二次函数基础知识盘点
二次函数()20y ax bx c a =++≠是中考必考的内容，填空题、选择题常考查其基础知识，解答题一般与其他知识组合形成综合题，并常作为压轴题，以考查学生分析问题和解决问题的能力，因此盘点一下二次函数的基础知识很有必要。
一、二次函数的系数与抛物线的特征
1. a 的符号确定抛物线的开口，0a >时开口向上；0a <时开口向下。
2. ab 的整体符号确定抛物线对称轴的位置，当0ab >（即02b
a
-
<）时，对称轴在y 轴的左方；当0ab <（即02b a ->）时，对称轴在y 轴的右方，特殊地，当0b =时，02b a
-=，y 轴为抛物线的对称轴。
当a 的符号与对称轴的位置确定时，可以确定b 的符号，例如，对称轴在y 轴的右方时，
0ab <，若0a >，则0b <；若0a <，则0b >。
3. c 的符号确定抛物线与y 轴的交点位置。0c >时，交点在y 轴的正半轴上；
0c <时，交点在y 轴的负半轴上。特殊地0c =时，抛物线过原点。又若0b =时，抛物线的顶点在原点。
4. 2
4b ac ?=-的符号确定抛物线与x 轴的交点个数。0?>时，有两个交点；0
?=时，只有一个交点，抛物线的顶点在x 轴上；
0?<时，没有交点。 例如，二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图
象如图⑴所
示，则0a <，0b <（ 0ab >），0c >，0?>。
二、二次函数与二次方程之间的关系
二次函数()2
0y ax bx c a =++≠中，当
0y =时，转化
为方程2
0ax bx c ++=，当抛物线与x 轴有交点
时（0?≥），
可以解二次方程2
0ax bx c ++=，求得抛物线与x 轴的交点坐标，并且由图象可以确定当x 取何值时0y >或0y <。
例如，二次函数2
23y x x =--中，令2
230x x --=，得3x =或1x =-，抛物线与x
轴交于A ()1,0-，B ()3,0两点（如图2）。当3x >或
1x <-时，
0y >；当13x -<<时，0y <。
三、二次函数的恒等变形
图 （1）
图（2）
2
22
424b ac b y ax bx c a x a a -??=++=++
??
?。 这是一种非常重要的恒等变形，应该熟练掌握，这种变形至少有以下几个方面的作用：
1. 可知抛物线的顶点坐标为24,24b ac b a a ??
-- ???
；
2. 可知抛物线的对称轴为2b x a
=-
； 3. 可知二次函数的最大值或最小值，当0a >时，有最小值2
44ac b a -；当0a <时，有
最大值2
44ac b a
-；
4. 可以确定x 为何值时，y 随x 的增大而增大，或y 随x 的增大而减小；
5. 便于取点作出二次函数的图象（通常找出五点：顶点，与x 轴的两个交点，与y 轴的交点及该点关于对称轴的对称点）；
6. 有利于按照要求平移抛物线。
例如，二次函数223y x x =--，可通过配方变形为()2
14y x =--。由此可知抛物线的顶点坐标为()1,4-；对称轴为1x =；当1x =时，函数有最小值4-；当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大；取五点：()1,0-，()0,3-，()1,4-，()2,3-，()3,0可以作出此二次函数的图象（如上图⑵）；将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，就可以得到二次函数2
y x =的图象。
四、二次函数解析式的确定
二次函数一般有三种形式： 1. 一般式：2
y ax bx c =++；
2. 顶点式：()2
y a x m n =-+，(),m n 为抛物线的顶点；
3. 交点式：()()12y a x x x x =--，()12,x x 为抛物线与x 轴交点的横坐标。 解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式。
例1 如图⑶，二次函数2
y ax bx c =++的图象过点()1,0A -和点()1,2B -，且与y 轴
交于正半轴，给出下列四个结论：
①0abc < ②20a b -< ③1a c +=- ④1a <-
其中正确结论的序号是__________。 解：由图象可知0a <，0b <（ 0ab >），
c >
，
x
0abc ∴>。
又由图象可知，对称轴12b
x a
=-
>-，即12b a <。 0a < ，2b a ∴>，即20a b -<。
图象过点()1,0-和()1,2-，
0,
2,
a b c a b c -+=?∴?
++=-?二式相加得，1a c +=-。 1a c +=-，1a c ∴=--，0c > ，1a ∴<-。 ∴正确结论的序号是②③④。
例2 已知抛物线()2
112
y x m x n =-+-+经过()1,2A -、()4,3B -两点。
⑴求此抛物线的解析式；
⑵求抛物线与x 轴的交点坐标；
⑶求抛物线的顶点坐标和对称轴方程； ⑷画出此抛物线的图象； ⑸当x 取何值时，0y <？
⑹当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？ ⑺将此抛物线沿x 轴方向向右平移32个单位，再沿y 轴方向向下平移9
8
个单位，求平移后的抛物线的解析式。
解：⑴ 抛物线过()1,2-和()4,3-，
()()112,2
8413,m n m n ?---+=?∴??-+-+=-?即()()51,241 5.m n m n ?
--+=?
??-+=?
解得3,
23.m n ?
=???=?
211322y x x ∴=-++。
⑵解211
3022
x x -
++=，即260x x --=，得2x =-或3x =。 ∴抛物线与x 轴交于()2,0-和()3,0。 ⑶2
2111125322228
y x x x ??=-++=--+ ???。
∴抛物线的顶点坐标是125,28??
???
，对称轴是12x =。
⑷抛物线过()2,0-、()1,2-、()0,3、125,28??
???
、()1,3、()3,0、()4,3-诸点，图象如图⑷。
⑸当2x <-和4x >时，0y <。
⑹当1
2
x <时，y 随x 的增大而增大。
⑺
平
移
后的解析式为
2
113259
222
88
y x ??=---+-
???，即()2
1222
y x =-
-+。
二次函数基础训练题 一、仔细填一填：（每小题2分，共40分） 1、在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”). (l ）y=-2x 2 ( ) (2）y=2(x-1)2+3 ( ) (3）y=-3x 2-3 ( ) (4) s=a(8-a) ( ) 2、说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ． (1)y=x 2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ; 3、 已知函数y=(m-1)x 2+2x+m,当m= 时，图象是一条直线；当m 时，图象是抛 物线；当m 时，抛物线过坐标原点． 4、函数212y x =-的对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴的右侧y 随x 的增大而 ，当x= 时，函数y 有最 值，是 . 5、函数y=3(x-2)2的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 . 6、.函数y=-(x+5)2+7的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图象开口向 ，当x 时， y 随x 的增大而减小，当 时，函数y 有最 值，是 . 7、 函数y=x 2-3x-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的 左侧，y 随x 的增大而 ，当x 时，函数y 有最 值，是 . 8、.函数y=-3(x-1)2+1是由y=3x 2向 平移 单位，再向 平移 单位 得到的. 9、已知抛物线y=x 2-kx-8经过点P (2, -8), 则k= ，这条抛物线的顶点坐标是 . 10、 已知二次函数y=ax 2-4x-13a 有最小值-17，则a= . 11、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 的符号是 ，b 的符号 是 ，c 的符号是 .当x 时， y ＞0，当x 时，y=0, 当x 时，y < 0 . 12. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ). 13. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的对称轴为直线X= 94，则m= ． 14、已知二次函数y=x 2+bx-c,当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0，则b= ；c= . 15、抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象经过第 象限. 16、把40表示成两个正数的和，使这两个正数的乘积最大，则这两个数分别是 . 17、已知正方形边长为3，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是 18、若一抛物线y=ax 2与四条直线x=1，x=2, y =1, y =2 围成的正方形有公共点，则a 的取值 范围是 ( ) 19、写出一个二次函数的解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析式可写为 . 20、抛物线y=(1-k)x 2-2x-1与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 . 二、认真选一选：（每题2分，共26分） 1. 二次函数y=(x-1)2-2的顶点坐标是（ ） A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2) 2. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=- 12 D.x=12 3. 把y= -x 2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（ ）
初中数学二次函数专题复习教案 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。 〖大纲要求〗 1．理解二次函数的概念; 2．会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3．会平移二次函数y=a ｘ2 （ａ≠0)的图象得到二次函数y=a(ax ＋ｍ)２ +k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与ｘ轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 (1）二次函数及其图象 如果y=ａx 2+ｂx+c （a,b ，c 是常数，a ≠0),那么,ｙ叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线ｙ＝ａx 2 +bx ＋c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=,当a>0时，抛物线开口向上,当ａ<0时,抛物线开口向下。 抛物线y ＝a （x+h)2+ｋ(a ≠０)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=－h. 〖考查重点与常见题型〗 1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y ＝（m-2)ｘ2＋m ２－m-2额图像经过原点, 则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝k ｘ＋ｂ的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2+ｂx －1的图像大致是（ ） y 0 -1 x
史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分基础知识 1.定义：一般地，如果y ax2bx c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y ax2的性质 （1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y ax2的图像与a的符号关系. ①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a0）. 3.二次函数y ax2bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. b 2a4ac b4a 224.二次函数y ax bx c用配方法可化成：y a x h k的形式，其中h22，k. 25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ax2；②y ax2k；③y a x h； ④y a x h k； ⑤y ax2bx c. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：y ax2b4ac b bx c a x2a4a22b4ac b（），对称轴是直线x，∴顶点是. 2a2a4a 2b2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线 x h. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 - 1 - 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y ax2bx c中，a,b,c的作用 （1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2bx c的对称轴是直线 x b2a
① 二次函数 考点一 一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式；②x 的最高次数是2；③二次项系数a ≠0. 2．二次函数的三种基本形式 一般形式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)； 顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)； 交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1 、x 2 是图象与x 轴交点的横坐标． 考 点二 二次函数的图象和性质
考点三 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 考点四 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 考点五 1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式． 3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式 考点六 二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系． ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围． (1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是() A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4) (2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为() A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2 (3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是() ②
二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）
3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有
初中数学二次函数基础测试题附答案 一、选择题 1．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②3④ C ．①②③ D ．②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】 解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0， ∴abc ＜0，故①正确； ②由对称轴可知：2b a -＝1， ∴b ＝﹣2a ， ∵抛物线过点（3，0）， ∴0＝9a+3b+c ， ∴9a ﹣6a+c ＝0， ∴3a+c ＝0，故②正确； ③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ， 当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ， 即ax 2+bx≤a+b ，故③正确； ④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）： ∴y 1＝y 2，故④错误； 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
2．如图，抛物线2 119 y x = -与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ） A ．2 B ． 32 2 C ． 52 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=1 2 BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】 ∵2 119 y x = -， ∴当0y =时，2 1019 x =-， 解得：=3x ±， ∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O 点为AB 的中点， 又∵圆心C 坐标为(0，4)， ∴OC=4， ∴BC 长度2205OB C +=， ∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点， ∴OE 为△ABD 的中位线， 即：OE= 1 2 BD ， ∵D 点是圆上的动点，
二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成c m x b m x a y ++++=)()(2 （或 c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ， （若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而
二次函数单元测评 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1 《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题； 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 要点二、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④， 其中；⑤.（以上式子a≠0） 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 当时(轴) (0，0) 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线20 () y ax bx c a =++≠中，,, a b c的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则. 4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.) (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： （a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释： 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 人教版初中数学二次函数基础测试题附答案 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①； 0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以 0a b c -+>；由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为 23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 二次函数 【学习目标】： 知识点、考点： 1.二次函数的定义； 2.二次函数的图像和性质； 3.确定二次函数的解析式。 【学习内容】： 知识网络详解： 一、二次函数 1、二次函数的定义 一般地，形如_________（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为0，二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 3、二次函数的三种常见形式 ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），对称轴______，顶点坐标______．该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（，0），（，0），对称轴为______． 4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图像及性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图像有以下特征： （1）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小 ①当a＞0时，开口向______，顶点坐标______，对称轴为______，当x＞______时， y随x的增大而______；x＜______时，y随x的增大而______；x=______时，y有 最小值为______。 ②当a＜0时，开口向______，顶点坐标______，对称轴为______，当x＞______时， y随x的增大而______；x＜______时，y随x的增大而______；x=______时，y有 最大值为______。 ③∣a∣决定开口大小，∣a∣越大开口就越小。 （2）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置： 左同右异：当a,b同号时，对称轴在y轴左侧，当a,b异号时，对称轴在y轴右侧。 （3）常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与y轴交于（0，c）， ①c＞0,与y轴交于正半轴 ②c=0，过原点 ③c＜0，与y轴交于负半轴 （4）抛物线与x轴的交点个数： △=＞0时，抛物线与x轴有______个交点 △==0时，抛物线与x轴有______个交点 △=＜0时，抛物线与x轴有______个交点 5、二次函数的平移 具体步骤：先把二次函数y=ax2+bx+c化成的形式，确定其顶点(h,k)，然后做出二次函数的图像，将抛物线平移，使其顶点平移到(h,k). 平移规律:左加右减,上加下减. 二次函数基础练习题 一、填空题 1、在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”). (l ）y=-2x 2 ( ) (2）y=2(x-1)2+3 ( ) (3）y=-3x 2-3 ( ) (4) s=a(8-a) ( ) 2、说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ． (1)y=x 2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ; 3、 已知函数y=(m-1)x 2+2x+m,当m= 时，图象是一条直线；当m 时，图 象是抛 物线；当m 时，抛物线过坐标原点． 4、函数212 y x =-的对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴的右侧y 随x 的增大而 ，当x= 时，函数y 有最 值，是 . 5、函数y=3(x-2)2的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 . 6、.函数y=-(x+5)2+7的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图象开口向 ，当x 时， y 随x 的增大而减小，当 时，函数y 有最 值，是 . 7、 函数y=x 2-3x-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的 左侧，y 随x 的增大而 ，当x 时，函数y 有最 值，是 . 8、.函数y=-3(x-1)2+1是由y=3x 2向 平移 单位，再向 平移 单位 得到的. 9、已知抛物线y=x 2-kx-8经过点P (2, -8), 则k= ，这条抛物线的顶点坐标是 . 10、 已知二次函数y=ax 2-4x-13a 有最小值-17，则a= . 二次函数考点分类复习 知识点一：二次函数的定义 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。 备注：当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数． 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2 －4x+1； ②y=2x 2 ； ③y=2x 2 +4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2 +nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2 +2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 课后练习： （1）下列函数中，二次函数的是（ ） A ．y=ax 2+bx+c B 。2 )1()2)(2(---+=x x x y C 。x x y 1 2+= D 。y=x(x —1) （2）如果函数1)3(2 32 ++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 知识点二：二次函数的对称轴、顶点、最值 1、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；当0 二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习（超全） 【典型例题】 题型 1 二次函数的概念 例1（基础）.二次函数2 365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2.（拓展， 武汉市中考题，12） 下列命题中正确的是 ○ 1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○ 2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。 ○ 3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。 ○ 4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。 ○ 5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC =6，则抛物线解析式为 y=x 2－5x+4。 ○ 6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。 ○ 7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。 ○ 8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。 ○ 9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。 ○ 10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。 ○ 11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。 点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数a 、b 、c 对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。 题型2 二次函数的性质 例3 若二次函数2 4y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1 -2 2 二次函数基础练习题 1.抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0． 2. 抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 过第一、二、四象限，则a 0，b 0，c 0． 3．已知抛物线c x ax y ++=22 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （c a ,）在第 象限． 4.二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示，则a 0， b 0， c 0， b 2 -4ac 0，a ＋b ＋c 0，a －b ＋c 0； 5. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则a 0， b 0， c 0 6.二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示，那么下列四个结论： ①a <0 ；②c >0 ； ③ac b 42 ->0 ;④a b <0中， 正确的结论有( )个 7. 已知：抛物线 （a ＜0）经过点（－1，0），且满足4a ＋2b ＋c ＞0．以下结论： ①a ＋b ＞0；②a ＋c ＞0；③－a ＋b ＋c ＞0；④ ＞ 0 ．其中正确的个数有（ ）个 8.已知二次函数c bx ax y ++=2 中0,0,0<> 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 二 次 函 数 一、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 例：已知关于x 的函数是常数c b a c bx ax y ,,(2 ++=）当a,b,c 满足什么条件时 （1）是一次函数 （2）是正比例函数 （3）是二次函数 二、二次函数c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a 的性质 （1）①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随x 的增大而增大； ②当00 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数2 23y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的 取值范围是（ A ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3 2、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12?? ??? ，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2 =4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ C ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 y x O 山东威海题图 轴下方 轴的交点在，抛物线与轴上方，轴的交点在，抛物线与x y c x y c 00<>二次函数知识讲解基础(供参考)
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