第二部分专题三第1讲
专题训练十一空间几何体、三视图、表面积与体积(文理)
一、选择题
1．下列说法正确的有(A)
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．
2．正方体的棱长为a，则该正方体的外接球的直径长(D)
A．a B．2a
C．2a D．3a
【解析】外接球的直径为a2＋a2＋a2＝3a.故选D．
3．(2020·济南模拟)如图，在圆柱O 1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若O 1O2＝2，则圆柱O1O2的表面积为(C)
A．4πB．5π
C．6πD．7π
【解析】由题意可得：h＝2r＝2?r＝1；
∴S ＝πr 2×2＋2πr ×h ＝6πr 2＝6π； 故选C ．
4．(2020·泰安模拟)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF ＝3
2，EF ∥平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为2，
该刍甍的体积为( B )
A ．6
B ．113
C ．31
4
D ．12
【解析】 如图，作FN ∥AE ，FM ∥ED ，
则多面体被分割为棱柱与棱锥部分， 则该刍甍的体积为：
V F －MNBC ＋V ADE －NMF ＝13S 四边形MNBC ·2＋S 直截面·32＝1
3×2×????2－32×2＋2×22×32＝113. 故选B ．
5．(2019·呼和浩特二调)用半径为3 cm ，圆心角为2π
3的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个
圆锥筒的高为( B )
A ．1 cm
B ．2 2 cm
C ． 2 cm
D ．2 cm
【解析】 设圆锥的底面半径为r cm ，
由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr ＝2π
3×3，
即底面圆的半径为1， 所以圆锥的高h ＝
32－1＝2 2.故选B ．
6．(2020·乌鲁木齐质检)正方体的全面积是6．它的顶点都在球面上，这个球的表面积是
( B )
A ．2π
B ．3π
C ．12π
D ．18π
【解析】 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝6，故a ＝1， 又其外接球的直径2R ＝3a ＝3，所以R ＝32
， 所以S ＝4πR 2＝3π.故选B ．
7．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校一联)《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求球的直径d 的公式d ＝????169V 1
3 .若球的半径为r ＝1，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为( D )
A ．4
3π
B ．916
C ．9
4
D ．92
【解析】 根据公式d ＝????169V 13得，2＝????16
9V 13 ， 解得V ＝9
2
.故选D ．
8．(2020·北京房山区期末)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( A )
A ．2
3
B ．43
C ．2
D ．4
【解析】 三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面SBC ⊥底面ABC ，且△SBC 为等腰三角形，△ABC 为直角三角形，故体积V ＝13×12×2×2×1＝2
3
，故选A ．
9．(2020·九师联盟质量检测)已知正三棱锥P －ABC 的底面ABC 为边长为6的正三角形，三棱锥P －ABC 的四个顶点都在半径为4的球上，且球心O 在三棱锥P －ABC 内，则三棱锥P －ABC 的侧棱P A 的长度为( D )
A ．8
B ．62
C ．15
2
D ．4 3
【解析】 作PG ⊥平面ABC ，垂足为G ，则G 为△ABC 的中心且球心O 在PG 上， 如图所示，其中D 为BC 中点，
∴AG ＝23AD ＝2
3×
36－9＝23，
∴OG ＝
OA 2－AG 2＝
16－12＝2，
∴PG ＝OG ＋OP ＝2＋4＝6， ∴P A ＝
AG 2＋PG 2＝
12＋36＝43，故选D ．
10．(2020·湖南师大附中第二次月考)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1
中，P 是A 1B 上一动点，则AP ＋D 1P 的最小值为( D )
A ．2
B ．
6＋2
2
C ．2＋2
D ．2＋ 2
【解析】 把对角面A 1C 绕A 1B 旋转，使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1，则在△AA 1D 中，AD 1＝
1＋1－2×1×1×cos135°＝
2＋2为所求的最小值．故选D ．
11．(2019·宜昌三模)《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是( C )
A ．1
6
B ．13
C ．1
2
D ．1
【解析】 如图，将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为长方体ABDC －A 1B 1D 1C 1． 则长方体的外接球与直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球相同， 设外接球半径为R ，由外接球的表面积为3π， 得4πR 2＝3π，∴R ＝
32
， 则长方体的体对角线长BC 1＝3， ∴CC 1＝
(3)2－(12＋12)＝1．
则该直三棱柱的体积V ＝12×1×1×1＝1
2
.故选C ．
12．(2020·烟台二模)在棱长为1的正四面体A －BCD 中，E 是BD 上一点，BE →＝3ED →
，过E 作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( B )
A ．π
8
B ．3π16
C ．π
4
D ．MN
【解析】 根据已知条件，作图如下
∵在棱长为1的正四面体A －BCD 中， ∴从图中可见，该正四面体在棱长为22的正方体内，OH ＝AF 2＝24
， ∵BE →＝3ED →
，BD ＝1， 设H 为BD 中点，∴HE ＝1
4
，
在Rt △OHE 中，OE 2＝OH 2＋HE 2＝18＋116＝3
16
，
过E 作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积最小的截面为小圆E ， 则OE 必垂直于该截面，
设小圆E 的半径为r ，r ＝EF ，R ＝OF ， 在Rt △OFE ，EF 2＝OF 2－OE 2， 则必有r 2＝R 2－OE 2＝??
?
?642
－OE 2＝38－316＝316，
则所得截面面积的最小值为S ＝πr 2＝3
16π.故选B ．
二、填空题
13．(2020·江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学联考)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为__6π__.
【解析】 因为圆柱的表面积为2πr 2＋2πrl ，r ＝1，l ＝2，所以圆柱的表面积为6π. 14．(2020·江苏省镇江中学调研)若正四棱锥的底面边长为22，侧面积为422，则它的体积为__8__.
【解析】 设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 的中心为O ，取CD 中点E ，连接PE ，OE ，
则PE ⊥CD ，OE ＝2，
∵S 侧面＝4S △PCD ＝4×1
2×CD ×PE ＝422，
∴PE ＝11，PO ＝3，
∴正四棱锥体积V ＝1
3
×22×22×3＝8．
15．(2020·天津市部分区期末)已知半径为2的球的球面上有A 、B 、C 、D 不同的四点，△ABC 是边长为3的等边三角形，且DO ⊥平面ABC (O 为球心，D 与O 在平面ABC 的同一侧)，则三棱锥D －ABC 的体积为__934
__.
【解析】 如图所示，点E 为△ABC 的中心，则BE ＝32·AC ·23
＝3， OB ＝2，所以OE ＝
OB 2－BE 2＝
4－3＝1，
所以V ＝13·S ΔABC ·DE ＝13×???
?12×32×3
2×3＝934.
16．(2020·江西省上饶市一模)一个棱长为2的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为__3－22__.
【解析】 如图，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图，
设球的半径为R，则圆柱体底面圆半径r＝1，正方形的边长为2，由题意可得，2－1＝2R＋(2－1)R，解得R＝3－22，即最大球的半径为3－2 2.