x)x 2 1 22-(x 1)所以k 所以函数f (x)在点1 1(訐(2))处的切线方程为12x 25y4(m 2)(x 2m) 2 2(x m))，无f'121 25 .因为f (2若f '(x) 0 ,贝y m x 、、m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,,m),C，m,),函数f(X)的单调增区间为(、、m,、、m).②当m 2时，f (x) 0 ,为常数函数，无单调区间•③当m 2时，若f '(x) 0，贝U 、、m x .. m，若f '(x) 0 ,则x 、、m或x m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,函数f(x)的单调增区间为(，.m),( . m,).综上所述，当m 0时，函数f (x)的单调减区间为(,0),(0,)，无单调增区间；当m 0时，函数f(x)的单调减区间为(，■-m),(、._m,, _m),(、~~m,)无单调增区间；当m 0时，①当0 m 2时，函数f (x)的单调减区间为(,x m),^ m,),函数f (x)的单调增区间为(•、一 m, •、_ m)；②当m 2时，f(x) 0 ,为常数函数，无单调区间；③当m 2时，函数f (x)的单调减区间为(、、m,-、m)，函数f(x)的单调增区间为(，吊),(、m, ) —13根与定义域，最值处需要比较例2. (2012年北京理科)已知函数f(x) ax2 1(a 0)，g(x) x3 bx -(i)若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a, b的值;2(n )当a 4b时，求函数f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间(-上的最大值解：(1 )由1, c为公共切点可得：2f (x) ax 1(a 0)，贝U f (x) 2 ax, K 2a ,3 2g(x) x bx，贝U f (x)=3x b , k2 3 b,2a 3 b ①又 f(1) a 1 , g(1) 1 b ,a 11 b ，即a b ，代入①式可得:(2) Q a 24b ,设 h(x) f(x)g(x) x 321 2 ax ax41 则 h (x) 3x 22ax 1 2a ，令 h (x)0，解得 a :x 1x ?a —;426Q a 0 ,aa26，原函数在a单调递增，在a-单调递减， 在a 上单调递增22， 66，①若1< a，即a < 2时，最大值为 h(1) a 2a” ,•24②若a 1 a 即2 a 6时， 最大值为 h -12 62③若1> 6时，即a >6时，最大值为h综上所述:当a 0,2时，最大值为h(1)2a ta；当 a 2 ,4时，最大值为h ?1•二、恒成立问题例3( 2014海淀一模)已知函数 f (x) xln x .(I )求 f(x)的单调区间；(n )当k 1时，求证：f (x) kx 1恒成立.(I )定义域为0,---------------------------------- 1分 f '(x) In x 1---------------------------------- 2分1令 f '(x) 0 ,得 x ----------------------------------- 3分f '(x)与f (x)的情况如下:分1 1所以f(X)的单调减区间为(0,—)，单调增区间为(―，)--------------------------- 6分e e(n )分离参数，证明1:1设g(x) ln x , x 0 ----------------------------- 7分X八1 1 X 1g(X) 2 2 ------------------------------------------- 8分X X Xg'(x)与g(X)的情况如下：所以g(x) g(1) 1，即1ln x 1在x 0时恒成立， ------------- 10 分x, 1 ,所以，当k 1时，ln x k，x所以xlnx 1 kx，即xlnx kx 1，X|k | B| 1 . c|O |m所以，当k 1时，有f (x) kx 1. -------------------- 13 分证明2：直接作差构造新函数令g(x) f (x) (kx 1) xlnx kx 1 ----------------------------- 7分g'(x) In x 1 k ----------------------------- 8分令g '(x) 0 ,得x e k 1------------------------------ 9 分g'(x)与g(x)的情况如下:2x)x证明：设g （x ）f(x)xe ^(xxX( 20)，则 g '(x)4x------------------- 10分g(x)的最小值为g(e k1) 1 e k 1--------------- 11分当 k 1 时，e k1 1，所以 1 e k1 0 故 g(x) 0----------------------- 12 分 即当 k 1 时，f(x) kx 1. ------------------------------ 13 分xe 例4.（ 2015海淀期末文科20题）已知函数f （x ） .x（I ）若曲线y f （x ）在点（x 。

第四节导数与函数的综合问题A组基础题组1.若某商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大年利润时的年产量为()A.1百万件B.2百万件C.3百万件D.4百万件2.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)3.(2014课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)4.设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.5.已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)的单调区间;(2)当k≤1时,求证:f(x)≥kx-1恒成立.B组提升题组6.(2015课标全国Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.7.(2014课标全国Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=alnx+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.8.(2017贵州遵义模拟)已知函数f(x)=,其中k∈R且k≠0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当k=1时,若存在x>0,使lnf(x)>ax成立,求实数a的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.C y'=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),当0<x<3时,y'>0;当x>3时,y'<0.故当x=3时,该商品的年利润最大.2.B令g(x)=f(x)-2x-4,则由题意知g'(x)=f'(x)-2>0,因此,g(x)在R上是增函数,又g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0,所以原不等式可化为g(x)>g(-1),由g(x)的单调性,可得x>-1.3.C a=0时,不符合题意.a≠0时,f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,得x1=0,x2=.若a>0,则由图象知f(x)有负数零点,不符合题意.则a<0,由图象结合f(0)=1>0知,此时必有f>0,即a×-3×+1>0,化简得a2>4,又a<0,所以a<-2,故选C.4.解析(1)函数f(x)的定义域为R.因为f'(x)=2x·e x+(1+x2)e x=(x2+2x+1)e x=(x+1)2e x≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)证明:因为a>1,所以f(0)=1-a<0,f(lna)=(1+ln2a)e lna-a=aln2a>0,所以f(0)·f(lna)<0,由零点存在性定理可知f(x)在(0,lna)内存在零点.又由(1)知,f(x)在R上单调递增,故f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.5.解析(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0,得x=.f'(x)与f(x)的变化情况如下表:所以f(x)的单调减区间为,单调增区间为.(2)证明:设g(x)=lnx+,x>0,则g'(x)=-=,令g'(x)=0,得x=1.g'(x)与g(x)的变化情况如下表:所以g(x)≥g(1)=1,即lnx+≥1在x>0时恒成立,所以,当k≤1时,lnx+≥k,所以xlnx+1≥kx,即xlnx≥kx-1,所以,当k≤1时,有f(x)≥kx-1.B组提升题组6.解析(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x-.当a≤0时,f'(x)>0,f'(x)没有零点;当a>0时,因为y=2e2x单调递增,y=-单调递增,所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增.又f'(a)>0,当b满足0<b<且b<时,f'(b)<0,故当a>0时,f'(x)存在唯一零点.(2)证明:由(1),可设f'(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln.故当a>0时,f(x)≥2a+aln.7.解析(1)f'(x)=+(1-a)x-b.由题设知f'(1)=0,解得b=1.(2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知,f(x)=alnx+x2-x,f'(x)=+(1-a)x-1=(x-1).(i)若a≤,则≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件为f(1)<,即-1<,解得--1<a<-1.(ii)若<a<1,则>1,故当x∈时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0.f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件为f<.而f=aln++>,所以不合题意.(iii)若a>1,则f(1)=-1=<.综上,a的取值范围是(--1,-1)∪(1,+∞).8.解析(1)函数的定义域为R,f'(x)=,当k<0时,令f'(x)>0,可得x<0或x>2;令f'(x)<0,可得0<x<2,∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调减区间为(0,2);当k>0时,令f'(x)<0,可得x<0或x>2;令f'(x)>0,可得0<x<2,∴函数f(x)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(-∞,0),(2,+∞).(2)当k=1时,f(x)=,存在x>0,使lnf(x)>ax成立等价于a<,设g(x)=(x>0),则g'(x)=,当0<x<e时,g'(x)>0;当x>e时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(e)=-1,∴a<-1.。

函数导数综合问题（一）【例1】已知函数()()222ln ,.f x x x h x x x a =-=-+（Ⅰ）求函数()x f 的极值； （Ⅱ）设函数()()(),x h x f x k -=若函数()x k 在[]31,上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围.【例2】已知函数()()()1ln 2ln 22f x t x x =+--⎡⎤⎣⎦，且()()4f x f ≥恒成立。

（1）求t 的值； （2）求x 为何值时，()f x 在[]3,7上取最大值；（3）设()()()ln 1F x a x f x =--，若()F x 是单调递增函数，求a 的取值范围。

【例3】 设函数()|1|,()ln .f x x x m g x x =-+= （1）当1m >时，求函数()y f x =在[0,]m 上的最大值；（2）记函数()()()p x f x g x =-，若函数()p x 有零点，求m 的取值范围.函数导数综合问题（一）参考答案：【例1】解: （Ⅰ）xx x f 22)('-= ，令'()0,01f x x x =>∴=所以)(x f 的极小值为1,无极大值. （Ⅱ）)(ln 2)()()('=∴-+-=-=x k a x x x h x f x k ,若2,0)('==x x k 则当[)1,2x ∈时，()'0fx <；当(]2,3x ∈时，()'0f x >．故()k x 在[)1,2x ∈上递减，在(]2,3x ∈上递增．(1)0,1,(2)0,22ln 2,22ln 232ln 3.(3)0,32ln 3,k a k a a k a ≥≤⎧⎧⎪⎪∴<∴>-∴-<≤-⎨⎨⎪⎪≥≤-⎩⎩所以实数 a 的取值范围是(]22ln 2,32ln3--. 【例2】解：（I ）)4()()],2ln()2ln([21)(f x f x x t x f ≥+-+=且 恒成立， )()4(),,2()(x f f x f 是且的定义域为+∞∴的最小值又.3.0)4(].212[21)(=='∴--+='t f x x t x f 解得 （II ）由上问知.44]2123[21)(2--=--+='x x x x x f)4,2()(.0)(,4;0)(,42在时当时当x f x f x x f x ∴>'><'<<∴上是减函数，在（4，+∞）是增函数。

16．
【解析】
试题分析： 因为 是定义在 上的周期为3的函数，当 时， .画出函数 和 在 的图像如图所示，
考点：根的存在性及根的个数判断．
17．（1） ；（2）单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，极大值 ，极小值为
【解析】
试题分析：（1）对原函数 进行求导得到 ，令 ，分离参数得到 ，只需 小于等于 即可得到所求答案．
7
20
8
乙产品
3
50
12
但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产量最大？最大日产量为多少？
24．已知函数 （ 为常数），其图象是曲线 ．
（1）当 时，求函数 的单调减区间；
（2）设函数 的导函数为 ，若存在唯一的实数 ，使得 与 同时成立，求实数 的取值范围；
（2）由（1）把 代入 ，对 进行求导得到 ，对 进行分类讨论，即可得到 的单调性
（3）本题可以采用分析法来进行证明，一步步的往上推导出一个很容易证明或者是公理的式子再进行证明即可得到所求答案．
试题解析：f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得 ．
考点：1、含绝对值的函数；2、圆的几何性质；3、数形结合．
7．D
【解析】
试题分析：由题 若 即 当 时 ，此时 即为 结合 即 ，可知此时 ；当 时 ，此时 即为 结合 即 ，取交集即为 ，
综上实数 的取值范围是
考点：分段函数，对数函数的性质
【名师点睛】本题考查分段函数，对数函数的性质，对数不等式的解法等知识，属中档题．解释由已知条件得到 仍为分段函数，讨论 和 两种情况，化简不等式，解之即可．注意每一种情况中秋的是交集，而最后两种情况求的是并集．

a － a 2－4 2 a ＋ a 2－42导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用.题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论．（1） 单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．(2) 极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．(3) 最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．已知函数 f (x )＝x 1g (x )＝a ln x (a ∈R )．－ ， x(1) 当 a ≥－2 时，求 F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2) 设 h (x )＝f (x )＋g (x )，且 h (x )有两个极值点为 x ，x ，其中 x ∈ 1，求 h (x )－h (x)的最121(0，]1 2 2小值．[审题程序]第一步：在定义域内，依据 F ′(x )＝0 根的情况对 F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立 x 1、x 2 及 a 间的关系及取值范围；第四步：通过代换转化为关于 x 1(或 x 2)的函数，求出最小值．[规范解答] (1)由题意得 F (x )＝x 1a ln x ，－ － xx 2－ax ＋1其定义域为(0，＋∞)，则 F ′(x )＝ ，x 2令 m (x )＝x 2－ax ＋1，则 Δ＝a 2－4.①当－2≤a ≤2 时，Δ≤0，从而 F ′(x )≥0，∴F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当 a >2 时，Δ>0，设 F ′(x )＝0 的两根为 x 1＝ ，x 2＝ ，x∴F (x )的单调递增区间为( a － a 2－4) (a ＋ a 2－4)0， 2和 ，＋∞ ， 2F (x )(a － a 2－4 a ＋ a 2－4)的单调递减区间为 ，. 2 2综上，当－2≤a ≤2 时，F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当 a >2 时，F (x )的单调递增区间为(a － a 2－4) (a ＋ a 2－4)0， 2和 ，＋∞ ， 2F (x )(a － a 2－4 a ＋ a 2－4)的单调递减区间为 ，. 2 2(2)对 h (x )＝x 1a ln x ，x ∈(0，＋∞)－ ＋ x1 a x 2＋ax ＋1求导得，h ′(x )＝1＋ ＋ ＝ ，x 2 x x 2设 h ′(x )＝0 的两根分别为 x 1，x 2，则有 x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ， 1 1∴x 2＝ ，从而有 a ＝－x 1－ .x 1 x 1令 H (x )＝h (x )－h(1) 111 11＝x －x ＋(－x －x )ln x －[x －x ＋(－x －x )·ln x ]1 1 ＝2[(－x －x )ln x ＋x －x ]，1 2(1－x )(1＋x )ln x H ′(x )＝2(x 2－1)ln x ＝ x 2. 当 x ∈1 时，H ′(x )<0， (0，] 2 ∴H (x )在 1 上单调递减，(0， ]2 又 H (x 1)＝h (x 1)－h1 ＝h (x 1)－h (x 2)，(x 1)∴[h (x 1)－h (x 2)]min ＝H 1＝5ln2－3.(2)[解题反思] 本例(1)中求 F (x )的单调区间，需先求出 F (x )的定义域，同时在解不等式 F ′(x )>0 时需根据方程 x 2－ax ＋1＝0 的根的情况求出不等式的解集，故以判别式“Δ”的取值作为分类讨论的依据．在(2)中求出 h (x 1)－h (x 2)的最小值，需先求出其解析式．由题可知 x 1，x 2 是 h ′(x )＝0 的两根，可得到 x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ，从而将 h (x 1)－h (x 2)只用一个变量 x 1 导出．从而得到 H (x 1)＝ h (x )－h 1 ，这样将所求问题转化为研究新函数 H (x )＝h (x )－h 1 在 1上的最值问题，体现 1 (x 1) (x) (0， )2转为与化归数学思想．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：－ ＝ .－ ＝[题型专练]1．设函数 f (x )＝(1＋x )2－2ln(1＋x )．(1) 求 f (x )的单调区间；(2) 当 0<a <2 时，求函数 g (x )＝f (x )－x 2－ax －1 在区间[0,3]上的最小值．[解] (1)f (x )的定义域为(－1，＋∞)． ∵f (x )＝(1＋x )2－2ln(1＋x )，x ∈(－1，＋∞)，∴f ′(x )＝2(1＋x ) 2 2x (x ＋2)1＋x x ＋1 由 f ′(x )>0，得 x >0；由 f ′(x )<0，得－1<x <0.∴函数 f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)． (2)由题意可知 g (x )＝(2－a )x －2ln(1＋x )(x >－1)， 则 g ′(x )＝2－a 2 1＋x ∵0<a <2，∴2－a >0，(2－a )x －a＝. 1＋x 令 g ′(x )＝0，得 x a，2－a ∴函数 g (x )在(0， a )上为减函数，在( a，＋∞)上为增函数．2－a 2－a①当 0< a，即 0<a <3[0,3]上， 2－a 时，在区间 2 g (x )在(0， a )上为减函数，在( a，3)上为增函数，2－a 2－a ∴g (x ) ＝g ( a )＝a －2ln 2mina ②当 ≥3 2－a 32－aa <2 时，g (x )在区间[0,3]上为减函数， 2－a ，即 ≤2∴g (x )min ＝g (3)＝6－3a －2ln4.<3 .综上所述，当 0<a <3 2时， g (x ) ＝a －2ln ； min2 2－a3当 ≤a <2 时，g (x )min ＝6－3a －2ln4. 2北京卷（19）（本小题 13 分）已知函数 f （x ）=e x cos x −x .（Ⅰ）求曲线 y = f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f （x ）在区间[0， π]上的最大值和最小值.2[0, ] [0, ] 0（19）（共 13 分）解：（Ⅰ）因为 f (x ) = e x cos x - x ，所以 f '(x ) = e x (cos x - sin x ) -1, f '(0) = 0 .又因为 f (0) = 1，所以曲线 y = f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为 y = 1.（Ⅱ）设 h (x ) = e x (cos x - sin x ) -1 ，则 h '(x ) = e x (cos x - sin x - sin x - cos x ) = -2e x sin x .当x ∈ π (0, ) 2时， h '(x ) < 0 ， 所以 h (x ) 在区间 π 2上单调递减.所以对任意 x ∈ π (0, ] 2有 h (x ) < h (0) = 0 ，即 f '(x ) < 0 . 所以函数 f (x ) 在区间 π 2上单调递减.因此 f (x ) 在区间[0, π] 上的最大值为 f (0) = 1，最小值为 f ( π) = - π.2 2 221.（12 分）已知函数 f (x ) = ax 3 - ax - x ln x , 且 f (x ) ≥ 0 .（1） 求 a ；（2） 证明： f (x ) 存在唯一的极大值点 x 0 ，且e -2 <f (x ) < 2-3.21.解：（1） f ( x ) 的定义域为(0，+∞)设 g (x ) = ax - a - lnx ，则 f (x ) = xg (x ) , f (x ) ≥ 0 等价于 g (x ) ≥ 0xx0 0因为 g (1) =0，g (x ) ≥ 0, 故g' (1) =0, 而g' (x ) = a - 1 , g' (1) =a - 1, 得a = 1若 a =1，则 g' (x ) = 1 - 1.当 0＜x ＜1 时， g' (x ) ＜0, g (x ) 单调递减；当 x ＞1 时， g' (x ) ＞0， g ( x ) 单调递增.所以 x=1 是g (x ) 的极小值点，故g (x ) ≥ g (1)=0综上，a=1（2）由（1）知f (x ) = x 2 - x - x l n x , f ' ( x ) = 2x - 2 - l n x设h (x )= 2x - 2 - l n x , 则 h ' ( x ) = 2 - 1x当x ∈ ⎛ 0, 1 ⎫ 时， h ' (x ) ＜0 ；当x ∈ ⎛ 1 , +∞⎫ 时， h ' (x ) ＞0 ，所以h (x ) 在⎛ 0, 1 ⎫ 单调递减，在⎛ 1 , +∞⎫ 单调递增 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 又h (e -2)＞⎛ 1 ⎫ ＜0, h (1) = 0 ，所以h (x ) 在⎛ 0, 1 ⎫ 有唯一零点 x 0，在⎡1 , +∞⎫ 有唯一零点 1，且当x ∈ (0, x ) 时， h (x ) ＞0 ；当x ∈ (x , 1) 时， 0, h 2 ⎪ 2 ⎪ ⎢ 2 ⎪ 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎣ ⎭h (x ) ＜0 ，当x ∈ (1, +∞) 时， h (x ) ＞0 .因为f ' (x ) = h (x ) ，所以 x=x 0 是 f(x)的唯一极大值点由f ' (x 0 ) = 0得l n x 0 = 2( x 0 - 1) , 故f (x 0 ) =x (0 1 - x 0 )由x ∈ (0, 1) 得f ' (x ) ＜ 14因为 x=x 0 是 f(x)在（0,1）的最大值点，由e -1∈ (0, 1) , f ' (e-1)≠ 0 得f (x ) ＞f (e-1)= e-2所以e -2＜f (x ) ＜2- 2题型二 利用导数研究方程的根、函数的零点或图象交点题型概览：研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中e 是自然对数的底数，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a<1 时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2 的零点个数，并说明理由．[审题程序]第一步：利用导数求函数的单调区间；第二步：简化g(x)＝0，构造新函数；第三步：求新函数的单调性及最值；第四步：确定结果．[规范解答] (1)因为f(x)＝(x＋a)e x，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝－a－1.当x 变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：x (－∞，－a－1) －a－1 (－a－1，＋∞)f′(x) －0 ＋f(x)故f((2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点．理由如下：由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程x e x－a＝x2，显然x＝0 为此方程的一个实数解，所以x＝0 是函数g(x)的一个零点．当x≠0 时，方程可化简为e x－a＝x.设函数F(x)＝e x－a－x，则F′(x)＝e x－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.当x 变化时，F(x)和F′(x)的变化情况如下：0 xx即 F (x )a )． 所以 F (x )的最小值 F (x )min ＝F (a )＝1－a . 因为 a <1，所以 F (x )min ＝F (a )＝1－a >0， 所以对于任意 x ∈R ，F (x )>0， 因此方程 e x －a ＝x 无实数解． 所以当 x ≠0 时，函数 g (x )不存在零点． 综上，函数 g (x )有且仅有一个零点．典例 321.（12 分）已知函数 f (x ) = ax 3 - ax - x ln x , 且 f (x ) ≥ 0 .（1） 求 a ；（2） 证明： f (x ) 存在唯一的极大值点 x 0 ，且e -2 <f (x ) < 2-3.21. 解：（1） f ( x ) 的定义域为(0，+∞)设 g (x ) = ax - a - lnx ，则 f (x ) = xg (x ) , f (x ) ≥ 0 等价于 g (x ) ≥ 0因为 g (1) =0，g (x ) ≥ 0, 故g' (1) =0, 而g' (x ) = a - 1 , g' (1) =a - 1, 得a = 1若 a =1，则 g' (x ) = 1 - 1.当 0＜x ＜1 时， g' (x ) ＜0, g (x ) 单调递减；当 x ＞1 时， g' (x ) ＞0， g ( x ) 单调递增.所以 x=1 是g (x ) 的极小值点，故g (x ) ≥ g (1)=0综上，a=1（2）由（1）知f (x ) = x 2 - x - x l n x , f ' ( x ) = 2x - 2 - l n x设h (x )= 2x - 2 - l n x , 则 h ' ( x ) = 2 - 1x当x ∈ ⎛ 0, 1 ⎫ 时， h ' (x ) ＜0 ；当x ∈ ⎛ 1 , +∞⎫ 时， h ' (x ) ＞0 ，所以h (x ) 在⎛ 0, 1 ⎫ 单调递减，在⎛ 1 , +∞⎫ 单调递增 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭0 0又h (e -2)＞⎛ 1 ⎫ ＜0, h (1) = 0 ，所以h (x ) 在⎛ 0, 1 ⎫ 有唯一零点 x 0，在⎡1 , +∞⎫有唯一零点 1，且当x ∈ (0, x ) 时， h (x ) ＞0 ；当x ∈ (x , 1) 时，0, h 2 ⎪ 2 ⎪ ⎢ 2 ⎪ 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎣ ⎭h (x ) ＜0 ，当x ∈ (1, +∞) 时， h (x ) ＞0 .因为f ' (x ) = h (x ) ，所以 x=x 0 是 f(x)的唯一极大值点由f ' (x 0 ) = 0得l n x 0 = 2( x 0 - 1) , 故f (x 0 ) =x (0 1 - x 0 )由x ∈ (0, 1) 得f ' (x ) ＜ 14因为 x=x 0 是 f(x)在（0,1）的最大值点，由e -1 ∈ (0, 1) , f ' (e-1)≠ 0 得f (x ) ＞f (e-1)= e-2所以e -2＜f (x ) ＜2- 2[解题反思] 在本例(1)中求 f (x )的单调区间的关键是准确求出 f ′(x )，注意到 e x >0 即可．(2)中由 g (x )＝0 得 x e x －a ＝x 2，解此方程易将 x 约去，从而产生丢解情况．研究 e x －a ＝x 的解转化为研究函数 F (x )＝e x －a －x 的最值，从而确定 F (x )零点，这种通过构造函数、研究函数的最值从而确定函数零点的题型是高考中热点题型，要熟练掌握．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]2．(2017·浙江金华期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(c－3a－2b)x＋d 的图象如图所示．(1)求c，d 的值；(2)若函数f(x)在x＝2 处的切线方程为3x＋y－11＝0，求函数f(x)的解析式；1(3)在(2)的条件下，函数y＝f(x)与y＝f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．3[解] 函数f(x)的导函数为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c－3a－2b.(1)由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f′(1)＝0，得E rr o r!解得E rr o r!(2)由(1)得，f(x)＝ax3＋bx2－(3a＋2b)x＋3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx－(3a＋2b)．由函数f(x)在x＝2 处的切线方程为3x＋y－11＝0，得E rr o r!所以E rr o r!解得E rr o r!所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋3.(3)由(2)知f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，所以f′(x)＝3x2－12x＋9.1函数y＝f(x)与y＝f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不同的交点，3等价于x3－6x2＋9x＋3＝(x2－4x＋3)＋5x＋m 有三个不等实根，等价于g(x)＝x3－7x2＋8x－m 的图象与x 轴有三个交点．因为g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，g(2)＝68－m，g(4)＝－16－m，3 27当且仅当E rr o r!时，g(x)图象与x 轴有三个交点，解得－16<m<68. 所以m 的取值范围为(－16，68).27 2721.（12 分）已知函数（f x)=a e2x+(a﹣2) e x﹣x.（1）讨论f (x) 的单调性；（2）若f (x) 有两个零点，求a 的取值范围.21.解：（1）f (x) 的定义域为(-∞, +∞) ，f '(x) = 2ae2x+ (a - 2)e x-1 = (ae x-1)(2e x+1) ，(十字相乘法)（ⅰ）若a ≤ 0 ，则f '(x) < 0 ，所以f (x) 在(-∞, +∞) 单调递减.（ⅱ）若 a > 0 ，则由 f '(x) = 0 得 x =-ln a .当x ∈(-∞, -ln a) 时，f '(x) < 0 ；当x ∈(-ln a, +∞) 时，f '(x) > 0 ，所以f (x) 在(-∞, -ln a) 单调递减，在(-ln a, +∞) 单调递增.110 0 0 0 3（2）（ⅰ）若 a ≤ 0 ，由（1）知， f (x ) 至多有一个零点.1 （ⅱ）若 a > 0 ，由（1）知，当 x = -ln a 时， f (x ) 取得最小值，最小值为 f (- ln a ) = 1- + ln a .（观察特殊值 1）a①当 a = 1 时，由于 f (-ln a ) = 0 ，故 f (x ) 只有一个零点；②当 a ∈ (1, +∞) 时，由于1-+ ln a > 0 ，即 f (-ln a ) > 0 ，故 f (x ) 没有零点； a③当 a ∈(0,1) 时，1- + ln a < 0 ，即 f (-ln a ) < 0 .a又 f (-2) = a e -4 + (a - 2)e -2 + 2 > -2e -2 + 2 > 0 ，故 f (x ) 在(-∞, -ln a ) 有一个零点.设正整数n 0 满足 n 0 > ln( a3-1) ，则 f (n ) = e n 0 (a e n 0 + a - 2) - n > e n 0 - n > 2n 0 - n > 0 .由于ln( a-1) > -ln a ，因此 f (x ) 在(-ln a , +∞) 有一个零点.综上， a 的取值范围为(0,1) .题型三 利用导数证明不等式题型概览：证明 f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以直接构造函数 F (x )＝f (x )－g (x )，如果 F ′(x )<0，则 F (x )在(a ，b )上是减函数， 同时若 F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有 F (x )<0，即证明了 f (x )<g (x )．有时需对不等式等价变形后间接构造．若上述方法通过导数不便于讨论 F ′(x )的符号，可考虑分别研究 f (x )、g (x )的单调性与最值情况，有时需对不等式进行等价转化．(2017·陕西西安三模)已知函数 f (x ) e x .(1) 求曲线 y ＝f (x )在点 P ( ＝ xe 2)处的切线方程；2， 2－ ＝ (x(2)证明：f (x )>2(x －ln x )． [审题程序]第一步：求 f ′(x )，写出在点 P 处的切线方程；第二步：直接构造 g (x )＝f (x )－2(x －ln x )，利用导数证明 g (x )min >0. [规范解答] (1)因为 f (x ) e x f ′(x )＝e x ·x －e xe x (x －1)，f ′(2) e 2 e 2，所以切线方 程为 ye 2 e2 2 4 ＝ ，所以 x －2)，即 e 2x －4y ＝0. ＝ x 2 x 2＝ 4 ，又切点为(2， 2 )(2) 证明：设函数 g (x )＝f (x )－2(x －ln x )e x2x ＋2ln x ，x ∈(0，＋∞)，则 g ′(x ) e x (x －1)－2 2＝ －x (e x －2x )(x －1)，x ∈(0，＋∞)．＝ ＋ ＝x 2 x x 2设 h (x )＝e x －2x ，x ∈(0，＋∞)，则 h ′(x )＝e x －2，令 h ′(x )＝0，则 x ＝ln2.当 x ∈(0，ln2)时，h ′(x )<0；当 x ∈(ln2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以 h (x )min ＝h (ln2)＝2－2ln2>0，故 h (x )＝e x －2x >0.令 g ′(x ) (e x－2x )(x －1)＝0，则 x ＝1.＝x 2当 x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当 x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.所以 g (x )min ＝g (1)＝e －2>0，故 g (x )＝f (x )－2(x －ln x )>0，从而有 f (x )>2(x －ln x )．[解题反思] 本例中(2)的证明方法是最常见的不等式证明方法之一，通过合理地构造新函数 g (x )．求 g (x ) 的最值来完成．在求 g (x )的最值过程中，需要探讨 g ′(x )的正负，而此时 g ′(x )的式子中有一项 e x －2x 的符号不易确定，这时可以单独拿出 e x －2x 这一项，再重新构造新函数 h (x )＝e x －2x (x >0)，考虑 h (x )的正负问题，此题看似简单，且不含任何参数，但需要两次构造函数求最值，同时在(2)中定义域也是易忽视的一个方向．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：＝[题型专练]3．(2017·福建漳州质检)已知函数 f (x )＝a e x －b ln x ，曲线 y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y ＝(1)x ＋1.(1)求 a ，b ； (2)证明：f (x )>0.[解] (1)函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)．e－1 f ′(x )＝a e x bf (1) 1f ′(1) 1 1，－ ，由题意得 ＝ ， ＝ － x e e所以E rr o r !解得E rr o r !(2)由(1)知 f (x ) 1 ·e x－ln x . e 2 因为 f ′(x )＝e x －2 1(0，＋∞)上单调递增，又 f ′(1)<0，f ′(2)>0，－ 在x＝ ＋ 2 20 0 0所以 f ′(x )＝0 在(0，＋∞)上有唯一实根 x 0，且 x 0∈(1,2)． 当 x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0，当 x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0， 从而当 x ＝x 0 时，f (x )取极小值，也是最小值．由 f ′(x )＝0，得 e x 0－2 1x －2＝－ln x .0 ＝ ， 则 0 0 x 0故 f (x )≥f (x )＝e x 0－2－ln x 1 x －2>2 1 ·x 0－2＝0，所以 f (x )>0. x 0 x 04、【2017 高考三卷】21．（12 分）已知函数 f (x ) =x ﹣1﹣a ln x ．（1）若 f (x ) ≥ 0 ，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，(1+ 1) ( 1+ 1) (1+ 2221) ﹤m ，求 m 的最小值． 2n 21.解：（1） f ( x ) 的定义域为(0，+∞) .f ⎛ 1 ⎫1①若a ≤ 0 ，因为 ⎪ =- +a ln 2＜0，所以不满足题意；⎝ ⎭ ②若a ＞0，由 f ' ( x ) = 1- a = x - a知，当x ∈(0,a ) 时， f ' ( x )＜0 ；当 x ∈(a ，+∞) 时， f ' ( x )＞0 ，所以 f ( x ) 在(0,a ) 单调递减，x x在(a ，+∞) 单调递增，故 x=a 是 f ( x ) 在 x ∈(0，+∞) 的唯一最小值点. 由于 f (1) = 0 ，所以当且仅当 a =1 时， f ( x ) ≥ 0.故 a =1（2）由（1）知当 x ∈(1，+∞) 时， x -1- ln x ＞0令 x =1+ 1 得ln ⎛1+ 1 ⎫＜ 1，从而 2n 2n ⎪ 2n ⎝⎭ln ⎛1+ 1 ⎫+ln ⎛1+ 1 ⎫+⋅⋅⋅+ln ⎛1+ 1 ⎫＜1 + 1 +⋅⋅⋅+ 1 =1-1＜12 ⎪ 22 ⎪ 2n ⎪ 2 22 2n 2n ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭故⎛1+ 1 ⎫⎛1+ 1 ⎫ ⋅⋅⋅⎛1+ 1 ⎫＜e2 ⎪ 22 ⎪ 2n⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭而⎛1+ 1 ⎫⎛1+ 1 ⎫⎛1+ 1 ⎫＞2 ，所以 m 的最小值为 3. 2 ⎪ 22 ⎪ 23 ⎪ ⎝⎭⎝ ⎭⎝ ⎭21．（12 分）已知函数f (x) =ln x+ax2+(2a+1)x．（1）讨论f (x) 的单调性；（2）当 a﹤0 时，证明 f (x) ≤-34a- 2 ．【答案】（1）当a ≥ 0 时， f (x) 在(0,+∞) 单调递增；当 a < 0 时，则 f (x) 在(0,-1) 单调递增，在(-2a1,+∞) 单调递减；（2）详见解析2a题型四利用导数研究恒成立问题题型概览：已知不等式恒成立求参数取值范围，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；若参数不便于分离，或分离以后不便于求解，则考虑直接构造函数法，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．，对∀ ＝ 0<x < ；由E rr o r !得 x > .，则 ln x1 2 1 2已知函数 f (x ) 1ln x －mx ，g (x )＝x a(a >0)．＝ － 2 x(1) 求函数 f (x )的单调区间； (2) 若 m ＝1x ，x ∈[2,2e 2]都有 g (x )≥f (x )成立，求实数 a 的取值范围． 2e 2[审题程序]第一步：利用导数判断 f (x )的单调性，对 m 分类讨论；第二步：对不等式进行等价转化，将 g (x 1)≥f (x 2)转化为 g (x )min ≥f (x )max ； 第三步：求函数的导数并判断其单调性进而求极值(最值)； 第四步：确定结果．[规范解答] (1)f (x ) 1ln x －mx ，x >0，所以f ′(x ) 1m ，＝ ＝ － 2 2x当 m ≤0 时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当 m >0 时，由 f ′(0)＝0 得 x 1 ；由E rr o r !得 1 12m 2m 2m 综上所述，当 m ≤0 时，f ′(x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当 m >0 时，f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为( 1，＋∞).2m 2m(2)若 m ＝1f (x )＝1 － 1x . 2e 2 2 2e 2对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有 g (x 1)≥f (x 2)成立， 等价于对∀x ∈[2,2e 2]都有 g (x )min ≥f (x )max ，由(1)知在[2,2e 2]上 f (x )的最大值为 f (e 2) 1＝ ， 2＋g ′(x )＝1 a >0(a >0)，x ∈[2,2e 2]，函数 g (x )在[2,2e 2]上是增函数，g (x ) ＝g (2)＝2 a2 a 1 a ≤3，min － ， 由 － ≥ ， 得 x2 又 a >0，所以 a ∈(0,3]，所以实数 a 的取值范围为(0,3]．2 2 2[解题反思] 本例(1)的解答中要注意 f (x )的定义域，(2)中问题的关键在于准确转化为两个函数 f (x )、g (x )的最值问题．本题中，∀x 1，x 2 有 g (x 1)≥f (x 2)⇔g (x )min ≥f (x )max .若改为：∃x 1，∀x 2 都有 g (x 1)≥f (x 2)，则有 g (x )max ≥f (x )max .若改为：∀x 1，∃x 2 都有 g (x 1)≥g (x 2)，则有 g (x )min ≥f (x )min 要仔细体会，转化准确．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]4．已知 f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1) 对一切 x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)证明：对一切 x ∈(0，＋∞)，ln x > 1 e x 2－ 恒成立．e x[解] (1)由题意知 2x ln x ≥－x 2＋ax －3 对一切 x ∈(0，＋∞)恒成立， 则 a ≤2ln x ＋x 3，x 设 h (x )＝2ln x ＋x ＋3，(x >0) x＋e＝ － (x则 h ′(x ) (x ＋3)(x －1)，＝x 2①当 x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，②当 x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以 h (x )min ＝h (1)＝4，对一切 x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以 a ≤h (x )min ＝4.即实数 a 的取值范围是(－∞，4]．(2) 证明：问题等价于证明 x ln x > x －2∈(0，＋∞))．e x e 又f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1，当 x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当 x ∈(1 )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以 f (x ) ＝f (1)1.，＋∞emin ＝－ e e设 m (x ) x 2∈(0，＋∞))，e x则 m ′(x ) e1－x ，＝易知 m (x ) e x＝m (1) 1max ＝－ ，e从而对一切 x ∈(0，＋∞)，ln x > 1 e x 2－ 恒成立．e x②当 x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以 h (x )min ＝h (1)＝4，对一切 x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以 a ≤h (x )min ＝4.即实数 a 的取值范围是(－∞，4]．题型五：二阶导主要用于求函数的取值范围23．(12 分)已知函数 f （x ）=（x+1）lnx ﹣a （x ﹣1）．(x（I）当a=4 时，求曲线 y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a 的取值范围．【解答】解：（I）当a=4 时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）． f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，即函数的切线斜率 k=f′（1）=﹣2，则曲线 y=f（x）在（1，0）处的切线方程为 y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=1++lnx﹣a，∴f″（x）=，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；②a＞2，存在 x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数 f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由 f（1）=0，可得存在 x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．23．(12 分)已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a=4 时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a 的取值范围．【解答】解：（I）当a=4 时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=1++lnx﹣a，∴f″（x）= ，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．题型六：求含参数求知范围此类问题一般分为两类：一、也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.此法适用于方便分离参数并可求出函数最大值与最小值的情况，若题中涉及多个未知参量需分离出具有明确定义域的参量函数求出取值范围并进行消参，由多参数降为单参在求出参数取值范围。

ln x 1.导数应用之函数单调性题组 1：1.求函数f ( x) =x3 - 3x2 - 9x +12 的单调区间.2.求函数f ( x) =x2 - 3x + ln x 的单调区间.3.求函数f ( x) =x2 + 3x - ln x 的单调区间.4.求函数f ( x) =1x ln x的单调区间.5.求函数f (x) =- ln x + ln(x +1) 的单调区间.1+x题组 2：1.讨论函数f (x) =1x4+1ax3-a2x2+a4 (a > 0) 的单调区间.4 32.讨论函数f ( x) =x3+ 3ax2- 9x -12 的单调区间.3.求函数f ( x) =1mx3 - (2 +m)x2 + 4x + 1 (m > 0) 的单调递增区间.3 24.讨论函数f (x) = (a +1) ln x +ax 2+1的单调性.5.讨论函数f (x) = ln x -ax +1-a-1 的单调性. x题组 3：1.设函数f (x) =x3+ax2+x +1.(1)讨论函数f (x) 的单调区间；2 1(2)设函数f (x) 在区间(- ，-)内是减函数,求a 的取值范围．3 32.(1)已知函数f (x) =ax2+x + ln x 在区间(1, 3) 上单调递增,求实数a 的取值范围.(a>=-2/9)(2)已知函数f (x) =ax2+x + ln x 在区间(1, 3) 上单调递减,求实数a 的取值范围.(a<=-1)3.已知函数f (x) = (x3+ 3x2+ax +b)e-x.(1)若a =b =-3 ,求f (x) 的单调区间；(2)若f (x) 在(-∞,),(2,) 单调递增,在(, 2),(, +∞) 单调递减,证明: -< 6 .4.设函数f (x) =x3+ax2-a2x +1 , g(x) =ax2- 2x +1 ,(1)若a > 0 ,求函数f (x) 的单调区间；(2)若f (x) 与g(x) 在区间(a, a + 2) 内均为增函数,求a 的取值范围．2.导数应用之极值与最值1.设函数f (x) =x2e x-1+ax3+bx2,且x =-2 和x =1 均为f (x) 的极值点．(1)求a ,b 的值,并讨论f (x) 的单调性；(2)设g(x) =2x3-x2,试比较f (x) 与g(x) 的大小．32.设函数f (x) =x2 (x -a) .(1)若f '(1) = 3 ,求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；(2)求函数y = f (x) 在区间[0,2]上的最大值.3.设函数f (x) =ax3- 3x 2．(1)若x = 2 是函数y = f (x) 的极值点,求a 的值；(2)若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0，2],在x=0处取得最大值,求a 的取值范围．4.已知函数f (x) =1x3+x2- 2 . 3(1)设S 是正项数列{a }的前n 项和, a = 3,且点(a , a2-2a ) 在函数y = f '(x) 的图象上,求证:点n(n, Sn ) 也在y =n 1f '(x) 的图象上；n n+1 n+1(2)求函数f (x) 在区间(a -1, a) 内的极值.5.设函数f (x) =ax3+bx2- 3a2x +1在x =x ,x =x 处取得极值,且x -x = 2 ．1 2 1 2(1)若a =1 ,求b 的值,及函数f (x) 的单调区间；(2)若a > 0 ,求实数b 的取值范围．6.设函数f (x) =1ax3-bx2+ (2 -b)x +1 在x 处取得极大值,在x 处取得极小值,且0 <x <1 <x < 2 .3 1 2 1 2证明: a > 0 ,并求a + 2b 的取值范围.7.已知x =1 是函数f (x) =1ax3-3x2+ (a +1)x + 5 的一个极值点, 3 2(1)求函数f (x) 的解析式；(2)若y =f (x) 的图像与直线y = 2x +m 有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.8.已知x = 3 是函数f (x) =a ln(1+x) +x2-10x 的一个极值点.(1)求f (x) 的解析式及其单调区间；(2)若直线y =b 与曲线y = f (x) 有三个交点,求b 的取值范围.9.设函数f (x) =x4+ax3+ 2x2+b(x ∈R) ．(1)若函数f (x) 仅在x = 0 处有极值,求a 的取值范围；(2)若对于任意的a∈[-2，2],不等式f (x) ≤1在[-1，1]上恒成立,求b的取值范围．10.设x = 3 是函数f (x) = (x2+ax +b)e3-x的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数f (x) 的单调区间；(2)设a > 0 ,g(x) = (a2+25)e x.若存在x , x ∈[0, 4],使f (x ) -g(x ) < 1总成立,求a 的取值范围.4 1 2 1 211.已知函数f (x) = kx +1x2+c(c > 0 且c ≠ 1)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x =-c ．(1)求函数f (x) 的另一个极值点；(2)求函数f (x) 的极大值M 和极小值m ,并求M -m ≥1 时k 的取值范围．12.设函数f (x) =ax3+bx2+cx +d 的图像∏上有两个极值点P, Q ,其中P 为坐标原点,(1)当点Q 的坐标为(1, 2) 时,求f (x) 的解析式；(2)当点Q 在线段x +y - 5 = 0 (1 ≤x ≤ 3) 上时,求曲线∏的切线斜率的最大值.13.导数应用之函数的零点题组 1：1. 函数 f (x ) = 3x - x 2 在区间[-1, 0] 内有没有零点？为什么？2. 函数 f (x ) = 2x + 3x 的零点所在的一个区间是【】.A. (-2, -1)B. (-1, 0)C. (0,1)D. (1, 2)3. 函数 f (x ) 的零点与 g (x ) = 4x + 2x - 2 的零点之差的绝对值不超过0.25 ,则 f (x ) 可以是【】.A. f (x ) = e x -1C. f (x ) = (x -1)2B. f (x ) = 4x -1D. f (x ) = ln(x - )24. 若2 < a < 3 < b < 4 ,且函数 f (x ) = log a x + x - b 的零点 x 0 ∈(n , n +1) (n ∈ Z ) ,则 n = 【】.A.1B. 2C. 3D. 4题组2：5. 设函数 y =f (x ) 的图像在[a , b ] 上连续,若满足,则方程 f (x ) = 0 在[a , b ] 上有实根.6. 已知 x 是函数 f (x ) = 2x +1的一个零点.若 x ∈(1, x ) , x ∈(x , +∞) ,则【 】.1- x1 02 0A. f (x 1) < 0 , f (x 2 ) < 0C. f (x 1) > 0 , f (x 2 ) < 01B. f (x 1) < 0 , f (x 2 ) > 0D. f (x 1) > 0 , f (x 2 ) > 0 7. 函数 f ( x ) = x +的零点个数为.x8.求证:函数 f (x ) = x 2 - 2 -题组 3：3x -1在区间(0, 2) 内没有零点.9. 函数 f ( x ) = x + log 2 x 在区间(0,1) 内是否有零点？为什么？10. 求证:函数 f (x ) = x 4 - 2x -1在区间[-1, 2] 内至少有两个零点.11. 求证:函数 f (x ) = (x - 3)(x - 8) -1有且只有两个零点.12. 求证:函数 f (x ) = ln x - x 2 + x +1有且只有两个零点.13. 设函数 f (x ) = ax 2+ bx + c ,若 f (1) > 0 , f (2) < 0 ,则 f (x ) 在区间(1,2) 上的零点个数为【 】.n1 A.至多有一个 B.有且只有一个 C.有一个或两个 D.一个也没有14.设 m ∈(1, +∞) ,求证:函数 f (x ) = x - ln(x + m ) 有且只有两个零点.15.判断函数 f (x ) = x 2 - lg x 在区间(0,10) 内的零点个数,并说明理由.题组 4：16.设函数 f (x ) = x n + x -1 (n ∈ N *, n ≥ 2) . 1(1)证明: f n (x ) 在区间( 2 ,1) 内存在唯一的零点；1(2) 设 x n 是 f n (x ) 在( 2,1) 内的零点,判断数列 x 2 , x 3 , , x n 的增减性．17. 设函数 f (x ) = x 2 - (a - 2)x - a ln x ．(2) 若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程 f (x ) = c 有两个不等实根 x 1 , x 2 ,求证: f '(x 1 + x 2 ) > 0 ．218. 设函数 f (x ) = 2 l n x + mx - x 2有两个零点 x , x ,求证: f '( x 1 + x 2 ) < 0 .219. 设函数 f (x ) = ln x - ax 有两个零点 x , x ,求证: x x> e 2 .121 220. 记函数 f 2 n (x ) = +x + x + + x(n ∈ N ) ,求证:当 为偶数时,方程 f (x ) = 0 没有实数根；n11! 2!n ! +nn当 n 为奇数时,方程 f n (x ) = 0 有唯一实数根 x n ,且 x n +2 < x n .xx 2 x 3 x n21.设函数 f n ( x ) = -1 + 12 + 22 + 32 + + n2 ( x ∈ R , n ∈ N + ) ,2(1) 证明:对每个n ∈ N + ,存在唯一的 x n ∈[ 3,1] ,满足 f n ( x n ) = 0 ；1 (2) 证明:对任意 p ∈ N + ,由(1)中 x n 构成的数列{x n }满足0 < x n - x n + p <n.24.导数应用之图像的切线题组 1：1.求平行于直线9x -y +1= 0 ,且与曲线y =x3+ 3x2-1相切的直线方程.2.求垂直于直线x - 3y + 2 = 0 ,且与曲线y =x3+ 3x2-1相切的直线方程.3.求与直线3x -y + 2 = 0 夹角为45︒,且与抛物线y = 2x2相切的直线方程.4.设函数f(x)=sin x图像上动点P处切线的倾斜角为,求的取值范围.题组 2：5.求函数f ( x) = 2x3的图像C 在点P(1, 2) 处的切线l 方程,以及曲线C 与切线l 的所有交点坐标.6.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1, 2) 的切线方程.7.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1,10) 的切线方程.8.求经过坐标原点,且与函数f (x) = x +9x +5的图像相切的直线方程.9.设函数f (x) =ax -bx,曲线C : y = f (x) 在点(2，f (2)) 处的切线为7x - 4 y -12 = 0 ．(1)求函数f (x) 的解析式；(2)求证:曲线C 上任意一点处的切线与直线y =x ,以及y 轴所围成三角形的面积为定值.10.已知直线2x +y - 3 + ln 2 = 0 是函数f (x) = ln x +(1)求f (x) 的解析式；m的图像C 的一条切线. x(2)若P(s, t) 是曲线C 上的动点,求曲线C 在点P 处的切线纵截距的最小值.题组 3：11.已知直线y =x 是函数f ( x) =x3 - 3x2 +ax -1图像的一条切线,求实数a 的值.12.已知a > 0 ,且过点P(a, b) 可作函数f (x) =x3-x 图像的三条切线,证明: -a <b < f (a) .13.设函数f (x) =1x3-1ax2+bx +c (a > 0) 的图像C 在点P(0, f (0)) 处的切线为y =1.3 2(1)确定b, c 的值；(2)设曲线C 在A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 处的切线都过Q(0, 2) ,证明:若x1 ≠x2 ,则f '(x1 ) ≠f '(x2 ) ；(3)若过点Q(0, 2) 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.14.已知函数f (x) =1x3+1ax2+bx 在区间[-1，1),(1，3]内各有一个极值点．3 2(1)求a2- 4b 的最大值；(2)当a2-4b =8 时,设曲线C :y = f (x) 在点A(1，f (1)) 处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求f (x) 的表达式．15.由坐标原点O(0,0) 向曲线y =x3- 3x 2+x 引切线,切于不同于点O 的点P ( x , y ) ,再由P 引切1 1 1 1线切于不同于P1的点P2( x2, y2) ,如此继续下去……,得到点Pn( xn, yn) ,求xn+1与xn的关系,及xn的表达式.巩固练习：1.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1, -8) 的切线方程.2.求函数f (x) = x +3x2+31的图像经过点P(3, ) 的切线方程.23. 如图,从点 P (0, 0) 作 x 轴的垂线交于曲线 y = e x于点Q (0, 1) ,11曲线在Q 1 点处的切线与 x 轴交与点 P 2 ；再从 P 2 作 x 轴的垂线交曲线于点Q 2 ,依次重复上述过程得到一系列的点: P 1 , Q 1 , P 2 , Q 2 ,…, P n , Q n ,记点 P k 的坐标为 P k ( x k , 0) (k = 1, 2,3, , n ) . (1)求 x k +1 与 x k 之间的等量关系；(2) 求 P 1Q 1 + P 2Q 2 + P 3Q 3 +... + P n Q n .5.导数应用之存在与任意a 1.已知函数 f (x ) = x + +b (x ≠ 0) ,其中 a , b ∈ R ．x(1) 若曲线 f (x ) 在点 P (2, f (2)) 处的切线方程为 y = 3x +1,求函数 f (x ) 的解析式；1 1(2) 若对于任意的 a ∈[ , 2] ,不等式 f (x ) ≤ 10 在 x ∈[ ,1] 恒成立,求b 的取值范围．2 42.已知函数 f (x ) = (1+ x )2 - 2ln(1+ x ).(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若 f (x ) < m 对 x ∈[e -1 -1,e -1]恒成立,求m 的取值范围；3. 设函数 f (x ) =1 .x ln x1(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若 2 x> x a 对 x ∈(0,1) 恒成立,求 a 的取值范围.4. 已知函数 f (x ) = ln 2(x +1) -x 2. x +1(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若(1+ 1)n +α ≤ e 对n ∈ N n+都成立,求α 的最大值.5. 设函数 f (x ) = x (e x -1) - ax 2 .1(1)若 a =,求 f (x ) 的单调区间； (2)若当 x ≥ 0 时, f (x ) ≥ 0 ,求 a 的取值范围.26. 设函数 f (x ) = e x - ax 2 - x .(1)若 a = 0 ,求 f (x ) 的最小值；(2)若当 x ≥ 0 时, f (x ) ≥ 1恒成立,求 a 的取值范围.7. 设函数 f ( x ) = e x - ax 的图象与 y 轴交于点 A ,曲线 y = f ( x ) 在点 A 处的切线斜率为-1.(1) 求 f ( x ) 的极值；(2) 证明:当 x > 0 时, x 2 < e x ；(3) 证明:对任意给定的正数c ,总存在 x ,使得当 x ∈(x ，+∞) ,恒有 x 2 < ce x . 8.设函数 f ( x ) = ax + cos x ,(1) 讨论函数 f (x ) 在区间[0,] 内的单调性；(2) 若 f (x ) ≤ 1+ sin x 对 x ∈[0,]恒成立,求实数 a 的取值范围.9. 设函数 f (x ) = x cos x - sin x , x ∈[0, ].2(1)求证: f (x ) ≤ 0 ；sin x(2)若 a < < b 对 x ∈(0, ) 恒成立,求 a 的最大值与b 的最小值.x 210. 已知函数 f (x ) = (a + 1) ln x + ax 2+ 1,(1)讨论函数 f (x ) 的单调性；(2)设 a < -1,且对任意的 x 1 , x 2 ∈ (0,+∞) ,都有| f (x 1 ) - f (x 2 ) ≥ 4 | x 1 - x 2 | ,求 a 的取值范围.11. 已知 x = 3 是函数 f (x ) = (x 2 + ax + b )e 3-x 的一个极值点.(1)求 a 与b 的关系式(用 a 表示b ),并求函数 f (x ) 的单调区间；(2)设 a > 0 , g (x ) = (a 2 +25)e x.若存在 x , x ∈[0, 4],使得 f (x ) - g (x ) < 1成立,求 a 的取值范围.41 2 1 212.已知函数 f (x ) = ax 3 + 1x 2 cos - 2x + c 的图像过点(1,37) ,且在[-2,1] 上递减,在[1, +∞) 上递增. 26(1) 求 f (x ) 的解析式；45 1 1 2 2 1 1 2 2 (2) 若对任意的 x , x ∈[m , m + 3] 都有 f (x ) - f (x ) ≤ 成立,求正实数 m 的取值范围.1212213.设函数 f (x ) = 1 mx 3 - (2 +m )x 2 + 4x + 1, g (x ) = mx + 5 .32(1) 当m > 0 时,求函数 f (x ) 的递增区间；(2) 是否存在负实数 m ,使得对任意的 x 1, x 2 ∈[1, 2],都有 g (x 1 ) - f (x 2 ) ≤ 1？若存在,求 m 的范围；若不存在,请说明理由.6.导数应用之极值点偏移1.(1)设不同的两点 A (x , y ), B (x , y ) 均在二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c ( abc ≠ 0 )的图像上,记直线 AB的斜率为 k ,求证: k =f '(x 1 + x 2) ； 2(2)设不同的两点 A (x , y ), B (x , y ) 均在“伪二次函数” g (x ) = ax 2+ bx + c ln x (abc ≠ 0 )的图像上,记 直线 AB 的斜率为 k ,试问: k = g '(x 1 + x 2 ) 还成立吗？22.设函数 f (x ) = ax 2 + (1 - 2a )x - ln x (a ∈ R ) ．(1) 当 a > 0 时,求函数 f (x ) 的单调递增区间；(2) 记函数 y = f (x ) 的图像为曲线C ,设 A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) 是曲线C 上不同的两点, M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线C 于点 N ．试问:曲线C 在点 N 处的切线是否平行于直线 AB ？3. 设函数 f (x ) = x 2 - (a - 2)x - a ln x ．(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2) 若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程 f (x ) = c 有两个不等实根 x 1 , x 2 ,求证: f '(x 1 + x 2 ) > 0 ．24.设函数f (x) = 2 ln x +mx -x2.(1)若曲线y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为y = 2x +n ,求实数m, n 的值；f (a) -f (b)>-2 ；(2)若m >-4 ,求证:当a >b > 0 时,有a2-b2(3)若函数f (x) 有两个零点x1 , x2 (x1 <x2 ) ,且x0 是x1 , x2 的等差中项,求证: f '(x0 ) < 0 .5.设函数f (x) = ln x -ax 有两个零点x ,x ,求证: x x >e2.1 2 1 26.设函数f ( x) =e x-ax +a 的两个零点为x ,x ,求证: x x <x +x .1 2 1 2 1 27.设函数f (x) =e x-ax ,其中a >e ,(1)求证:函数f (x) 有且仅有两个零点x1 ,x2 ,且0 <x1 < 1 <x2 ；(2)对于(1)中的x1 , x2 ,求证: f '(x1 ) +f '(x2 ) > 0 .1 8. 设函数 f (x ) = e x + mx 的图像在点 P (0, f (0)) 处的切线方程为 2x - y +1 = 0 ,求证:对满足 a < b < c 的实数 a , b , c ,都有 f (b ) - f (a ) < f (c ) - f (b )成立.b - ac - b7.导数应用之不等式证明(1)1 1 11.证明:对任意的n ∈ N + ,都有ln( n + 1) > n 2 - n3 .2.已知 m , n ∈ N + ,且1 < m < n ,求证: (1+ m )n > (1+ n )m .3. 设函数 f (x ) =+ a ln(x -1), （1- x )n(1) 当 n = 2 时,求函数 f (x ) 的极值；(2) 当 a = 1 时,证明:对任意的n ∈ N + ,当 x ≥ 2 时,都有 f (x ) ≤ x -1.4. 已知函数 f (x ) = e x - a ln(x +1) -1 在点 P (0, f (0)) 处的切线垂直于 y 轴,(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2)当 m > n > 0 时,求证: e m -n -1 > ln(m +1) - ln(n +1) .n n +2 n n +15. 设函数 f (x ) = xex,且 f 1 (x ) =f '(x ) , fn +1 (x ) = f n '(x ) (n ∈ N + ) .(1)求 f 1 (x ) , f 2 (x ) , f 3 (x ) , f n (x ) 的解析式；(2)求证:对任意的实数 a , b ,以及任意的正整数 n ,都有 f 2n (a ) - f 2n -1 (b ) <f (n ) .6. 设函数 f (x ) = mx - x ln x 在 x = 1 处取得极值,数列{a }满足e -1 < a < 1 , a= f (a ) (n ∈ N + ) .n1n +1n(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2) 求证:对任意的 n ∈ N * ,都有e -1 < a <1；(3) 求证:对任意的 n ∈ N * ,都有 a + a < 2a .7. 记函数 f 2 n (x ) = +x + x + + x(n ∈ N ) ,求证:当 为偶数时,方程 f (x ) = 0 没有实数根；当n11! 2!n !+nnn为奇数时,方程 f n (x ) = 0 有唯一实数根 x n ,且 x n +2 < x n .xx 2 x 3 x n8.设函数 f n ( x ) = -1 + 12 + 22 + 32 + + n2 ( x ∈ R , n ∈ N + ) ,2(1) 证明:对每个n ∈ N + ,存在唯一的 x n ∈[ 3,1] ,满足 f n ( x n ) = 0 ；1 (2) 证明:对任意 p ∈ N + ,由(1)中 x n 构成的数列{x n }满足0 < x n - x n + p <n.8.导数应用之不等式证明(2)1. 设函数 f (x ) =1- x + ln x .ax(1) 若函数 f (x ) 在[1,+∞) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围； (2) 当 a = 1 时,求证:对大于1的任意正整数 n ,都有ln n >1 + 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1 .234 n2. 设函数 f (x ) = x - ln(x + a ) 的最小值为0 ,其中 a >0 .(1) 若对任意的 x ∈[0,+∞) ,有 f (x ) ≤ kx 2 成立,求实数 k 的最小值； (2) 证明:对大于1的任意正整数 n ,都有1 + 3 1+ + 51 < 2n -1 1 ln(2n +1) .23. 设函数 f (x ) = kx 2 , g (x ) = ln x ,(1) 讨论关于 x 的方程 f (x ) = g (x ) 在区间[e -1, e ] 内的实数根的个数；ln1 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1(2) 求证:对任意的正整数 n ,都有 14 + + 24 34 + 44 + + n 4 < 2e.e 1 1 1 14. 设函数 f ( x ) = x - a ln(1 + x 2 ) ,1 2(1) 若函数 f ( x ) 在区间( , ) 上递增,求实数a 的取值范围；3 3(2)证明:当 x > 0 时, ln(1+ x 2 ) < x ；(3)证明:对大于1的任意正整数 n ,都有(1 +14 )(1 + 24 )(1 + 34 ) (1 + n4 ) < 2e .5.设函数 f (x ) =2x,其中 f (1) = 1 , f ( 1 ) = 2 .在数列{x }中, x = 1,且 x= f (x ) .ax + b(1) 求数列{x n }的通项 x n .2 3n1 12n +1n(2) 求证:对任意的正整数n ,都有 x 1x 2 x 3 x n >2e.6. 设函数 f (x ) = e x - ax -1 ,(1) 若 f (x ) ≥ 0 对 x ∈ R 均成立,求正实数 a 的取值集合；(2)求证:对任意的正整数 n ,都有( 1 )n + ( 2)n + ( 3)n + + ( n )n <e.nn n n e -17. 设函数 f ( x ) = e x - x - 1 ,(1) 求证:函数 f (x ) 有且只有一个零点；1 n 3 n 5 n 2n - 1 n(2) 求证:对任意的正整数 n ,都有( ) 2n + ( ) 2n + ( ) 2n + + ( 2n) < .e - 1k k 1 1 2 2 n n 1 2 1 2 n8.(1)设函数 f (x ) = rx - x r +1- r (x > 0) ,其中0 < r < 1.求函数 f (x ) 的最小值；(2) 用(1)的结果证明命题:设 a ≥ 0 , a ≥ 0 , b , b 为正实数,若b + b = 1,则 a b 1 a b 2 ≤ a b + a b ；121212121 12 2(3) 请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.9.(1)求函数 f (x ) = ln x - x + 1的最大值；(2) 设a , b 均为正实数,证明:若a b + a b+ + a b ≤ b + b + + b ,则a b 1 a b 2 a b n ≤ 1 ；(3) 设a , b 均为正实数,证明:若b + b + + b = 1 ,则 1 ≤ b b b b b b ≤ b 2 + b 2 + + b 2 . k k 1 2 1 2 n n1 2 nn 1 2 nn。

【最新】《函数与导数》专题解析一、选择题1．已知函数()2100ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（ ）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数． 【详解】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.2．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x'->，则关于x 的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．()3,6B ．()0,3C ．()0,6D ．()6,+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，构造函数3()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】解：Q 3(1)(3)(3)03x f x f ---<，3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<， 3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，3x ∴<，令3()()g x x f x =，∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），即为(3)g x g -<（3），323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，Q()()3f x f x x'->， ()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>，32()3()0x f x x f x ∴+>，()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，又因为由上可知(3)g x g -<（3）， 33x ∴-<，3x <Q ， 36x ∴<<．故选：A ． 【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．3．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案． 【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．4．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+【答案】D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.5．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a的取值范围为（ ） A ．11,27⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．()1,+?C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<. 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.6．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】 令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-，即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A 【点睛】本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.7．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．56【答案】A 【解析】曲线2y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2y x=与直线y x =所围成的封闭图形的面积为()1223100111|236x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A.8．36ax ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式3ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.9．已知函数()2f x x x =+，且()1231lnlog 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】由函数()2f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数()2f x x x =+，满足()()22()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，又当0x ≥时，()2f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，又由31ln 22<=，113222log log 1<=-，1122-=，根据对称性，可得11323(ln )(2)(log )2f f f -<<，即a c b <<，故选A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．11．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()221f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．2t ≥或2t ≤-或0t = D ．12t ≥或12t ≤-或0t =【答案】C 【解析】 【分析】()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，,不等式()221f x t at ≤--成立,只需对于[]11a ∀∈-，,()2121f t at -≤--即可.【详解】∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =， ∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，又∵[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()221f x t at ≤--成立，∴()22111t at f --≥-=-，即220t at -≥， ①0t =时，不等式成立；②0t >时，()2220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥；③0t <时，()2220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤-故选：C.本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.12．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.13．若函数f （x ）=()x 1222a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．()5,∞-+ B ．[)5,∞-+ C ．(),5∞-- D ．(],5∞-- 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解. 【详解】由题()xf x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+()()12f x log x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以4a 1+≥-，解a 5≥-. 故选B. 【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.14．函数()3ln xf x x =的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0xf x x=>，排除CD ，得到答案. 【详解】()()()33ln ln ,x x f x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A 【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.15．已知函数()ln xf x x=，则使ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（ ） A ．(0,1) B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】令()ln xt f x x==，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln ta t=在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】 令()ln x t f x x ==，当01x <<时，()0ln xt f x x==<， 当1x >时，()2ln 1()ln x t f x x -''==，当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>， 所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥， 如图所示：所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t a t =在[),e +∞上只有一解， 令ln t m t =，21ln 0t m t -'=≤，所以ln t m t=在[),e +∞上递减， 所以10m e<≤， 所以10a e <≤，当1a e =时，x e =，只有一个零点，不合题意， 所以10a e<<故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．()263,034,0x x x x f x x ⎧---≤=⎨->⎩，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．7【答案】D【解析】【分析】作出()f x 的图像，将()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数，令()t f x =，解()0f t =有三个实数根，再结合图像即可得到答案.【详解】由题意，()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数，作()f x 的图像如图所示，设()t f x =，则()0f t =，当0t ≤时，即2630t t ---=，解得，1236,36t t =-=-当0t >时，即340t -=，解得33log 4t =； 结合图像知，()36f x =-()36f x =-+3()log 4f x =时有三个根，所以()0f f x =⎡⎤⎣⎦有7个根，即()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为7. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生数形结合的思想，属于中档题.17．若函数()()sin x f x ex a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)1,+∞C ．()1,+∞D ．()2,-+∞ 【答案】B【解析】【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化204x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(2124x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4x x x f x e x a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭ ()f x Q 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e > 04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ sin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ (14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭ 10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.18．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（ ）A ．x -y ＝0B ．x -y -2＝0C ．x +y -2＝0D ．3x -y -2＝0【答案】A【解析】【分析】先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案.【详解】当0x >时，0x -<，2()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以2()ln f x x x =-，(1)1f =，所以'1()2f x x x=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =. 故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.19．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1B ．13C ．23D ．12【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，曲线21x y e-=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-， 所以曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，令0y =，解得1x =，令y x =，解得23x y ==， 所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为1211233⨯⨯=，故选B ． 【点睛】 本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）A ．()()2019202020202019f f >B ．()()20192020f f >C ．()()2019202020202019f f <D ．()()20192020f f < 【答案】A【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.【详解】令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x '-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A.【点睛】 本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.。

高三《函数与导数解答题》1. 已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+-（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； 解：（1）'()=ln 1f x x +由'()0f x =得1x e=当'1(0,),()0,()x f x f x e ∈<时单调递减；当'1(+),()0,()x f x f x e∈∞>，时单调递增；min 11()()f x f e e==-（2）232ln 3,2ln x x x ax a x x x≥-+-≤++则设'23(3)(1)()2ln (0),()x x h x x x x x x x +-=++>=则h① (0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减， ② (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增，所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立， 所以min ()4a h x ≤=2. 已知函数)(ln 2)(),()(R b x xbx g R a ax x f ∈+=∈=，)()()(x g x f x G -=，且(1)0G =，()G x 在1x =的切线斜率为0。

（1）求,a b ；（2）设/1()2,n a G n n=+-求证：121111118n a a a +++< 解：（1）()2ln (0)bG x ax x x x=-->，由(1)0G = 得：0a b -= /22()b G x a x x =+- 又/(1)0G =，则2a b += 1,1a b ∴==…………4分 （2）/212()1(0)G x x x x =+->，/1()2,n a G n n =+- 21n a n n ∴=--……5分2111n a n n ∴=--，易证：1n =时，111118a <；2n =时12111118a a +<；3n ≥时，221111111()12(2)(1)321n a n n n n n n n n =<==--------+ 121111*********(1)34253621n a a a n n ∴+++<-++-+-+-++--+ 11111111()361118n n n =---<-+3. 已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f mx x x g 在区间)3,(t 上总存在极值？（Ⅲ）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=xep x p x h ，若在区间[]e ,1上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围．解：（Ι）由xx a x f )1()('-=知： 当0>a 时，函数)(x f 的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(+∞；当0<a 时，函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞，单调减区间是)1,0(；………………4分（Ⅱ）由()212af '=-=2a ⇔=-,∴()223f x ln x x =-+-，()22f 'x x =-. ………………………6分故3232()'()(2)222m m g x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦，∴2'()3(4)2g x x m x =++-,∵ 函数)(x g 在区间)3,(t 上总存在极值，∴0)('=x g 有两个不等实根且至少有一个在区间)3,(t 内…………7分又∵函数)('x g 是开口向上的二次函数，且02)0('<-=g ，∴ ⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g …………8分由4320)('--<⇔<t tm t g ，∵=)(t H 432--t t 在[]2,1上单调递减，所以9)1()(min -==H t H ；∴9-<m ，由023)4(27)3('>-⨯++=m g ，解得337->m ； 综上得：379.3m -<<- 所以当m 在)9,337(--内取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值。

高中数学函数与导数常考题型整理归纳题型一:利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.因此，实数a 的取值范围是(0，1).【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.【变式训练】 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数).(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立，因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1，1)都成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立. 令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1（x ＋1）2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增， 所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32. 因此实数a 的取值范围为a ≥32.题型二:利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.【例2】设函数f(x)＝ln x ＋m x ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ， 定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －e x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.【类题通法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.【变式训练】函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a >0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在t ，t ＋1]上有解.解 (1)因为e x >0，(ax 2＋x )e x ≤0.∴ax 2＋x ≤0.又因为a >0，所以不等式化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0. 所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，0. (2)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0.令h (x )＝e x －2x －1，因为h ′(x )＝e x ＋2x 2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根且分别在区间1，2]和－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3，1}.题型三:利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题.【例3】设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x (x ＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点.当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－a x ，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)由于2e2x 0－a x 0＝0， 所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a . 故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .【类题通法】1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.【变式训练】 已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈0，1]使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围.解 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x (x >0)，所以f ′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k ＝3.又切点为(1，2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)，①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (3)由已知得所求可转化为f (x )max <g (x )max ，g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈0，1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意.当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )， 所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.。

专题六函数导数专题【命题趋向】函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重. 这部分内容既有以选择题、 填空题形式出现的试题， 也有以解答题形式出现的试题. 一 般说来，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识，关 注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、思辨性和应用意识.解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数 形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查， 体现了能力立意的命题原则.这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位.在中学引入导数知识，为研究函数的性质提供了简单有效的方法.解决函数与导数结合的问题， 一般有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤， 具有较强的可操作性.高考中，函数与导数的结合，往往不是简单地考查公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等，所考查的问题具有一定的综合性.在一套高考试卷中一般有 2-3个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法， 合考查函数与导数，特别是导数在研究函数问题中的应用，这道解答题是试卷的把关题之一.图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,点评：本题考查分段函数的概念和运算能力.解决的关键是由内到外逐步有选择”的代入函数解析式， 求出函数值.1例2如图，函数f x 的图象是曲线 OAB ，其中点O,A,B 的坐标分别为 0,0 ,(1,2),(3,1)，则f —f 3的值等于 ______ .分析：从图象上理解自变量与函数值的对应关系.解析：对于 f (3) 1, f (1) 2 .题型2函数的图象与性质【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、 导数及其应用、微积分及微积分基本定理等.【例题解析】题型1函数的概念及其表示 例1(2008高考山东文5) 设函数 f (x)2,1,1- 的值为()f(2)1527A .B .1616分析：由内向外逐步计算. 18解析: 24, 12上 1上1, 1 15 ff 1 -f 24 416有一道解答题综2.答案A .4，故x 1分析：图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意x都有f x点特点可得一个关于x的恒等式，根据这个恒等式就可以确定m的值，特别地f 0 f 0 f 00也可以解决问题.解析：对于函数y ln( mx1）的图象关于原点中心对称，则对于f 0 0，因此有1ln( m 1)0, m 11,m 2 .答案2.点评：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种对称性，这二者之间是可以相互转换的.0.2 11 -例 4 设a log13,b ,c 23，则（）23A. a b c B . c b a C . cab D . b a c 分析：以0和1为分界线，根据指数函数与对数和的性质解决.10.2 1解析：对于a log13 0,1 b - o,c 231，因此a b c .答案A.2 3点评：大小比较问题，可以归结为某个函数就归结为一个函数、禾U用函数的单调性比较，不能归结为某个函数一般就是找分界线.题型3函数与方程X2X31 x 的零点的个数是2 3A . 0B . 1C . 2分析：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决.2 1 23解析：对于fx 1xx2（x ）0，因此函数fx在R上单调递增，而对于2 45 23f（ 2）- 0, f （2）0,因此其零点的个数为1个.答案B .3 3点评：本例和例9在本质方法上是一致的，其基本道理就是单调函数至多有一个零点”，再结合连续函数的零点定理，探究问题的答案.例6 .函数f x mx22x 1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是A. ,1 B . ,0 U 1 C . ,0 U 0,1 D . ,1分析：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决.1解析：当m 0时，x —为函数的零点；当m 0是，若0，即m 1时，x 1是函数唯一的零点，2若0 ,显然函数x 0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价与方程2f x mx 2x 1 0有一个正根一个负根，即mf 0 0,即m 0.综合知答案B .点评：分类讨论思想、函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致. 还要注意函数的零点有变号零点”和不变号零点”，如本题中的x 1就是函数的不变号零点”，对于不变号零点”，函例5.函数题型4简单的函数模型及其应用例7.经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g t 80 2t （件），价格近似满足f（t） 20 -|t 10| （元）.2(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间t ( 0 t 20 )的函数表达式；(2 )求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值.分析：函数模型就是销售量乘以价格， 价格函数带有绝对值， 去掉绝对值后本质上是一个分段函数，建立起这个分段函数模型后，求其最值即可. 1解析：(1) y g(t) f (t) (80 2t) (20 |t 10|)(40 t)(40 |t 10 |)2_ (30 t)(40t), (0< t 10),(40 t)(50 t), (10 W t W 20).(2) 当0 t 10时，y 的取值范围是1200,1225，在t 5时，y 取得最大值为1225; 解析:答案：In2 1 .点评：本题考查导数几何意义的应用， 口是切点坐标，这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略.在解题中不少考生往往忽视 切线上”这个简单的事实，要引以为戒.当10t 201时，y 的取值范围是 600,1200,20时，y 取得最小值为600 •答案： 总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；第20天，日销售额y 取得最小为600元. 点评： 对值的解析式统一表达， 对值号再把它化为分段函数. 题型5导数的意义、运算以及简单应用18)直线y x b 是曲线y In x(x 0)的一条切线，则实数2分段函数模型是课标的考试大纲所明确提出要求的一个， 分段函数在一些情况下可以用一个带有绝要知道带有绝对值的函数本质上是分段函数，可以通过零点分区”的方法去掉绝例8.( 2008咼考江苏1分析：切线的斜率是1 2，就可以确定切点的坐标，切点在切线上，就求出来 b 的值. 1方法一 y ' ，令yxb In 2 1.2，即切点的横坐标是 2，则纵坐标是In 2,切线过点 2,1 n2，所以方法二：设曲线上一点点坐标是x 0,Inx 0，由y 1知道过该点的曲线的切线的斜率是x1x ;，故过该点 的曲线的切线方程是 y In x °x X °，即y 丄In X 。

新数学《函数与导数》复习资料一、选择题1．已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】∵())lnf x x =∴())f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=.∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数∴当0x >时，易得())f x x =为增函数∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>∴c a b >> 故选D.2．已知3215()632f x x ax ax b =-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132x x =，则函数12()()f x f x -=（ ） A ．1-B ．16C ．1D ．与b 有关【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -． 【详解】()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，又2132x x =，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =． 此时122,3x x ==， ()3215632f x x x x b =-++， 故()()()()()1215182749623326f x f x -=⨯---+-= 故选B ． 【点睛】如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．3．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．4．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】 令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-， 即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.5．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

23个函数与导函数类型专题ln()x1f xx1x=++，若x0>，且x1≠，ln()x kf xx1x>+-，求k的取值范围.解析：⑴将不等式化成()(*)k>=<模式由ln()x kf xx1x>+-得：ln lnx1x kx1x x1x+>++-，化简得：ln22x xk1x1<--①⑵构建含变量的新函数()g x构建函数：ln()22x xg xx1=-（x0>，且x1≠）其导函数由'''2u u v uvv v-⎛⎫=⎪⎝⎭求得：'()(ln ln)()22222g x x x x x1x1=----即：'()[()()ln]()22222g x x1x1xx1=--+-()ln()222222x1x1xx1x1⎛⎫+-=-⎪⎪-+⎝⎭②⑶确定()g x的增减性先求()g x的极值点，由'()0g x0=得：ln22x1x0x1--=+即：ln22x1xx1-=+③由基本不等式ln x x1≤-代入上式得：22x1x1x1-≤-+故：202x1x10x1---≥+即：()()021x110x1--≥+由于211x1≤+，即2110x1-≥+，故：0x10-≥，即0x1≥在0x x1≥≥时，由于22x11x1-<+有界，而ln x0>无界故：ln 22x 1x 0x 1--<+即：在0x x 1≥≥时，'()g x 0≤，()g x 单调递减； 那么，在00x x <<时，()g x 单调递增. 满足③式得0x 恰好是0x 1= ⑷ 在(,)x 1∈+∞由增减性化成不等式在(,)x 1∈+∞区间，由于()h x 为单调递减函数，故：()lim ()x 1g x g x →+≤ln lim 2x 12x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 应用不等式：ln x x 1<-得：ln ()lim lim lim 22x 1x 1x 12x x 2x x 12x 1x 1x 1x 1→+→+→+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭--⎝⎭⎝⎭ 即：()()g x g 11<=，即：()g x 的最大值是()g 1代入①式得：()k 1g x <-，即：()k 1g 1≤-，即：k 0≤ ④ ⑸ 在(,)x 01∈由增减性化成不等式在(,)x 01∈区间，由于()g x 为单调递增函数，故：()lim ()x 0g x g x →+≥ln lim 2x 02x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 由于极限()lim ln x 0x x 0→+=，故：()g x 0≥，代入①式得：k 1≤ ⑤⑹ 总结结论综合④和⑤式得：k 0≤. 故：k 的取值范围是(,]k 0∈-∞由①式ln 22x x k 1x 1<--，设函数ln ()22x x K x 1x 1=--当x 1→时，用洛必达法则得：ln (ln )'(ln )limlimlim()22x 1x 1x 12x x 2x x 2x 112x x 1x 1→→→+===--，则()K 10= 用数值解如下：其中，()K x 的最小值是()K 10=，即()()K x K 1>，所以本题结果是k 0≤. ()ln2f x x ax =-，a 0>，x 0>，()f x连续，若存在均属于区间[,]13的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln ln ln 322a 53-≤≤解析：⑴ 求出函数()f x 的导函数函数：()ln 2f x x ax =- ①其导函数：'()2112ax f x 2ax x x -=-=()()11x+-= ②⑵ 给出函数()f x 的单调区间由于x 0>，由②式知：'()f x 的符号由()1-的符号决定. 当10->，即：x <'()f x 0>，函数()f x 单调递增；当10-<，即：x >'()f x 0<，函数()f x 单调递减；当10-=，即：x =时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值.⑶ 由区间的增减性给出不等式由,αβ均属于区间[,]13，且1βα-≥，得到：[,]12α∈，[,]23β∈ 若()()f f αβ=，则,αβ分属于峰值点x=的两侧即：α<，β>.所以：α所在的区间为单调递增区间，β所在的区间为单调递减区间. 故，依据函数单调性，在单调递增区间有：()()()f 1f f 2α≤≤ ③ 在单调递减区间有：()()()f 2f f 3β≥≥ ④ ⑷ 将数据代入不等式由①式得：()f 1a =-；()ln f 224a =-；()ln f 339a =- 代入③得：()ln a f 24a α-≤≤-，即：ln a 24a -≤-，即：ln 2a 3≤⑤ 代入④式得：ln ()ln 24a f 39a β-≥≥-，即：ln ln 24a 39a -≥-， 即：ln ln 32a 5-≥⑥ ⑸ 总结结论证毕.由⑶已得：[,]12α∈，[,]23β∈，且：()ln 2f a ααα=-⋅，()ln 2f a βββ=-⋅ 若：()()f f αβ=，则：ln ln 22a a ααββ-⋅=-⋅ 即：()ln ln 22a βαβα-=-，故：ln ln 22a βαβα-=-当：2β=，1α=时，ln 2a 3=当：3β=，2α=时，ln ln 32a 5-=故：a()ln ()2f x x ax 2a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，试证明：01x a>. 解析：⑴ 求出函数()f x 导函数函数()f x 的定义域由ln x 可得：x 0>. 导函数为：'()()1f x 2ax 2a x =-+-()()112x a x=+- ① ⑵ 确定函数的单调区间当1a 0x ->，即(,)1x 0a ∈时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当1a 0x -<，即(,)1x a ∈+∞时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当1a 0x -=，即1x a =时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值()1f a.()ln ()()21111f a 2a a a a a =-⋅+-⋅ln 111a a=+- ② ⑶ 分析图像与x 轴的交点，求出a 区间由于lim ()x f x 0→+∞<，lim ()x 0f x 0→+<若()f x 与x 轴交于,A B 两点，则其极值点必须()1f 0a >.即：ln 1110a a +->，即：ln 111a a>- ③考虑到基本不等式ln111a a ≤-及③式得：ln 11111a a a-<≤- 即：1111a a -<-，即：22a>，即：a 1< 结合ln1a，即：a 0>得：(,)a 01∈ ④ ⑷ 求出,A B 点以及A 关于极值点的对称点C,A B 两点分居于极值点两侧，即：A 1x a <，B 1x a> 设：A 11x x a =-，B 21x x a =+，则,12x x 0>，且11x a <（因x 0>）设：C 11x x a =+于是：()()A B f x f x 0==，即：()11f x 0a -=故：()ln()()()()2A 111111f x x a x 2a x a a a=---+--ln()()()2111121112a x a 2x x 2a x a a a a-=---⋅⋅++--ln()ln 211111ax a 1ax ax 0a=--+-+-= ⑤ 将1x 替换成1x -代入()A f x 就得到()C f x ：()()ln()ln 2C 111111f x f x 1ax a 1ax ax a a=+=+-+--- ⑥⑸ 比较,,A B C 点的函数值，以增减性确定其位置构造函数：()()()()()1C A 1111g x f x f x f x f x a a=-=+--将⑤⑥式代入上式得：()ln()ln()1111g x 1ax 1ax 2ax =+--- ⑦ 其对1x 的导函数为：'()111a a g x 2a 1ax 1ax -=--+-2212a2a 1a x =--221221a x 2a 1a x =⋅- ⑧ 由于④式(,)a 01∈及11x a<，所以'()1g x 0>. 即：()1g x 是随1x 的增函数，其最小值是在1x 0=时，即：()()1g x g 0≥ 由⑦式得：()g 00=，故：()()1g x g 00≥=.当1x 0≠时，()()()1C A g x f x f x 0=->，即：()()()C A B f x f x f x >= 由于C x 和B x 同在单调递减区间，所以由()()C B f x f x >得：C B x x < 即：C 1B 211x x x x a a=+<=+，即：12x x <或21x x 0-> ⑨ ⑹ 得出结论那么，由⑨式得：()0A B 1x x x 2=+()12111x x 2a a =-++()21111x x a 2a=+->. 证毕.知函数()'()()x 121f x f 1e f 0x x 2-=-+.若()21f x x ax b 2≥++，求()a 1b +的最大值.解析：⑴ 求出函数()f x 的解析式由于'()f 1和()f 0都是常数，所以设'()f 1A =，()f 0B =，利用待定系数法求出函数()f x 的解析式. 设：()x 121f x Ae Bx x 2-=-+，则：()Af 0B e==其导函数为：'()x 1f x Ae B x -=-+，则：'()f 1A B 1A =-+= 所以：B 1=，A e =，函数()f x 的解析式为：()x 21f x e x x 2=-+① ⑵ 化简不等式()21f x x ax b 2≥++ 即：()x 2211f x e x x x ax b 22=-+≥++，故：()x e a 1x b 0-+-≥ ② ⑶ 构建新函数()g x ，并求其极值点构建函数()()x g x e a 1x b =-+- ③ 其导函数：'()()x g x e a 1=-+ ④要使②式得到满足，必须()g x 0≥故当()g x 取得极值时有：'()M g x 0=，由④式得极值点：ln()M x a 1=+ 此时的()g x 由③得：()()()ln()M g x a 1a 1a 1b 0=+-++-≥ ⑤ ⑷ 求()a 1b +的最大值由⑤式得：()[ln()]b a 11a 1≤+-+，则：()()[ln()]2a 1b a 11a 1+≤+-+ ⑥ 令：y a 1=+，则⑥式右边为：()(ln )2h y y 1y =- （y 0>）其导函数为：'()(ln )()(ln )21h y 2y 1y y y 12y y=-+-=- ⑦当ln 12y 0->，即：(y 0∈时，'()h y 0>，()h y 单调递增；当ln 12y 0-<，即：)y ∈+∞时，'()h y 0<，()h y 单调递减；当ln 12y 0-=，即：y ='()h y 0=，()h y 达到极大值.此时，()h y 的极大值为：(2eh 12=-= ⑧ ⑸ 得出结论将⑧代入⑥式得：()()e a 1b h y 2+≤≤知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中a 0>.若对任意的[,)x 0∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.解析：⑴ 利用基本不等式求出a利用基本不等式x e 1x ≥+或ln y y 1≤-，得：ln()()x a 1x a -+≥-+ 即：ln()()x x a x 1x a 1a -+≥+-+=-，即：()ln()f x x x a 1a =-+≥- 已知()f x 的最小值为0，故1a 0-=，即：a 1=或者，将[,)x 0∈+∞的端点值代入()f x ，利用最小值为0，求得a 1= ⑵ 用导数法求出a函数()f x 的导函数为：'()1f x 1x a=-+ ① 当x a 1+<，即x 1a <-时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当x a 1+>，即x 1a >-时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当x a 1+=，即x 1a =-时，'()f x 0=，函数()f x 达到极小值. 依题意，()f x 的最小值为0，故当x 1a =-时，()f 1a 0-= 即：()ln()f 1a 1a 1a a 1a 0-=---+=-=，故：a 1= 函数的解析式为：()ln()f x x x 1=-+ ② ⑶ 构建新函数()g x当[,)x 0∈+∞时，有()2f x kx ≤，即：()ln()2f x x x 1kx =-+≤ 构建函数：()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+- ③⑷ 确定()g x 的单调区间和极值于是由③式得导函数为：'()()11g x 12kx x 2k x 1x 1=--=-++ ④ 当x 0=时，由③式得函数()g x 0=；则x 0=是极值点，同时x 0=也是区间的端点. 当x 0≠时，即：(,)x 0∈+∞ 当12k x 1>+，即1x 12k <-时，'()g x 0>，函数()g x 单调递增； 当12k x 1<+，即1x 12k>-时，'()g x 0<，函数()g x 单调递减； 当12k x 1=+，即m 1x x 12k==-时，'()m g x 0=，函数()g x 达到极大值()m g x . 故：()g x 从x 0=开始单调递增，直到m x x =达到()g x 的极大值，再单调递减， 所以()g 0是个极小值. ()m g x 是个极大值，也是最大值. ⑸ 求出最大值点m x将最值点m x x =代入③式得：（m 1x x 12k==-） ()ln()()2m 111g x 1k 12k 2k 2k =----()[()]ln()1111k 12k 2k 2k =---+ ()()ln()1111k 2k 2k 2=--++()()ln()12k 12k2k 2k 2-+=+ ()()ln()12k 12k 2k 4k+-=+由()g x 的最大值为0得：()()()ln()m 12k 12k g x 2k 04k+-=+=即：2k 1=，即：1k 2=，此时m 1x 12k=-，即：m 12k 1x 1==+，即：m x 0= ⑹ 给出结论由于m x 0=，也是端点，结合⑷的结论，所以：()g x 在[,)x 0∈+∞区间单调递减，()()m g x g 0=是个极大值，也是最大值.由m 1x 102k =-=得出实数k 的最小值为：1k 2=由③式()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+-，要求函数()g x 0≤. 由③式可看出x 0=时，()g x 0= 由()g x 0=得：ln()2x x 1k x-+=，令ln()()2x x 1K x x-+=我们只要求出ln()()2x x 1K x x-+=在极值点的值就好.用洛必达法则：ln()lim ()limlim2x 0x 0x 011x x 1x 1K x 2xx→+→+→+--++== lim lim ()x 0x 0x11x 12x 2x 12→+→++===+ 对应于()g x 0=的1k 2=，即：实数k 的最小值1k 2=.()x 2f x e ax ex =+-，（a R ∈），当a 在一定范围时，曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在P 点的切线与曲线只有一个公共点，就是P 点，求P 点的坐标.解析：⑴ 确定曲线的切线方程曲线：()x 2f x e ax ex =+- ① 其导函数：'()x f x e 2ax e =+- ②设P 点的坐标为：(,())P P x f x ，则切线方程为：()()'()()P P P y x f x f x x x =+- ③⑵ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()()()g x f x y x =-则：()()()'()()P P P g x f x f x f x x x =--- ④ 其导函数：'()'()'()P g x f x f x =- ⑤由②得：'()x f x e 2ax e =+-，'()P x P P f x e 2ax e =+-，代入⑤式得：'()()()()()P P x x x x P P g x e 2ax e 2ax e e 2a x x =+-+=-+- ⑥ ⑶ 分析a 0≥时函数()g x 的单调性和极值当a 0≥时：若P x x >，则P x x e e >，P 2ax 2ax ≥，故：'()g x 0>，()g x 单调递增； 若P x x <，则P x x e e <，P 2ax 2ax ≤，故：'()g x 0<，()g x 单调递减； 若P x x =，则P x x e e =，P 2ax 2ax =，故：'()g x 0=，()g x 达到极小值. 由④式得：()g x 的极小值()P g x 0=.此时，()g x 的零点与P 点的取值有关，因此P 点的取值不唯一，所以()g x 的零点就不唯一.故当a 0≥⑷ 分析a 0<时函数()g x 的切线当a 0<时：由⑥式，'()g x 0=的情况分两种：a> ()P x x P e e 02a x x 0⎧-=⎪⎨-=⎪⎩即：P x x =，此时与⑵的情形相同，P 点的取值不唯一.b> ()P x x P e e 2a x x 0-=--≠，即：P x x ≠，'()g x 0=此时，()()P P x x x P e e 12a x x --=--，即：()P P x x x P e 12ae x x --=-- ⑦曲线P x x y e -=恒过点(,)P x 1，直线()P x P y 12ae x x -=--也恒过点(,)P x 1， 当曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率等于P x 2ae --时，其这个切线就是曲线的切线.故：曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率为：()'P Px x x x k e 1-===于是：P x 2ae 1--=，即：P x e 2a =-，即：ln()P x 2a =- ⑸ 得到切点P 的坐标当a 0<时，ln()P x 2a =-就存在.由于P x x y e -=在其定义域内是凸函数，所以与其切线的交点是唯一的. 将ln()P x 2a =-代入①式得：()()ln ()ln()P x 22P P P f x e ax ex 2a a 2a e 2a =+-=-+---得到ln()P x 2a =-和()P f x ，这就是P 点的唯一坐标. ⑹ 结论切点P 的坐标：ln()P x 2a =-，()()ln ()ln()2P f x 2a a 2a e 2a =-+---()ax f x e x =-，其中a 0≠. 在函数()y f x =的图象上取定两点(,())11A x f x ，(,())22B x f x ，且12x x <，而直线AB 的斜率为k .存在(,)012x x x ∈，使'()0f x k ≥成立，求0x 的取值范围.解析：⑴ AB 的斜率与()f x 的导函数由A 、B 两点的坐标得到直线AB 的斜率k ：()()()()21ax ax 21212121f x f x e x e x k x x x x ----==-- ()()()2121ax ax ax ax 212121e e x x e e 1x x x x ----==--- ①函数()ax f x e x =-的导函数为：'()ax f x ae 1=- ② ⑵ 构建新函数()g x ，并求导判断'()0f x k ≥是否成立，即判断'()0f x k -是否不小于0.所以，构建函数：()'()g x f x k =-，若()g x 0≥，则'()0f x k ≥成立. 则：()()21ax ax ax21e e g x aex x -=-- ③ 导函数：'()2ax g x a e = ④ ⑶ 求()g x 在区间端点的函数值由③式得：()()211ax ax ax 121e e g x aex x -=--()[()]121ax a x x 2121e a x x e 1x x -=--+-()[()]121ax a x x 2121e e a x x 1x x -=----- ⑤()()212ax ax ax 221e e g x aex x -=--()[()]212ax a x x 2121e a x x 1e x x -=--+-()[()]212ax a x x 1221e e a x x 1x x -=---- ⑥ ⑷ 确定()g x 的零点存在利用基本不等式：x e 1x ≥+，当且仅当x 0=时取等号. 即：x e x 10--≥ ⑦将⑦式应用于⑤式得：()1g x 0< （21x x 0-≠）将⑦式应用于⑥式得：()2g x 0> （21x x 0-≠）函数()g x 在(,)12x x 区间是连续的，其导函数也存在. 由④式得：'()2ax g x ae 0=>，即函数()g x 为单调递增函数.由()1g x 0<和()2g x 0>以及函数零点存在定理得，函数()g x 必过零点，且是唯一零点.⑸ 求()g x 在(,)12x x 区间的零点位置设函数()g x 在(,)12x x 区间的零点位置在3x ，则有()3g x 0= 由③式得：()()213ax ax ax 321e e g x ae0x x -=-=- （a 0≠）即：ln ()21ax ax 3211e e x a a x x -=- ⑦ 且：(,)312x x x ∈⑹ 求()g x 在(,)12x x 区间的0x由④式'()2ax g x a e 0=>得：函数()g x 为单调递增函数，故： 在(,)013x x x ∈区间，()()03g x g x 0<=； 在(,)032x x x ∈区间，()()03g x g x 0>=； 在03x x =时，()()03g x g x 0==.故，()0g x 0≥的区间为[,)032x x x ∈，即：[ln ,)()21ax ax 02211e e x x a a xx -∈-()ln()f x x 11=++.证明：当0x 2<<时，()9xf x x 6<+ 证明：⑴ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()ln()9xg x x 11x 6=++-+ ①导函数'()()2154g x x 1x 6=+-++ ②即：'()()()2254g x 2x 1x 6+=-++ ③ 函数()g x 满足()g 00=，'()g 00=，现在只要证明，当0x 2<<时，()g x 0<，则()9xf x x 6<+. ⑵ 化掉②式中的根号项.要保持不等号的方向不变，只有(*)≤即：(*)或(*). （(*)代表某个不含根号的式子）由于有(*)和(*)的两种选项，所以采用化掉.由均值不等式：22211x 2⋅≤+=+得：x 12≤+ 代入③式得：'()()()()()22x 2154x 6542g x 2x 14x 1x 6x 6+++≤-=-++++ 即：()()'()()()32x 6454x 1g x 4x 1x 6+-⋅⋅+≤++()()()()332x 66x 14x 1x 6+-⋅+=++ ④⑶ 求函数()g x 的极值点当()g x 取极值时，'()g x 0=.故由④式得：()()33x 66x 10+-⋅+=，即：x 6+= ⑤令t =（1t <<则⑤式为：3t 56t +=，即：3t 6t 50-+= ⑥ 分解因式法：()()33t 6t 5t 16t 1-+=---()()2t 1t t 16=-++-()()2t 1t t 50=-+-=故有：1t 1=，及()2t t 50+-=，即：,231t 2-±=由于1t <<21t 2=所以有：1t 1=，21t 2=，即：1x 0=，321x 12⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭由于))(=3311122288⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭)(11136444-⨯>=>所以2x 3>⑷ 由单调性证明不等式由①式()ln()9xg x x 11x 6=++-+得：()g 00=，()ln ln 93g 34142036⨯=+-=-<+ 即：()()g 0g 3>，由于在(,)12x x x ∈区间，()g x 是单调的，故：()()12g x g x > 于是，函数在1x x 0==时达到极大值，然后递减，直到2x x 2=>时达到极小值.就是说在0x 2<<区间，'()g x 0<，函数()g x 单调递减. 即：()()g x g 00<=，故：()9xf x x 6<+. 证毕. 本题要点：构建函数()g x ，由两个相邻极值点之间的区间(,)12x x 是单调的，以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系()()g 0g 3>，得出：函数()g x 在这个区间(,)12x x 为单调递减，由此来证明本题.a 0>，n 为正整数，抛物线n2a yx 2=-+与x 轴正半轴相交于点A .设抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距为()f n ，求证：当a ≥对所有n 都有：()()33f n 1n f n 1n 1-≥++. 证明：⑴ 先求A 点的坐标(,)A x 0将A x x =，A y y 0==代入抛物线n2a y x 2=-+得：A x =⑵ 求过A 点的切线方程抛物线的导数为：'y 2x =- ①故A 点的切线方程为：'()()A A A y y y x x x =+-即：()2A A A A y 02x x x 2x x 2x =+--=-+ ②⑶ 求切线在y 轴上的截距为()f n由②式，当x 0=时，()y f n =.故：()22n A f n 2x 2a === ③ ⑷ 分析待证不等式()()33f n 1n f n 1n 1-≥++，即：()()33f n 12n 11f n 1n 1+-+-≥++， 即：()32111f n 1n 1-≥-++，即：()321f n 1n 1≤++，即：()3f n 12n 2+≥+，即：()3f n 2n 1≥+将③式代入上式得：n 3a 2n 1≥+，即：a ≥④⑸ 数值分析由④式当n 1=时，a 3≥；当n 2=时，2a 17≥，即a ≥当n 3=时，3a 55≥，即a ≥<2553025=，3174913=） 因为a 1>，对④式两边求对数得：ln ln()31a 2n 1n≥+ ⑤⑹ 构建新函数()g n 构建函数：()ln()31g n 2n 1n=+，求()g n 的最大值. 求导得：ln()'()23326n n 2n 12n 1g n n⋅-++=当'()g n 0=时，即：ln()3336n 2n 12n 1=++，即：ln()33332n 12n 1-=++ ⑥令3t 2n 1=+，则t 1>. 代入⑥式得：ln 33t t-= ⑦ ⑺ 求3t 2n 1=+的最大值虽然解方程⑦比较困难，但得到其取值范围还是可以的. 由⑦式得：ln 3t 33t=-<，即：33t e 327<<= 即：3t 2n 127=+<，即：3n 13<代入④式a≥a≥=⑧⑻证明结论满足⑧式，就满足④式，由⑷得证.证毕.ln()xx1f xe+=，'()f x为()f x的导数.设()()'()2g x x x f x=+，证明：对任意x0>，()2g x1e-<+解析：⑴求函数()g x的解析式函数ln()xx1f xe+=的导函数为：'()(ln)(ln)x x2x x1111f x e e x1x1x xe e=-+=--[]①函数()()'()2g x x x f x=+得：()()(ln)(ln)x xx1x1x1g x x11x x xxe e++=--=--②⑵构造新函数()h x由基本不等式x e1x≥+（仅当x0=时取等号）得:x1x1e+≤代入②式得：()lng x1x x x<--（x0>）令：()lnh x1x x x=--③则上式为：()()g x h x<④⑶分析()h x的单调性，并求其极值由③式得()h x导函数为：'()(ln)h x2x=-+⑤当2x e->，即ln2x0+>时，'()h x0<，()h x单调递减；当2x e -<，即ln 2x 0+<时，'()h x 0>，()h x 单调递增；当2x e -=，即ln 2x 0+=时，'()h x 0=，()h x 达到最大值.()h x 的最大值是在2m x x e -==，由③式得：()(ln )222m h x 1e e e ---=--()2221e 2e 1e ---=---=+ ⑥⑷ 证明结论故由④式和⑥式：()()()2m g x h x h x 1e -<≤=+证毕.,a b 是实数，函数()3f x x ax =+，()2g x x bx =+，'()f x 和'()g x 是()f x 、()g x 的导函数. 设a 0<，且a b ≠，若在以,a b 为端点的开区间I 上'()'()f x g x 0≥恒成立，求a b -的最大值M .解析：⑴ 构建新函数()h x函数()f x 的导数为：'()2f x 3x a =+ ①函数()g x 的导数为：'()g x 2x b =+ ②构建函数：()'()'()()()2h x f x g x 3x a 2x b ==++ ③则已知条件化为：在开区间I 上'()'()f x g x 0≥恒成立，等价于()h x 0≥ ④⑵ 确定b 的取值范围已知a 0<，若b 0>，则区间(,)I a b =；故：此时区间I 包括x 0=点.由①②式得：'()f 0a =，'()g 0b =，所以()'()'()h 0f 0g 0ab 0==<不满足④式，即：b 0>不成立.⑶ 确定x 的取值范围由于a 0<，b 0≤，x 0≤，即：2x b 0+≤要满足④式，在2x b 0+≠时，则必须有：'()f x 0≤，即：23x a 0+≤，即：2a x 3≤-，即：[x ∈，结合(,)x 0∈-∞得：[)x 0∈ ⑤ ⑷ 确定a b -的最大值M .由于区间I 是以,a b 为端点，a 0<，b 0≤，而[)x 0∈所以若b 0=，则a =a 0-=>， 即：2a a 3=-，故：1a 3=- ，代入⑤式得：[,)1x 03∈- 故：(,)(,)1I a b 03==- ⑥故：a b -的最大值M知函数(sin )()ln()x 1x f x 1x 1xθ+=+-+ （[,]0θπ∈），若x 0≥时()f x 0≤，求θ的最小值. 解析：⑴ 求出函数的导函数由函数(sin )()ln()x 1x f x 1x 1x θ+=+-+得： 导函数为：[(sin )()(sin )]'()()2112x 1x x 1x f x 1x 1x θθ++-+=-++ [()sin ]()2x12x 1x θ=-++ ①依题意，若x 0≥时，()f x 0≤所以，只要求出区间的最大值，使之为0，就解决问题.⑵ 由函数极值点得出相应的结果由极值点的导数为0得：'()f x 0=所以当在x 0≥区间'()f x 0≤时，函数()f x 在x 0≥区间单调递减故满足()f x 0≤的条件.于是：'()[()sin ]()2xf x 12x 01x θ=-+≤+由于x 0≥，()21x 0+>，所以()sin 12x 0θ-+≤，即：sin 12x θ≥+ 故：sin 11202x θ≥≥++，即：sin 12θ≥ 求三角函数定义域得：sin 1θ≤，故：sin [,]112θ∈.和曲线()y g x =都过点(,)P 02，且在点P 处的切线相互垂直. 若x 1>-时，()()f x g x ≤，求()ln()x f x e x λ=-+.当()f x 0≥时，求λ的取值范围.解析：⑴ 分析题意设()x g x e =，()ln()h x x λ=+，则()()()f x g x h x =-()f x 0≥的意思，就是()y g x =的图象在()y h x =的图象之上 设在0x x =处，()y g x =与()y h x =的图象相切，此时，设λ值为0λ只要0λλ≤，()y g x =的图象永在()y h x =的图象之上.⑵ 由0x x =点的关系来建模由于0x 点在曲线()y g x =上，故：0x 0y e = ①同时0x 点在曲线()y h x =上，故：ln()00y x λ=+ ②它们在0x x =图象相切，故：'()'()00g x h x =即：ln()001x x λλ+=+ ③ 由①②式得：ln()0x 0e x λ=+ ④⑶ 解超越方程③式方程③是一个超越方程，令01t x λ=+（t 0>），即：01x tλ+= 代入③得：ln t t -=或ln t t =- ⑤由ln t t =-得：t 0>（因ln t 定义域），则：ln t t 0=-<，即：t 1<故：(,)t 01∈ ⑥由基本不等式x e 1x ≥+（仅当x 0=时取等号）或ln x 1x -≥（仅当x 1=时取等号）代入⑤式可得：ln t t t 1-=≤-，即：2t 1≥，即：[,)1t 2∈+∞ ⑦ 由⑥⑦得：(,)1t 12∈ ⑧ 事实上，方程ln t t =-的解是：.t 056714329B .⑷ 解出极值点的λ由④式得：ln()ln 0x 0e x t t λ=+=-=，即：ln 0x t t ==- 即：001x t x λ=-=-+ ⑨ 故：()()200001x x 22x x λ=-+=--+≥-，所以：当0x x =时，02λ≥ 由⑴的分析，本题答案是：0λλ≤，即2λ≤，本题答案：2λ≤（严格来说，解超越方程得=.0x t 056714329=--，.0233λB ，本题答案是.233λ<）本题解析③式是关键，⑸步是技巧.下面是极值点附近的函数图15、函数第15题设函数()()22f x 1a x ax =+-，其中a 0>，求()f x 0>时x 的取值范围. 解析：()y f x =的图象是开口向下的抛物线，于是()()()222f x 1a x ax x 1a ax =+-=+-当()f x 0=时，1x 0=，221a x 2a +=≥，即：(,)21a x 0a+∈，即：(,)x 02∈ 故：x 的取值范围是(,)x 02∈，本题就是分析二次函数题.16、函数第16题已知a 0>，函数()x a f x x a-=+.若函数()y f x =在x 0>区间的图像上存在两点,A B ，在A 点和B 点处的切线相互垂直，求a 的取值范围. 解析：去绝对值号⑴ 对x a >，()x a f x x a -=+，其导数：'()()22a f x 0x a =>+ 即：在x a >区间，函数()f x 单调递增；⑵ 对(,)x 0a ∈，()x a f x x a -=-+，其导数：'()()22a f x 0x a =-<+ 即：在(,)x 0a ∈区间，函数()f x 单调递减；⑶ 对x a =，()()f x f a 0==，函数()f x 达到极小值0.若A 点和B 点处的切线相互垂直，即：'()'()A B f x f x 1=- ① 则A 点和B 点分居于两个不同的单调区域.设(,)A x 0a ∈，则(,)B x a ∈+∞，于是①式就是：()()22A B 2a2a1x a x a ⋅=++，即：()()A B 2a 1x a x a =++ 即：()()A B x a x a 2a ++= ②⑷ 解析②式得⑤式由②式得：A B 2a x a x a+=+ ③ 因为(,)A x 0a ∈，所以(,)A x a a 2a +∈，代入③式得：B 2a a 2a x a <<+，即：B 1112x a<<+，即：()B 1x a 2<+< ④ 因为B x a >，所以B x a 2a +>，结合④式得：B 2a x a 2<+< 即：2a 2<，故：a 1< ⑤⑸ 解析③式得⑦式因为B x a >，所以B x a 2a +>，即：B 2a 1x a <+， 代入③式得：A B 2a x a 1x a+=<+，即：A x a 1+< ⑥ 因为(,)A x 0a ∈，所以(,)A x a a 2a +∈代入⑥式得：2a 1<，即：1a 2< ⑦()()1f x a 12x 2=--，a 为常数且a 0>. 若条件1：0x 满足(())00f f x x =；条件2：()00f x x ≠. 则满足这2个条件，称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点,12x x ，试确定a 的取值范围. 解析：⑴ 函数去绝对值号得出()1f x 和()2f x当1x 2<时，11x x 22-=-，()()1f x a 12x 2ax 2=--= 记：()1f x 2ax = ①当1x 2≥时，11x x 22-=-，()()=()1f x a 12x 2a 1x 2=--- 记：()=()2f x 2a 1x - ②条件1：(())00f f x x = ③条件2：()00f x x ≠ ④⑵ 在1x 2<及12ax 2<时解析①式 对二阶周期点0x x =当01x 2<，函数用①式：()100f x 2ax = 当012ax 2<时，复合函数仍用①式：(())()11010f f x 2af x = 故：()100f x 2ax =，(())21100f f x 4a x =条件1：2004a x x =，即：24a 1=，即：1a 2=； 条件2：002ax x ≠，即：2a 1≠，即：1a 2≠.⑶ 在1x 2<及12ax 2≥时解析①式 对二阶周期点0x x =当01x 2<，函数用①式：()100f x 2ax = 当012ax 2≥时，函数用②式：(())[()]21010f f x 2a 1f x =- 故：()100f x 2ax =，(())()2100f f x 2a 12ax =-条件1：()002a 12ax x -=，即：022ax 14a =+；条件2：002ax x ≠，即：2a 1≠，即：1a 2≠. 则：022a 1x 214a =≠+ ⑤ ⑷ 在1x 2<及12ax 2≥时解析⑤式 将条件1：022a x 14a =+代入012ax 2≥得：224a 1214a≥+即：228a 14a ≥+，即：24a 1≥，即：1a 2≥⑥ 将022a x 14a =+代入01x 2<得：22a 1214a<+ 即：24a 14a <+，即：24a 4a 10-+>，即：()22a 10-> 故：1a 2≠⑦结合⑥式和⑦式及a 0>所以，⑤式022a x 14a=+为一个二阶周期点，记为：122a x 14a=+⑸ 在1x 2≥及()12a 1x 2-<时解析②式 对1x 2≥，函数用②式：()()200f x 2a 1x =- 对()012a 1x 2-<时，应用①式得：(())()12020f f x 2af x = 故：()()200f x 2a 1x =-，(())()()2120200f f x 2af x 4a 1x ==- 条件1：()2004a 1x x -=，即：2024a x 14a=+；条件2：()002a 1x x -≠，即：02ax 12a≠+. 则：222a 4a 12a 14a ≠++，即：22a 4a ≠，即： a 0≠且1a 2≠ i>将2024a x 14a=+代入()012a 1x 2-<得：()224a 12a 1214a -<+ 即：()214a 114a<+，即：24a 4a 10-+>，即：()22a 10->即：1a 2≠ii> 将2024a x 14a =+代入01x 2≥得：224a 1214a>+ 即：228a 14a >+，即：24a 1>，即：1a 2>结合i>和ii>及a 0>所以，2024a x 14a=+为另一个二阶周期点，记为：2224a x 14a=+⑹ 在1x 2≥及()12a 1x 2-≥时解析②式 对1x 2≥，函数用②式：()()200f x 2a 1x =- 对()012a 1x 2-≥时，应用②式得：(())[()]22020f f x 2a 1f x =- 即：(())[()]2222000f f x 2a 12a 1x 2a 4a 4a x =--=-+ ⑧ 条件1：22002a 4a 4a x x -+=，即：()022a 12a x 14a-=-当12a 0-≠时，上式即：02ax 12a=+ 条件2：()002a 1x x -≠，即： 02ax 12a≠+()()2xf x 1x e-=+，()cos 3x g x ax 12x x 2=+++，当[,]x 01∈时，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 解析：⑴ 解读题意由于[,]x 01∈，所以有n x x ≤（n N +∈）. 故可以考虑将函数化为幂函数来解决.由于()()2x f x 1x e -=+，()f 01=，'()[()]()2x 2x f x 121x e 12x e --=-+=-+()cos 3x g x ax 12x x 2=+++，()g 01=，'()cos sin 23x g x a 2x 2x x 2=++-构建函数：()()()h x f x g x =-⑵ 将函数()f x 化为幂函数形式构建函数：()1f x 1Ax =+，满足条件1：()()1f x f x ≤ ① 构建函数：()()()21f x f x f x =-，条件1成为：()2f x 0≤ ② 则：()()()21f 0f 0f 00=-=导函数：'()'()'()()2x 21f x f x f x A 12x e -=-=++ ③ 要满足[,]x 01∈时()2f x 0≤，必须是：'()2f x 0≤ 故由③式：()2x A 12x e -≤-+ ④ ⑶ 解析④式因为④式，记()()2x 0h x 12x e -=-+，则：'()[()]2x 2x 0h x 2212x e 2xe --=--+= 当x 0≥时，()0h x 是x 的单调递增函数. 故：()()00h x h 01≥=-，则由④式：A 1≤-； 且：()()200h x h 13e -≤=-，则由④式：2A 3e -≤-. 由于213e --<-，所以满足[,]x 01∈区间时，A 1≤-取A 的最大值，A 1=-⑷ 构建函数()1g x 化解cos x由于cos x 是偶函数，且cos sin ()()222x x x x 12121222=-≤-⋅=-函数()g x 在()h x 中的不等号方向是：()h x 0≥，即：()g x 0-≥，即：()g x 0≤ 应构建函数()cos 1g x x ≥，且()1g x 也是偶函数.构建函数：()21g x 1Bx =-，满足条件2：()cos 1g x x ≥ ⑸ 构建函数()()cos 31g x g x x =-构建函数：()()cos 31g x g x x =-，条件2成为：()3g x 0≥ 则：()()cos 31g 0g 000=-=，导函数：'()'()sin 31g x g x x =+ ⑤ 要满足[,]x 01∈时()3g x 0≥，必须是：'()3g x 0≥ 故由⑤式：'()sin sin 1g x x 2Bx x 0+=-+≥，则：sin xB 2x≤ ⑥ 当x 0→时，sin limx 0x 1B 2x2→≤= 当x 1=时，由⑥式得：sin .1B 0422≤B 取满足⑥式得B 的最大值，sin (.)1B 0422== ⑹ 构建函数：()2g x构建函数：()()321x g x ax 12xg x 2=+++ 即： ()()()()3232x 1g x ax 12x 1Bx 1a 2x 2B x 22=+++-=+++- 因为()cos 1g x x ≥，则：()()2g x g x ≥ ⑺ 构建函数()1h x ，求a 的范围构建函数：()()()112h x f x g x =-若()1h x 0≥，因为()()()()()()121h x f x g x f x g x h x =-≥-=，所以()h x 0≥于是：()()[()()]311h x 1x 1a 2x 2B x 2=--+++-()()31a 3x 2B x 2=-++-要使12B 02-≥，则1B 4≥，故：sin [,]11B 42∈ 此时，()()()()311h x a 3x 2B x a 3x 2=-++-≥-+若要()1h x 0≥，即：()a 3x 0-+≥，则：a 30+≤，即(,]a 3∈-∞-所以，当[,]x 01∈时，若()()f x g x ≥恒成立，实数a 的取值范围(,]a 3∈-∞-.()()ln ()2x 2x a x 0f x xx 0⎧++<⎪=⎨⎪>⎩，其中a 是实数. 设(,())11A x f x ，(,())22B x f x 为该函数图像上的两点，且12x x <.若函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围.解析：函数的导函数为：()'()()2x 2x 0f x 1x 0x⎧+<⎪=⎨>⎪⎩如果图像在点,A B 处的切线重合，则点,A B 分处于两个不同区间. 因12x x <，故A 点在1x 0<区间，B 点在2x 0>区间. ⑴ 设过A 点的切线方程为：'()()111y y f x x x =+- ①则：2111y x 2x a =++ ②'()11f x 2x 2=+ ③将②③式代入①式得：()()21111y x 2x a 2x 2x x =++++-即：()211y 2x 1x x a =+-+ ④⑵ 设过B 点的切线方程为：'()()222y y f x x x =+- ⑤ 则：ln 22y x = ⑥， '()221f x x = ⑦ 将⑥⑦式代入⑤式得：ln ()2221y x x x x =+⋅-，即：ln 221y x x 1x =+- ⑧ ⑶即：()ln 1221212x 1x x a x 1⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩ 由1x 0<,2x 0>得：()1212x 10x +=>，即：1x 1>-，故：(,)1x 10∈- 由()1212x 1x +=得：()211x 2x 1=+，即：21x 2>，故：(,)21x 2∈+∞ 由ln 212x a x 1-+=-得：ln 221a x 1x =-+ ⑨ ⑷ 求a 的取值范围由⑨式可知，a 随1x ，2x 单调递增 则a 有最小值，当1x 0→，21x 2→时，a →最小值. 故：(,)ln ln 1211a a x 0x 102122>===-+=--，即：ln a 21>--()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数．若()f x 在(,)1+∞上是单调减函数，且()g x 在(,)1+∞上有最小值，求a 的取值范围. 解析：函数()f x 的导函数为：'()1f x a x=- ① 函数()g x 的导函数为：'()x g x e a =- ②⑴ 由()f x 在(,)1+∞上是单调减函数得：'()f x 0≤ (,)x 1∈+∞ 代入①式得：1a 0x-≤，即：1a x ≥考虑到(,)x 1∈+∞，故：a 1>，即：(,)a 1∈+∞ ⑵ 由()g x 在(,)1+∞上有最小值，是最值点为0x x = 则：'()0g x 0=，(,)0x 1∈+∞代入②式得：0x e a 0-=，即：0x a e =，即：ln 0x a =考虑到(,)0x 1∈+∞，故：a e >，即：(,)a e ∈+∞()()x 2f x x 1e kx =-- (其中k R ∈).当(,]1k 12∈时,求函数()f x 在[,]0k 上的最大值M .解析：函数()f x 的最大值出现在两个地方：一个是区间的端点，另一个是导数'()f x 0=的地方.⑴ 在区间端点x 0=处函数值为：()()02f 001e k 01=--=-g ① ⑵ 在区间端点x k =处函数值为：()()k 3f k k 1e k =-- ②因为：k e k 1≥+，所以：()()()323f k k 1k 1k k 1k ≥-+-=-- 即：()()232f k k k 1k 1k 1≥--=--因为：(,]1k 12∈，所以：()()2f k k 1k 11≥--≥-即：()()f k f 01≥=- ③ ⑶ 在极值点0x x =处当()f x 取极值0x x =时，其导数'()0f x 0= 即：'()()00x x 0000f x x e 2kx x e 2k =-=- 则：0x 0=和0x e 2k 0-=，即：ln()0x 2k = 故：0x 0=时，或ln()0x 2k =，函数的极值点.⑷ 当0x 0=时，()()0f x f 01==- 函数值与①式相同. ⑸ 当ln()0x 2k =时()()0x 2000f x x 1e kx =--[ln()ln ()]2k 22k 22k =--[ln()]()ln ()200002k 12k k 2k =-⋅-⋅[ln()ln ()]2000k 22k 22k =-- 令：()[ln()ln ()]2g k k 22k 22k =--则其导函数为：ln()'()[ln()ln ()][]2222k g k 22k 22k k k k=--+-即：'()ln ()2g k 2k 0=-≤故：()g k 是随k 单调递减函数，其最大值为()()11g 2122=-=-即：()0f x 的最大值是 ()0f x 1=- ④⑹ 通过这所有情况的对比，③式表明②式()()k 3f k k 1e k =--为最大值.当1k 2→时，()).1f k 094978→-+-B()()3211f x x ax a 1x 132=-+-+在区间(,)14内为减函数，在区间(,)6+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围.解析：由导函数的正负来判定函数的增减.函数()f x 的导函数为：'()()2f x x ax a 1=-+- ①⑴ 若导函数'()f x 在区间(,)14内为负值，则()f x 在该区间为减函数. 故：当(,)x 14∈时，'()()2f x x ax a 10=-+-<则：'()f x 为开口向上的二次函数，其两个零点分别是1x 1≤和2x 4≥于是化为解二次方程：()2x ax a 10-+-= 由韦达定理得：12x x a +=，12x x a 1=- 即：12a x x 5=+≥ ②故当：12a x x 5=+≥时，()f x 在(,)x 14∈区间为减函数. ⑵ 若导函数'()f x 在区间(,)6+∞内为正值，则()f x 在该区间为增函数. 故：当(,)x 6∈+∞时，'()()2f x x ax a 10=-+->则：当x 6=时， '()f x 0≥，即：'()()2f 666a a 10=-+-≥ 故：()266a a 10-+-≥，即：355a 0-≥，即：a 7≤ ③()22x a f x x 2-=+在区间[,]11-上是增函数，实数a 的值组成的集合A . 设关于x 的方程()1f x x=的两个非零实根为,12x x . 若存在实数m ，使得不等式212m tm 1x x ++≥-对任意a A ∈及[,]t 11∈-恒成立，求m 的取值范围. 解析：⑴ 函数与其导函数函数：()22x a f x x 2-=+ ①其导函数：'()[()()]()2221f x 2x 22x 2x a x 2=+--+ ()()2222x ax 2x 2=-+++ ② ⑵ 分析()f x 增减性得出A()f x 在区间[,]11-上是增函数，即：'()f x 0≥，[,]x 11∈-A> 当x 0=时，'()()()2222f 00a 021002=-+⋅+=>+ ③ B> 当x 0<时，即[,)x 10∈-，欲使'()f x 0≥即：()2x ax 20-++≥，即：2ax x 2≥-，即：2a x x≤- ④ 记：()12g x x x =-，则：'()122g x 10x=+> 即：2x x-是随x 单调递增的，即：()()()112g x g 1111≥-=--=- 故由④式得：a 1≤ ⑤C> 当x 0>时，即(,]x 01∈，欲使'()f x 0≥即：()2x ax 20-++≥，即：2ax x 2≥-，即：2a x x≥- ⑥ 记：()22g x x x =-，则：'()222g x 10x=+> 即：2x x -是随x 单调递增的，即：()()222g x g 1111≥=-=- 故由⑥式得：a 1≥- ⑦ 综合⑤⑦式得：[,]a 11∈- ⑧ ⑶ 解关于x 的方程()1f x x= 关于x 的方程()1f x x =，即：22x a 1xx 2-=+ （x 0≠） 即：222x ax x 2-=+，即：2x ax 20-+= ⑨设两个非零实根为,12x x ，则由韦达定理得：12x x a +=，12x x 2⋅=-于是：12x x -== ⑩ ⑷ 解析不等式212m tm 1x x ++≥-将⑩代入不等式得：2m tm 1++≥2m tm 10++-构建函数：()2h m m tm 1=++则()h m 是开口向上的抛物线，其解为,12m m ，于是不等式的解为1m m ≤和1m m ≥则方程2m tm 10++=的解为：。

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高中数学函数与导数常考题型整理归纳题型一:利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考，一般考查两类题型：(1）讨论函数的单调性、极值、最值，（2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】已知函数f（x）＝ln x＋a（1－x).(1）讨论f(x)的单调性；（2)当f（x）有最大值,且最大值大于2a－2时，求实数a的取值范围。

解(1)f（x）的定义域为(0，＋∞），f′(x）＝错误!－a。

若a≤0,则f′（x)＞0，所以f（x)在（0，＋∞）上单调递增。

若a＞0,则当x∈错误!时，f′(x)＞0；当x∈错误!时,f′（x）＜0，所以f（x)在错误!上单调递增，在错误!上单调递减。

综上,知当a≤0时，f(x)在(0,＋∞)上单调递增；当a＞0时，f（x)在错误!上单调递增，在错误!上单调递减.（2)由(1）知，当a≤0时，f（x)在（0，＋∞)上无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝1a处取得最大值，最大值为f错误!＝ln 错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1。

因此f错误!＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.令g（a)＝ln a＋a－1,则g（a)在（0,＋∞）上单调递增，g（1)＝0。

于是,当0＜a＜1时，g（a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0。

[高三数学]高考数学试题分类汇编2——函数与导数(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（[高三数学]高考数学试题分类汇编2——函数与导数(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2011年高考数学试题分类汇编：函数与导数一、选择题1。

(安徽理3) 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时,()f x x x 2=2-，则()f 1= (A ）-3 (B ） -1 (Ｃ）１ (Ｄ）3 【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属容易题.【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-。

故选A 。

2.(安徽理10) 函数()()m nf x ax x =1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m,n 的值 可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == （C) 2,1m n == (D ） 3,1m n ==【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1,2m n ==,()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+，则 ()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==,结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增,在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减,即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332，知a 存在.故选B 。

【最新】数学复习题《函数与导数》专题解析一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>，所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案． 【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．4．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+B ．146π- C ．4π D ．16【答案】B 【解析】 【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162rr r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭,令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝15，解得a ＝2．曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为()1223100111-x-x |442346dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞） 【答案】B 【解析】 【分析】利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2的取值范围． 【详解】 由题得f′（x ）=4k k x +﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()24x k x k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（x ＞0，k ＞0）由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），即21144k k x x +-﹣1=24k k x +﹣224x ﹣1， 化简得4（x 1+x 2）=（k+4k）x 1x 2， 而x 1x 2＜212()2x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+4k ）212()2x x +， 即x 1+x 2＞164k k+对k ∈[4，+∞）恒成立，令g （k ）=k+4k， 则g′（k ）=1﹣24k =()()222k k k+-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴164k k+≤165， ∴x 1+x 2＞165， 故x 1+x 2的取值范围为（165，+∞）. 故答案为B 【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.6．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．13C ．23D ．12【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，曲线21xy e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，所以曲线21xy e-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，令0y =，解得1x =，令y x =，解得23x y ==， 所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为1211233⨯⨯=，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，且()f x 的导函数'()f x 满足'()1f x >，则不等式()()ln ln f x ex <的解集为（ ） A ．()0,1 B ．()1,eC ．()0,eD ．(),e +∞【答案】A 【解析】 【分析】设()()g x f x x =-，由题得()g x 在R 上递增，求不等式()()ln ln f x ex <的解集，即求不等式(ln )(0)g x g <的解集，由此即可得到本题答案. 【详解】设()()g x f x x =-，则(0)(0)01g f =-=，()()1g x f x '='-， 因为()1f x '>，所以()0g x '>，则()g x 在R 上递增，又(ln )ln()1ln f x ex x <=+，所以(ln )ln 1f x x -<，即(ln )(0)g x g <， 所以ln 0x <，得01x <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数.9．函数()xe f x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．10．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ）A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】 【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0f f x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93x f x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，在()0+∞，上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)2+∞，B ．[)0+∞，C ．[]22-，D ．(][)22-∞-⋃+∞，， 【答案】A 【解析】 【分析】通过x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，构造新函数()()2g x f x x =-，可得()g x 为奇函数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.【详解】设()()2g x f x x =-，∵()()()()220g x g x f x x f x x +-=-+--=，∴函数()g x 为奇函数，∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<， ∴()()20g x f x x ''=-<，∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数， ∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数， 且()00g =，∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数， ∵()()4168f m f m m --≥-，∴()()()2244168g m m g m m m ⎡⎤⎡⎤-+--+≥-⎣⎦⎣⎦， ∴()()4g m g m -≥， ∴4m m -≤， 即2m ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.13．已知函数()ln xf x x=，则使ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（ ） A ．(0,1) B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】令()ln xt f x x==，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t a t =在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】 令()ln x t f x x ==，当01x <<时，()0ln x t f x x==<， 当1x >时，()2ln 1()ln x t f x x -''==，当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>，所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥，如图所示：所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t a t =在[),e +∞上只有一解， 令ln t m t =，21ln 0t m t -'=≤，所以ln t m t=在[),e +∞上递减， 所以10m e <≤， 所以10a e <≤，当1a e =时，x e =，只有一个零点，不合题意， 所以10a e<<故选：B【点睛】 本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．已知函数()()2ln 1f x x x =+，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】D【解析】∵())ln f x x =∴())f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=.∴()()f x f x =-∴函数()f x 是偶函数∴当0x >时，易得())f x x =为增函数∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>∴c a b >>故选D.15．()263,034,0x x x x f x x ⎧---≤=⎨->⎩，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．7【答案】D【解析】【分析】作出()f x 的图像，将()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数，令()t f x =，解()0f t =有三个实数根，再结合图像即可得到答案.【详解】由题意，()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数，作()f x 的图像如图所示，设()t f x =，则()0f t =，当0t ≤时，即2630t t ---=，解得，1236,36t t =-=-当0t >时，即340t -=，解得33log 4t =； 结合图像知，()36f x =-()36f x =-+3()log 4f x =时有三个根，所以()0f f x =⎡⎤⎣⎦有7个根，即()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为7. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生数形结合的思想，属于中档题.16．已知函数()2cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，315c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=⎪，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B【解析】【分析】判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案.【详解】 ()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数 故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x >故()f x 在()0,π上单调递增，()155log 3log 3a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()331log log 55b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a b << 故选：B【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.17．函数()2sin 2x f x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

高中数学《函数与导数》知识点归纳一、选择题1．函数()()2ln 43f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】D 【解析】 【分析】先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论． 【详解】由2430x x +->得14x -<<，即函数定义域是(1,4)-，2232543()24u x x x =+-=--+在3(1,]2-上递增，在3[,4)2上递减，而ln y u =是增函数，∴()f x 的减区间是3[,4)2． 故选：D ． 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑．2．函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>，所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．336ax ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式3ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.4．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．5．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．6．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．7．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】 令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f ==∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-， 即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A 【点睛】本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.8．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞） 【答案】B 【解析】 【分析】利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2的取值范围． 【详解】 由题得f′（x ）=4k k x +﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()24x k x k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（x ＞0，k ＞0）由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），即21144k k x x +-﹣1=24k k x +﹣224x ﹣1，化简得4（x 1+x 2）=（k+4k）x 1x 2，而x 1x 2＜212()2x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+4k ）212()2x x +， 即x 1+x 2＞164k k+对k ∈[4，+∞）恒成立， 令g （k ）=k+4k， 则g′（k ）=1﹣24k =()()222k k k+-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴164k k+≤165， ∴x 1+x 2＞165， 故x 1+x 2的取值范围为（165，+∞）. 故答案为B 【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.9．函数()xe f x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（ ）A ．4或3-B ．4或11-C ．4D ．3-【答案】C 【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求． 详解：∵322()f x x ax bx a =+++， ∴2()32f x x ax b '=++． 由题意得2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩， 即2239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩． 当33a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．11．若函数f （x ）=()x 1222a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．()5,∞-+ B ．[)5,∞-+ C ．(),5∞-- D ．(],5∞-- 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解. 【详解】由题()xf x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+()()12f x log x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以4a 1+≥-，解a 5≥-. 故选B. 【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.12．若函数321()1232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ）.A ．423b -B ．3223b - C ．0D ．2316b b -【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到(2)f 是函数的极小值即可．【详解】解：2()(2)2()(2)f x x b x b x b x '=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，31b ∴-<<，由()0f x '>，解得：2x >或x b <，由()0f x '<，解得：2b x <<，()f x ∴的极小值为()84(2)424233f b b b =-++=-，故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.13．已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】∵())lnf x x =∴())f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=.∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数∴当0x >时，易得())f x x =为增函数∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>∴c a b >> 故选D.14．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．15．已知ln 3ln 4ln ,,34a b e c e===（e是自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据ln 3ln 4ln ,,34a b e c e===的结构特点，令()ln x f x x =，求导()21ln xf x x -'=，可得()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减，再利用单调性求解.【详解】令()ln xf x x=，所以()21ln xf x x -'=，当0x e <<时， ()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减. 因为34e <<，所以 ()()()34>>f e f f ， 即b a c <<. 故选：C 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.16．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e【解析】 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1x e=求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.17．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C.本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.18．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫=⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.19．函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减，若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则需1530a a >⎧⎨-≥⎩，解不等式即可.【详解】0a >Q5y ax ∴=-在定义域内单调递减若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数 则需1530a a >⎧⎨-≥⎩，解得513a <≤故选：D 【点睛】本题考查对数函数的单调性，属于中档题.20．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D . 【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.。