学院：计算机学院学号：20080353 姓名：宋勇利
单纯形法及其灵敏度分析程序演示
1. 二阶段法
基本原理：首先将原线性规划问题化为标准型，若标准型中含人工变量，则用二阶段法求解，第一阶段求解一个目标函数中只含人工变量的线性规划问题，当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段是在原问题中去除人工变量，并从第一阶段的最优解出发，继续寻找问题的最优解。
说明：字母A为约束矩阵，b为资源矩阵，c（或c1）为目标函数价值系数，CB为基变量系数矩阵，N为基变量下标值矩阵，t（或t1）为检验数矩阵
演示：（以教材P22例2-7为例）
（1）标准化后的初始单纯形表（没有含检验数t）
（2）第一阶段的最终单纯形表
（3）第一阶段最优解
（4）第二阶段最终单纯形表
（5）该问题的最优解及目标函数的最优值
2.单纯形法及其灵敏度分析（以教材P19例2-6为例）
基本原理：用单纯形法求的最优解后，将参数的改变计算反映到最终单纯形表上，按照教材P40表2-18所列情况得出结论和决定继续计算的步骤。
（1）标准化后的单纯形表
（2）最终单纯形表
（3）最优解及目标函数的最优值
（4）灵敏度分析分析cj的变化
(5)分析bi的变化
（6）增加一个变量xj的分析
（7）分析参数aij的变化
（8）增加一个约束条件的分析
3.程序中存在的一些问题
（1）灵敏度分析中B的逆的值的选取只是简单的选取A的后三列，没有理论依据，还需要进一步研究。（2）灵敏度分析中，由于对matlab不是很精通，始终不能解决其连续计算的问题，只能算一个，退出后又重新计算另一个，此问题还在努力解决中。
假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性 一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~ 随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。这里就可以采用灵敏度分析的方法。它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。 一、局部灵敏度分析方法 局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。 1．直接求导法 对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。假设要考虑的初值问题是 ，（1） 同样，代表n维输出变量，代表m维输入因素。代表初值数组。 式（1）对输入因素微分得到下述的灵敏度微分方程
（2） 或以矩阵形式表示为（3） 式中，是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵），是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。微分方程（2）的初始条件为零向量。 上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。而矩阵的值又是由系统变量的真实值确定，因此，需同时或预先求得（1）方程的解。 对于非时变（静止）系统，将其代数方程，式中，Y是n维输出变量，X是m维输入因素。令表示隐性代数方程式的解。对输入因素求导数，得到下面的灵敏度公式： （4） 式中，称为静态灵敏度矩阵，和由静态点的变量值计算。对于变量少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推出的系统，直接法是一个简单快速的灵敏度分析方法。 2．有限差分法 局部灵敏度最简单的计算方法是有限差分法，其基本做法是使设计变量有一个微小的摄动，用差分格式来计算输出对设计变量的近似导数。其中比较简单的是采用向前差分格式 （5） 式中，截断误差与同阶。有时采用更为精确的中心差分公式 （6） 而，
第八章灵敏度分析 目的：介绍灵敏度分析的用法，研究过程变量之间的关系。 （1）灵敏度分析 可使用户研究输入变量的变化对过程输出的影响 在灵敏度模块文件夹的Results表上能够查看结果 可以把结果绘制成曲线，使不同变量之间的关系更加形象化 在灵敏度模块中对流程输入量所做的改变不会影响模拟，灵敏度研究独立于基础工 况模拟而运行 位于/Data/Model Analysis Tools/Sensitivity下 （2）灵敏度分析的用法 研究输入变量的变化对过程（模型）的影响 用图表表示输入变量的影响 核实设计规定的解是否可行 初步优化 用准稳态方法研究时间变化变量 （3）灵敏度分析应用步骤 a）定义被测量（采集）变量 -它们是在模拟中计算的参量，在第4步将要用到（Sensitivity Input Define 页） b）定义被操作（改变的）变量 -它们是要改变的流程变量（Sensitivity Input Vary页） c）定义被操作（改变的）变量范围 -被操作变量的变化可以按在一个间隔内等距点或变量值列表来规定（Sensitivity Input Vary页） d）规定要计算的或要制成表的参量
-制表参量可以是任何合法的Fortran表达式，表达式含有步骤1中定义的变量(Sensitivity Input Tabulate页) （4）绘图 a）选择包括X轴变量的列，然后选择从Plot菜单下选择X-Axis变量 b）选择包括Y轴变量的列，然后选择从Plot菜单下选择Y-Axis变量 c）（可选的）选择含有参数变量的列，然后从Plot菜单下选择参数变量 d）从Plot菜单下选择Display Plot ?要选择一列，用鼠标左键点击列标题 （5）注意 只有被输入到流程中的参量才可以被改变或操作 可以改变多个输入 对于每一个被操作（改变的）变量的组合都运行一次模拟 （6）灵敏度分析举例 以第二章中苯和丙烯为原料合成异丙基苯为例，如下图： 冷却器出口温度怎样影响产品物流纯度的 被调节(被改变)变量是什么 冷凝器出口温度 被测量(采集)变量是什么 产品物流中异丙基苯纯度（摩尔分率） 打开文件，另存为，如下图所示：
一个实例理解Lingo 的灵敏性分析 线性规划问题的三个重要概念： 最优解就是反应取得最优值的决策变量所对应的向量。最优基就是最优单纯形表的基本变量所对应的系数矩阵如果其行列式是非奇异的，则该系数矩阵为最优基。 最优值就是最优的目标函数值。 Lingo 的灵敏性分析是研究当目标函数的系数和约束右端项在什么范围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。下面是一道典型的例题。 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2 两种奶制品，1 桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3 公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1 获利24 元，每公斤A2 获利16 元。现在加工厂每天能得到50 桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙 车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3 个附加问题： 1 ）若用35 元可以买到1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3）由于市场需求变化，每公斤A1 的获利增加到30 元，应否改变生产计划？模型代码： max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; 运行求解结果： Objective value: 3360.000 Variable Value Reduced Cost X120.000000.000000 X230.000000.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 13360.000 1.000000 0.00000048.00000 2 30.000000 2.000000 440.000000.000000 这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30,最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A1, 30 桶牛奶生产A2 ，可获最大利润3360 元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息。 其中，“ Reduced Cost列'出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微 小变动时，目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0,对于非基变量Xj,相应的reduced cost值表示当某个变量Xj增加一个单位时目标函数减少的量（max型问题）。本例中X1 , X2 均为基变量。 “ Slack or Surplus给出松驰变量的值，模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束。3个约束条件的右端不妨看作3种“资源”：原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中Slack or Surplus 给出这3 种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动时间的剩余均为零，车间甲尚余40（公斤）加工能力。 “DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率。输出结 果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为p，表示对应约束中不等式右端项若 增加1个单位，目标函数将增加p个单位（max型问题）。显然，如果在最优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格值才可能不是0。上 例中，第一、二个约束是紧约束”。当“x1+x2<=50'改为“x1+x2<=51"时，目标函数的值为
淮北师范大学 2011届学士学位论文 线性规划灵敏度分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向运筹学 学生姓名陈红 学号20071101008 指导教师姓名张发明 指导教师职称副教授 2011年4月10日
线性规划的灵敏度分析 陈 红 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘 要 本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。 关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数
Sensitivity Analysis of Linear Programming Chen Hong (School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000) Abstract This thesis is mainly from the variety of the cost coefficient …j c ?, the variety of technology coefficient …ij a ?, the variety of the resources condition…i b ?and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition…i b ?in the economic management …shadow price problem?. Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resources condition ，cost coefficient
第二章 线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析总结 一．对偶问题统一归纳表 项目 原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） A b C 约束系数矩阵 约束条件右端项向量 目标函数中的价格系数向量 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价格系数向量 约束条件右端项向量 目标函数 ∑== n j j j x c z 1 max ∑== n 1 j j c z min j x ∑== m 1 i i b z min i y ∑== m 1 i i b z max i y ????? ? ?≤≥=无约束0 0x 1,...n)(j 变量j j j j x x x 件条束约 , (11) 1 1 ? ???? ?????? =≤≥=∑∑∑===m i j i ij m i j i ij m i j i ij c y a c y a c y a n j 件条束约 , (11) 1 1 ? ???? ?????? =≥≤=∑∑∑===m i j i ij m i j i ij m i j i ij c y a c y a c y a n j ?????? ?????=≤≥=∑∑∑===n j i j ij n j i j ij i j b x a b x a b x m 1 1n 1j ij a m)1,...,(i 个有件条束约 量变0 001,...m) (i ??? ????=≤≥=i i i i y y y y 量变无约束 00 y m)1,...,(i i ??? ????≥≤=i i i y y y 注意：对偶问题允许i b 小于0，也正是对于原问题i b 小于0，才引入了后面的对偶单纯形法解决问题。 二．对偶问题的基本性质 ?? ?≥≤=0 X ..max 设原问题为b AX t s CX z ?? ?≥≥=是列向量 ,0A .. min 对偶问题为 T Y Y C Y t s Yb T T ω
灵敏度分析 简介： 研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。 用途： 主要用于模型检验和推广。简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。 举例（建模五步法）： 一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。 建立数学模型的五个步骤： 1.提出问题 2.选择建模方法 3.推到模型的数学表达式 4.求解模型 5.回答问题 第一步：提出问题 将问题用数学语言表达。例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P（美元）。还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。 （建议先写显而易见的部分） 猪从200磅按每天5磅增加 （w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天） 饲养每天花费45美分 （C美元）=（0.45美元/天）*（t天） 价格65美分按每天1美分下降 （p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天） 生猪收益 （R美元）=（p美元/磅）*（w磅） 净利润 （P美元）=（R美元）-（C美元） 用数学语言总结和表达如下： 参数设定： t=时间（天）
w=猪的重量（磅） p=猪的价格（美元/磅） C=饲养t天的花费（美元） R=出售猪的收益（美元） P=净收益（美元） 假设： w=200+5t C=0.45t p=0.65-0.01t R=p*w P=R-C t>=0 目标：求P的最大值 第二步：选择建模方法 本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题 第三步：推导模型的数学表达式子 P=R-C （1） R=p*w （2） C=0.45t （3） 得到R=p*w-0.45t p=0.65-0.01t （4） w=200+5t （5） 得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t 令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值： y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1） 第四步：求解模型 用第二步中确定的数学方法解出步骤三。例子中，要求（1-1）式中定义的y=f （x）在区间x>=0上求最大值。下图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。在x=8为全局极大值点，此时f（8）=133.20。因此（8，133.20）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x>=0上的最大值点。 第五步：回答问题 根据第四步，8天后出售生猪的净收益最大，可以获得净收益133.20美元。只要第一步中的假设成立，这一结果正确。
第三章 网络的灵敏度分析 §3.1网络的灵敏度 灵敏度用来表征网络特性对元件参数变化的敏感程度。它在确定产品合格率、寿命及对工作环境的适应性方面起着关键的作用。 网络函数或网络响应都是组成网络的元件参数的函数。在具体实现一个设计方案时，所选择的元件均有其标称值和相对误差。例如100Ω%5.1±即表示标称值是100Ω，相对误差是%5.1的一个电阻。当将一个这样的电阻接入电路时，它的真正值可能是99、100、101等值，不一定刚好等于标称值。另一方面，实际电路在工作时，随着使用时间的增长、周围环境(例如温度、湿度、压力)等因素的变化，元件参数值也难免要发生不同程度的变化而偏离标称值，况且有的元件本身就是作为敏感元件使用的。这些元件参数的变化必将导致网络函数或网络响应的变化，严重时网络无法正常工作。研究元件参数变化对网络函数或网络响应的影响即属于电路灵敏度分析(sensitivity analysis)内容。电路的灵敏度分析还是电路的容差(tolerance analysis)分析、最坏情况分析(worst analysis)和最优设计(optimize design)的重要基础。在最优设计中，灵敏度作为目标函数的寻优梯度。灵敏度分析是电路分析与电路综合的桥梁。著名的电路仿真软件PSPICE 和WORKBANCH 均有灵敏度分析功能。 网络函数H 或网络响应R (统一用T 来表示) 对某元件相关参数p (p 可以是元件参数或影响元件参数的温度、湿度、压力等)变化率称为网络函数对该参数的绝对灵敏度，记作： p T S ??= (3.1a) 有时还要用到相对和半相对灵敏度。相对灵敏度的定义是： p T p T T p S ln ln 00??=??= (3.1b) 相对灵敏度是无量纲量。半相对灵敏度的定义是： p T p S ??=0 (00=T 时)， p T T S ??=01 (00=p 时) (3.1c) 式中0p 和0T 分别是元件的标称值及对应标称值的网络函数或网络响应值。 当0p 或0T 为零时，相对灵敏度要么为零要么不存在。此时要用半相对灵敏度。 从各灵敏度的定义式可见，关键是计算绝对灵敏度。因此，本章以下只涉及绝对灵敏度的计算。 图3.1 为常用的电桥测量电路。以1U 为激励，2U 为响应的网络函数为 4 33211 12R R R R R R U U H +++-== (3.2) 设1R 、4R 为热敏电阻，由式(3.2)并根据灵敏度的定义式(3.1a)求得H 对电阻1R 、
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；() (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；() (3) 设j ? x ，i ?y 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，* j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m **j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1??c x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；() (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；() (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；() (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；() (7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；() (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；() (9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；() (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。() 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。 要求：(1) (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价购入第一种资源是否值得，为什么若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么
为了确定模型中主要因素，我们对该模型采用Sobol 法进行灵敏度分析判断其全局敏感性。Sobol 法是最具有代表性的全局敏感性分析方法，它基于模型分解思想，分别得到参数1,2次及更高次的敏感度。通常1次敏感度即可反映了参数的主要影响。 Sobol 法 Sobol 法核心是把模型分解为单个参数及参数之间相互组合的函数。假设模型为),...,)((21m x x x x x f Y ==,i x 服从[0,1]均匀分布，且(x)f 2可积，模型可分解为： )(...)()()(n ,...,2,11k 21j i ij i n i i ,...x x ,x f x f x f f(0)x f ++++=∑∑<= 则模型总的方差也可分解为单个参数和每个参数项目组合的影响： ∑∑ ∑1=≠1=,,2,11=)+(+=n i n j i j n ij n i i D D D D 对该式归一化，并设： D D S n n i i i i i i ,,,,,,2121= 可获得模型单个参数及参数之间相互作用的敏感度S 由式（2）可得： ∑∑ ∑1=,,2,1≠1=1=+++=1n i n n j i j ij n i i S S S 式中，si 称之为1次敏感度；Sij 为2次敏感度，依此类推； n S ,,2,1 为n 次敏感度，总共有1 -2n 项。第i 个参数总敏感度STJ 定义为： ∑=) (i Tj S S 它表示所有包含第i 个参数的敏感度。 模型中4个输入参数分别为推力，角度，比冲，月球引力常量。因为月球引力常量和比冲为物理恒定值，不会产生干扰。所以这里我们对角度，推力进行敏感性分析。 设角度初值为o 150，推力为4500N 时，做出高度变化图像如图所示。
实验报告 课程名称：运筹学 实验项目名称：应用Excel对线性规划进行灵敏度分析班级与班级代码： 实验室名称（或课室）：809 专业：信息管理与信息系统 任课教师： 学号： 姓名： 实验日期：2010 年10 月18 日 广东商学院教务处制
姓名实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年月日说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。
实验二应用Excel对线性规划的灵敏度分析 一、实验目的与要求 1.了解线性规划模型中各参数的变化对最优解的影响。 2.会用Excel中提供的敏感性报告对目标函数系数进行灵敏度分析。 3.会用Excel中提供的敏感性报告对约束条件右端值的灵敏度分析。 二、实验步骤与方法 1.可以在电子表格中采取试验的方法，不断增加或减少的 c值，直到最优 j 解发生改变，以找到最优解发生变化时对应的 c值.但是，这样计算太 j 麻烦了。 2.在Excel求得最优解之后，在其右边列出了它可以提供的三个报告。 选择第二项敏感性报告的选项，就可以得到灵敏度的分析报告，它显示在模型的工作表之前。 3.当几个价值系数同时变动时，注意使用百分之百法则。 4.对约束条件限定数的灵敏度分析同上：选择第二项“敏感性报告”的 选项，就可以得到灵敏度的分析报告，其中“约束”表即是。 5.若几个约束限定数同时变动，也要注意使用百分之百法则。 三、实验内容 第1题． 医院放射科目前可以开展X线平片检查和CT检查业务，现拟购买磁共振仪，以增A 设磁共振检查业务。为此A医院收集了有关信息，从医院获取最大利润角度出发，问是否应购买磁共振仪？经过资料收集，A医院估计今后放射科如果开展此3项业务，在现有放射科医务人员力量和病人需求的情况下，每月此3项业务的最多提供量为1800人次。平均每人次检查时间、每月机器实际可使用时间、平均每人次检查利润如下表 放射科业务 项目X线平片检查CT检查磁共振检查平均每人次检查时间（小时/次）0.1 0.25 0.5 每月机器实际可使用时间（小时）300 120 120 平均每人次检查利润（元/次）20 60 10
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；() (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；() (3) 设j ? x ，i ?y 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m **j j j j i i i i j 1 j 1 i 1 i 1 ??c x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；() (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；() (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；() (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；() (7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；() (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；() $ (9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；() (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。() 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。 X B ｂ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 — x 3 5/2 0 1/2 1 1/2 0 x 1 5/2 1 — -1/2 0 -1/6 1/3 σj 0 -4 0 -4 -2 ; 要求：(1)写出原线性规划问题及其对偶问题的数学模型；(2)直接由表写出对偶问题的最优解； (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价购入
实验一 线性规划问题及灵敏度分析 实验目的：了解WinQSB 软件在Windows 环境下的文件管理操作，熟悉软件界面内容， 掌握操作命令。用WinQSB 软件求解线性规划，掌握winQSB 软件写对偶规划，灵敏度分析和 参数分析的操作方法。 实验每组人数及学时：组人数1人，学时数：4学时 实验环境：装有WinQSB 软件的个人电脑 实验类型：验证性 实验内容： 一、 用WinQSB 软件求解线性规划的方法： 操作步骤： 1.将WinQSB 文件复制到本地硬盘；在WinQSB 文件夹中双击setup.exe 。 2.指定安装WinQSB 软件的目标目录（默认为C:\ WinQSB ）。 3. 安装过程需输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB 菜单自动 生成在系统程序中。 4.熟悉WinQSB 软件子菜单内容及其功能，掌握操作命令。 5．求解线性规划。启动程序 开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming 。 6．学习例题 点击 Problem→lp.lpp, 点击菜单栏Solve and Analyze 或点击工具栏中 的图标用单纯形法求解，观赏一下软件用单纯形法迭代步骤。用图解法求解，显示可行域， 点击菜单栏Option →Change XY Ranges and Colors，改变X1、X2的取值区域（坐标轴的 比例），单击颜色区域改变背景、可行域等8种颜色，满足你的个性选择。 下面结合例题介绍WinQSB 软件求解线性规划的操作步骤及应用。 用WinQSB 软件求解下列线性规划问题： 1234 max 657Z x x x x =+++ s.t. 12341 2341231234 312342692608521507300 01020,,0,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤??-+-≥??++=?-≥??-≥?≤≤??≥?无约束 解：应用WinQSB 软件求解线性规划问题不必化为标准型，如果是可以线性化的模型则先 线性化，对于有界变量及无约束变量可以不用转化，只需要修改系统的变量类型即可，对于 不等式约束可以在输入数据时直接输入不等式符号。 （1）启动线性规划（LP ）和整数规划（ILP ）程序 点击开始→程序→WinQSB →Linear and Integer Programming ，显示线性规划和整数规 划工作界面（注意菜单栏、工具栏和格式栏随主窗口内容变化而变化）。这一程序解决线性 规划（LP ）以及整数线性规划（ILP ）问题。
线性规划与灵敏度分析 1. 已知线性规划问题 11223313111211234523212221001012345j max z c x c x c x a a a b x x x x x a a a b s.t.x ,j ,,,,=++?????????????++++=???????????????????????????≥=? 用单纯形法求解，得到最终单纯性表如下。 (1).求a 11、a 12、a 13、a 21、a 22、a 23、b 1、b 2的值； (2).求c 1、c 2、c 3的值. 解：（1）由题意可设初始单纯形表的增广矩阵为 ()1311121232122 21001a a a b A B a a a b ??=???? 最终单纯形表的增广矩阵为 ()113111012221101222A B ??-??=??-?? ， 对矩阵()11A B 作初等行变换，使其第4,5列组成单位矩阵， ()223111 012221101222920211314108251201551201522A B ??-????-?? ????-????→→???????? = 由单纯形法的算法法则可知，()22A B 即为()A B ，所以a 11=9/2、a 12=1、a 13=4、a 21=5/2、a 22=1、a 23=2、b 1=8、b 2=5. (2).由检验数的计算公式可知 1321322323 237020402248c c c /c c /c c c /c c -+=-=????- +=?=????--+=-=??（）（）（）
2.已知线性规划问题