高一物理-关联速度专题
一、定义：
绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。
二、特点：
①沿杆或绳方向的速度分量大小必相等；
②物体实际运动方向就是合速度的方向；
③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直
于绳或杆方向的两个分速度。
三、解题思路和方法：
先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果。以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。
四、题型分类
1．基础题型
【例1】如图1所示, 人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为T，则此时
A．人拉绳行走的速度为v cosθB．人拉绳行走的速度为v/cosθ
C．船的加速度为D．船的加速度为
解析：船的速度产生了两个效果: 一是滑轮与船间的绳缩短, 二是绳绕滑轮顺时针转动, 因此将船的速度进行分解如图所示, 人拉绳行走的速度v人=v cosθ, A对, B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为T，与水平方向成θ角，因此T cosθ-f＝ma，
解得：，C正确，D错误。
答案：AC。
点评：人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。即若按图3所示进行分解，则水平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为v/cosθ，会错选B选项。
【例2】如图4所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为α时，船的速度是多少？
解析：方法1——微元分析法（不要求掌握）
取小量θ，如图5所示，设角度变化θ所需的时间为Δt，取CD=CB，在Δt时间船的位移为AB，绳子端点C的位移大小为绳子缩短的长度AD。由于θ→0°，所以∠BDA→90°。所以AD=ABcosα①
又AD=vΔt②
AB=v船Δt③
由上述三式可得：v船=v/cosα
方法2——运动等效法（本节重点，必须掌握）
因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的A点的运动情况可以等效为：先以滑轮为圆心，以AC为半径做圆周运动到达B，再沿BC直线运动到D。做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度(即绳上A点的速度)的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方向。作矢量三角形如图6所示，v船＝v/cosα。
点拨：方法1利用几何知识构建三角形，找出在Δt时间绳与船的位移关系，进而确定速度关系；方法2利用了实际运动为合运动，按效果对船的速度进行分解。
【例3】A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图9所示。物体B的运动速度v B为（绳始终有拉力）
A．B．C． D．
解析：A、B两物体通过绳相连接，且两物体都是运动的，物体的实际运动速度是合速度，物体的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个作用效果。设物体B的运动速度为v B，此速度为物体B合运动的速度，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v绳B；垂直绳方向的圆周运动，速度分解如图10所示，则有v B＝
①
物体A的合运动对应的速度为v1，它也产生两个分运动效果，分别是：沿绳伸长方向的分运动，设其速度为v绳A；垂直绳方向的圆周运动，它的速度分解如图11所示，则有v =v1cosα②由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B=v绳A③
绳A
根据三式解得：v B＝。选项ABC错误D正确。
答案：D
点评：此题涉及多个物体的速度分解，应用隔离法将每个物体的速度进行分解，再通过关联速度进行求解。
【例4】如图14所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2。则v1、v2的关系是()
A．v1＝v2 B．v1＝v2cosθC．v1＝v2tanθ D．v1＝v2sinθ
解析：如图15所示，轻杆A端下滑速度v1可分解为沿杆方向的速度v1′和垂直于杆的方向速度v1″，B端水平速度v2可分解为沿杆方向的速度v2′和垂直于杆的方向速度v2″，由于沿杆方向的速度相等v1′＝v2′，由数学知识可知，v1′＝v1cosθ，v2′＝v2sinθ，v1＝v2tanθ。故C项正确。
答案：C
点评：对于直杆的运动，一般将其两端的运动速度沿杆和垂直于杆的两个方向分解，两端速度沿杆的分量相等。
2、进阶题型
【例5】一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A（此时杆与水平方向夹角为θ）
解析：选取物与棒接触点B为连结点.（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）.因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=v sinθ.
设此时OB长度为a，则a=h/sinθ.
令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=v sin2θ/h.
故A的线速度v A=ωL=vL sin2θ/h.
【例6】如图所示，S为点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置．SO
是一条垂直照射在M上的光线．已知SO＝L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀
速转动，则转过30°时光线S′O在屏上移动的瞬时速度v的大小为（）A．2LωB．4LωC．4LωD．8Lω
解析：由光的反射的特点可知，当平面镜转动的角速度为ω时，反射光线转动的角速度为2ω；
设平面镜转过30°角时，光线反射到光屏上的光斑S′点，光斑速度为v，由图可知v＝，
而v⊥＝r?2ω＝?2ω，
故v＝，故ABC错误，D正确
故选：D 。
点评：该题考查光的反射定律以及转动的角速度与线速度的关系，掌握运动的合成与分解，理解角速度与半径的关系，并结合几何关系解答即可.
【例7】如图所示，在倾角为θ的斜面体A 放在水平面上，不可伸长的
细线一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B 相连，滑轮
与墙面间的细线水平，滑轮与B 物块之间的细线与斜面平行，当斜面沿水
平面以速度v 匀速运动时，B 物块相对地面的速度大小为（ ）
A 、v
B 、vsin θ
C 、vtan θ
D 、2vsin 2θ 解析：因B 的上升的高度为：αsin x s y =；
根据系统只有重力做功，机械能守恒定律，
则有：
222
121B A y mv mv mgs += 如下图所示，画阴影部分的三角形相似，依据余弦定理，再结合位移
之比等于速度之比，可得：s
x v v B A = 则有：2sin
2)cos 1(2θθA A B v v v =-=
故ABC 错误，D 正确。 点评：本题考查力的平行四边形定则与平衡条件的应用，掌握运动的合成与分解与三角知识的容，理解机械能守恒的条件，及其定律的运用，注意运用三角形相似，确定位移之比与速度之比是解题的关键。
【例8】在光滑的水平面建立如图所示的直角坐标系，长为L 的光滑细杆AB 的两个端点A 、B 被分别约束在x 轴和y 轴上运动，现让A 沿x 轴正方向以v0匀速运动，已知P 点为杆的中点，杆AB 与x 轴的夹角为θ，下列关于P 点的运动轨迹或P 点的运动速度大小v 的表达式正确的是（ ）
A 、P 点的运动轨迹是一条直线
B 、P 点的运动轨迹是圆的一部分
C 、P 点的运动速度大小θtan 0v v =
D 、P 点的运动速度大小θ
sin 20v v = 解析：设P 点坐标为（x ，y ），则A 、B 点的坐标分别为（2x ，0）、（0，2y ），AB 长度一定，设为L ，根据勾股定理，有：
22222L y x =+）（）（
解得：22
2
2L y x =+）（）（ 故P 点的运动轨迹是圆，半径为L/2；A 错误，B 正确；
画出运动轨迹，如图：
速度v 与杆的夹角α＝90°?2θ；
由于杆子不可以伸长，故P 点的速度沿着杆方向的分速度与A
点速度沿着杆方向的分速度相等，故：
vcos α＝v0cos θ
vcos （90°?2θ）＝v0cos θ
解得：
v ＝v02sin θ
故C 错误，D 正确；
故选：BD 。
点评：本题关键是采用运动的合成与分解的方法进行研究，找出点P 的运动方向是关键，较难。
【例9】一轻杆两端分别固定质量为mA 和mB 的两个小球A 和B （可视为质点）。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B 球的速度大小为v2，则（ ）
A 、212v v =
B 、122v v =
C 、12v v =
D 、123v v =
解析：根据题意，将A 球速度分解成沿着杆与垂直
于杆方向，同时B 球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方向。
则有，A 球：v ∥＝v1sin θ
而B 球，v ∥＝v2sin θ
由于同一杆，则有v1sin θ＝v2sin θ
所以v2＝v1，故C 正确，ABD 错误；
故选：C 。
点评：考查运动的分成与分解的规律，学会对实际的分解，同时对动能定理理解，当然也可以使用机械能守恒定律，但需要对系统做出守恒的判定．