随机信号分析基础第五章习题
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1第一次作业:练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0,1,2,3四个样本组成,相当于四元通信中的四个电平,四个样本的取值概率顺序为1/2,1/4,1/8,和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解:875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求(1)系数A ;(2)X 取值在(0.5,1)内的概率)15.0(<<x P 。
解:⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数,如果是概率分布函数,求其概率密度。
(1)⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F (3)0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F (4)0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解:(1)⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时,对于12x x ≥,有)()(12x F x F ≥,)(x F 是单调非减函数; 1)(0≤≤x F 成立;)()(x F x F =+也成立。
第五章 习题5-1 设某信号为1000||()t x t e -=(1)试求x (t )的傅里叶变换X (j ω),并绘制X (j ω)曲线;(2)假设分别以采样频率为f s =5000Hz 和f s =1000Hz 对该信号进行采样,得到一组采样序列x k ,说明采样频率对序列x k 频率特性X (e j Ω)的影响。
解:(1)1000||622000()()10j t t j t X j x t e dt e e dt ωωωω∞∞----∞-∞===+⎰⎰. X (j ω)的曲线如下图所示:(2)设采样周期为T ,则采样输出为()()()()k k k x x t t kT x kT t kT δδ∞∞=-∞=-∞=-=-∑∑.由时域相乘等于频域卷积,有1122()()*[()]()*[()]22j k k X e X j t kT X j kT Tππδδππ∞∞Ω=-∞=-∞=Ω-=ΩΩ-∑∑F 121212()()()2k k X j k d X j jk T T T T Tπππωδωωπ∞∞∞-∞=-∞=-∞=⋅=Ω--=Ω-∑∑⎰. 即序列x k 频率特性X (e j Ω)是原信号频谱X (j ω)以2Tπ为周期进行延拓而成的,而采样频率1122s f T Tππ==⋅,所以采样频率越高,序列x k 频率特性的各周期越分散,越不容易发生频谱混叠。
5-2 假设平稳随机过程x (t )和y (t )满足下列离散差分方程11;k k k k k k k x ax e y ay x v ---=-=+式中,|a|<1;e k ,v k ~N (0,σ 2)分布,且二者互不相关。
试求随机序列y k 的功率谱。
解:对1k k k x ax e --=进行离散时间傅里叶变换(DTFT ),且记DTFT(x k )=X (e j Ω),DTFT(e k )=E (e j Ω),则有j j j ()(1)()X e ae E e ΩΩΩ--=式中,Ω=ωT s ,称为数字频率(rad ),ω为实际频率(rad/s ),T s 为采样周期(s )。
第一章 随机过程基础本章要点概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。
本章主要内容:概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布,随机变量的数字特征,特征函数等概念。
基本内容一、概率论 1、古典概型用A 表示所观察的随机现象(事件),在A 中含有的样本点(基本事件)数为A n ,则定义事件A 出现的概率()P A 为 ()An P A n=(1-1)2、几何概型用A 表示所观察的随机现象(事件),它的度量大小为()L A ,则规定事件A 出现的概率()P A 为 ()()()E L A P A L S =(1-2)3、统计概率对n 次重复随机试验C E ,事件A 在这n 次试验中出现的次数()n f A 称为频数。
用事件A 发生的频数()n f A 与试验次数n 的比值()n F A 称为频率()()()n n f A P A F A n≈=(1-3)4、概率空间对随机试验E ,试验的各种可能结果(称基本事件、样本点)构成样本空间E S (也称基本事件空间),在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域A (A 中的每一个集合称为事件)。
若事件A ∈A ,则()P A 就是事件A 的概率。
并称{},,E S P A 为一个概率空间,而样本空间E S ,事件域A,概率P 是构成概率空间的三个要素。
二、随机变量1、随机变量的概念 设已知一个概率空间(),,E S P A ,对E s S ∈,()X s 是一个取实数值的单值函数,则对任意实数1x ,()1X s x ≤是一个随机事件,且(){}1:s X s x ≤∈A,则称()X s 为随机变量。
显然,随机变量()X s 总是联系着一个概率空间,这将使对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。
为了方便,此后若无特别需要将随机变量()X s 简记为X 。
2、随机变量的概率密度函数定义随机变量X 的累积概率分布函数为()()F x P X x =≤而把它的导数定义为随机变量X 的概率密度函数。
5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数(不考虑输出负载)。
RRC1C 2C 1C 2C 1R 2R题图5.1解根据电路分析、信号与系统的知识, 第一个图中系统的传输函数 1/1()1/1j C H j R j C j RCωωωω==++ 第二个图中系统地传输函数 ()21112211/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+==++++ 第三个图中系统地传输函数()2222212111221212121122/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++++5.2若平稳随机信号)(t X 的自相关函数||2)(ττ-+=BeA R X ,其中,A 和B 都是正常数。
又若某系统冲击响应为()()wth t u t te -=。
当)(t X 输入时,求该系统输出的均值。
解: 因为[]()22X EX R A =∞=所以[]E X A A =±=±。
()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt wξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.35.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路,其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量,Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量,并且0X 与Φ彼此独立。
求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。
解:首先我们求系统的频率响应()H j ω。
根据电路分析、信号与系统的知识,/1/11()()()1/1t RCj C H j h t e u t R j C j RCRCωωωω-==↔=++ 然后,计算)(t X 的均值与自相关函数,[]()1/2X m E X t ==[]{}(){}{}0000(,)cos cos X R t t EXt X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦()01/31/2cos ωτ+可见)(t X 是广义平稳的。
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ,试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率:)1(<ξP ,)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:(1)边沿密度)(x f X ,)(y f Y(2)条件概率密度|(|)Y X f y x ,|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-,取每个值的概率都为4/1,又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1)求Y 的可能取值 (2)确定Y 的分布. (3)求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ,Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求:(1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
(2)X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量(X ,Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0,2π]上均匀分布的随机变量,讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ,2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度?9. 设X 是零均值,单位方差的高斯随机变量,()y g x =如图,求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ,Y 是相互独立的高斯变量。
随机信号分析基础作业题第⼀章1、有朋⾃远⽅来,她乘⽕车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3,0.2,0.1和0.4。
如果她乘⽕车、轮船或者汽车来,迟到的概率分别是0.25,0.4和0.1,但她乘飞机来则不会迟到。
如果她迟到了,问她最可能搭乘的是哪种交通⼯具?解:()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4P D =E -迟到,由已知可得(|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0P E A P E B P E C P E D ====全概率公式: ()()()()(P E P E AP E B P E C P E D=+++ 贝叶斯公式:()(|)()0.075(|)0.455()()0.165(|)()0.08(|)0.485()0.165(|)()0.01(|)0.06()0.165(|)()(|)0()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?====?===?===?==综上:坐轮船3、设随机变量X 服从瑞利分布,其概率密度函数为2222,0()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=??式中,常数0X σ>,求期望()E X 和⽅差()D X 。
考察:已知()x f x ,如何求()E X 和()D X ?222222()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dxD XE X m X m f x dxD XE X E X E X x f x dx∞-∞∞-∞∞-∞=?=-=-=-?=6、已知随机变量X 与Y ,有1,3,()4,()16,0XYEX EY D X D Y ρ=====,令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。