2020-2021高三数学下期末试卷及答案(6)
一、选择题
1．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
2．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）
A ．()D ξ减小
B ．(
)D ξ增大 C ．()D ξ先减小后增大
D ．()D
ξ先增大后减小
3．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6
B ．8
C ．
D ．
4．已知向量a v ，b v
满足a =v
||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值
为（ ） A ．
2
B C D 5．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28
B ．32
C ．33
D ．27
6．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x
?---≤?
=?>??是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．30a -
≤< B ．0a <
C ．2a ≤-
D ．32a --≤≤
7．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩
B ．乙可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．丁可以知道四人的成绩
8．若双曲线22
221x y a b
-=，则其渐近线方程为（ ）
A ．y=±2x
B ．y=
C ．1
2
y x =±
D ．2
y x =±
9．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原
理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
10．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A ．3
B ．2
C 3
D 2
11．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r ，
()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若3
2
BQ CP ?=-uu u r uu r ，则λ=（ ）
A ．
12
B 12
± C 110
± D 322
± 12．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12F F ，
为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y x =?
C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
二、填空题
13．若双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程
是___________.
14．复数()1i i +的实部为 ．
15．若函数3
211()23
2f x x x ax =-++ 在2,3??
+∞????
上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.
16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则
ABC V 的面积为______．
17．已知样本数据
，
，
，
的均值
，则样本数据
，
，
，
的均值为 ．
18．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C C
c B B
+=+，C 是锐角，且27a =，1
cos 3
A =
，则ABC △的面积为______． 20．在ABC ?中，若13AB =，3BC =，120C ∠=?，则AC =_____．
三、解答题
21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
10
女生
20
合计
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为． （1）请将上述列联表补充完整；
（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：2
2
n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)
-=++++，其中n=a+b+c+d ）
22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α
α=??=?
（t 为参数，0≤α<π）．以坐
标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
244cos 2sin ρρθρθ-=-．
(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为l 的普通方程．
23．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
()2设
X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期
望．
24．已知函数()3
f x ax bx c =++在点2x =处取得极值16c -.
(1)求,a b 的值；
(2)若()f x 有极大值28，求()f x 在[]3,3-上的最小值．
25．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1212x t y t ?
=??
??=-??
（t 为参数）.在以
坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲
线C 的极坐标方程是4πρθ??
=+
???
. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值.
26．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2
~,X N
μσ，则①
()0.6827P X μσμσ-<+=…；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=…；③ (33)0.9973P X μσμσ-<+=….
（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 (
)2
,N μσ
，其
中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：
（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?
（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】
由题意得x 3的系数为31
4424812C C +=+=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】
111
()0122222
p p E p ξ-=?+?+?=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224
p p D p p p p p ξ-∴=
--+--+--=-++， 1
(0,1)2
∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】
2
221
1
1
(),()(())().n
n
n
i i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
2
a b
+≤转化为指数运算即可求解。 【详解】
由基本不等式可得22a b +≥3a b +=，所以22a b +≥=（当且仅当3
2
a b ==等号成立） 故答案为：D 【点睛】
本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础。
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平方运算可求得12
a b ?=r r ，利用
cos ,a b a b a b ?<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】
由题意可知：222
2324b a b a b a a b +=+?+=+?=r r r r r r r r ，解得：12
a b ?=r r
cos,
4
a b
a b
a b
?
∴<>===
r
r
r
r
r
r
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值.
【详解】
因为数列的前几项为2,5,11,20,,47
x，
其中5213,11523,201133
-=?-=?-=?，
可得2043
x-=?，解得32
x=，故选B.
【点睛】
本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.
【详解】
要使函数在R上为增函数，须有()
f x在(,1]
-∞上递增，在(1,)
+∞上递增，
所以
2
1,
2
0,
115,
1
a
a
a
a
?
-≥
?
?
<
?
?
?--?-≤
?
，解得32
a
--
≤≤.
故选D.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.
7．A
解析：A
【解析】
根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，
又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】
本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
8．B
解析：B 【解析】
=b y x a =±，计算得b a =
方程为y =.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】
由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为
26
4633616222++???+??=
???
. 故选B. . 【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
10．B
解析：B
【分析】 【详解】
M N Q ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 Q 双曲线与椭圆有公共焦点，
∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2
故答案选B
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r
，再根据向量的数
量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】
∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r ，
∴()()
BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ?=+?+=?-?-?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=?---+-?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()232441212222
λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1
2λ=.
故选：A. 12．A
解析：A 【解析】 【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得4
3
b a =，问题得解． 【详解】
依据题意作出图象，如下：
则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =
-=
由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF
c a =+， 所以()()()()
222
22222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==??+
整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：4
3
b a =， 所以C 的渐近线方程为43
b y x x a =±=± 故选A 【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题 解析：22y x =±
【解析】 【分析】
由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1
223
a c =?，再据222c a
b =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可． 【详解】
∵双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，
∴1
223
a c =
?，3c a =，又222c a b =+，∴b =
∴渐近线方程是b
y x a
=±=±，故答案为y =±． 【点睛】
本题考查双曲线的几何性质即双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x
a =±属于基础题．
14．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-
【解析】
复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.
15．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性
解析：1(,)9
-+∞ 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：2
2
11()2224f x x x a x a ??=-++=--++ ??
?'．当23x ??∈+∞????，时，()f x '的最大值为
22239f a ??=+ ???'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9??
-+∞ ???
．
考点：利用导数判断函数的单调性．
16．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定
【解析】 【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】
2b =Q ，3c =，2C B =，
∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23
sin sin B C
=，可得：
233sin sin22sin cos B B B B
==， ∴可得：3cos 4B =
，可得：27sin 1cos 4
B B =-=， ∴可得：37sin sin22sin cos 8
C B B B ===，21
cos cos22cos 18C B B ==-=，
()7133757
sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=?+?=
， 1157157
sin 2322S bc A ∴=
=???=
． 故答案为：157
16
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
17．11【解析】因为样本数据x1x2???xn 的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1???2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析：
【解析】 因为样本数据
，
，
，
的均值
，所以样本数据，
，
，
的均值为
，所以答案应填：
．
考点：均值的性质．
18．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确
定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同 解析：16
【解析】 【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】
根据题意，没有女生入选有3
44C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
19．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理
解析：【解析】 【分析】 由
cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C
C B
=，故sin2sin2B C =，于是得到
B C =或2
B C π
+=
，再根据1
cos 3
A =
可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求
出b c ==
【详解】
由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22
sin cos 2cos sin cos 2cos B C C
C B B =， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠，
∴
sin cos sin cos B C
C B
=， ∴sin2sin2B C =， 又,B C 为三角形的内角， ∴B C =或2
B C π
+=
，
又1cos 3
A =
， ∴B C =，于是b c =．
由余弦定理得2
2
2
2cos ,a b c b A =+- 即()
2
2222
273
b b b =+-，
解得21b =，故21c =．
∴1122sin 212172223
ABC S bc A ?=
=???=. 故答案为72． 【点睛】
正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．
20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计
解析：1 【解析】 【分析】
由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】
由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
21．（1）列联表见解析；（2）有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；（3）.
【解析】
试题分析：（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为
3
5
， 可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得2K 与邻界值比较，即可得到结论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰好有1人喜欢游泳的概率.
试题解析：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为， 所以喜欢游泳的学生人数为人
其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60
40
100
（2）因为
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关
（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a ，b ，c ，另外2名学生记为1， 2，任取2名学
生，则所有可能情况为（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，1）、（a ，2）、（b ，c ）、（b ，1）、（b ，2）、（c ，1）、（c ，2）、（1，2），共10种.
其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a ，1）、（a ，2）、（b ，1）、（c ，1）、 （c ，2），共6种
所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为
【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及独立性检验的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，
22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象
的发生.
22．(Ⅰ) ()()2
2
219x y -++=；（Ⅱ）3
4
y x =和x=0. 【解析】 【分析】 （I ）将x cos y sin ρθ
ρθ
=??
=?代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）
将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程. 【详解】
解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθ
ρθ=??=?
代入曲线C 极坐标方程得：
曲线C 的直角坐标方程为：2
2
442x y x y +-=- 即()()2
2
219x y -++=
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：
()()
22
cos 2sin 19t t αα-++=
整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ?=- 则
12AB t t =-=
=
=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<
得3tan 2
4π
αα=
=
或，直线l 的普通方程为3
4
y x =和x=0 【点睛】
本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题. 23．（1）1
3
； （2）()1E X =. 【解析】 【分析】
（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；
（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】
（1）由已知有11
23432
101
()3
C C C P A C ?+==， 所以事件A 的发生的概率为
13
； （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；
2223342104(0)15C C C P X C ++===；1
1
1
1
33342107
(1)15
C C C C P X C ?+?===； 11
342
104
(2)15
C C P X C ?===； 所以随机变量X 的分布列为：
数学期望为()
0121151515
E X =?
??.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题． 24．(1) 1,12a b ==-;(2) 4-. 【解析】 【分析】
（1）f′（x ）=3ax 2+b ，由函数f （x ）=ax 3+bx+c 在点x=2处取得极值c ﹣16．可得f′（2）=12a +b=0，f （2）=8a+2b+c=c ﹣16．联立解出．
（2）由（1）可得：f （x ）=x 3﹣12x+c ，f′（x ）=3x 2﹣12=3（x+2）（x ﹣2），可得x=﹣2时，f （x ）有极大值28，解得c ．列出表格，即可得出． 【详解】
解：因()3
f x ax bx c =++.故()2
3f x ax b '=+
由于()f x 在点x=2处取得极值c-16. 故有()()
20,
216,f f c ?'=??
=-??即120,8216,a b a b c c +=??++=-?化简得120,48,a b a b +=??+=-?解得a=1，b=-12.
（2）由（1）知()3
12f x x x c =-+；
()()()2312322f x x x x ==-'-+.
令()0f x '=，得12x =-，22x =.
当(),2x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(),2-∞-上为增函数； 当()2,2x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在()2,2-上为减函数； 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()2,+∞上为增函数.
由此可知()f x 在12x =-处取得极大值；()216f c -=+，()f x 在22x =处取得极小值
()216f c =-.
由题设条件知16+c=28，得c=12.
此时()3921f c -=+=，()393f c =-+=，()2164f c =-+=-，因此()f x 在
[]3,3-上的最小值为()24f =-.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
25．（110y --=，2
2
(1)(1)2x y -+-=；（2）1. 【解析】 【分析】
（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；
（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】
（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得
直线l 10y --=.
将曲线C 的极坐标方程化为2
sin 22ρθθ??=+ ?
???
. 即2
2sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.
故曲线C 的直角坐标方程为()()2
2
112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()2
2
112x y -+-=中，得
2
2
11222t ???-+-=? ??????
.
化简，得(2
130t t -++=.
∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.
由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,
12121PA PB t t t t +=+=+=.
【点睛】
本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 26．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位 【解析】 【分析】
（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i ）根据正态分布可得：0.6827
()0.50.84142
P X μσ>-=+
≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解. 【详解】
（1）由频率分布直方图可得：
120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =?+?+?+?+?+?+?=；
（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827
()0.50.84142
P X μσ>-=+
≈，
所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；
（ii ）0.9545
(12.14)(2)0.50.97732
P X P X μσ≥=≥-=+
≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，
记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B : 恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率
()()
100010000.997310.9973k
k
k P X k C -==-
()()()()
10010.97731
110.9773P X k k P X k k =-?=>=-?-得10010.9773978.2773k
所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，
()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有
可能是978位. 【点睛】
此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.