与椭圆有关的最值问题 圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆 为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化 思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式 等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见 的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1 ?定义法 2 2 例1。P(-2, 3 ),F2为椭圆——=1的右焦点，点M 在椭圆上移动，求丨MP| + | MF 2 |的最大值 25 16 和最小值。 分析：欲求丨MP| + | MF 丨的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 | MF | =2a- | MF | , F 1为椭圆的左焦点。 解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PR 延长 PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 -| PF |兰| MP| - | MF |兰| PR |当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。因为 2a=10, | PF 1 | =2所以(| MP| + | MF |) ma>=12, (| MP | + | MF | ) min =8 2 2 X y 结论1：设椭圆二 2 =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 a b 一点，则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为2a - | PR |。 2 2 例 2： P(-2,6),F 2为椭圆— -L 25 16 M ，此点使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 1。 MF |连接PF 1并延长交椭圆于点 皿仆则M 在M 1处时| MP | - | MF I 取最大值| PF 1 |。二| MP | + | MF |最大值是10+ , 37，最小值是,41 2 2 x y 结论2:设椭圆一2 - =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， a b 则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为 PF ?。 2. 二次函数法 2 2 例3?求定点A(a,0)到椭圆务'￡ =1上的点之间的最短距离。 a b 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示| PA |，转化为x,y 的函数，求最小值。 1 1 解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，| PA | 2=(x-a) 2+y 2 =(x-a) 2+1- x 2 = (x_ 2a)2+1d 由椭圆方 =1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求| MP | + | MF |的最大值和 最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于 解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- | M 1 M 2
圆中有关最值问题（1）教学设计 一、设计思路： 圆中有关最值问题是中考数学中的重要内容，是综合性较强的问题，它贯穿初中数学的 始终，是中考的热点问题。其运用性质有：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三边关系定 理、对称法等。本节课以例题入手来研究圆中的有关最值问题。 二、学情分析 学生知识技能基础：学生在前面几节课已经认识了圆，学习了圆的有关知识，以及数学 的基本结论：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三角形三边关系等基本知识，这些为本节 课的学习奠定了良好的知识技能基础。 学生活动经验基础：通过以往的数学学习，学生已经具有了一些数学活动经验的基础； 另一方面，在以往的数学活动中，学生已经经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的 合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力。 三、教学目标 知识与技能： 1、会利用直径是圆中最长的弦这一基本结论解决有关最值问题； 2、会利用圆外一点与圆上各点的连线中最短与最近距离这一基本事实，解决圆中有关最值问题。 方法与途径： 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，培养学生动手动脑、发现 问题及解决问题的能力，以及推理能力和有条理的表达能力。 情感与评价： 通过实际操作、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思 维变得更加灵活。 现代教学手段： 多媒体和几何画板的合理应用，增加了课时内容，激发了学生学习的积极性，突破了教 学重点、难点的同时，更重要的是使复杂问题更加简单化，通过清楚的动画演示，使学生进 一步感受何时取得最大值问题。 四、教学重点与难点 教学重点：将试题转化为最值中的有关模型 教学难点：将试题转化为最值中的有关模型的方法
圆中的最值问题 Prepared on 24 November 2020
圆中的最值问题 【考题展示】 题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b +的最大值.（有修改） 题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________． 题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120 A BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最 ∠=?，6 大值为_________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 _________． 题1图题2 图题3 图
题4图题5图 【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________． 在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件． 如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动． （1）当A在原点时，求点B的坐标； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； （3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．
直线与圆定点，定值范围问题习题 1.直线(21)(1)740()m x m y m m R +++--=∈，则直线过定点____________. 2.若圆222 (3)(5)x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围为____________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ________． 4.圆222 :22440C x y tx t y t +--+-=，则圆过定点________________. 5.若直线 y=x+b 与曲线y =b 的取值范围______________. 6.平面内动点M 到定点(2,0),(2,0)A B -的距离之比为1 2 ，则动点M 的轨迹方程是______________________. 7已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是 ________． 8.一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路 程是________ 9.设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2 ＋(y －3k )2 ＝2k 4 (k ∈N * )下列四个命题正确的序号有： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点． 10.已知过点A （0，1），且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22 =-+-y x ，相交于M 、 N 两点. （1）求实数k 的取值范围； （2）AM ?AN 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理 由。 11.已知⊙C,22 (1)5,x y +-=直线mx-y+1-m=0 (1)证明：对于m R ∈,直线与圆总有两个不同的交点A,B, (2)求弦AB 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （3）若定点P(1，1)分弦满足PB=2PA,求AB 直线方程 12.已知⊙O 2 2 4x y +=过点 P (作倾斜角互补的直线交圆A,B ，证明直线AB 的斜率为定值。 13.点A(0，2)是圆2 2 16x y +=内的一定点，B,C 是这个圆上的两动点，若AB CA ⊥,求BC 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。
“与圆有关的最值问题”教学案例 余浩平 教学背景： 本节课是与圆有关的一节复习课，由于在初中学习中接触过圆的一些基本知识，因而课前安排了两道有关圆的最值问题让学生练，为后面的教学奠定了基础。在随后的教学中，采取变式教学、一题多解、自主探索的教学方式，培养学生研究性学习。 教学目标： 从学生的实际出发，依据数学思维规律，提出恰当的富于启发性的问题，去启迪和引导学生积极思维，同时采用多种方法，引导学生通过观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。 重点与难点： 学生通过观察、分析、猜想、类比等思想方法主动地发现问题和解决问题。 教学过程： 一、 引入新课 练习： 已知圆0122822=+--+y x y x 内一点)0,3(A ，求经过点A 的最长弦和最短弦所在的直线方程。 二、 新课 例: 已知圆的方程222=+y x 及一点P(2,4)，求圆上的动点与点P 连线斜率 的最值？ 题变: 将上面例题中的点P(2,4)改为)4,0(P ，则圆上的动点与点P 连线斜率的 最值是否存在？若存在求出最值，若不存在，请说明理由。 讨论问题1： 已知圆的方程222=+y x 及一点P(2,4) 试试看： 根据以上条件，你还能设计出哪些与圆有关的最值问题？ 讨论问题2： 已知圆的方程422=+y x 及一条直线05=--y x 试试看： 根据以上条件，你能设计出哪些与圆有关的最值问题？ 三、 练习 1、 从直线y=3上找一点,向圆1)2()2(22=+++y x 作切线，切线长度的最 小的值是多少？
2、 实数满足01422=+-+y y x ，求（1）x y 的取值范围。 （2）x y 2-的取值范围 四、 小结 最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法. 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义, 则考虑利用图形来解决,这就是几何法——数形结合的方法; 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值. 五、 思考题 过点M （3，0）作直线l 与圆1622=+y x ，交于A,B 两点， 求: 直线l 的倾斜角θ，使△AOB 面积最大，并求此最大值（O 为坐标原点）。
微专题12与圆有关的定点、定值、最值、范围问题 真题感悟 (2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切. (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由. 解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a). 因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值. 理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x. 因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以MP＝x＋1. 因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P. 考点整合 1.最值与范围问题 (1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解. (2)常见的最值问题有以下几种类型： ①形如μ＝y－b x－a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ. 2.定点问题的求解步骤 (1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量. (2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数). (3)定点：求出定点坐标.利用方程ax ＋b ＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证. 3.定值问题的处理 (1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值. (2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形. 热点一 最值与范围问题 【例1】 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －1 2被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方. (1)求圆M 的方程； (2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值. 解 (1)设圆心M (a ，0)，由已知得圆心M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－? ?? ? ?322 ＝12， ∴ |8a －3|82＋（－6）2＝1 2 ，
与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案 姓名 1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一 点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____． 2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆 O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b． （1）求证：AE=b+a； （2）求a+b的最大值； （3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围． 3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切， P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE， D． 则线段DE长度的最大值为( ). A．3 B．6 C． 2
4.如图，A点的坐标为（﹣2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P（m，n）为⊙A上的一个动点，请探索n+m的最大值． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 . 6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q． （1）当PC= 时，CQ与⊙O相切；此时CQ= ． （2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长； （3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长． （4）在点P的运动过程中，线段CQ长度的取值范围为。 7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D是线段BC上的一个动点，以AD 为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．
与圆有关的最值问题 共线且P 和Q 在点O 的同侧（异侧）时，PQ 长度最小（大）．（通过定点与圆心连线与圆的 交点求出定点到圆上动点距离之最值） 3.过圆内一点的最短弦为过这点且与过该点的直径垂 直的弦； 4.通过切切点求有关角度之最值；5；通过弧的中点求弧上动点到弧所对弦距离最 短 例 1 （2014?无锡）如图，菱形ABCD 中，∠A =60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和1，P、E、F 分别是边CD、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE+PF 的最小值是3 ． （固定点P，则PE+PF 的最小值可转化为PA+PB-3 再结合“饮马问题”确定PA+PB 的最 小值） 例2（2014?成都）如图，在边长为 2 的菱形ABCD 中，∠ A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′M，N 连接A′C，则A′C长度的最小值是﹣1 ． （点A'在以M 为圆心，MA 为半径的圆上） 例3（2014·烟台）在正方形ABCD 中，动点E、F 分别从D、C 两点同时出发，以相同的速 度在直线DC、CB 上移动． （1）如图①，当点 E 自 D 向C，点 F 自 C 向 B 移动时，连接AE 和DF 交于点P，请你写 出AE 与DF 的位置关系，并说明理由； （2）如图②，当E、F 分别移动到边DC、CB 的延长线上时，连接AE 和DF ，（1）中的结 论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明） （3）如图③，当E、F 分别在边CD、BC 的延长线上移动时，连接AE 和DF ，（1）中的结 论还成立吗？请说明理由； （4）如图④，当E、F 分别在边DC、CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P，由于点E， F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD =2，试求出线段 CP 的最小值．
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；
与圆有关的最值（取值范围）问题 引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E， ?AB BC=，AC=，求的最大值. a b a b 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE 长度的最大值为( ). A．3 B．6 C D． 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.
1、如图10，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C 是?AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG=GH=HE （1）求证：四边形OGCH 是平行四边形 （2）当点C 在?AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线 段的长度 （3）求证：2 23CD CH 是定值
2、（2010年四川凉山州）已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，顶点(1,4)C -，与x 轴交于A 、 B 两点， (1,0)A -。 (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线的对称轴交于点F ，依次连接A 、D 、B 、E ，点Q 为线段AB 上一个动点（Q 与A 、B 两点不重合），过点Q 作QF AE ⊥于F ，QG DB ⊥于G ， 请判断 QF QG BE AD +是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若点H 是线段EQ 上一点，过点H 作MN EQ ⊥，MN 分别与边AE 、BE 相交于M 、N ，（M 与A 、E 不重合，N 与E 、B 不重合），请判断QA EM QB EN =是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 A B x G F M H E N Q O D C y
3、（2010年深圳）如图10，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－ 33 x － 53 3 与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长； （2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP :PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值； （3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由． x D A B H C E M O F 图10 x y D A B H C E M O F 图11 P Q x y D A B H C E M O F 图12 N K y
实用文档 圆过定点问题 班级_________________姓名_______________ 1．已知定点G（﹣3，0），S是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M． （1）求M的方程； （2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1． （Ⅰ）判断圆C1与圆C2的位置关系； （Ⅱ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 3．已知定点A（﹣2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F 的距离是它到定直线l的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分 别交直线l与点P，Q． （1）求点M的轨迹E的方程； （2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．
4．如图，已知椭圆C：+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、 BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N， （ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：k1?k2为定值； （ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论． 5．如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点 分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N． （1）求圆C的方程； （2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由． 6．二次函数f（x）=3x2﹣4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．（1）求实数c的取值范围； （2）求⊙C的方程； （3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论． 7．如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C． （I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上； （II）求证：圆C经过除原点外的一个定点； （III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？
拔高专题 圆中的最值问题 图(1) 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。 解：作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，连接OA ′，AA ′． ∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点， ∴∠A ′ON=∠AON=60°，PA=PA ′，∵点B 是弧AN 的中点， ∴∠BON=30°，∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA ′=3， ∴A ′．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA ′+PB=A ′． 【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。
探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题 例2：如图，在Rt△AOB中， ，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点， 过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中， OA=OB=3 ， ∴ OA=6，∴OP= ? OA OB AB =3，∴ ． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值． 解：（1）线段AB长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中点C， ∴AB=2OC； 当OC=OP时，OC最短， 即AB最短， 此时AB=4．
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法： 1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组； 4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ?⊥?=??-?=?+=u u u r u u u r ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ?+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题” (如：AQ QB λ=?u u u r u u u r 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线?直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想： 1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法： (1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法： (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转
高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题 概念与用法 圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难 点.解决这个难点的基本思想是函数思想， 可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、 比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求 的定值?具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去 变量即得定值. 基本解题数学思想与方法 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中， 不受相关变元的制约而恒定不变， 则称该变量具有定值特征. 解答此类问题的基本策略有以下两种： 1、 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量 的定值，再证明结论与特定状态 无关. 2、 把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关. 题型示例 一?证明某一代数式为定值： 1、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. 解：由已知条件，得 F(0, 1), Z>O ?设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2).由 AF =入FB , 即得 (一x 1, 1 — y) = ?(X 2, y 2 — 1),所以 —X1=入2 ① 1 — y1 =心2— 1)② 若M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值; 解：设M (y 0 ,y o ),直线 ME 的斜率为 k(l>0)，直线 MF 的斜率为—k , 直线 ME 方程为y y o k(x y (). ???由 y o k (x yo) ，消 x 得 ky 2 y o (i ky o ) o 解得 y F 1 ky o X F 2 (1 ky o ) 厂； 同理 1 ky ,X F 1 ky 2 y E y F X E X F 1 k (1 ky 。) ky o 1 ky o 2 (1 ky °) 2 k 4ky o 2y o (定值) k 2 所以直线EF 的斜率为定值 k 2 ▲利用消元法 2、已知抛物线x 2= 4y 的焦点为 F , A 、B 是抛物线上的两动点, 且AF =入FB B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M .证明FM -AB 为定值
圆中定值问题 定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变 的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决. 图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别 交x轴、y轴于A、B、C、D四点. 此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知 识联系，演变成一系列定值问题. （以下各题如无特殊说明，圆心M的坐标（3，0），半径为5） 一.探究a b?型定值问题 例1.如图2，点P是上一动点，连接CP并延长交x轴于点Q，连接PD交x轴于点H，当点P在?为定值，并求其值. 上运动时，试探究MQ MH
二. 探究a b 型定值问题 例2.如图，点P是上一动点，过点C作⊙M的切线交x轴于点Q，连接PO，当点P在上运动时， 试探究PO PQ为定值，并求其值.
型定值问题 三. 探究a b 例3.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，点P是上一动点，过点D作⊙M的直径DH交AP于F点，连接PH交x轴于点E，当点P在上运动时，试探究ME+MF为定值，并求其值.
变式练习. 如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，若P是上一动点，连接HP交x轴于E，当点P在上运动时，试探究ME-MF为定值，并求其值.
四. 探究11 a b +型定值问题 例4.如图，过C点作⊙M的切线交x轴于Q点，连接CA，过A点的直线EF交CQ于E点，交y轴于F 点，当直线EF绕点A旋转时，探究 11 CE CF +为定值，并求其 值.
圆中定值问题 定值问题就是近年来中考与竞赛中的热点与难点,它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证,从而使问题获得解决、 图形背景:如图,在平面直角坐标系中,M为x轴正半轴上一点,以M为圆心的圆分别交ｘ轴、 y轴于A、B、C、Ｄ四点、 此图虽简单,但内涵极为丰富,它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识 联系,演变成一系列定值问题、 (以下各题如无特殊说明,圆心M的坐标(3,0),半径为5) 一、探究a b?型定值问题 例1、如图2,点P就是上一动点,连接ＣP并延长交x轴于点Ｑ,连接PD交ｘ轴于点H,当点P在上运?为定值,并求其值、 动时,试探究MQ MH
二. 探究a b 型定值问题 例2、如图,点P就是上一动点,过点Ｃ作⊙Ｍ的切线交x轴于点Q,连接PＯ,当点P在上运动时,试探 究PO PQ 为定值,并求其值. 三、探究a b 型定值问题 例3、如图,若以Ｍ(1,0)为圆心,2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点,点P就是上一动点,过点D作⊙Ｍ的直径DH交ＡP于F点,连接PH交ｘ轴于点E,当点Ｐ在上运动时,试探究ME+MF为定值,并求其值、
变式练习、 如图,若以M(1,０)为圆心,2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、Ｄ四点,若P就是上一动点,连接HP 交x轴于E,当点Ｐ在上运动时,试探究ME-MＦ为定值,并求其值、 四. 探究11 a b +型定值问题 例4、如图,过C点作⊙M的切线交x轴于Q点,连接ＣA,过A点的直线EF交CQ于E点,交y轴于Ｆ点,当直 线EF绕点A旋转时,探究 11 CE CF +为定值,并求其值、
圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题 题型一 有关定直线、定圆的最值问题 例1 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2 ＋(y －1)2 的最小值为________． 破题切入点 直接用几何意义——距离的平方来解决，另外还可以将x ＋2y －5＝0改写成x ＝5－2y ，利用二次函数法来解决． 解析 方法一 (x －1)2＋(y －1)2 表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方． 由已知可知点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离， 即d ＝|1＋2×1－5|1＋22 ＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2 ＝45. 方法二 由x ＋2y －5＝0，得x ＝5－2y ，代入(x －1)2 ＋(y －1)2 并整理可得 (5－2y －1)2＋(y －1)2＝4(y －2)2＋(y －1)2＝5y 2 －18y ＋17＝5(y －95)2＋45，所以可得最小值为45. 题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题 例2 直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．当OA ＋OB 最小时，O 为坐标原点，求l 的方程． 破题切入点 设出直线方程，将OA ＋OB 表示出来，利用基本不等式求最值． 解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则y －4＝k (x －1)(k <0)． 令y ＝0，可得A (1－4 k ，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )． OA ＋OB ＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k )＝5＋(－k ＋4 －k )≥5＋4＝9. 所以，当且仅当－k ＝4 －k 且k <0，即k ＝－2时，OA ＋OB 取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0. 题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题 例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2 ＋(y ＋2)2 ＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 的长最小时，点P 的坐标是________． 破题切入点 将PT 的长表示出来，结合圆的几何性质进行转化． 解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2 －1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程? ?? ?? y ＝x ＋2， y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标 为(0,2)． (2)与其他知识相结合的范围问题 例4 已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2 ＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33 |AB →|，那么 k 的取值范围是________． 破题切入点 结合图形分类讨论．
圆中的定值问题 (一）探究a b?型定值问题 定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它 要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分 析、猜想、论证，从而使问题获得解决. 图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正 半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、 B、C、D四点. 此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题. 例1.如图，圆心M的坐标（3，0），半径为5。点P是上一动点，连接CP并延长交x轴于点Q，连接PD交x轴于点H，当点P在上 ?为定值，并求其值。 运动时，试探究MQ MH 练习1、如图，已知AB是⊙O的直径，点 C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线 交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； 1AB； （2）求证：BC= 2 （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN?MC 的值．
练习2、（2010?深圳）如图1所示，以点M（-1，0）为圆心的 x ⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F． （1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长； （2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值； （3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足M N?MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．
练习3——已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点． （1）求证：BE=IE； （2）若AI⊥CE， ①求⊙A的半径； ②设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ