/ 10 高一数学上学期期末考试试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中． 1、若43sin,sin525，则角的终边在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、若(1,2)ar，(4,)bkr，0crr，则()abcrrr （ ） A．0 B．0r C．42k D．8k 3、已知,ab为非零实数，且ab，则下列不等式一定成立的是 （ ） A．22ab B．11ab C．||||ab D．22ab 4、若向量ar与br不共线，0abrr，且()aabcaabrrrrrrr，则向量ar与cr的夹角为（ ） A． π2 B．π6 C．π3 D．0 5、若0,0ab≥≥,且2ab，则下列不等式一定成立的是 （ ） A．22ab≤ B．12ab≥ C．222ab≤ D．222ab≥ 6、函数2sincosyxx (0)的最小正周期为，则函数()2sin()2fxx的一个单调增区间是（ ） A．[]22， B．[2， C．[]2， D．[0]2， 7、已知函数()tan(2)fxxb的图象的一个对称中心为(,0)3，若1||2b，则()fx的解析式为（ ） A．tan(2)3x B．tan(2)6x C．tan(2)6x或tan(2)3x D．tan(2)6x或tan(2)3x 8、已知偶函数()fx满足：()(2)fxfx，且当[0,1]x时，()sinfxx，其图象与直线12y在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,PPL，则1324PPPPuuuuruuuur等于（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 9、设22,,22,2mxRMxmxmNx，则,MN的关系为（ ） A．MN B．MN C．MN≥ D．MN≤
/ 10 10、设S是ABC的面积，,,ABC的对边分别为,,abc，且2sin()sinSABABCBuuuruuur，则（ ） A、ABC是钝角三角形 B、ABC是锐角三角形 C、ABC可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形 D、无法判断 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11、在平行四边形ABCD中，若(2,4)ABuuur，(1,3)ACuuur，则ADuuur . （用坐标表示） 12、已知三点(1,2),(2,1),(2,2)ABC， ,EF为线段BC的三等分点，则AEAFuuuruuur＝ ． 13、若函数2()2(2)3xfxxaxa (1)x≥能用均值不等式求最大值，则需要补充a的取值范围是 ______ . 14、已知关于x的方程sincosxxa与tancotxxa的解集都是空集，则实数a的取值范围是_____ ． 15、已知实数、、abc满足条件1abbcca，给出下列不等式：①2222221abbcca≥；②123abc≥；③ 2()2abc；④22213abcabcabc≤；其中一定成立的式子有_________． 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 题号 11 12 13 14 15 答案 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16、（本小题满分12分）解关于x的不等式：2log(43)log(1),(0,aaxxxa且1)a． 17、（本小题满分12分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OAOBOCxyuuuruuuruuur． （Ⅰ）若点,,ABC能构成三
角形，求,xy满足的条件；
/ 10 （Ⅱ）若ABC为等腰直角三角形，且B为直角，求,xy的值． 18、（本小题满分12分）若将函数()sinfxx的图象按向量(,3)ar平移后得到函数()gx的图象． （Ⅰ）求函数()gx的解析式；（Ⅱ）求函数1()()()Fxfxgx的最小值． 19、（本小题满分12分）在ABC△中，417cos17A，3tan5B．（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若ABC△最大边的边长为17，求最小边的边长． 20、（本小题满分13分）“512”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的两个顶点,AB及CD的中点P处，10ABkm，5BCkm，现要在该矩形的区域内（含边界），且与,AB
/ 10 等距离的一点O处建造一个医疗站，记O点到三个乡镇的距离之和为y． （Ⅰ）设()BAOrad，将y表示为的函数； （Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短． 21、（本小题满分14分）已知ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc. （Ⅰ）证明：不论x取何值总有22bx2222()0bcaxc； （Ⅱ）证明：1112()1cababcab；（Ⅲ）若2c≥，证明：1111(1)(1)6abccab. O A B D C P
/ 10 高一数学期末考试试题（理） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 1．若43sin,sin525，则角的终边在（ D ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [提示]：43sin0,cos055Q，∴角的终边在第四象限． 2．若(1,2)ar，(4,)bkr，0crr，则()abcrrr （ B ） A．0 B．0r C．42k D．8k [提示]：()abcrrrQ0r． 3．已知,ab为非零实数，且ab，则下列不等式一定成立的是（ D ） A．22ab B．11ab C．||||ab D．22ab [提示]：不知,ab的正负，A ，B ，C都不能确定，而函数2xy单调递增． 4．若向量ar与br不共线，0abrr，且()aabcaabrrrrrrr，则向量ar与cr的夹角为（ A ） A． π2 B．π6 C．π3 D．0 [提示]：设向量ar与cr的夹角为，cos||||acacrrrr()0||||||||aabaaabaaaaacacrrrrrrrrrrrrrrr． 5．若0,0ab,且2ab，则下列不等式一定成立的是（D） A．22ab B．12ab C．222ab D．222ab [提示]：2222abababQ，∴222ab． 6．函数2sincosyxx (0)的最小正周期为，则函数()2sin()2fxx的 一个单调增区间是（C） A．[]22， B．[2， C．[]2， D．[0]2， [提示]：2sincossin2,(0)yxxxQ．∴1,()2sin()2cos2fxxx， 在[]2，上单调递增．
/ 10 7．已知函数()tan(2)fxxb的图象的一个对称中心为(,0)3，若1||2b，则()fx的解析式为（D） A．tan(2)3x B．tan(2)6x C．tan(2)6x或tan(2)3x
D．tan(2)6x或tan(2)3x [提示]：2,32kbQ∴232kb，()kZ，又1||2b，∴1,2k，13b或16． 8．已知偶函数()fx满足：()(2)fxfx，且当[0,1]x时，()sinfxx，其图象与直线12y在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,PPL，则1324PPPPuuuuruuuur等于（ B ） A．2 B．4 C．8 D．16 [提示]：依题意1234,,,PPPP四点共线，13PPuuuur与24PPuuuur同向，且1P与3P，2P与4P的横坐标都相差一个周期，所以13||2PPuuuur，24||2PPuuuur，13241324||||4PPPPPPPPuuuuruuuuruuuuruuuur． 9．设22,,22,2mxRMxmxmNx，则,MN的大小关系为 （ A ） A．MN B．MN C．MN D．MN [提示]：22(21)22MNxmxmQ，22(21)4(22)mm 2(21)60m，所以当xR时，22(21)220MNxmxm． 10．设S是ABC的面积，,,ABC的对边分别为,,abc，且2sin()sinSABABCBuuuruuur，则（A） A．ABC是钝角三角形 B．ABC是锐角三角形 C．ABC可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形 D．无法判断 [提示]：2sin()sinSABABCBuuuruuurQ，∴12sincos2abcAbcaB，∴sincosAB， ∴B为锐角，sincossin()2ABB，若A为钝角，且满足上式，则ABC是钝 角三角形，若A为锐角，则,,222ABABC，ABC是钝角三角形． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．在平行四边形ABCD中，若(2,4)ABuuur，(1,3)ACuuur,则ADuuur____. （用坐标表示） [提示]：Q(2,4)ABDCuuuruuur，∴ADuuur(1,3)(2,4)(1,1)ACDCuuuruuur． 12．已知三点(1,2),(2,1),(2,2)ABC， ,EF为线段BC的三等分点，则AEAFuuuruuur＝ 3． [提示]：(2,1),(2,2)BCQ，,EF为线段BC的三等分点，∴(2,0),(2,1)EF， (1,2),(1,1)AEAFuuuruuur，∴123AEAFuuuruuur．
/ 10 13．若函数2()2(2)3xfxxaxa (1)x能用均值不等式求最大值，则需要补充a的取值范围是____13a_____. [提示]：2132(2)32(2)xaxaxaxaxQ，1x，该式能用均值不等式求最大值， 则30,ax且3axx，∴231,ax∴13a． 14.已知关于x的方程sincosxxa与tancotxxa的解集都是空集，则实数a的取值范围是____(2,2)(2,2)U__． [提示]：sincos2sin()[2,2]4axxxQ，又其解集为空集，∴(,a 2)(2,)U，当tan0x时，tancotaxx2tancot2xx，当tan0x时，tancot2axx，∴(,2][2,)aU，又其解集为空集，∴(2,2)a，(2,2)(2,2)aU． 15．已知实数、、abc满足条件1abbcca，给出下列不等式： ①2222221abbcca；②123abc；③ 2()2abc；④22213abcabcabc； 其中一定成立的式子有__③④_______． [提示]：当33abc时排除①；2a，3b，1c时排除②；而2()abc 2222()3()3abcabbccaabbcca2，∴③成立；2()abbcca 2223[()()()()()()]3()abbcbccacaababcabcabc，∴④成立． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16．（本小题满分12分）解关于x的不等式：2log(43)log(1),(0,aaxxxa且1)a． [解答]：由2430,10xxx，得1x，所以依对数的性质有： 当1a时，22431,320,12xxxxxx，又1x，此时不等式无解； 当01a时，22
431,320,xxxxx2x或1x，又1x，1x，综上：当1a时，不等式无解；当01a时，不等式的解集为|1xx．
/ 10 17．（本小题满分12分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OAOBOCxyuuuruuuruuur． （Ⅰ）若点,,ABC能构成三角形，求,xy满足的条件； （Ⅱ）若ABC为等腰直角三角形，且B为直角，求,xy的值． [解答]：（Ⅰ） 若点,,ABC能构成三角形，则这三点不共线，(3,1),ABuuurQ (2,1),ACxyuuur ∴3(1)2yx，∴,xy满足的条件为31yx（若根据点,,ABC能构成三角形，必须||||||ABBCAC，相应给分）； （Ⅱ）(3,1),ABuuurQ(1,)BCxyuuur，若B为直角，则ABBCuuuruuur，∴3(1)0xy， 又||||ABBCuuuruuur，∴22(1)10xy，再由3(1)yx，解得03xy或23xy． 18．（本小题满分12分）若将函数()sinfxx的图象按向量(,3)ar平移后得到函数()gx的图象． （Ⅰ）求函数()gx的解析式；（Ⅱ）求函数1()()()Fxfxgx的最小值． [解答]：（Ⅰ）设(,)Pxy是函数()sinfxx的图象上任意一点，按向量(,3)ar平移后在函数()gx的图象上的对应点为'''(,)Pxy，则：''3xxyy，∴''3xxyy，即 '3sin()yx，所以函数()sin3gxx； （Ⅱ）111()()sinsin33()sin3sin3FxfxxxgxxxQ，令sintx 3[2,4]，而函数1()ttt在[2,4]上是增函数，所以当2t时，min1()22t，即当sin1x时，min1()2Fx． 19．（本小题满分12分）在ABC△中，417cos17A，3tan5B． （Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC△最大边的边长为17，求最小边的边长． [解答]：（Ⅰ）π()CABQ，417cos17A，1tan4Atantan()CAB
/ 10 1345113145．又0πCQ，3π4C； （Ⅱ）34CQ，AB边最大，即17AB．又tantan0ABABQ，，，， 角A最小，BC边为最小边．Q417cos17A， 17sin17A．由sinsinABBCCA得：sin2sinABCABCg，所以，最小边2BC． 20、（本小题满分13分）“512”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的两个顶点,AB及CD的中点P处，10ABkm，5BCkm，现要在该矩形的区域内（含边界），且与,AB等距离的一点O处建造一个医疗站，记O点到三个乡镇的距离之和为y． （Ⅰ）设()BAOrad，将y表示为的函数； （Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短． [解答]：（Ⅰ）如图，延长PO交AB于点Q，由题设可知152BQAQAB，AOBO，5POOQ，在RtABC中，5,5tancosAOOQ，yAOBOPO1055tancos，又04Q，105tan5,(0)cos4y； （Ⅱ）102sin5tan555coscosyQ，令2sin,0cos4u，则 2cossin2,1sin()2,(tan)uuu，22sin()11u， 3u或3u（舍），当3u时，,[0,]364，所以y最小，即医疗站的位置O满足10353,,5633AOBOkmPOkm，可使得三个乡镇到医疗站的距离之和最短． 21.（本小题满分14分）已知ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc. O A B D C P
/ 10 （Ⅰ）证明：不论x取何值总有22bx2222()0bcaxc；
（Ⅱ）证明：1112()1cababcab；（Ⅲ）若2c，证明：1111(1)(1)6abccab. [解答]：（Ⅰ）令222222()ybxbcaxc，由余弦定理2222cosbcabcA， 222222()4bcabc222222224cos44(cos1)bcAbcbcA，在三角形中 2cos1A，0，再由20b得：不论x取何值总有222222()0bxbcaxc； （Ⅱ）要证1112()1cababcab，即证[2()1](1)(1)(1)abcababc， 整理得：2220ababacbc，亦即证：()()0ababc，因为在三角形中 ,0abcabc，所以()()0ababc成立，则原不等式成立； （Ⅲ）由（Ⅱ）得：111111(1)(1)111cabccabcabcab 11112()11abcabab，令tab，则112()11ababab121tt 2211231tttt2113122()tt，所以11111112()11126abcababc， 即原不等式成立