全国各地初中（九年级）数学竞赛专题大全
竞赛专题7 几何
一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）．
A ．120,180,60︒︒︒
B ．108,144,108︒︒︒
C ．90,180,90︒︒︒
D ．72,216,720︒︒︒
2．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于A
B 、两点，点O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，k ，b 的值为（ ）
A ．4k =-，8b =
B ．4k =-，4b =
C ．2k =-，4b =
D ．2k =-，2b =
3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知DEF 的边长分别为3,2，正六边形网格由24个边长为2的正
三角形组成，以这些正三角形的顶点画ABC ，使得ABC DEF ∽
△△，相似比为AB
k DE
=，那么k 的不同值共有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
4．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，
点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．
5．（2021·全国·九年级竞赛）把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切．若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________． 6．（2021·全国·九年级竞赛）由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______．
7．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖，现向上抛掷半径为3cm 的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________． 三、解答题
8．（2021·全国·九年级竞赛）平面上7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连．问最少要连几条线段？证明你的结论．
9．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2．
10．（2021·全国·九年级竞赛）设1M 是凸五边形12345A A A A A ，将1M 沿1i A A 方向平移，使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =．证明：12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．
11．（2021·全国·九年级竞赛）在圆周上任取21个点，证明：以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过
120︒的弧．
12．（2021·全国·九年级竞赛）两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面，先到的人要等候另一人20分钟，过时就可以离开．如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此独立的（即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响），试计算两人能会面的概率．
13．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给出n个不全共线的点，求证：存在一条直线l，它恰通过其中两个点．14．（2021·全国·九年级竞赛）已知A，B，C，D为平面上两两距离不超过1的任意4点，今欲作一圆覆盖这4点（即A，B，C，D在圆内或圆周上）问圆的半径最小该是多少？试证明之．15．（2021·全国·九年级竞赛）任意凸四边形ABCD中总存在一条对角线和一条边，以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形．
16．（2021·全国·九年级竞赛）设甲是边长为1的正三角形纸片，乙是边长为1的正方形纸片，丙是边长为1的正五边形纸片，丁是边长为1的正六边形纸片．证明：
（1）不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆；
（2）能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆．
17．（2021·全国·九年级竞赛）在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆．证明：其中总还有一块空位置，可以完整地放入一个半径为1的小圆．
18．（2021·全国·九年级竞赛）将4张圆形纸片放在桌面上，使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点，那么这4张圆形纸片是否一定有公共点？证明你的结论．
19．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两
两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于1
9
．
20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖．
21．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液，现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）．
（1）当30
α=︒时，通过计算说明此溶液是否会溢出；
（2）现需要倒出不少于3
3000cm的溶液，当α等于60︒时，能实现要求吗？通过计算说明理由．22．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不
需要等候码头空出的概率（精确到0.001）．
23．（2021·全国·九年级竞赛）把长为a 的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．
24．（2022·福建·九年级竞赛）如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠DAC =45°，以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ，过点B 作AC 的垂线，垂足为H ．求证：E ，H ，F 三点共线．
竞赛专题7 几何答案解析
一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）．
A ．120,180,60︒︒︒
B ．108,144,108︒︒︒
C ．90,180,90︒︒︒
D ．72,216,720︒︒︒
【答案】B 【详解】
解 设分配生产甲、乙、丙3种元件的人数分别为x 人，y 人，z 人，于是每小时生产甲、乙、丙三种元件的个数分别为50,30,20x y z ．为了提高效率应使生产出来的元件全部组成成品而没有剩余．设共可组成k 件成品，则503020504020x y z k =
==，即4,,3x k y k z k ===，从而4
::1::13:4:33
x y z ==．设在扇形图中生产甲、乙、丙三种元件的圆心角分别为,,αβγ，则
33
36036036010834310x x y z α=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，
44
36036036014434310y x y z β=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，
33
36036036010834310
z x y z γ=
⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++．
故应选B ．
2．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于A B 、两点，点O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，k ，b 的值为（ ）
A ．4k =-，8b =
B ．4k =-，4b =
C ．2k =-，4b =
D ．2k =-，2b =
【答案】A 【详解】
解 因函数y kx b =+的图象过点(1,4)P ，所以4,4k b b k =+=-，于是(4)y kx k =+-． 令0y =得4,0k A k -⎛⎫
⎪⎝⎭
． 令0x =得(0,4)B k -．连OP ，得 11
4122
OAB
OAP OPB
S
S
S
OA OB =+=⨯⨯+⨯⨯ 141
41(4)22k k k -=⨯⨯+⨯⨯- 11642k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
．
显然0k <．令k u =-，则0u >，于是
116116
442822OAB
S
u u u u
⎛⎫=++≥+⨯⨯= ⎪⎝⎭．
等号成立当且仅当16
(0)u u u
=>，即4u =，这时4,48k b k =-=-=． 故选A ．
注：OAB 的面积也可用114(4)22OAB
k S
OA OB k k
-=⨯⨯=⨯⨯-算出． 3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知DEF 的边长分别为3,2，正六边形网格由24个边长为2的正
三角形组成，以这些正三角形的顶点画ABC ，使得ABC DEF ∽
△△，相似比为AB
k DE
=，那么k 的不同值共有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【详解】
作图知与DEF 相似的三角形，而相似比不同的三角形只有如图所示的三种，故选C ．
二、填空题
4．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．
【答案】550(010)y x x =+<< 【详解】
解 由DP x =得10PC x =-． 又
12BF BE PC EC ==，即11
(10),10(10)22
BF x AF BF x =-=-=+， 所以EFB
AFPD y S
S =+四边形
11
()22BE BF AF DP AD =⨯⨯++⨯ 111110(10)(10)102222x x x ⎡⎤
=
⨯⨯-+++⨯⎢⎥⎣⎦
550(010)x x =+<<． 故应填550(010)y x x =+<<．
5．（2021·全国·九年级竞赛）把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切．若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________． 【答案】1133
．
【详解】
如图，设1O 的半径为8，2O ，3O 的半径为5，切点为A ．由对称性，能盖住这3个圆的最小圆形纸片的中心O 在对称轴1O A 上，且与已知三个圆内切．若设这个圆形纸片的半径为r ，则在12Rt O O A 中
2222
1122(85)512O A OO O A =-=+-=，在2Rt OO A 中，25OO r =-，1112(8)OA O A OO r =-=--，25O A =，于是，由222
22OO O A OA =+得222(5)5(128)r r -=+-+，由此解出401
1333
r =
=，即所求圆形纸片的最小半径等于1
133
．
6．（2021·全国·九年级竞赛）由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______． 【答案】42
π
+
【详解】
如图，所覆盖面积2 114214222
ABC
S S S π
π=+=⨯⨯+⋅=+半圆．
故答案为：42
π
+
．
7．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖，现向上抛掷半径为3cm 的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________． 【答案】
4
9
【详解】
解 要使圆碟与地砖的边缘不相交的条件是落地后圆碟的中心到正六边形地砖ABCDEF 的任何一边的距离不小于圆的半径63cm ，也就是圆碟的中心必落在与地砖ABCDEF 同中心且边与地砖边彼此平行、距离为63111111A B C D E F 内（图6－1）．
作OG AB ⊥于G ，交11A B 于1G 且163cm GG =，所以33336183OG AB =
===1118363123OG OG GG =-==
而113OG =
，所以1132433OA =
==，故11124A B OA ==． 设正六边形ABCDEF 和111111A B C D E F 的面积分别为S 和1S ，则所求概率为22211122224243639
S A B p S AB =====．故应填
4
9
． 三、解答题
8．（2021·全国·九年级竞赛）平面上7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连．问最少要连几条线段？证明你的结论．
【答案】9条，见解析 【详解】
解法一：设最少要连n 条线段，如图4－3中7个点之间共连有9条线段，其中任意三点间必有两点连有线段，故9n ≤．
另一方面，我们证明9n ≥，下面分4种情形讨论： （1）若7点中存在一点1A 不与其他6点237,,,A A A 连线，则依题意1A ，i A ，j A (27)i j ≤<≤中必有2点
连线，于是只可能i A 与j A 连有线，即237,,
,A A A 这6点中任意两点连有线，图中一共连了
65
152
⨯=条线． （2）若7点中存在一点1A 只连出一条线段，设1A 仅与2A 连有线而与其余5点3A ，4A ，5A ，6A ，7A ，没有连线，则同（1）可知3A ，4A ，5A ，6A ，7A 这5点中任意两点连有线，至少连有
54
102
⨯=条线．
（3）若每点出发至少连出2条线，且有一点恰连出2条线．设该点为1A ，它连出的两条线为12A A ，13A A ，则不与1A 相连的4个点每两点连有线，要连
43
62
⨯=条线，而2A 连出的线段至少2条，除21A A 外，至少还有一条，所以此时至少要连6219++=条线． （4）若每点至少连出3条线，则至少要连73
102
⨯>条线． 综上所述，最少要连9条线段．
解法二：设7点中从1A 出发所连的线段最少，只有k 条，设它们是121311,,,k A A A A A A +，其余6k -个点
126,,
,k B B B -都与1A 没有连线，于是对任意2点i B ，j B (16)i j k ≤<≤-，由已知条件知1A ，i B ，j B 中必有
2点连有线，而1A 与i B ，1A 与j B 没有连线，故只可能i B 与j B 连有线，即16,
,k B B -中每点与其余5k -点连
有线，于是从各点连出的线段数的总和不少于(1)(6)(5)k k k k ++--221030k k =-+．
但上述计数中每条线段计算了2次，故图中所连线段至少为()2
1210302k k -+=2
2
551522k ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
22
151522⎛⎫⎛⎫
≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1569=-=，即至少要连9条线段． 另一方面，如图4－3中，7点中连有9条线段时满足题设条件． 综上所述，最少要连9条线段．
9．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2． 【答案】见解析 【详解】
分析 把圆等分为9个扇形显然不行（虽然必有一扇形内至少有2点，但不保证它们的距离小于2），因此，我们先作一个与已知圆同心的小圆（其直径必须小于2，但不能太小），然后将余下的圆环部分8等分． 证明 设O 是已知圆心，如图，以O 为圆心作半径为0.9的圆，再将余下的圆环8等分，于是将已知圆面分成了9个部分，由抽屉原理知其中必有一部分内至少有已知10点中的101129-⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
点,M N ，若,M N 在小圆内，则220.9 1.82MN OC ≤=⨯=<． 若,M N 同在一个扇面形内，则由余弦定理，有
222cos45MN AC OC OA OC OA ≤+-⋅︒0.81 6.2520.9 2.50.7 3.912+-⨯⨯⨯<．
从例2可以看出，分割图形制造“抽屉”时，可能不是将图形等分为几部分，而是要求分割的每一部分图形都具有所需要的性质（例2中每一部分图形内任意两点的距离都小于2），读者应用这种方法解题时，应该注意到这一点．
10．（2021·全国·九年级竞赛）设1M 是凸五边形12345A A A A A ，将1M 沿1i A A 方向平移，使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =．证明：12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．
【答案】见解析 【详解】
证明 如图，以1A 为位似中心，以2:1为相似比作1M 的位似图形M ，则M 仍为凸五边形且1M 在M 内．下面我们证明2345,,,M M M M 都在M 内，例如先证4M 在M 内．设P 是4M 内任意一点，它是1M 内的点Q 经过平移得到的，于是14QP A A ∥，故14A A PQ 为平行四边形，又R 是14A A PQ 的两条对角线的交点，因Q 和4A 属于1M ，且1M 是凸五边形，故R 属于M ，而111,:2:1A R RP A P A R ==，故P 属于M ．又P 是M ，内任意一点，所以4M 包含在M 之内，同理235,,M M M 都包含在M 内，设12345,,,,M M M M M 及M 的面积分别为12345,,,,S S S S S 及S ，则2123451152S S S S S S S S ++++=>⋅=．
于是，由图形重叠原理知，12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．
11．（2021·全国·九年级竞赛）在圆周上任取21个点，证明：以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过
120︒的弧．
【答案】见解析 【详解】
证明：我们称不超过120︒的弧为好弧．不妨设以1A 为端点的好弧最少，并且设它只有1n -条，它们是
12131,,
,n A A A A A A ，从而以231,,
,n A A A -为端点的好弧都至少有1n -条，故以这n 个点为端点的好弧至少有
1
(1)2
n n ⋅-条，除这n 个点外，其余21n -个点记为1221,,,n n A A A ++，从中任取两点,(121)i j A A n i j +≤<≤．因
1i j A A A ，至少有一个内角不超过60︒，故11,,i j i j A A A A A A 中至少有一条弧不超过260120⨯︒=︒，根据1A 的取
法，这条弧不能是1i A A 和1j A A ，而只能是j i A A ，即j i A A 是好弧．可见以1221,,
,n n A A A ++中任意两点
,(121)i j A A n i j +≤<≤为端点的弧都为好弧．这样的好弧有1
(21)(20)2
n n ⋅--条．综上所述知好弧至少有
22
11213991399(1)(21)(20)100222424y n n n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅--=-+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
条．当10n =或11时，y 取到最小值100，于是结论成立．
12．（2021·全国·九年级竞赛）两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面，先到的人要等候另一人20分钟，过时就可以离开．如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此独立的（即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响），试计算两人能会面的概率． 【答案】59 【详解】
解 我们用,x y 分别表示,A B 到达的时刻，而两人能会面的充分必要条件为20x y -≤，其中
060,060x y ≤≤≤≤．我们用平面直角坐标系中的点(),x y 表示,A B 到达的时刻（从中午12点以后算起，以分为单位），于是所有可能结果是一个边长为60的正方形OABC ．代表能够会面的点都落在图中画有阴影线的区域H 内（图6－2），于是
21260240402
H ADE OABC S S S =-⨯=-⨯⨯⨯正方形 226040=-，
故两人能会面的概率为
22226040251()6039
H
OABC S p S -===-=正方形． 答：两人能会面的概率等于59
． 13．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给出n 个不全共线的点，求证：存在一条直线l ，它恰通过其中两个点．
【答案】见解析
【详解】
证明：平面上只有有限点，过每两点作一直线只有有限点直线，每条直线与不在这条直线上的点（由已知条件知这样的点必存在）配成对，则这样的点只有有限个，每个点线对中都有该点到直线的距离，记这些距离最小的点对为(,)P l ，则l 为所求．
实际上，设l 上有不少于3个给定的已知点，则过P 作PA l ⊥于A （如图），则在l 上A 的某一侧（包括A ）必有2个已知点，设为,M N （M 可能与A 重合，连PN ，并M 作MQ PN ⊥于Q ，过A 作AR PN ⊥于R ，则MQ AR AP d ≤<=，这与AP d =最小矛盾，于是结论得证．
注 本题是英国著名数学家希尔维斯特(J.J. Sylvester)在其逝世前不久提出的一个有趣的问题．这个貌似简单的问题，当时困扰过不少的数学家，并且这状况持续350年之久，直到1933年，伽莱(T. Callai)
给出了
一个非常复杂的证明．不久以后，凯里(L. M. Kelly) 才给出上述很简单的证明，其证法的关键就是利用极端原理．
14．（2021·全国·九年级竞赛）已知A ，B ，C ，D 为平面上两两距离不超过1的任意4点，今欲作一圆覆盖这4点（即A ，B ，C ，D 在圆内或圆周上）问圆的半径最小该是多少？试证明之． 3 【详解】
注意最不利的情形点A 、B 、C 、D 中有3点构成边长等于1的正三角形，覆盖此三角形的圆的半径不小33 （1）A 、B 、C 、D 共线，这时4点在一条长度不超过1的线段内，结论显然成立；
（2）A 、B 、
C 、
D 中有3点（例如A 、B 、C ）构成一个三角形，第4点D 在此三角形内，不妨设60C ∠≥︒，以AB 为弦作圆O ，使AB 所对的弓形弧（含C 的一侧）为60︒，则此圆O 覆盖A 、B 、C 、D 4点．作此圆直径2A
E R =，则22222(2)1R R AE BE AB -=-=≤，即3R ≤
，故A 、B 、C 、D 4点被一个半径不大3 （3）A 、B 、C 、D 是一个凸四边形的4个顶点，则A C ∠+∠，B D ∠+∠中必有一个不小于180︒，不妨设180B D ∠+∠≥︒，同（2）可证ABC 的外接圆半径3≤
180B D ∠+∠≥︒知D 点也在这个圆内或圆周上，故A 、B 、C 、D 3 3
15．（2021·全国·九年级竞赛）任意凸四边形ABCD 中总存在一条对角线和一条边，以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形．
【答案】见解析
【详解】
四边形的4个内角中至少有一个90≥︒，不妨设90A ∠≥︒，以对角BD 为直径的圆O 必覆盖ABD △．若90C ∠≥︒，圆O 覆盖四边形ABCD 结论成立，若90C ∠>︒，则C 在圆外，圆O 与CD 、CB 中至少一条线段相交，不妨设圆O 与CD 交于E ，于点分别以BD 、BC 为直径的两个圆覆盖四边形ABCD ．
16．（2021·全国·九年级竞赛）设甲是边长为1的正三角形纸片，乙是边长为1的正方形纸片，丙是边长为1的正五边形纸片，丁是边长为1的正六边形纸片．证明：
（1）不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆；
（2）能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
（1）因为对于半径为1的圆，边长为1的正三角形至多盖住60︒的弧，边长为1的正方形至多盖住90︒的弧，边长为1的正五边形至多盖住120︒的弧（因边长为1的正五边形对角线的长<边长为1的正六边形对角线的长3=，而6090120360︒+︒+︒<︒，所以甲、乙、丙合起来不得盖住半径为1的圆．
（2）如图所示，用甲、乙、丙、丁合起来可盖住半径为1的圆．
17．（2021·全国·九年级竞赛）在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆．证明：其中总还有一块空位置，可以完整地放入一个半径为1的小圆．
【答案】见解析
【详解】
分析 与证明设半径为6的大圆O 内任意放入6个半径为1的小圆，则小圆圆心都在以O 为中心，615-=为半径的圆内．如果大圆内无论怎样再放入一个半径为1的小圆7O ，都要与6个小圆中某个(16)i O i ≤≤重叠，那么7112i O O ≤+≤，即半径为5的圆将被6个半径为2的圆所覆盖．由图形重叠原理知6个小圆的总面积将不小于半径为5的圆的面积．但实际上226224255ππππ⋅=<=⋅，得到矛盾，于是命题得证．
注：本例的证题关键是将外圆缩小，而将里圆扩大，这是解决嵌入问题的一种技巧，即收缩与膨胀技巧或裁边与镶边技巧．
18．（2021·全国·九年级竞赛）将4张圆形纸片放在桌面上，使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点，那么这4张圆形纸片是否一定有公共点？证明你的结论．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】
【详解】
设4张圆形纸片是(1,2,3,4)k O k ，其中1O ，2O ，3O 有公共点1A ，1O ，2O ，4O 有公共点2A ，1O ，3O ，4O 有公共点3A ，2O ，3O ，4O 公共点4A ．
（1）若1A ，2A ，3A ，4A 共线（如图顺序），因为1A ，3A 都是圆形纸片1O 与3O 的公共点，故线段13A A 在圆形纸片1O 与2O 的公共部分内，又24A A 都是圆形纸片2O 与4O 的公共点，故线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内，所以线段23A A 上任意一点都是这4张圆形纸片的公共点．
（2）若1A ，2A ，3A ，4A 中有一点在以其余3点为顶点的三角形的边界上或内部（如图）．因为1A ，2A ，3A 都在1O 内，故123A A A △被圆形纸片1O 所覆盖，从而4A 在圆形纸片1O 内，而4A 是圆形纸片2O ，3O ，4O 的公共点，所以4A 是这张圆形纸片的公共点．
（3）若1A ，2A ，3A ，4A 是一个凸四边形的4个顶点（如图），同上可知线段13A A 在圆形纸片1O 与3O 的公共部分内，线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内，所以13A A 与24A A 的交点是这4张圆形纸片的公共点．
总之，这4张圆形纸片一定有公共点．
19．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于19
． 【答案】见解析．
【解析】
【分析】
【详解】
从给定圆中选出半径最大的圆1O ，其半径为1r ，面积为1S ，则与圆1O 有重叠的圆连同圆1O 一起覆盖的面积
()211139M r S π≤=，即1119
S M ≥．然后去掉与圆1O 重叠的圆，再从剩下的圆（圆1O 除外）选出半径最大的圆2O ，其半径为2r ，并将与圆2O 有重叠的圆去掉．这样经过有限步可得有限个两两不重叠的圆1O ，2O ，…k O ，它们覆盖的面积为()12121199
k k S S S M M M ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=． 20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】
【详解】
设正方形ABCD 的边长为5，先放置一个边长为4的正方形CEFG ，其中C 为原正方形ABCD 的一个顶点，E 在边CD 上，F 在正方形ABCD 内，G 在边CB 上．连AF ，再放置第二个边长为4的正方形111AB C D ，其中A 是原正方形的一个顶点，且使D 在射线11D C 上（如图），由勾股定理有：22
11D D AD AD =-2211543D C =-=<．故D 在线段11D C 内，且1111431C D D C D D =-=-=．设11B C 与CD 交于H ，则1541DE CD CE DC DH =-=-==<，故E 在线段DH 内，从而E 被正方形111AB C D 覆盖．又
11145B AD B AC FAD ∠>∠=︒=∠，即AF 在1B AD 内，且1224AF DE AB ==，故F 也被正方形111AB C D 覆盖，这就证明了梯形AFED 可以被一个边长为4的正方形111AB C D 所覆盖．同理，梯形AFGB 也可以被一个边长为4的正方形222AB C D 所覆盖，于是正方形ABCD 可被3个边长为4的正方形所覆盖． 21．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液，现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）．
（1）当30α=︒时，通过计算说明此溶液是否会溢出；
（2）现需要倒出不少于33000cm 的溶液，当α等于60︒时，能实现要求吗？通过计算说明理由．
【答案】（1）不会溢出，理由见解析；（2）不能实现要求，见解析．
【解析】
【分析】
【详解】
（1）当30α=︒时，如图a ，过C 作//CF BP 交AD 所在直线于F ．
在Rt CDF △中，20330,20cm,30cm FCD CD DF ∠=︒==
<，所以点F 在线段AD 上，20330AF =此时容器内能容纳的溶液量为
()3 ()203320203030201040003cm 2ABCF AF BC AB S ⎛⎫⎛+⋅=⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭梯形．而容器中原有溶液量为()32020208000cm ⨯⨯=．因为3400038000⎛> ⎝⎭
，所以当30α=︒时溶液不会溢出． （2）如图b ，当60α=︒时，过C 作//CF BP 交AB 所在直线于F ．在Rt CBF △中，
30cm 30BC BCF =∠=︒，，10320cm BF =<，所以点F 在线段AB 上，故溶液纵截面为Rt BFC △．因211503cm 2
BFC S BC BF =⨯⨯=，容器内溶液量为315032030003cm =，倒出的溶液量为3(80003)3000cm -<，所以不能实现要求． 22．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率（精确到0.001）．
【答案】0.879．
【解析】
【分析】
【详解】
设自当天零时算起，甲、乙两船到达码头的时刻分别是x 和y ，则必须024,024x y ≤≤≤≤．我们视(),x y 为平面直角坐标系内的点，于是点(),x y 落在一个面积为224S =的正方形OABC 的内部或边界上（如下图）．如果轮船不需要等候码头空出，那么当船甲先到时，船乙应迟来1个小时以上，即1y x -≥，即1y x ≥+；当船乙先到时，船甲应迟来2个小时以上，即2x y -≥，即2y x ≤-，即点(),x y 应在直线1y x =+的上方且在
直线2y x =-的下方，也就是点(),x y 应在如图所示的两个三角形ADE 和CFG △中某一个的内部或边界上，故所求概率ADE CFG
ABCD S S p S +=四边形．而24123,24222CG CF AD AE ==-===-=，所以
211222223231103220.879241152
p ⨯⨯+⨯⨯===． 答：两船中任何一艘都不需要等候码头空出的概率为0.879．
23．（2021·全国·九年级竞赛）把长为a 的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．
【答案】14
【解析】
【分析】
【详解】
解 设其中两条线段的长为,x y ，则第3条线段的长为()a x y -+，于是,x y 的取值范围是
0,0,0,
0,0()0.x a x a y a y a a x y a x y a ⎧<<<<⎧⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪<-+<<+<⎩⎩ ① 要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和．这等价于每条线段的长度都小于2
a ，即 0,0,220,0,220().22a a x x a a y y a a a x y x y a ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<-+<<+<⎪⎪⎩⎩ ②
将(),x y 视为平面直角坐标系的坐标，则满足条件①的点(),x y 在以()()()0,0,,0,0,O A a B a 为顶点的OAB 内．
而满足条件②的点(),x y 在以(,),(0,),,0()2
222a a a a C D E 为顶点的CDE △内，故所求概率为1122214
2CDE OAB a a CD DE S
p S a a OA OB ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯．
答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为14
． 24．（2022·福建·九年级竞赛）如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠DAC =45°，以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ，过点B 作AC 的垂线，垂足为H ．求证：E ，H ，F 三点共线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
如图：证明P ，A ，B ，C 四点共圆．可得CBE APC ∠=∠．①，证明C ，E ，B ，H 四点共圆，可得CHE CBE ∠=∠．②，证明C ，H ，F ，P 四点共圆，可得180APC CHF ∠=︒-∠．③，由①②③代换可得180CHE CHF ∠+∠=︒．可得结论；
【详解】
如图，延长BH 与直线AD 相交于点P ，连接CP ．
因为45DAC ∠=︒，BP AC ⊥，
所以45BPA ∠=︒．
又45BCA
DAC
∠=∠=︒，
所以BPA BCA ∠=∠，于是P ，A ，B ，C 四点共圆．
所以CBE APC ∠=∠．①
连接CE ，由AC 为圆直径，得90CEA CHB ∠=︒=∠，
所以C ，E ，B ，H 四点共圆，
于是CHE CBE ∠=∠．②
连接CF ，由AC 为圆直径，得90CFP CHP ∠=︒=∠，
所以C ，H ，F ，P 四点共圆，
于是180APC CHF ∠=︒-∠．③
由②，①，③，得180CHE CBE APC CHF ∠=∠=∠=︒-∠，
所以180CHE CHF ∠+∠=︒．
所以E ，H ，F 三点共线．
【点睛】
本题考查了圆内接罩边形的判断及性质，难度较大，解题的关键是构造圆内接四边形．
第16章几何变换 §16.1对称和平移 16．1．1★设M 是边长为2的正三角形ABC 的边AB 的中点．P 是边BC 上的任意一点，求PA PM +的最小值． C A' M'P A M B 解析 作正三角形ABC 关于BC 的对称图形A BC '△．M '是M 的对称点，故M 是A B '的中 点．PM PM '=，如图所示，则 PA PM PA PM AM ''+=+≥. 连结CM '，易知90ACM '∠=?，所以AM '=． 所以，PA PM + 16．1．2★★已知ABC △中，60A ∠
B D P A R C Q S V E T G F U 将Rt ABC △以BC 为对称轴反射为Rt BCE △，此时PQR △反射为SQV △，再将Rt BCE △以CE 为对称轴反射为Rt FCE △，此时SQV △反射为TUV △延长DC 交EF 于G ． 易知FF AB ∥，所以CG CD =，即2GD CD =，且GD 是两平行线AB 与EF 之间的距离． 所以 2PQ QR RP PQ QV VT GD CD ++=++=≥. 16．1．4★★★在ABC △内取一点M 使10MAB ∠=?，30MBA ∠=?．设80ACB ∠=?， AC BC =．求AMC ∠. C H B M E 解析 本题中ABC △为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作ABC △的高CH 与直线BM 交于点E 由对称性知， 30EAB EBA ∠=∠=?， 所以20EAM ∠=?， 从而20CAE ∠=?， 因为40AME MAB MBA ∠=∠+∠=?，又 1 402 ACE ACB ∠=∠?=， 所以CAF △≌MAE △， 于是AC AM =， 所以()1 18040702 AMC ∠= ?-?=?． 16．1．5★★在ABC △中，AH 是高，H 在边BC 上，已知45BAC ∠=?，2BH =，3CH =，求ABC △的面积． 解析 作HAC △的关于AC 的对称图形MAC △，作H A B △的关于AB 的对称图形NAB △．分 别延长MC 和NB ，它们相交于L ，如图所示．
九年级数学竞赛试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（，每小题3分，满分24分） 1．给出四个数 ， 最大的数是（ ） A ．1- B ．0 C ． 3 D ． -4 2．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．下列计算正确的是（ ）． A ．a 3+a 2=a 5 B ．(a －b )2=a 2－b 2 C ．a 6b ÷a 2=a 3b D ．(－ab 3)2=a 2b 6 4．在某校“我的梦想”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）. A.众数 B. 中位数 C.平均数 D. 方差 5．如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC=8，BD=6， 则菱形ABCD 的周长是（ ） A ．48 B ．24 C ． D ．20 6．如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为 1,221-==x x ,那么p ，q 的值分别是 ( ) 7．如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合． 已知AC=5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为（ ） A ．12cm B ．10cm C ．7cm D ．22cm 8．如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （-2，0），B （0，3）两点，则不等式kx+b ＞0的解集是（ ） A ．x ＞3 B.-2＜x ＜3 C.x ＜-2 D.x ＞-2 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 9． x 的取值范围是_____ 10．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓.据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学计数法表示为 第6题图 第8题图 第2题图
全国各地初中（九年级）数学竞赛专题大全 竞赛专题7 几何 一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）． A ．120,180,60︒︒︒ B ．108,144,108︒︒︒ C ．90,180,90︒︒︒ D ．72,216,720︒︒︒ 2．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于A B 、两点，点O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，k ，b 的值为（ ） A ．4k =-，8b = B ．4k =-，4b = C ．2k =-，4b = D ．2k =-，2b = 3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知DEF 的边长分别为3,2，正六边形网格由24个边长为2的正 三角形组成，以这些正三角形的顶点画ABC ，使得ABC DEF ∽ △△，相似比为AB k DE =，那么k 的不同值共有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题 4．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，
点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________． 5．（2021·全国·九年级竞赛）把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切．若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________． 6．（2021·全国·九年级竞赛）由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______． 7．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖，现向上抛掷半径为3cm 的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________． 三、解答题 8．（2021·全国·九年级竞赛）平面上7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连．问最少要连几条线段？证明你的结论． 9．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2． 10．（2021·全国·九年级竞赛）设1M 是凸五边形12345A A A A A ，将1M 沿1i A A 方向平移，使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =．证明：12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点． 11．（2021·全国·九年级竞赛）在圆周上任取21个点，证明：以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过 120︒的弧． 12．（2021·全国·九年级竞赛）两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面，先到的人要等候另一人20分钟，过时就可以离开．如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此独立的（即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响），试计算两人能会面的概率．
几何经典难题 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初三） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点， ∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 6、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三） 7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三 ） 8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． N
数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK•sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．
第18章 整数几何 18.1.1★已知ABC △的两条高长分别是5、15，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值． 解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件． 设第三条高为h ，则 111,155 111.515h h ?+>??? ?+>?? 解得1515 45 h <<，h 可取4、5、6、7这四个值． 18.1.2★已知ABC △的三边长分别为3AB n x =+，2BC n x =+，CA n x =+，且BC 边上的高AD 的长为n ，其中n 为正整数，且01x <≤，问：满足上述条件的三角形有几个？ 解析 注意AB 为ABC △之最长边，故90B ∠，而z 可正可负． A B D C 由2y z n x +=+，及()()()2 2 223242y z n x n x n x x -=+-+=+?，得4y z x -=，32 n y x = +，由勾股定理，知()2 22332n x n n x ?? ++=+ ??? ，展开得12n x =，由01x <≤及n 为正整数，知 1n =，2，…，12，这样的三角形有12个． 18.1.3★已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为52∶，求此三角形周长的最大值． 解析 设该直角三角形直角边长为a 、b ，斜边为c ，则外接圆半径2 c R =，内切圆半径 2 a b c r +-= ，不妨设20a ≤． 由条件知 5 2 c a b c =+-，557a b c +=，平方，得()() 222225249a b ab a b ++=+，即 ()2212250a b ab +-=， ()()34430a b a b --=， 于是3a k =，4b k =，5c k =，或4a k =，3b k =，5c k =，周长为12k ，k 为正整数．k 的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为72．
数学初中竞赛几何专题训练 1．如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△PAM∽△PBC；②PM ⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（） A．4 B．3 C．2 D．1 解：∵AP⊥BN， ∴∠PAM+∠PBA＝90°， ∵∠PBA+∠PBC＝90°， ∴∠PAM＝∠PBC， ∵∠PMA＝∠PCB， ∴△PAM∽△PBC， 故①正确； ∵△PAM∽△PBC， ∴∠APM＝∠BPC， ∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC， 故②正确； ∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°， ∴B、C、P、M四点共圆， ∴∠MPB＝∠MCB， 故③正确； ∵AP⊥BN，
∴∠APN＝∠APB＝90°， ∴∠PAN+∠ANB＝90°， ∵∠ANB+∠ABN＝90°， ∴∠PAN＝∠ABN， ∵∠APN＝∠BPA＝90°， ∴△PAN∽△PBA， ∴， ∵△PAM∽△PBC， ∴， ∴， ∵AB＝BC， ∴AM＝AN， 故④正确； 故选：A． 2．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）
A．2 B．3 C．4 D．6 解：如图， 以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E）， 以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D）， 以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E）， 以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B）， 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C）， 以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C）， 共6组． 故选：D． 3．如图，在四边形AOBC中，若∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则下列结论正确的有（）（1）A、O、B、C四点共圆 （2）AC＝BC （3）cos∠1＝ ＝ （4）S 四边形AOBC A．1个B．2个C．3个D．4个 解：∵∠3+∠4＝180°， ∴A、O、B、C四点共圆，（1）正确；
中考数学几何综合压轴题初三难题训练 1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交 于点 G ， H ，则-EF 的值是（） GH A.—— B. 2 C. . 3 D. 2 2 2.（2015遵义中考）将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1GD 1，B^!交CD 于点E ， AB 3，则四边形A^ED 的内切圆半径为（ ） D ， E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 . A. D. 3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为 90°的扇形OAB 中，半径 OA 2cm ，C 为弧AB 的中点 , 6 Di
到E ，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE 是eO 的切线； (2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD 及切线BE 的长. 5. (2016岳阳中考)数学活动 旋转变换 (1) 如图①，在 VABC 中， ABC 130°，将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ，连接 BB ，求 ABB 的大小； (2) 如图②，在 VABC 中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ，连接BB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆. (I)猜想：直线 BB 与e A 的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB ，求线段AB 的长度； (3) 如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n ，将 VABC 绕点 C 逆 180°得到VABC ，连接AB 和BB ，以A 为圆心，AB 长为半 与角 满足什么条件时，直线 BB 与e A 相切，请说明理由，并求此条件 下线段AB 的长度(结果用角 或角 的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示 ) 时针旋转2角度0° 2 径作圆，问：角
初中数学竞赛(几何篇) 第一讲注意添加平行线证题 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非 常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能 使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补. 利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ, ADA为BC外一动点(如图1).当点A运动到使∠BAP＝ ∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试证明你的结论. BPQC答：当点A运动到使∠BAP＝ ∠CAQ时,△ABC为等腰三角形. 图1证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA. 在△DBP＝∠AQC中,显然∠D BP＝∠AQC,∠DPB＝∠C. 由BP＝CQ,可知△DBP≌△AQC. 有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP. 则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP. 所以AB＝AC. 这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使 证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD为平行四边形, EP∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE. GDA证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC 的平行线,得交点P,连PE. BFC 由AB ∥ CD,易知△PBA≌△ECD.有 ＝图2PA＝ED,PB＝EC. 显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE. 由∠BAF＝∠BCE,可知 ∠BAF＝∠BPE. 有P、B、A、E四点共圆. 于是,∠EBA＝∠APE. 所以,∠EBA＝∠ADE.
初中数学竞赛：几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】 【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值． 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ） A ．从30°到60°变动 B ．从60°到90°变动 C ．保持30°不变 D ．保持60°不变 ⌒
2021年 广州初中数学竞赛 几何专题：点共线问题〔含答案〕 1. 锐角三角形 ABC 中，BAC 45，BE 、CF 是两条高，H ABC 的垂心，M 、K 分别是BC 、 AH 的中点证明：MK 、 EF 和OH 共点，这里 O ABC 的外心. 解析 如图，由条件 BAE 45，可知△ AEB 和厶AFC 都是等腰直角三角形，而 O 为AB 、BC 的中 垂线上的点，故 EO AB , FO AC ,于是EO // CF , FO // BE ，从而四边形EOFH 为平行四边形 故EF 与OH 的交点为EF 的中点• 另一方面， M 、K 为BC 、AH 的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 1 1 EM MF - BC , EK KF -AH •即四边形EKFM 为菱形，所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点• 2 2 从而命题获证• 2.四边形SPNM 与PFET 都是正方形，且点 S 、P 、T 共线，点N 、P 、F 共线，连结 MT 、SE , 点S 在MT 上的射影是点 A ，点T 在SE 上的射影是点B ，求证：点 A 、P 、B 共线• 解析 设AB 与ST 交于点P ，又设 ATS , TSE •于是由 ASB ATB 180，有 SP S ^ASB AS BS tan cot PT S ATB AT BT MS ST MS SP ST TE TE PT ， 即点P 与点P 重合• 3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的 K 、L 、M 、N ，KL // MN • 证明KM 与LN 的交点 O 在矩形的对角线 BD 上• 解析连结OB 、OD • 因为KL // MN , KM 与LN 相交于O ，所以△ KLO s △ MNO ，可得 旦 丄 9 , KLO MNO • MN NO T L
专题14 巧用解直角三角形解决实际问题 知识解读 在直角三角形中，由已知元素（至少有一条是边）求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 角之间的关系：两锐角互余；边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；边与角的关系：锐角三角函数。 解直角三角形的应用包括：①求三角形的边长及角度；②解决某些实际问题。 培优学案 典例示范 例1.如图3-14-1是某通道的侧面示意图，已知AB /CD //EF ，AM /BC /DE ，AB =CD =EF ，∠AMF =90°，∠BAM =30°，AB =6m . （1）求FM 的长； （2）连接AF ，若sin ∠F AM =1 3 ，求AM 的长. 【提示】（1）延长BC ，DE 交FM 于点G ，H ，过B ，D 作BJ ⊥AM ，DK ⊥CG ，构造直角三角形可利用三角函数求解； （2）有sin ∠F AM =1 3 可以求AF ，再求AM . 图3-14-1 A B C D E F M 跟踪训练 如图3-14-2，在同一平面内，两条平行的高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速路1l 成30°角，长为20km ；BC 与AB ，CD 段都垂直，长为10km ；CD 段长为30km .求两条高速公路间的距离（结果保留根号）. 【提示】解决本题的关键是将题干中的条件转化到直角三角形中，根据直角三角形中的边角关系解决问题. D C B 30° A 图3-14-1 l 1 l 2 例2.黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，如图3-14-3，小明站在B 点测得旗杆顶端E 点的仰角为45°，小军站在点D 测得旗杆顶端E 点的仰角为30°.已知小明和小军相距（BD ）6米，小明的身高（AB ）1.5米，小军的身高（CD ）1.75米，求旗杆的高EF 的长（结果精确到0.1 1.41≈ 1.73≈）
第21讲 几何与三角 数学是研究现实世界中数量关系与空间形式的科学。 ——恩格斯 知识方法扫描 求某个锐角的三角函数值的关键是将这个角放在一个直角三角形中，求出这个三角形的三边的比值来。 利用三角方法证明几何问题的方法适用于含有直角三角形的问题，一般的技巧是设法将每一条线段都用直角三角形的一个锐角和一条边（通常是斜边）表示出来。 经典例题解析 例1．（1985年江苏省东台初中数学竞赛试题）如图，在等腰△ABC 中， ∠A=36°，试根据此图用平面几何知识求出sin18°的值。 解 如图，作∠ABC 的平分线交AC 于E ， ∵∠CBE=∠A=36°，∠C=∠C ， ∴△BCE ∽△ABC ，,AB BC BC CE = 设AB=1，BC=x ，则CE=1-x, 于是，有x x x -= 11， x=251+- 设BC 边上的高为AD ，则sin18°=4 1 52-= =x AB BD 。 例2．（1995年昆明市初中数学竞赛试题）海中有一小岛A ，它周围8海里 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°，如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险（精确到0.1海里，取3=1.7321）？ 解. 如图，过A 作AC ⊥BD ，交BD 的延长线于C ，设AC=x （海里），在Rt △ABC 中， BC=x·cot (90°-60°) =x·cot30°。 在Rt △ADC 中，DC=x·cot (90°-30°)=x·cot60°， ∵BC-DC=12, ∴x·cot30°-x·cot60°=12, 故x= ︒ -︒60cot 30cot 12 =64.10732.163≈⨯=（海里） 即AC≈10.4（海里） 答：由于AC ＞8海里，故渔船没有触礁的危险。 例3．（2001年澳门初中数学竞赛试题）在△ABC 中，已知tanA= 12 5 , BC 边上高的垂足为K ，KB=3，KC=17，试求△ABC 的周长。 解. 设O 是△ABC 的外心，作OH ⊥BC 于点H ，作OM ⊥AK 于点M ，连结OA 、OB 、OC 。
F G E 图 2 A C B D 面积法 1、常见规则图形的面积公式； 2、等积定理； 3、面积比定理。 A 卷 1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、1 2、13，︒=∠90ABC ，则四边形ABCD 的面积为 . 2、如图2，已知ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 2 1 ==， DE EF 3=，若1=∆ABC S ，则图中所有三角形的面积之和为 . 图 1 A C B D
3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，则_______=∆DEF S . 4、如图4，已知边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 . F E 图 3 A C B D E C F A B D G F P E 图 4 A C B D
O 图 5 A C B D 5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S . 6、（第5届“希望杯”邀请赛题）在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41= ，BC BE 41=，AC CF 41 =，则DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的（ ） A 、41 B 、8 3 C 、85 D 、167 F E C A B D
S 2 图 6 A C B S 1 S 4 S 3 7、（2004年第15届“希望杯”初二年级竞赛题）如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四部分，则S 2和S 4的大小关系是（ ） A 、42S S B 、42S S = C 、42S S D 、无法确定 8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，则矩形的内接三角形的面积总比数的（ ）小或相等。 A 、 74 B 、1 C 、82 D 、8 1
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1) 选择题(30道题) 1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［ ] A．62πB．63π C．64πD．65π 1995年全国初中数学联赛试题 答案: D 详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由 AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132 ＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2 故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．
2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ] A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定 1995年全国初中数学联赛试题 答案: B 详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B． 详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL． 即M＝N．选B．
3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ] 1996年全国初中数学联赛试题 答案: B 4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ] A．内心B．外心C．重心D．垂心 1996年全国初中数学联赛试题 答案: A 5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ] A．4个B．8个 C．12个 D．24个 1996年全国初中数学联赛试题
第17章 几何不等式与极值问题 17.1.1★ 一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求n 的最大值． 解析 考虑这个凸行边形的n 个外角,有4n -个角90︒≥,故有()490360n -⨯︒<︒（严格小 于是由于4个钝角的外角和大于0︒）,因此8n <,n 的最大值是7．易构造这样的例子。 如果恰好有k 个钝角,则n 的最大值是3k +. 17.1.2★ 在ABC △中,AB AC >,P 为BC 边的高AD 上的一点,求证：AB AC PB PC -<-. P C D B A 解析 易知AB AC PB PC +>+, 又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-, 故有AB AC PB PC -<-． 评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况． 17.1.3 已知四边形ABCD ,AC 、BD 交于O ,ADO △和BCO △的面积分别为3、12,求四边形ABCD 面积的最小值． C B O D A 解析 易知 ABO BCO ADO DCO S S BO S DO S ==△△△△,故36ABO CDO ADO BCO S S S S ⋅=⋅=△△△△. 从而12ABO CDO S S +△△≥, 且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立,所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27. 17.1.4★ 已知：直角三角形ABC 中,斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()2 2 BC h AB AC ++-. 解析 ()() 22 BC h AB AC +-+ 222222BC h BC h AB AC AB AC =++⋅---⋅,