Chapter 4
Planar Kinematics
Kinematics is Geometry of Motion . It is one of the most fundamental disciplines in robotics, providing tools for describing the structure and behavior of robot mechanisms. In this chapter, we will discuss how the motion of a robot mechanism is described, how it responds to actuator movements, and how the individual actuators should be coordinated to obtain desired motion at the robot end-effecter. These are questions central to the design and control of robot mechanisms. To begin with, we will restrict ourselves to a class of robot mechanisms that work within a plane, i.e. Planar Kinematics . Planar kinematics is much more tractable mathematically,
compared to general three-dimensional kinematics. Nonetheless, most of the robot mechanisms of practical importance can be treated as planar mechanisms, or can be reduced to planar problems. General three-dimensional kinematics, on the other hand, needs special mathematical tools, which will be discussed in later chapters.
4.1 Planar Kinematics of Serial Link Mechanisms
Example 4.1 Consider the three degree-of-freedom planar robot arm shown in Figure 4.1.1. The arm consists of one fixed link and three movable links that move within the plane. All the links are connected by revolute joints whose joint axes are all perpendicular to the plane of the links. There is no closed-loop kinematic chain; hence, it is a serial link mechanism.
Figure 4.1.1 Three dof planar robot with three revolute joints
To describe this robot arm, a few geometric parameters are needed. First, the length of each link is defined to be the distance between adjacent joint axes. Let points O, A, and B be the locations of the three joint axes, respectively, and point E be a point fixed to the end-effecter. Then the link lengths are E B B A A O ===321,,A A A . Let us assume that Actuator 1 driving
link 1 is fixed to the base link (link 0), generating angle 1θ, while Actuator 2 driving link 2 is fixed to the tip of Link 1, creating angle 2θ between the two links, and Actuator 3 driving Link 3 is fixed to the tip of Link 2, creating angle 3θ, as shown in the figure. Since this robot arm performs tasks by moving its end-effecter at point E, we are concerned with the location of the end-effecter. To describe its location, we use a coordinate system, O-xy, fixed to the base link with the origin at the first joint, and describe the end-effecter position with coordinates e and e . We can relate the end-effecter coordinates to the joint angles determined by the three actuators by using the link lengths and joint angles defined above:
x y
)cos()cos(cos 321321211θθθθθθ+++++=A A A e x (4.1.1) )sin()sin(sin 321321211θθθθθθ+++++=A A A e y (4.1.2)
This three dof robot arm can locate its end-effecter at a desired orientation as well as at a desired
position. The orientation of the end-effecter can be described as the angle the centerline of the end-effecter measured from the positive x coordinate axis. This end-effecter orientation e φ is related to the actuator displacements as
321θθθφ++=e
(4.1.3)
viewed from the fixed coordinate system in relation to the actuator displacements. In general, a set of algebraic equations relating the position and orientation of a robot end-effecter, or any significant part of the robot, to actuator or active joint displacements, is called Kinematic Equations, or more specifically, Forward Kinematic Equations in the robotics literature.
Exercise 4.1 Shown below in Figure 4.1.2 is a planar robot arm with two revolute joints and one prismatic joint. Using the geometric parameters and joint displacements, obtain the kinematic equations relating the end-effecter position and orientation to the joint displacements.
Figure 4.1.2 Three dof robot with two revolute joints and one prismatic joint
Now that the above Example and Exercise problems have illustrated kinematic equations, let us obtain a formal expression for kinematic equations. As mentioned in the previous chapter, two types of joints, prismatic and revolute joints, constitute robot mechanisms in most cases. The displacement of the i-th joint is described by distance d i if it is a prismatic joint, and by angle i θ for a revolute joint. For formal expression, let us use a generic notation: q i . Namely, joint displacement q i represents either distance d i or angle i θdepending on the type of joint.
i {
i i d q θ= (4.1.4)
Prismatic joint Revolute joint
We collectively represent all the joint displacements involved in a robot mechanism with a column vector: , where n is the number of joints. Kinematic equations relate these joint displacements to the position and orientation of the end-effecter. Let us
collectively denote the end-effecter position and orientation by vector p. For planar mechanisms, the end-effecter location is described by three variables:
[T n q q q q "21=]??
??
??????=e e e y x p φ
(4.1.5)
Using these notations, we represent kinematic equations as a vector function relating p to q :
113,),(nx x q p q f p ?∈?∈= (4.1.6)
For a serial link mechanism, all the joints are usually active joints driven by individual actuators. Except for some special cases, these actuators uniquely determine the end-effecter position and orientation as well as the configuration of the entire robot mechanism. If there is a link whose location is not fully determined by the actuator displacements, such a robot mechanism is said to be under-actuated . Unless a robot mechanism is under-actuated, the collection of the joint displacements, i.e. the vector q, uniquely determines the entire robot configuration. For a serial link mechanism, these joints are independent, having no geometric constraint other than their stroke limits. Therefore, these joint displacements are generalized coordinates that locate the robot mechanism uniquely and completely. Formally, the number of generalized coordinates is called degrees of freedom. Vector q is called joint coordinates, when they form a complete and independent set of generalized coordinates.
4.2 Inverse Kinematics of Planar Mechanisms
The vector kinematic equation derived in the previous section provides the functional
relationship between the joint displacements and the resultant end-effecter position and
orientation. By substituting values of joint displacements into the right-hand side of the kinematic equation, one can immediately find the corresponding end-effecter position and orientation. The problem of finding the end-effecter position and orientation for a given set of joint displacements is referred to as the direct kinematics problem. This is simply to evaluate the right-hand side of the kinematic equation for known joint displacements. In this section, we discuss the problem of moving the end-effecter of a manipulator arm to a specified position and orientation. We need to find the joint displacements that lead the end-effecter to the specified position and orientation. This is the inverse of the previous problem, and is thus referred to as the inverse kinematics problem. The kinematic equation must be solved for joint displacements, given the end-effecter
position and orientation. Once the kinematic equation is solved, the desired end-effecter motion can be achieved by moving each joint to the determined value.
In the direct kinematics problem, the end-effecter location is determined uniquely for any
given set of joint displacements. On the other hand, the inverse kinematics is more complex in the sense that multiple solutions may exist for the same end-effecter location. Also, solutions may not always exist for a particular range of end-effecter locations and arm structures. Furthermore, since the kinematic equation is comprised of nonlinear simultaneous equations with many trigonometric functions, it is not always possible to derive a closed-form solution, which is the explicit inverse function of the kinematic equation. When the kinematic equation cannot be
solved analytically, numerical methods are used in order to derive the desired joint displacements.
Example 4.2 Consider the three dof planar arm shown in Figure 4.1.1 again. To solve its
inverse kinematics problem, the kinematic structure is redrawn in Figure 4.2.1. The problem is to find three joint angles 321,,θθθ that lead the end effecter to a desired position and orientation, e e e y x φ,,. We take a two-step approach. First, we find the position of the wrist, point B, from e e e y x φ,,. Then we find 21,θθ from the wrist position. Angle 3θ can be determined immediately from the wrist position.
Figure 4.2.1 Skeleton structure of the robot arm of Example 4.1
Let w and w be the coordinates of the wrist. As shown in Figure 4.2.1, point B is at
distance 3 from the given end-effecter position E. Moving in the opposite direction to the end effecter orientation x y A e φ, the wrist coordinates are given by
e
e w e e w y y x x φφsin cos 33A A ?=?= (4.2.1)
Note that the right hand sides of the above equations are functions of e e e y x φ,, alone. From these wrist coordinates, we can determine the angle α shown in the figure.1
w
w
x y 1
tan ?=α (4.2.2)
Next, let us consider the triangle OAB and define angles γβ,, as shown in the figure. This
triangle is formed by the wrist B , the elbow A , and the shoulder O. Applying the law of cosines to the elbow angle β yields
2212221cos 2r =?+βA A A A
(4.2.3)
where , the squared distance between O and B. Solving this for angle 2
22w
w y x r +=β yields 2
12
222211
22cos A A A A w
w y x ??+?=?=?πβπθ
(4.2.4)
Similarly,
2212
12cos 2A A A =?+γr r
(4.2.5)
Solving this for γyields
2212
2
212211
12cos tan w
w w w w w y x y x x y +?++?=?=??A A A γαθ (4.2.6)
From the above 21,θθwe can obtain
213θθφθ??=e
(4.2.7)
Eqs. (4), (6), and (7) provide a set of joint angles that locates the end-effecter at the
desired position and orientation. It is interesting to note that there is another way of reaching the same end-effecter position and orientation, i.e. another solution to the inverse kinematics problem. Figure 4.2.2 shows two configurations of the arm leading to the same end-effecter location: the elbow down configuration and the elbow up configuration. The former corresponds to the solution obtained above. The latter, having the elbow position at point A’, is symmetric to the former configuration with respect to line OB , as shown in the figure. Therefore, the two solutions are related as
γ
θθθθφθθθγθθ22''''2'232132
211?+=??=?=+=e (4.2.8)
Inverse kinematics problems often possess multiple solutions, like the above example,
since they are nonlinear. Specifying end-effecter position and orientation does not uniquely determine the whole configuration of the system. This implies that vector p, the collective position and orientation of the end-effecter, cannot be used as generalized coordinates. The existence of multiple solutions, however, provides the robot with an extra degree of
flexibility. Consider a robot working in a crowded environment. If multiple configurations exist for the same end-effecter location, the robot can take a configuration having no interference with
1
Unless noted specifically we assume that the arc tangent function takes an angle in a proper quadrant consistent with the signs of the two operands.
the environment. Due to physical limitations, however, the solutions to the inverse kinematics problem do not necessarily provide feasible configurations. We must check whether each solution satisfies the constraint of movable range, i.e. stroke limit of each joint.
11
Elbow-Up Configuration
Figure 4.2.2 Multiple solutions to the inverse kinematics problem of Example 4.2
4.3 Kinematics of Parallel Link Mechanisms
Example 4.3 Consider the five-bar-link planar robot arm shown in Figure 4.3.1.
2
2112211sin sin cos cos θθθθA A A A +=+=e e y x (4.3.1)
Note that Joint 2 is a passive joint. Hence, angle 2θis a dependent variable. Using 2θ, however, we can obtain the coordinates of point A:
25112511sin sin cos cos θθθθA A A A +=+=A A y x (4.3.2)
Point A must be reached via the branch comprising Links 3 and 4. Therefore,
4
4334433sin sin cos cos θθθθA A A A +=+=A A y x
(4.3.3)
Equating these two sets of equations yields two constraint equations:
4
433251144332511sin sin sin sin cos cos cos cos θθθθθθθθA A A A A A A A +=++=+ (4.3.4)
Note that there are four variables and two constraint equations. Therefore, two of the variables, such as 31,θθ, are independent. It should also be noted that multiple solutions exist for these constraint equations.
x
Link 0
Figure 4.3.1 Five-bar-link mechanism
Although the forward kinematic equations are difficult to write out explicitly, the inverse kinematic equations can be obtained for this parallel link mechanism. The problem is to find 31,θθ that lead the endpoint to a desired position: . We will take the following procedure:
e e y x ,Step 1 Given , find e e y x ,21,θθby solving the two-link inverse kinematics problem. Step 2 Given 21,θθ, obtain . This is a forward kinematics problem. A A y x ,Step 3 Given , find A A y x ,43,θθ by solving another two-link inverse kinematics problem.
Example 4.4 Obtain the joint angles of the dog’s legs, given the body position and orientation.
Figure 4.3.2 A doggy robot with two legs on the ground
The inverse kinematics problem:
Step 1 Given
B B B y x φ,,, find and A A y x ,
C C y x , Step 2 Given , find
A A y x ,21,θθ Step 3 Given , find C C y x ,43,θθ
4.4 Redundant mechanisms
A manipulator arm must have at least six degrees of freedom in order to locate its end-effecter at an arbitrary point with an arbitrary orientation in space. Manipulator arms with less than 6 degrees of freedom are not able to perform such arbitrary positioning. On the other hand, if a manipulator arm has more than 6 degrees of freedom, there exist an infinite number of solutions to the kinematic equation. Consider for example the human arm, which has seven degrees of freedom, excluding the joints at the fingers. Even if the hand is fixed on a table, one can change the elbow position continuously without changing the hand location. This implies that there exist an infinite set of joint displacements that lead the hand to the same location. Manipulator arms with more than six degrees of freedom are referred to as redundant manipulators. We will discuss redundant manipulators in detail in the following chapter.
对机械工程概论的认识和总结 一、机械概论 “机械工程概论”是一门技术基础课，是非机械类各专业学生学习工程材料和机械制造的基本工艺方法，培养工程素质的重要必修课。内容包括金属材料和非金属材料的基础知识、金属材料的成形工艺及设备、金属切削加工工艺及设备、特种加工等方面。通过本学期的学习，初步了解和掌握工程材料及其加工工艺方面的基础知识和基本理论。 二、对于机械工程概论的学习和认识 就像每个人有各自独特的世界观指导自己的日常生活行为，机械工程概论就像学机械在这方面的世界观和方法论。如果说数理化是将先辈得出的正确的理性化的数字化的世界观授予我们，那么机械工程概论就是将一个专业方面的总的知识体系授予我们。 在《机械工程概论》一书当中如此写道：“机械工程是关于研究、设计、制造和运用各类机器和机械设备的工程科学，涉猎范围机器广泛”学习数理化，我们得到的知识运算技巧，对于怎么将这些技巧应用到真正的机械生产制造上，我们可以很基础的先提出问题再假设再论证再实践再完工。 三、总结 机械工程概论这么课程使我们能够对未来机械专业的学习有着极其重要的指导和引导作用，激发学生对机械的学习积极性，就像一本书的目录一般，让人知道将来要学习什么，却又半现半隐，极大开发同学们的兴趣，而且工程概论使我们更了解机器以及机械设备的结构，
丰富了学生的空间思维能力，此课程极为重视学生的实际动手能力和实践操作能力，锻炼我们的个人能力打造敦厚的专业基础，在未来的世界里，全新的设计必然与计算机分不开，模拟仿真、辅助设计、制造等各方面的需求，所以我们的前景是光明的，而工程概论就像是给了我们一张上船的船票太多毒鸡汤告诉你，你想要的岁月都会给你，可它没告诉你，你想要的，岁月凭什么给你！
2、1 solution: According to the equation of pure transition transformation,the new point after transition is as follows: 2、3 solution: According to the constraint equations: Thus,the matrix should be like this: 2、4 Solution:
= 2、7 Solution: According to the equation of pure rotation transformation , the new coordinates are as follows: 2、9 Solution: Acording to the equations for the bined transformations ,the new coordinates are as follows: 010051 05110 0030010310(,90)(5,3,6)(,90)001060 1004900 0110 00111A B P Rot z Trans Rot x P -????????????????????-? ????????? =???==?????????? ? ????????? ??????????o o
A B Transformations relative to the reference frame Transformations relative to the current frame 2、10 P=Trans(5,3,6)Rot(x,90)Rot(a,90) P 1 0 0 5 1 0 0 0 0 -1 0 0 2 = 0 1 0 3 0 0 -1 0 1 0 0 0 3
机械工程概论学习心 得
学习心得 班级：机械（卓越）1001 姓名：李俊峰学号：3100305007 机械工程概论这门课程是一门技术基础课程，是我们机械类专业的学生学习工程材料和机械制造基本工艺方法，培养我们工程素质的重要的必修课程。在机械工程概论这门课程中我学习到了包括金属材料和非金属材料的基础知识、金属材料的成形工艺及设备、金属切削加工工艺及设备、特种加工在内的各方面知识，通过这门课程的学习我初步了解和掌握了工程材料及其加工工艺方面的知识和基本理论。 通过一个学期的学习，我了解到了机械的真正内涵，其中机械工程学科的定义：机械工程是以有关的自然科学和技术科学为理论基础，结合生产实践中的技术经验，研究和解决在开发、设计、制造、安装、运用和修理各种机械中的全部理论和实际问题的应用学科。而关于机械工程学科的战略地位，钱学森先生曾说过：“技术科学是人类认知的一个新部门。”作为一门技术科学，机械工程学科以自然科学为基础，研究人造的机械系统与制造过程的结构、组成、能量传递与转换、构件与产品的几何与物理演变、系统与过程的调控、功能形成与运行可靠性等，并以此为基础构建机械与制造工程中共和性和核心技术的基本原理和方法。 老师深入浅出的讲解，生动形象的向我们展示了机械的原理，机械的加工，机械的设计，机械的应用以及机械的分类，让我们清楚的认识到了机械是什么。其实，机械无处不在，它可能是一个玩具，可能是一个零件，也可能是一个航天器。机械的应用之广，设计方法之丰富无疑给我们后来人在继承先辈的传统时可以借用现代的科技和方法来设计一件新的产品或零件。 在科学技术飞速发展的今天，机械的设计面临着新一轮的挑战，在这个过程中，必须迎合时代的需求和世界的变化需要，应以精益生产、敏捷制造、智能制造、绿色制造为主导方向，进一步加强与网络的结合，凸显更人性化、智能化、方便化的特点。 在21世纪的世界里，全新的设计必然与计算机分不开，模拟仿真、辅助设
1. 自由度：指描述物体运动所需要的独立坐标数。 2. 机器人工作载荷：机器人在规定的性能范围内，机械接口处能承受的最大负载量（包括手部）。 3. 柔性手：可对不同外形物体实施抓取，并使物体表面受力比较均匀的机器人手部结构。 4. 制动器失效抱闸：指要放松制动器就必须接通电源，否则，各关节不能产生相对运动。 5. 机器人运动学：从几何学的观点来处理手指位置与关节变量的关系称为运动学。 6. 机器人动力学：机器人各关节变量对时间的一阶导数、二阶导数与各执行器驱动力或力矩之间的 关系，即机器人机械系统的运动方程。 7. 虚功原理：约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位 移）施力所作功之和为零。 8. PWM 驱动：脉冲宽度调制驱动。 9. 电机无自转：控制电压降到零时，伺服电动机能立即自行停转。 10. 直流伺服电机的调节特性：是指转矩恒定时，电动机的转速随控制电压变化的关系。 11. 直流伺服电机的调速精度：指调速装置或系统的给定角速度与带额定负载时的实际角速度之 差，与给定转速之比。 12. PID 控制：指按照偏差的比例、积分、微分进行控制。 13. 压电元件：指某种物质上施加压力就会产生电信号，即产生压电现象的元件。 14. 图像锐化：突出图像中的高频成分，使轮廓增强。 15. 隶属函数：表示论域U 中的元素u 属于模糊子集A 的程度，在[0, 1]闭区间内可连续取值。 16. 脱机编程：指用机器人程序语言预先进行程序设计，而不是用示教的方法编程。 17. AUV ：无缆自治水下机器人，或自动海底车。 二、简答题： 1.机器人学主要包含哪些研究内容？ 2.机器人常用的机身和臂部的配置型式有哪些？ 4.机器人控制系统的基本单元有哪些？ 5.直流电机的额定值有哪些？ 6.常见的机器人外部传感器有哪些？ 7.简述脉冲回波式超声波传感器的工作原理。 8.机器人视觉的硬件系统由哪些部分组成？ 9.为什么要做图像的预处理？机器视觉常用的预处理步骤有哪些？ 10.请简述模糊控制器的组成及各组成部分的用途。 11.从描述操作命令的角度看，机器人编程语言可分为哪几类？ 12.仿人机器人的关键技术有哪些？ 1.答：机器人研究的基础内容有以下几方面：(1) 空间机构学；(2) 机器人运动学；(3) 机器人静力学；(4)机器人动力学；(5)机器人控制技术；(6)机器人传感器；(7)机器人语言。 2.答：目前常用的有如下几种形式：(1)横梁式。(2)立柱式。(3)机座式。(4)屈伸式。 4.答：构成机器人控制系统的基本要素包括： (1) 电动机，(2) 减速器，(3) 驱动电路，(4) 运动特性检测传感器，(5) 控制系统的硬件，(6) 控制系统的软件， 5.答：直流电动机的额定值有以下几项：(1)额定功率，(2)额定电压，(3)额定电流，(4)额定转速， 6.答常见的外部传感器包括 触觉传感器，分为；接触觉传感器、压觉传感器、滑觉传感器和力觉传感器。距离传感器，包括超声波传感器，接近觉传感器，以及视觉传感器、听觉传感器、嗅觉传感器、味觉传感器等。 7.答：在脉冲回波式中，先将超声波用脉冲调制后发射，根据经被测物体反射回来的回波延迟时间Δt ，计算出被测物体的距离R ，假设空气中的声速为v ，则被测物与传感器间的距离R 为： /2R v t =?? 如果空气温度为T （℃)，则声速v 可由下式求得： ()331.50.607m/s v T =+ 8.答：(1) 景物和距离传感器，常用的有摄像机、CCD 图像传感器、超声波传感器和结构光设备等；(2) 视频信号数字化设备，其任务是把摄像机或者CCD 输出的信号转换成方便计算和分析的数字信号；(3)
班级: 姓名：学号： 机械设计及其自动化导论心得 作为一名大二的学生，却在完成有一份早在大一就该完成的作业。这似乎让我显得很另类。作为一名从法学院转入的学生，我同样认同机械的专业文化，认同作为其中一员的自己。 我在大一期间并不是“机械设计及其自动化专业”的学生，但我却一直很喜欢机械。或许只是如此，我才有勇气完成了一次从“法学”到“机械”，从一门连数学都不用学习的纯文科性质的专业到完全的工科性质专业的完整蜕变。 现在，就在我写这份导论心的之时，或许可以稍作总结。我的蜕变已经完成了一大半。在这忙碌的学期里，我同时扮演了大一学生，和大二学生。我在学习大学物理和概率论和数理统计的同时又在老区学习高等数学，线性代数等基础学科。我在别人正深入的探讨专业知识的时候，还在问一起关于积分学的基本知识。但现在终于有些改变了，至少我也可与参与其中了，我也可以对这一些问题道出自己的分析了。这个过程很长，但我终于一点点走过了。 ...........机械现状 其实我应该是第二次作为老师您的学生了，我也是第二次去学习老师你的导论课。在我大一决定了要转入“机械”专业以后。就更当时的机械专业同学打听到了你讲导论课的时间。然后是很认真的学习并做了记录。对于我来所，作为一门完全的工科性质的专业自然地引起了我的重视，或许当时还有一些恐惧。想象着下一年繁重的课程，面对着你生动而细致的专业分析。我一直都谨慎而专注的学习，我担心如果我落下了什么要点，就将给我的大学生涯更多的遗憾。 听到老师说，分析我们专业在西南科技大学的现状。我既欣慰又感受到了莫大的压力。
从学校派发的资料以及你生动的讲解中，我了解到了“机械设计及其自动化”在学校的有源历史中扮演的重要地位。机械专业是学校最先开设的一批专业之一，他有着较为深厚的文化和科技积累，而且在学院的历史中他为学校赢得了很多的荣誉。作为四川省本科人才培养基地和西南科技大学2006年授牌的品牌专业，我们拥有机械制造及自动化和机械电子工程2个硕士点，目前，还建设机械设计及理论硕士点。特别是近年来，机械设计制造及自动化专业非常重视以质量求生存，以特色求发展的专业办学思想，积极开展面向21世纪人才培养方案、教学内容和体系以及教学方法的改革。 一点点，一件件娓娓道来。无不让我们热血沸腾，作为一门老牌专业。“机械设计及其自动化”有着成熟的专业定义。但又因为是放在了21世纪改革创新的大环境里，我们要做的却还有很多。 “卓越工程师试点班”的推出正式机械人创新和发展的美好愿望，也是我们机械学子的良好机遇。参与其中，沉浸其中，必为之奋斗。 但之后，当听到学院学生人数是学校各学院中最多的那一批之一。便隐约有些压力。身处其中，同时起点又要第一步，如不努力，如何才能成功，若不奋发向上何时才能追上同龄人的脚步。 我的机械梦 对于机械我是充满热爱的，因为这样的爱。我乐得去消受专业跨度带来的阵痛。在学习老师你的导论课之前，我的专业热爱是很抽象的。或许可以这样总结，我喜欢的只是我所理解的那个专业。从奔驰的汽车到翱翔的飞机，从家庭作坊里简单的机床到科幻小说里神秘的诺亚方舟。一点一滴，我开始了对机械的感性认识。 直到这堂导论课，我才开始对于机械有了真正的认识。
中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案 机器人学导论 一、名词解释题： 二、简答题： 1.机器人学主要包含哪些研究内容？ 2.机器人常用的机身和臂部的配置型式有哪些？ 3.拉格朗日运动方程式的一般表示形式与各变量含义？ 4.机器人控制系统的基本单元有哪些？ 三、论述题： 1.试论述机器人技术的发展趋势。 2.试论述精度、重复精度与分辨率之间的关系。 4.试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。 四、计算题：（需写出计算步骤，无计算步骤不能得分）： 1.已知点u 的坐标为[7,3,2]T ，对点u 依次进行如下的变换：（1）绕z 轴旋转90°得到点v ；（2）绕y 轴旋转90°得到点w ；（3）沿x 轴平移4个单位，再沿y 轴平移-3个单位，最后沿z 轴平移7个单位得到点t 。求u , v , w , t 各点的齐次坐标。 x y z O u v w t 2.如图所示为具有三个旋转关节的3R 机械手，求末端机械手在基坐标系{x 0,y 0}下的运动学方程。 θ1 θ2 θ3 L 2 L 1 L 3 x 0 y 0 O 3.如图所示为平面内的两旋转关节机械手，已知机器人末端的坐标值{x ,y }，试求其关节旋转变量θ1 和θ2.
θ1 θ2 L 2 L 1 x y P 4.如图所示两自由度机械手在如图位置时（θ1= 0 , θ2=π/2），生成手爪力 F A = [ f x 0 ]T 或F B = [ 0 f y ]T 。求对应的驱动力 τ A 和τ B 。 τ1 L 2 x y P L 1 τ2F A F B 0y f ?? ???? 0x f ?????? 5.如图所示的两自由度机械手，手部沿固定坐标系在手上X 0轴正向以 1.0m/s 的速度移动，杆长 l 1=l 2=0.5m 。设在某时刻θ1=30°，θ2=-60°，求该时刻的关节速度。已知两自由度机械手速度雅 可比矩阵为 1121221211212 212l s l s l s l c l c l c θθ---?? =? ?+?? J θ1 -θ2 l 2 l 1 x 0 y 0 O x 3 y 3v 3
机械电子工程导论心得 伴着迷茫与新奇，大一上学期匆匆而过，作为北理工新的成员的我们也开始一点点融入这所美丽而辉煌的大学，开始一点点深入了解自己的专业，开始一点点思考未来的发展。 在大一下学期，我们有幸能听到罗教授为我们带来的机械电子工程导论，虽然只有短短四周的课，但却然后我从一个新的高度来认识自己专业，也使我对我们这这个听起来就很酷的专业在自豪之余更添一份热爱。 在前几节课，罗老师着重为我们介绍了机电在机器人上的应用，而机器人也是机电专业的主要方向之一。在课上，我们看到了师兄师姐们的作品，虽然不能称得上是国际顶尖水准的科研成果，但却给我带来的不小的震撼。在此之前我从来没有想过有一天自己能制作一个机器人，总觉得这是一件太遥远的事情，是科学家才能完成的事情，但是这些师哥师姐们仅仅比我们的大一届，我们之间的距离是那么近。在课上我们除了看到他们的成果以外也知道了他们为了这些作品所付出的汗水，一份耕耘才能换来一分收获，看到他们也让我深刻反思了自己的学习状态，虽然北理工的机械电子专业在全国的排名很高，但是它是我们学长学姐们辛勤汗水后的成果，于我们而言，并不能保证什么。 老师不仅向我们展示了研究成果，还从内部构造等细节方面具体的向我们做了介绍，包括一个巧妙的弹簧装置之类的。在这样细致的教学中虽然我们还没有学习专业知识，但是 却从中体会到其实做一个自己的机器人并不是一件不可能的事，所有的作品都是从一个个的细节处累积而成的。当然，作为一名工科学生，若想要有好的作品，仅仅有专业知识还不够，更要注重日常生活中对自己创造性思维的培养，凡事多思考，而不是墨守陈规。 同时，老师也向我们介绍了大学生创新项目，一个面向大学生科研的平台。我们知道了北理工在大创中取得的优异成绩。作为北理工的学子，有幸在这样雄厚的师资力量和科研背景下学习，我希望有一天，自己也能参加大学生创新项目，不管结果怎样，都会是一次难忘的经历。 但现在的我觉得自己参加大创还为时过早，因为自己欠缺了很多专业知识，在软件的应用上也没有基础。比起在大创中逼着自己去学习很多的知识与技术，我还是比较希望在课余时间中先掌握一定的技术，然后再大创中完善自己的技术和相关知识。在大二或者大三，等自己准备好了，就参加大创，像我们的学长学姐们一样，创造自己的作品。而从现在开始，会着手学习相关软件的应用，以及机械制造方面的相关知识。
中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案机器人学导论 一、名词解释题： 1.自由度： 2.机器人工作载荷： 3.柔性手： 4.制动器失效抱闸： 5.机器人运动学： 6.机器人动力学： 7.虚功原理： 8.PWM驱动： 9.电机无自转： 10.直流伺服电机的调节特性： 11.直流伺服电机的调速精度： 12.PID 控制： 13.压电元件： 14.图像锐化： 15.隶属函数： 16.BP 网络： 17.脱机编程： 18.AUV： 二、简答题： 1.机器人学主要包含哪些研究内容？ 2.机器人常用的机身和臂部的配置型式有哪些？ 3.拉格朗日运动方程式的一般表示形式与各变量含义？ 4.机器人控制系统的基本单元有哪些？ 5.直流电机的额定值有哪些？ 6.常见的机器人外部传感器有哪些？ 7.简述脉冲回波式超声波传感器的工作原理。 8.机器人视觉的硬件系统由哪些部分组成？ 9.为什么要做图像的预处理？机器视觉常用的预处理步骤有哪些？ 10.请简述模糊控制器的组成及各组成部分的用途。 11.从描述操作命令的角度看，机器人编程语言可分为哪几类？ 12.仿人机器人的关键技术有哪些？ 三、论述题： 1.试论述机器人技术的发展趋势。 2.试论述精度、重复精度与分辨率之间的关系。 3.试论述轮式行走机构和足式行走机构的特点和各自适用的场合。 4.试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。 5.机器人单关节伺服控制中，位置反馈增益和速度反馈增益是如何确定的？ 6.试论述工业机器人的应用准则。 四、计算题：（需写出计算步骤，无计算步骤不能得分）： 1.已知点u的坐标为[7,3,2] T，对点u依次进行如下的变换：（1）绕z轴旋转90°得到点v； （2）绕y 轴旋转90°得到点w；（3）沿x轴平移4个单位，再沿y轴平移-3个单位，最后沿
教案 机械设计制造与自动化专业导论学习报告 【 BJ1201 02 姜采苓】从进入学校到现在，已经快要四个月，一个学期的课程几乎也要结束了。随着专业导论课的结束，我对本专业的要求等也有了更深入的了解。 一、参观工业博览会体会 11月，经由学校的带领，我们去参观了位于龙阳路国际会展中心的第14届工业博览会。展馆极大，参展的各类工业企业也很多，带来了许多国内外先进的机器和技术。让我们体会到了机器带来的魅力。 1、参观内容 本届工博会共设置了数控机床与金属加工展、工业自动化展、新能源与电力电工展、新能源汽车展、环保技术与设备展、信息与通信技术应用展、科技创新展等7个专业展。各个不同的展馆连接在一起，方便我们穿行和参观。去的当天人头攒动，好不热闹。在惊叹于人的密度之后，更让人惊叹的莫过于各个展馆里的让人耳目一新的新科技，新机器。 参观工博会之前便通过网站对工博会有了初步的了解，本次工博会首发产品数量是历届最多的，如代表世界切割和折弯加工最高水平的瑞士百超公司将在工博会现场首发ByJin激光切割机；德国通快将在工博会现场首发TruPunch 3000+最新型冲压机床等，有不少是国家专项。除了新产品首发，本届博会上还有不少“世界之最”。工业机器人史上体积最小的速度选手，IRB120机器人在中国工博会上表演组装鼠标；上海机床厂有限公司展出的MK84300超重型精密数控轧辊磨床是目前世界上最大的顶磨型精密数控轧辊磨床；西门子将带来目前市场上最紧凑的解决方案——科里奥利流量测量技术；代表世界工业清洗设备领域最顶尖技术的四巨头，意大利的Interpump通用泵业、彗星COMET、AR公司以及来自德国的凯驰等厂家，均携带新产品亮相。 有心去参观这些机器后，许多有趣的机器也吸引了我，会打乒乓球的手脚敏捷的机器人，能模仿马匹大象走路的机器人，特别是安川电机有限公司展出的MH5型号会玩魔方的机器人能手。据说机器人面部内置照相机，在玩魔方前，它会将魔方具到“面”前，对魔方的6个面进行拍照，然后用其色彩识别功能自动生成程序，快速地将魔方复原。让我觉得科技充满了无穷的魅力，技术能改变世界。因此还忍不住拍了很多照片回去和高中同学们介绍。特别印象深刻的就是我校参展的八个项目中，“基于直线电机的地铁屏蔽门控制系统”荣获高校展区项目优秀展品二等奖。学校荣获高校展区的优秀组织奖。
学习心得 班级：机械（卓越）1001 姓名：李俊峰学号：3100305007 机械工程概论这门课程是一门技术基础课程，是我们机械类专业的学生学习工程材料和机械制造基本工艺方法，培养我们工程素质的重要的必修课程。在机械工程概论这门课程中我学习到了包括金属材料和非金属材料的基础知识、金属材料的成形工艺及设备、金属切削加工工艺及设备、特种加工在内的各方面知识，通过这门课程的学习我初步了解和掌握了工程材料及其加工工艺方面的知识和基本理论。 通过一个学期的学习，我了解到了机械的真正内涵，其中机械工程学科的定义：机械工程是以有关的自然科学和技术科学为理论基础，结合生产实践中的技术经验，研究和解决在开发、设计、制造、安装、运用和修理各种机械中的全部理论和实际问题的应用学科。而关于机械工程学科的战略地位，钱学森先生曾说过：“技术科学是人类认知的一个新部门。”作为一门技术科学，机械工程学科以自然科学为基础，研究人造的机械系统与制造过程的结构、组成、能量传递与转换、构件与产品的几何与物理演变、系统与过程的调控、功能形成与运行可靠性等，并以此为基础构建机械与制造工程中共和性和核心技术的基本原理和方法。 老师深入浅出的讲解，生动形象的向我们展示了机械的原理，机械的加工，机械的设计，机械的应用以及机械的分类，让我们清楚的认识到了机械是什么。其实，机械无处不在，它可能是一个玩具，可能是一个零件，也可能是一个航天器。机械的应用之广，设计方法之丰富无疑给我们后来人在继承先辈的传统时可以借用现代的科技和方法来设计一件新的产品或零件。
在科学技术飞速发展的今天，机械的设计面临着新一轮的挑战，在这个过程中，必须迎合时代的需求和世界的变化需要，应以精益生产、敏捷制造、智能制造、绿色制造为主导方向，进一步加强与网络的结合，凸显更人性化、智能化、方便化的特点。 在21世纪的世界里，全新的设计必然与计算机分不开，模拟仿真、辅助设计、制造等各方面的需求加上国际间的交流越来越频繁和深入，增加彼此间的交流是发展的必然趋势，闭门造车的时代已经过去了，产品的智能化是未来的一大需求，而在未来，机器人的出现将会取代部分的劳动力，并且会得到进一步的应用。 为了让下一代能够走的更远，更前列，我们必须加强学习的广度和深度，进一步加强跨学科的学习，增强学习能力，开阔学习视野，增加自我学识，才能不断在新的21世纪里展现学习后的才华和体现新的教育效果，让中国原本落后与世界的机械领域缩短与世界的距离，早日与世界机械前列国家交轨。作为新一代机械的接班人，我们必须怀有崇高的机械人生理想，为成为一名真正的机械人不断的努力奋斗，不断地的前行。
机械工程导论论文 上完这几节精彩而生动的机械工程导论课，让我对机械行业有了更深的了解。回首四年，我充充实实地、丰丰富富地走好大学这珍贵的四年，我学到了很多关于机械工程的知识。，留下任何遗憾。我国现在已是制造大国，但不是制造强国，而我们的制造水平与世界发达国家如美国、日本等相比很大的差距。主要表现在制造工艺装备的落后，低水平生产力严重过剩，高水平生产力严重不足，产品质量和技术不高，技术开发能力不强，基础元器件和基础工艺不过关，劳动生产率低下，科技技术严重不足，技术创新能力十分薄弱，产业结构不尽合理，体制不能适应形势的发展需求等。我承认我们的劣势，但我们绝对毫无气馁，我们仍然斗志昂扬，信心百倍，改变我们的劣势，让我国的机械在质与量上都屹立于世界先进制造之林。 大家都知道，机械工程是以有关的自然科学和技术科学为理论基础，结合在生产实践中积累的技术经验，研究和解决在开发、设计、制造、安装、运用和修理各种机械中的全部理论和实际问题的一门应用学科。机械工程是现代社会进行生产和服务的五大要素之一，并且能量和材料的生产还必须有机械的参与。任何现代产业和工程领域都需要应用机械。 各个工程领域的发展都要求机械工程有与之相适应的发展，都需要机械工程提供所必需的机械。某些机械的发明和完善，又导致新的工程技术和新的产业的出现和发展，例如大型动力机械的制造成功，
促成了电力系统的建立；机车的发明导致了铁路工程和铁路事业的兴起；内燃机、燃气轮机、火箭发动机等的发明和进步以及飞机和航天器的研制成功导致了航空、航天工程和航空、航天事业的兴起；高压设备（包括压缩机、反应器、密封技术等）的发展导致了许多新型合成化学工程的成功。机械工程就是在各方面不断提高的需求的压力下获得发展动力，同时又从各个学科和技术的进步中得到改进和创新的能力。 机械工程的服务领域广阔而多面，凡是使用机械、工具，以至能源和材料生产的部门，无不需要机械工程的服务。不论服务于哪一领域，机械工程的工作内容基本相同，按其工作性质可分为六个方面。 1、建立和发展可以实际地和直接地应用于机械工程的工程理论基础。这方面主要有：研究力和运动的理论力学和流体力学；研究金属和非金属材料的性能及其应用的工程材料学；研究材料在外力作用下的应力、应变等的材料力学；研究热能的产生、传导和转换的热力学；研究机械中各构件间的相对运动的机械原理；研究金属和非金属的成形和切削加工的机械制造。 2、研究、设计和发展新的机械产品，不断改进现有机械产品和生产新一代机械产品，以适应当前和将来的需要。这方面包括：调研和预测社会对机械产品的新的要求；探索应用机械工程和其他工程技术中出现的新理论、新技术、新材料、新工艺，进行必要的新产品试验、试制、改进、评价、鉴定和定型；分析正在试用的和正式使用的机械存在的缺点、问题和失效情况，并寻求解决措施。 3、机械产品的生产。包括：生产设施的规划和实现；生产
机器人学导论期末作业 题目： （图说明，图中的圆柱是只沿特定的转轴方向转动的转动副，不是空间圆柱副，没有沿轴线方向的移动） 要求：应用螺旋理论方法求解该机构运动的自由度以及受到的约束。 过程求解： 1、 首先先求解每个分支运动链的运动螺旋系。分析1分支运动系： (1) 11R 的分析。首先该转动副的轴线方向与x 轴相同，所以我将取它的(10 0)s =, 1111 11()r x y z =, 求解011 111111111111(0)10 0i j k s r s x y z z j y k z y ?? ? =?==-=- ? ?? ? ， 所以运动螺旋111111(100;0)R z y =- (2) 因为12R 、13R 的轴线方向与11R 相同，都是平行于x 轴，所以它们的s 是相同的，均为 (100)s =，只是相对于坐标原点的位置不同，向量r 不同，所以最终求得各自的运 动螺旋为121212(10 0;0)R z y =-，131313(100;0)R z y =-。
(3) 综上可得，分支运动链1的运动螺旋系为：1111111212 1213 1313(100;0)(100;0)(100;0) R z y R z y R z y =-?? =-??=-?，根据 互矩为0，可以求出该分支的约束螺旋系111213 (100;000)(000;010)(000;001)r r r R R R ?=?=??=?，其中11r R 表 示作用在x 轴线上的约束线矢，12r R 表示绕y 轴的约束力偶，13 r R 表示绕z 轴的约束力偶。 2、 分析3分支运动系。由于分支3的各转动副的轴线方向完全与分支1的对应相同，都平 行于x 轴，所以同理可得分支3的运动螺旋系为3131 313232 3233 3333(100;0)(100;0)(100;0) R z y R z y R z y =-?? =-??=-?， 而相应的约束螺旋系为313233 (100;000)(000;010)(000;001)r r r R R R ?=?=??=?，其中31r R 表示作用在x 轴线上 的约束线矢，32r R 表示绕y 轴的约束力偶，33r R 表示绕z 轴的约束力偶。 3、 分析2分支运动系。 (1) 21R 的分析首先该转动副的轴线方向与y 轴相同，所以我将取它的(010)s =, 212121() r x y z =, 求解 02 1 (0) 01 i j k s r s x y ?? ?=?==-+=- ? ?? ? ，所以运动螺旋1121 21(010;0)R z x =- (2) 同理可求得， 122222(010;0)R z x =-，132323(010;0)R z x =-。 (3) 综上所述，分支运动链2的运动螺旋系为：21212122222223 2323(010;0) (010;0)(010;0)R z x R z x R z x =-?? =-??=-?，约束 螺旋系为：212223 (010;000)(000;100)(000;001)r r r R R R ?=?=??=?， 其中21r R 表示作用在y 轴线上的约束线矢，22 r R 表示作绕x 轴的约束力偶，23r R 表示作绕z 轴的用在z 轴上的约束力偶。
第三章课后习题答案 3.3和3.4 步骤： 1、建立坐标系； 2、列D －H 参数表； 3、根据 写出 ； 4、根据 写出 3.3具体计算： i )()()()(111i Z i Z i X i X i i d D R a D R T θα---=T i i 1 -T T T T T N N N 12312010...-=T N αa d θ?? ????? ?????-=100001000000111 101 θθθθc s s c T ?? ??? ?? ?????-????????????-=100 00100 0001000 0010 010000 122 122 12θθθθc s L s c T ?? ??? ???????-=1000010 00003323323 θθθθc s L s c T T T T T B w 2 3 1201=
i 3.8具体计算： 因为标定过程中{G}和{T}是重合的，所以 则： αa d θ????????????+-=1000100000021111101L L c s s c T θθθθ?? ??? ?? ?????-????????????-=100 0010000001000001001000001222212θθθθc s s c T ????????????-=100001000003333323 θθθθc s L s c T T T B G B T =T T T T S G B S W T B W =T T T T S G B S B W W T 1-=
3.13、3.15—3.21答案 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 2 2 l P tip tip tip P T P2 2 0=
2015级机械设计及其自动化专业导论课 结课报告 专业导论总结报告 在专业导论课上，给我印象最深的可以说是超精密加工了，老师在课上对超精密加工做了非常详细的介绍，其中最为强调的，是关于我们哈工大的超精密加工技术的发展和现状，老师对此是十分自豪和骄傲的，因为我们哈工的科研技术和环境在国内都是一流的，许多大学都没有我们这么好的条件。 老师介绍了他做的一些超精密加工的机床，虽然看起来都很一般，但是听老师讲的是很厉害的，可能是因为我对此的了解太过于肤浅了吧。 先讲一下我对加工的理解，我的二叔是在洛阳做机床加工的，我也去过他工作的地方看过，感觉并不是很厉害，原理很简单，一台电脑和一台机床就是一套可运行的装备了，在我看来，加工是没有什么难度的，因为二叔每天的工作都是在电脑上设定好数据，然后开始运行机床，之后就是等待了，似乎并没有什么很高的技术含量，我想最主要的就是设定数据的时候要细心确保无误了吧。但是，从经济效益上来讲，二叔的加工作坊并不怎么样，都是揽的小零件加工，而且竞争压力也大，工作环境也十分差（整个厂房里都是很浓的机油味），在那个工房里呼吸很困难，空气很浑浊，很难想象这对人体无害。 再看老师给我们看的我们学校制造的机床，看起来是很高端的，而且工作的环境看起来还是很不错的，而且制造的成品看起来也是很高端大气上档次，而且应用的方面也是一些关键部位。 从经济效益来看，超精密加工的效益是远高于传统的机床加工的，而且由于现在能实现超精密加工的单位和机床数量十分有限，这也让超精密加工更加珍贵。从应用面来说，虽然传统的加工应用面更广，但是主要是在民用上，在重工业中虽然应用也很广，但是关键部位的加工还是必须要依靠超精密加工的。就像制造一辆汽车，外壳、轮胎什么的谁都可以造，但是发动机的制造技术还是掌握在世界上的一些老牌汽车公司手中，超精密加工就好比发动机的制造，是一些机械制造的核心技术，是要达到预期功能不可或缺的一部分。 俗话说，工欲善其事，必先利其器，加工机械零件，一个重要的工具就是机床，而超精密加工之所以成为超精密，就在于其加工机床的精度不同，所以掌握超精密加工机床的制造技术也是十分重要的。常规机床在设计与制造等技术环节上要求相对较低，而超精密机床各环节基本都处于一种技术极限或临界应用状态，哪个环节考虑或处理不周就会导致整体失败。世界上掌握这项技术的机构并不多，因此超精密加工机床就显得异常珍贵，我们工大曾经就尝试过从国外进口一台，但是却没有成功，老师在讲这个的时候很是无奈。老师自己在学校已经带领学生自主做了一些可以实现超精密加工的机床，虽然精度上并不能达到世界先进水平，但是水平已经相当之高了。我想利用机床加工出一件零件不难，而制造出一台机床就很困难了，更何况是水准很高的超精密加工机床，由此可见我工大的实践和制造基础相当雄厚。 回想我当初报考志愿的时候，最初我想报考的是经济类学校，后来家里人劝说我学习工科比较好，再加上我本来就喜欢自己动手创造出一些实物，因此在选择学校和专业的时候毫不犹豫地就选定了哈工大的飞行器制造工程，心想，如果将来可以有一架飞行器在自己手中诞生，我会有多激动。如今到了哈工大，我依然不后悔当初的选择，在这样的环境下，有我动手的机会，对我的成长更加有利。 在我看来，专业导论对于还未接触到专业课的我们是非常必要的，因为我们刚刚从高中走过来，正处于被灌输知识和自主学习的过渡阶段，对自己以后的生活和学习都一无所知，大多数学生对自己的专业课都知之甚少，对自己的学习很迷茫，可能会认为现在的基础课都不重
专业导论课心得体会 在上星期，也就是十三周完，我们认真地学习完了学校专门为我们安排的导论课，让我对航空制造工程系中的机械设计与制造行业有了更深的了解。 在一开始接触这一门课程的时候我不知道这门课程是干什么的课程，将来有什么用途，因此我有些茫然、不知所措，甚至有点不喜欢这门课程。但经过老师的讲解，我了解到这门课程就是引导我们大家更深层次的认识我们这个“机械设计与制造”这个专业。从那以后我慢慢的开始喜欢这门课程，并且觉得这门课不可缺少，从第二节课开始，我就认为学校为我们安排这门课程是非常有必要的。 在我们开始上课的时候，老师为我们大家认真地讲授了我们国家的航空事业发展史，让我这个历史不及格的学生，大开眼界，让我感觉到我们国家航空事业的迅猛，一下子勾起了我的志向，我下定决心，一定要好好学习专业知识、认真完成学校组织的各种实训。 在接下来的几节课里，老师为我们大家介绍了我们这个专业需要掌握的一些知识与技能、就业方向、和我们这个专业的有些要求、等等我感觉干什么行业都不容易，都要有一定的专业知识和技能，在接下来的专业课中，我会更加努力、刻苦，一定要成为一名优秀的专业人士。 我们的课将要结束的那几节课时，老师给我们分别讲了我们我们这个专业需要学习的专业课、选修课、公修课。着重的为我们讲了我们这个专业要精通的理论知识和重要软件，比如：CAD、PORE、等等，老师在为我们简单介绍pore的时候，我们大家都目瞪口呆，感觉不可思议，我更是爱不释手，我发誓在以后的软件学习中，我一定会好好表现， 众所周知，我们这个航空制造工程是以有关的技术科学为理论基础，结合在生产实践中积累的技术经验，研究和解决在开发、设计、制造、安装、运用和修理各种机械中的全部理论和实际问题的一门应用学科。航空制造工程是一个国家国防、航空事业、科技表现要素之一。 通过这门专业导论课程的学习，我感觉我当初选这个专业没有选错，学习专业导论课我感觉很充实，让我了解到了好多知识。
Chapter 4 Planar Kinematics Kinematics is Geometry of Motion . It is one of the most fundamental disciplines in robotics, providing tools for describing the structure and behavior of robot mechanisms. In this chapter, we will discuss how the motion of a robot mechanism is described, how it responds to actuator movements, and how the individual actuators should be coordinated to obtain desired motion at the robot end-effecter. These are questions central to the design and control of robot mechanisms. To begin with, we will restrict ourselves to a class of robot mechanisms that work within a plane, i.e. Planar Kinematics . Planar kinematics is much more tractable mathematically, compared to general three-dimensional kinematics. Nonetheless, most of the robot mechanisms of practical importance can be treated as planar mechanisms, or can be reduced to planar problems. General three-dimensional kinematics, on the other hand, needs special mathematical tools, which will be discussed in later chapters. 4.1 Planar Kinematics of Serial Link Mechanisms Example 4.1 Consider the three degree-of-freedom planar robot arm shown in Figure 4.1.1. The arm consists of one fixed link and three movable links that move within the plane. All the links are connected by revolute joints whose joint axes are all perpendicular to the plane of the links. There is no closed-loop kinematic chain; hence, it is a serial link mechanism. Figure 4.1.1 Three dof planar robot with three revolute joints To describe this robot arm, a few geometric parameters are needed. First, the length of each link is defined to be the distance between adjacent joint axes. Let points O, A, and B be the locations of the three joint axes, respectively, and point E be a point fixed to the end-effecter. Then the link lengths are E B B A A O ===321,,A A A . Let us assume that Actuator 1 driving
2.1 solution: According to the equation of pure transition transformation,the new point after transition is as follows: 1002350 10358(,,)00147110 00111trans x y z old P Trans d d d P ?????? ??????? ?????=?==?????? ?????? ?????? 2.3 solution: According to the constraint equations: 0;0;01 n a n o a o n ?=?=?== Thus,the matrix should be like this: 0015001 51003100301020102000 1000 1or --????????-? ?? ?????--? ?? ????? 2.4 Solution:
X Y Z P P P ?? ? ? ???=cos 0sin 010sin 0cos θθθθ?? ? ? ?-? ?0n a P P P ?? ? ? ??? 2.7 Solution: According to the equation of pure rotation transformation , the new coordinates are as follows: 10022(,45)0 3402 22new P rot x P ???? ?? ????? ?????=?==???????????????? ????? ??? 2.9 Solution: Acording to the equations for the combined transformations ,the new coordinates are as follows: