解三角形专题总结与复习
1．基础知识
2．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
3．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：
sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin 2
2
2
2
A B C A B C ++==.
题型一：正、余弦定理
1、在ABC ?中，45B =，60C =，1c =，求最短边的边长 。
2、求边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和。
3、在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝120°，b ＝5，解三角形．
题型二：三角形的面积
1、在ABC ?中，8b =，c =ABC
S =A ∠。
2、在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC 。
3、在四边形ABCD 中，120A ∠=，90B D ∠=∠=，5,8BC CD ==，求四边形ABCD 的面积S 。
题型三：判断三角形形状
1、在ABC ?中，若C B A 2
2
2
sin sin sin +=，判断ABC ?的形状； 2、在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，判断△ABC 的形状；
3、已知△ABC 中，a 3＋b 3－c 3a ＋b －c ＝c 2
，且a cos B ＝b cos A ，试判断△ABC 的形状．
题型四：正、余弦定理实际应用
1、如图一个三角形的绿地ABC ，AB 边长7米，由C 点看AB 的张角为45，在AC 边上一点D 处看AB 得张角为60，且2AD DC =，试求这块绿地得面积。
2、货轮在海上A 点处以30 n mile/h 的速度沿方向角（指北方向顺时针转到方向线的水平角）为1500
的方向航行，
半小时后到达B 点，在B 点处观察灯塔C 的方向角是900
， 且灯塔C 到货轮航行方向的最短距离为310 n mile ，
求点A 与灯塔C 的距离。
题型五：正、余弦定理的综合应用
1、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=． （Ⅰ）若ABC △
，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
D
C
A
2、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2=a ，C b c B A b sin )()sin )(sin 2(-=-+． （Ⅰ）求A 的大小；(Ⅱ)求ABC △面积的最大值．
3、为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b
，
(1)求sin C
sin A
的值；
(2)若cos B ＝1
4，b ＝2，求△ABC 的面积S .
3．解：如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km.
在△ABC 中，AB ＝ 3，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝
AB sin 30°AC ＝3
2
， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1. 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形， ∴CD ＝1. ∵
BC
12
×60＝5， 在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min.
答：最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并持续至少5 min 才算合格． 4．解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b 及正弦定理可得
cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A
sin B
，
即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B . 则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ， 即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π， 则sin C ＝2sin A ，即sin C sin A
＝2.
法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b 可得
b cos A －2b cos C ＝2
c cos B －a cos B 由余弦定理可得
b 2＋
c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 2
2c
，
整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c
a ＝2.
法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论 a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ， c ＝a cos B ＋b cos A . 由
cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b
可得
b cos A －2b cos C ＝2
c cos B －a cos B ，
即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ， 由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.
(2)由c ＝2a 及cos B ＝1
4，b ＝2可得
4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2， 则a ＝1，c ＝2.
∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154
.
判断分数应用题中单位“1”的专项练习
【基本原则】
一、基本思路：分数的意义，“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫分数”。所以单位1的判定，就是看把谁平均分了，就把谁看作单位1.谁的几分之几，谁就把谁看作单位1。.
如一桶油用去14，男生占全班的25，桃树棵数相当于梨树棵树的34，一台电视机降价1
5。男生比女生
多全班的1
8
.把全班人数看作单位1。.
在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。例如：六（2）
班男生比女生多12。理解为男生比女生多女生的1
2
，所以把女生人数为标准，看作单位“1”，
看在谁的基础上增加或减少，那个基础量就是单位“1”例如，水结成冰后体积增加了1
10
，把水看
作单位“1”，冰融化成水后，体积减少了1
12
。把冰看作单位“1”
二、单位“1”的应用题： 单位1的量×分率=分率对应量； 分率对应量÷分率=单位1的量 三、说明
单位“1”在“是”、“比”、“占”，“相当于”后，分率前。已知单位“1”用乘法，未知单位“1”用除法，用具体数÷对应分率=单位“1”的量。
【详细说明】
正确找准单位“1”，是解答分数（百分数）应用题的关键。每一道分数应用题中总是有关键句（含有分率的句子）。如何从关键句中找准单位“1”，我觉得可以从以下这些方面进行考虑。 一、部分数和总数 在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。例如我国人口约占世界人口的1/5，世界人口是总数，我国人
口是部分数，所以，世界人口就是单位“1”。再如，食堂买来100千克白菜，吃了2/5，吃了多少千克？在这里，食堂一共买来的白菜是总数，吃掉的是部分数，所以100千克白菜就是单位“1”。解答这类分数应用题，只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。
二、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。例如：六（2）班男生比女生多1/2。就是以女生人数为标准（单位“1”），男生比女生多的人数作为比较量。在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。例如，一个长方形的宽是长的5/12。在这关键句中，很明显是以长作为标准，宽和长相比较，也就是说长是单位“1”。又如，今年的产量相当于去年的4/3倍。那么相当于后面的去年的产量就是标准量，也就是单位“1”。
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
高一数学单元测试试题 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分． 1．某型号手机今年1月份价格是每台a 元，以后每个月比上月降价3%，则今年10月份该手机的价格是每台 （ ） A ．9 )97.0(?a 元 B ．10 )97.0(?a 元 C ．11 )97.0(a 元 D ．0.97a 元 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a +=，则8S 等于 （ ） A . 18 B. 36 C. 54 D. 72 3．数列{a n }满足=+- ==+200811a ,11 ,2则n n a a a （ ） A ．2 B ．－ 3 1 C ．－ 2 3 D ．1 4．边长分别为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 （ ） A ．0 90 B ．0 120 C ．0 135 D ．0 150 5．ABC ?中，3A π ∠= ，3BC = ，AB = ，则C ∠= （ ） A ． 6 π B ．4π C ．34 π D ． 4π或34 π 6．已知等比数列{}n a 中， 19a a 与是方程2 11160x x -+=的两根，则a 2a 5a 8 的值为 （ ） A ． B ． C ．6464或- D ．64 7．在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是 （ ） A ． 2 3 B ． 4 3 C ． 4 3 D ． 2 3 8．在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为 （ ） A 9 B 12 C 16 D 17 9. 数列{a n }中，a 1=1,a 2= 3 2 ,且n ≥2时，有1111+-+n n a a =n a 2,则 （ ） A. a n =( 3 2)n B. a n =( 32)n －1 C. a n =22+n D. a n =1 2+n 10．在ABC ?中，A A B C 2sin )sin(sin =-+，则ABC ?的形状是 （ ）
高一必修5 解三角形单元测试题 1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有 （ ） A ．A=B B ．A ≠B C ．A=B 或A=C －B D ．A+B= 2 π 2．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为 （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 4．在ABC ?中，bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．在△ABC 中，b =， ，C=600，则A 等于 （ ） A ．1500 B ．750 C ．1050 D ．750或1050 6．在△ABC 中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c 等于 （ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ． 2: D ． 7．△ABC 中，a=2，A=300，C=450，则S △ABC = （ ） A B ． C 1 D ．11)2 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则acosB+bcosA 等于 （ ） A ． 2 b a + B ． b C ． c D ．a 9．设m 、m ＋1、m ＋2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．0＜m ＜3 B ．1＜m ＜3 C ．3＜m ＜4 D ．4＜m ＜6 10．在△ABC 中，已知a=x ， A=450，如果利用正弦定理解这个三角形有两个解， 则x 的取值范围为 （ ） A ． B ．2
1．（10分） 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600 ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决 定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？ 2. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝20m ，某人在点A 处，测得塔底C 的仰角为45o ，塔顶D 的仰角为60o ，求山高BC （精确到1m ，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈） 3．(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)
4．(８分)某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使0 30=∠ADC （如图所示）． （1）求调整后楼梯AD 的长； （2）求BD 的长． （结果保留根号） 5．(８分)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ，∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位） 6．（8分）（2013?恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：， ）．
解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（ ） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中，内角为钝角， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（ ）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列， 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为 ． 9.在 中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小； （2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ．
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
（数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？
构成三角形个数问题 1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A. 2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ? 口 = 60 r ￡* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > ￡> = 5 ? A - &0= D ? 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心 求边长问题 A. 5 B 5?在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________ 三. 求夹角问题 6.在 ABC 中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 4 10 10 3 10 5 A. 10 B 5 C 10 D 5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C 1200 , ABC 的面积S 15 3 4
1 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=() 4 A. 90° B . 60° C . 45° D . 30° 四.求面积问题 &已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则 3 △ ABC的面积等于( ) 书书书书 A B------ B ■ C i D i +11 8 6 4 2 A 9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j (i)求sinC的值； (n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积. 10?如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120 (1 )求AD边的长; (2)求ABC的面积.
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论
人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π 3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( ) A. (5，15] B. (7，15] C. (7，11] D. (11，15] 2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60°，b =1，S △ABC =√3，则 a?2b+c sinA?2sinB+sinC 的值等于 ( ) A. 2√39 3 B. 263 √3 C. 8 3√3 D. 2√3 4. 在△ABC 中，有正弦定理：a sinA =b sinB =c sinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆 的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点 M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( ) A. λ先变小再变大 B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值 C. λ先变大再变小 D. λ是一个定值 5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大 时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， b = c ，且满足sinB sinA =1?cosB cosA .若 点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( ) A. 8+5√34 B. 4+5√34 C. 3 D. 4+5√32 7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是( ) A. (1，2√3 3 ) B. (1，+∞) C. (2√3 3 ，2) D. (1，2) 8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，且|OA ????? |=|AC ????? |，则△ABC 的面积为( ) A. √3 B. √32 C. 2√3 D. 1 9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A 2，则△ABC 是( )
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
2017高考解三角形汇总 1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0, a =2, c=√2, 则C= A.π12 B. π6 C. π4 D. π3 2. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________ 4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，AB ????? ·AC ????? =?6,S △ABC =3,求A 和a 。 5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______． 7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2. （1）求c ；
实用文档 解三角形大题专题 20141513 分）（．（本小题满分石景山一模）B，Ca，b，cA，ABCca?b?Asin2b3a?中， 角．，的对边分别为，且在△B的大小；（Ⅰ）求角c ABC2a?7?b的面积．，求边的长和△（Ⅱ）若， 13201415分）（．（本小题满分西城一模）222 aBACbcABC bca?b?c?．在△中，角，，所对的边分别为．已知，，A的大小；（Ⅰ）求6b?2?Bcos ABC 的面积．，（Ⅱ）如果，求△3 标准文案． 实用文档 （2014海淀二模）15.（本小题满分13分）
A7sina?2ABC?b?21. 且在锐角中，B的大小；（Ⅰ）求c c3a?的值（Ⅱ）若. ，求 20151513 分）西城二模）（．（本小题满分 b 3 a C ABC AB ab c 7，，＝，所对的边分别为＝在锐角△中，角，，，，已知 ．A 的大小；（Ⅰ）求角ABC 的面积．（Ⅱ）求△ 标准文案． 实用文档 （2013丰台二模）15．（13分） 2(B?C)?32sinsin2A.的三个内角分别为已知A,B,C,且ABC?（Ⅰ）求A的度数； BC?7,AC?5,求（Ⅱ）若的面积S. ABC?
20141513 分）（．（本小题满分延庆一模）?3c,a,b,AB,C?C?Bcos2ABCa?．在三角形中，角，且所对的边分别为，，45Asin的值；（Ⅰ）求ABC?的面积．（Ⅱ）求 标准文案． 实用文档 （2015顺义一模）15.（本小题满分13分） ?6ABC??32,sinBb?B?A?c,a,bA,B,C. 在已知,中角,所对的边分别为, 32a; (I)求的值Ccos. 的值(II)求
必修五第一章测试题 班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批： 一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于 （ ） A 4 B 2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ） A 3 B 2 C 1 2 D 2 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150° 4.△ABC 中，cos cos cos a b c A B C == ，则△ABC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 5.△ABC 中，60B =，2 b a c =，则△ABC 一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 7. △ABC 中，8b = ，c = ，ABC S =A ∠等于 （ ） A 30 B 60 C 30或150 D 60或 120 8.△ABC 中，若60A = ，a =sin sin sin a b c A B C +-+-等于 （ ） A 2 B 1 2 9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） A 13 B 12 C 34 D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
标准文档 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）的值． 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值； （2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长． 3.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若C2=b2+a2，求B．
4.在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值 （2）若a=1，，求边c的值． 5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 6.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC= （I）求△ABC的周长； （II）求cos（A﹣C）的值．
7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=． （I）求sinC的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长． 8.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc． （Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求的值． 9.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．
10.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．（1）确定角C的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值． 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，． （Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值； （Ⅱ）cotB+cot C的值．
一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2） 3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（） A．B．C．（0，2）D． 4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（） A．csinA=asinB B．bcosA=acosB C．asinA=bsinB D．asinB=bsinA 5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形 6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形 9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B 等于（） A．B．C．D．或
10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D． 二．填空题（共1小题） 11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则 的值为． 三．解答题（共7小题） 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积的最大值． 13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）若a=2，求b+c的值． 14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=． （1）求角B的大小； （2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围．
专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2 2 ,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中为ABC V 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<
专题 三角函数及解三角形 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（ 2 π，π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2 π为周期且在区间( 4 π， 2 π)单调递增的是 A ．f (x )=|cos2x | B ．f (x )=|sin2x | C ．f (x )=cos|x | D ．f (x )=sin|x | 4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0， 2 π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C 3 D 5 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 2 sin cos ++x x x x
③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π ，且4g π?? = ???38f π??= ??? A ．2- B ． C D ．2 7．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B === ，则ABC △的面积为_________． 9．【2019年高考江苏卷】已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （2 2b c +=，求sin C ． 12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ；
必修五解三角形练习题 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．非钝角三角形 2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A > B > C B ．B >A >C C ．C >B >A D ．C >A >B 3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．43 C ．4 6 D.323 4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 等于( ) A.833 B.2393 C.2633D ．2 3 5．若三角形三边长之比是1:3:2，则其所对角之比是( ) A ．1:2:3 B ．1: 3 :2 C ．1: 2 :3D. 2 : 3 :2 6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解 D ．解的个数不确定 7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( ) A ．1 B ．2C.2D. 3 9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( )