初二数学总复习——一元一次方程的解法
学习目标
掌握解一元一次方程的解法，移项，合并同类项，去括号，去分母
知识点
一、等式的概念和性质
1．等式：等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．
2等式的性质
等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则a m b m ±=±；
等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得
结果仍是等式．若a b =，则am bm =，
a b m m =(0)m ≠． 注意：
（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．
（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．
（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b =，那么b a =．②等式具有传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =．
黑体小四
二、方程的相关概念
1．方程：有未知数的等式叫作方程．
注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母．二者缺一不可．
2．方程的次和元：程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元．
3．方程的已知数和未知数
已知数：一般是具体的数值，如50x +=中（x 的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a 、b 、c 、m 、n 等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数．
4．方程的解：方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
5．解方程：得方程的解的过程．
注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．
6．方程解的检验：验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和
右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．
三、一元一次方程的定义
1．一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
2．一元一次方程的形式
标准形式：0ax b +=（其中0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式． 最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）叫一元一次方程的最简形式． 注意：
（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元
一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一
次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．
（2）方程ax b =与方程(0)ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成．
四、一元一次方程的解法
1．解一元一次方程的一般步骤
（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．
注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．
（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边． 注意：①移项要变号；②不要丢项．
（4）合并同类项：把方程化成ax b =的形式．
注意：字母和其指数不变．
（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a （0a ≠），得到方程的解
b
x a =． 注意：不要把分子、分母搞颠倒．
2．解一元一次方程常用的方法技巧
解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等．
典型例题
一、等式的概念和性质
1答下列问题，并说明理由．
（1） 由2323a b +=-能不能得到a b =？（2）由56ab b =能不能得到56a =？
（3） 由7xy =能不能得到
7y x =？（4）由0x =能不能得到
11x x x +=？
2列说法不正确的是（ ）
A ．等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式．
B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式．
C ．等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式．
D ． 一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式．
3结论中正确的是（ ）
A ．在等式3635a b -=+的两边都除以3，可得等式25a b -=+．
B ．如果2x =-，那么2x =-．
C ．在等式50.1x =的两边都除以0.1，可得等式0.5x =．
D ．在等式753x x =+的两边都减去3x -，可得等式6346x x -=+．
二、方程的相关概念
4判断题．（1）所有的方程一定是等式．（ ）（2）所有的等式一定是方程．（ ）
（3）241x x -+是方程． （ ）（4）51x -不是方程．（ ）
（5）78x x =不是等式，因为7x 与8x 不是相等关系．（ ）（6）55=是等式，也是方程．（
） （7）“某数的3倍与6的差”的含义是36x -，它是一个代数式，而不是方程． （ ）
5下列说法不正确的是（ ）
A ．解方程指的是求方程解的过程．
B ．解方程指的是方程变形的过程．
C ．解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程．
D ．解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程．
三、一元一次方程的定义
6下列方程是一元一次方程的是（ ）
A ．2237x x x +=+
B ．343
5322x x -+=+
C ．22(2)3y y y y +=--
D ．3813x y -=
7若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程，求n 的值．
8已知方程2(63)70n m x -+=是关于x 的一元一次方程，求m ，n 满足的条件．
9方程23350m x
--=是一元一次方程，求m 的值．
10若2(1)(2)(3)0k x k x k -+-+-=是关于x 的一元一次方程，求k ．
11若
22(1)(1)20a x a x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求a ．
12若关于x 的方程1(2)50k k x
k --+=是一元一次方程，则k = ．若关于x 的方程 2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x = ．
四、一元一次方程的解法
1．基本类型的一元一次方程的解法
13解方程：6(1)5(2)2(23)x x x ---=+
14解方程：135(3)3(2)36524x x ---=
15解方程：
12225y y y -+-=-
16解方程：
31 26 x x
x
+-
=-
17解方程：213
5 43
x x
+-
-=
2．分式中含有小数的一元一次方程的解法
18解方程：10.50.210.3 0.30.30.02
x x x --
-=
19解方程：0.10.40.21
1
1.20.3
x x
-+
-=
3．含有多层括号的一元一次方程的解法
20解方程：1113
331 2242
y
??
??
---=??
?
??
??
21解方程：
4213 2[()] 3324
x x x
--=
4．一元一次方程的技巧解法
22解方程：113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+
23解方程：11311377325
235x x ????--=-- ? ?????
24解方程：2009122320092010x x x +++=???
25解方程：...200312232002200320032004x x x x ++++=????
课后练习
一、选择题
1．下列等式中是一元一次方程的是 （ ）
A ． x 2+x =2 B. x －y =0 C.x =0 D .321
+x =1
2．已知方程(m +1)x ∣m ∣+3=0是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ）
A.±1
B.1
C. －1
D.０或１
3．已知x =－3是方程k (x +4)－2k －x =5的解，则k 的值是（ ）
Ａ. ３ Ｂ.２ Ｃ. －２ Ｄ.５
4．已知等式523+=b a ，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A 、3a －5=2b
B 、3a c=2b c+5
C 、3a +1=2b +6
D 、.3532+=b a
5．下列解方程过程中，变形正确的是（ ）
Ａ.由2x －1=3移项得2x =3－1 B.由()1523--=-x x ，去括号，得
;1523--=-x x
C.由3x －2x =1去分母得2x －3x =1
D.由－75x =76系数化为1得x = － 7576
6．若代数式3a 4b x 2与0.2b 13-x a 4是同类项，则x 的值是（ ）
Ａ.21 Ｂ.１ Ｃ.31
Ｄ.０
7．方程2－673
42--=-x x 去分母得 （ ） A. 2－2(2x －4)=－(x －7) B.12－2(2x －4)=－x －7
C. 2－2(2x －4)=－(x －7)
D. 12－2(2x －4)=－(x －7)
8．关于x 的方程a x +3=0的解是负数，则a 一定是（ ）
A 、 非正数
B 、 正数
C 、负数
D 、非负数
二、填空题
9．请你自编一道以 －5为解的一元一次方程是
__________________________ .
10．223x -与32x
-互为相反数.则 x =_______.
11．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，p 的绝对值等于2，则关于x 的方程
(a +b )x 2+3cd?x －p 2=x 的解为________.
12．在公式s =21
(a+b)h 中，已知a=3，h=4，s=16，那么b =________.
13.若 ︳3a+2b+3︱+(b-3)2
=0,则 a+b =
14．关于x 的方程729+=-kx x 的解是自然数，则整数k 的值
为
15．已知关于x 的方程4)12(3+-=+x k kx 无解,则常数k=______.
16．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a 元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费。某职工6月份缴水费16a 元，则该职工6月份实际用水量为 立方米
三、解答题
17．解下列方程（5分?6=30分） ①x x 524-=- ② 111223x x -=+
③)20(75)20(34x x x x --=-- ④ 2x- 41x -=62
+x - 1
⑤ )12(43)]1(31[21+=--x x x ⑥ 103.002.003.05.09.08.0=--+x x
18．（7分）21=
x 是方程32142m x m x -=--的解，求代数式
()
??? ??---+-121824412m m m 的值
19．（7分）关于x 的两个方程8x －3a+2=4x 与x+16=2a+3x 的解相同，求a 的值
20．（8分）某校假期由校长带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说“若校长买全票一张，则学生半价。”乙旅行社说“全部人六折优惠” ，若全票价是1200元，则：
（1）当学生人数的多少时，两家旅行社的收费相等？
（2）当学生人数的多少时，甲旅行社的收费少？
（3）当学生人数的多少时，乙旅行社的收费少？