小波分析及其在信号处理中的应用
发表时间：2016-07-27T16:15:12.383Z 来源：《基层建设》2016年9期作者：王亚东杨浩雷娜
[导读] 小波分析，是当前迅速发展的新领域。
西安电子工程研究所陕西西安 710100
摘要：小波分析，是当前迅速发展的新领域。在应用数学和工程学科中，在经过近30年的研究和探索中，已经建立起非常重要的数学形式化体系，在理论基础中也更加的扎实。那么与Fourier的变换相比，小波的变换是空间，和频率的局部性变换，所以能高效率地从信号中提取有用的信息。通过平移和伸缩等一些运算功能，对信号或函数进行微观的细化分析。它解决了Fourier变换所不能解决的很多困难。小波变换联系了多个学科，包括：应用数学、物理学、科学、信号与信息处理、计算机、图像处理、地震勘探等。有数学家认为，小波分析就是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样条分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。
关键词：小波分析；信号处理；主要应用
引言：
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。小波分析是近年来发展起来的一种新的信号处理工具，这种方法是因为傅立叶分析，小波（wavelet），就是在小范围的波，只在有限的区间内有非零值，比起正弦波和余弦波那样无始无终完全不同。小波是可以通过时间轴上下平移的，同时也可以按比例伸展和压缩，用来获取低频和高频的小波，一些构造好的小波函数，就可以用于滤波或者压缩信号，从而可以提取出信号中的有用信号。
1.小波分析的概念
小波（Wavelet）这一词语，顾名思义，“小波”通俗说就是小的波形。“小”的意思就是具有减退性；而“波”的意思就是指它的震动性，它的振幅有上下相间的震荡。与Fourier变换相比，小波变换也就是时间（空间）频率的部分化解析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步细致的对比，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。还有人把小波变换称为“数学显微镜”。
2.小波分析基本理论
小波变换的时频窗是可以由伸缩因子 a 和平移因子 b 来调节的，平移因子 b，可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子 b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置，还能改变窗口的形状。对在不同的频率在时域上小波变换的取样步长是可调节的。在频率较低时，小波变换的时间分辨率也比较低，但是频率分辨率较高；在频率较高时，小波变换的时间分辨率较高，但是频率分辨率却较低。处理信号时如要使用小波变换，首先应当选取适当的小波函数，对其信号进行分解，其次，要进行阈值处理对分解出的参数，再选取适当的阈值进行简要分析，最后要进行逆小波变换利用处理后的参数对信号进行重构。它可以用于边界的处理与滤波、信噪时频、时频分析，分析分离提取信号、求分形指数、信号的识别以及诊断以及多尺度边缘检测。
3.小波分析在信号处理中的应用
事实上，小波分析在应用上，领域十分宽泛，它包括：数学领域的许多学科，以及信号分析和图像处理甚至大型机械的故障诊断的方面。小波分析应用的一个重要方面是小波分析用于信号与图像压缩。它的主要特点是压缩比例高，压缩的速度也快，在压缩后不仅能保持信号与图像的特征不变，而且在传递中可以抵抗干扰。小波分析的压缩方法有很多。小波包最好基形式，小波域的纹理模型形式，都是科学的例子。
3.1在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等；在信号的分析方面它能用于边界的处理与滤波也可以用于时频分析、求分形指数、信噪分离与提取弱信号、信号的识别和与诊断以及多尺度边缘检测等；在图像压缩方面，它具有压缩比高，压缩的速度快的特征。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，以提高分辨率等。
3.2信号的小波和小波包分解：小波变换可以等效为一组镜像滤波的过程，即信号通过一个分解快速的滤波器和一个分解慢速的滤波器。细节信号就是快速滤波器输出对应信号的高频分量组成。慢速滤波器所输出对应信号的相对较低的频率分量组成，称为近似分量。并同时对信号进行一次二抽一采样，以一个多层分解来说明的。
3.3小波在去噪方面的应用：从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题。小波去噪在很大程度上可以看成是低通滤波，但是因为在去噪后，也还能成功地保留信号特征，所以在这一点上，又比传统的低通滤波器更加优良。所以可以分析出，小波去噪的实质就是特征提取和低通滤波的相互综合。小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪，一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式：S f k e k （k）（）（）k=0.1…….n-1其中，f（k）为有用信号，s（k）为含噪声信号，e（k）为噪声，ε为噪声系数的标准偏差。假设 e（k）为高斯白噪声，通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则表现为高频的信号。
3.4在工程技术等方面：包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。
4.小波提升方案具有的优点
20世纪90年代中期，Sweldens提出了小波提升方案（lifting scheme）以及第二代小波概念，它不依赖于Fourier变换，在时域和空域中直接实现小波变换，并切确定了经典小波中，双正交小波的提升方案（又称提升格式）。同年，Daubechies和Sweldens合作，将小波分化成有限步的过程利用提升方法，并同时证明，凡是用Mallat算法完成的小波变动，都可以转用提升格式来完成。从理论上说，提升方案大大拓展了小波分析的研究领域小波提升格式可以实现整数到整数变换的优点，给图像处理带来了极大的方便。它具有良好的特性：结构方便简单、原位计算、运算量较低、节省空间、逆变换可直接反转实现，以及可逆的整数到整数的变换，非常便于实现。在移动的手持设备、高速处理、低功耗设备应用中也具有很大的吸引力。在静态图像处理中，提升小波已被选JPEG2000的变换核心。它提供了多精度的功能，同基于JPEG2000的标准相比，在很低的比特率时具有良好的压缩DCT的JPEG性能，并且提供了在同一个编码结构内有效的失真和
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
数字信号处理的应用与发展趋势 作者：王欢 天津大学信息学院电信三班 摘要： 数字信号处理是应用于广泛领域的新兴学科，也是电子工业领域发展最为迅速的技术之一。本文就数字信号处理的方法、发展历史、优缺点、现代社会的应用领域以及发展前景五个方面进行了简明扼要的阐述。 关键词： 数字信号处理发展历史灵活稳定应用广泛发展前景 数字信号处理的简介 1.1、什么是数字信号处理 数字信号处理简称DSP，英文全名是Digital Signal Processing。 数字信号处理是利用计算机或专用处理设备以数字的形式对信号进行采集、变换、滤波、估值、增强、压缩、识别等处理，以得到符合人们需要的信号形式。 DSP系统的基本模型如下： 数字信号处理是一门涉及许多学科且广泛应用于许多领域的新兴学科。它以众多的学科为理论基础，所涉及范围及其广泛。例如，在数学领域、微积分、概率统计、随即过程、数值分析等都是数字信号处理的基本工具；同时与网络理论、信号与系统、控制论、通信理论、故障诊断等学科也密切相关。近年来的一些新兴学科，如人工智能、模式识别、神经网络等，都是与数字信号处理密不可分的。数字信号处理可以说许多经典的理论体系作为自己的理论基础，同时又使自己成为一门新兴学科的理论基础。 1.2、数字信号系统的发展过程 数字信号处理技术的发展经历了三个阶段。 70 年代DSP 是基于数字滤波和快速傅里叶变换的经典数字信号处理, 其系统由分立的小规模集成电路组成, 或在通用计算机上编程来实现DSP 处理功能, 当时受到计算机速度和存储量的限制,一般只能脱机处理, 主要在医疗电子、生物电子、应用地球物理等低频信号处理方面获得应用。 80 年代DSP 有了快速发展, 理论和技术进入到以快速傅里叶变换(FFT) 为主体的现代信号处理阶段, 出现了有可编程能力的通用数字信号处理芯片, 例如美国德州仪器公司(TI公司) 的TMS32010 芯片, 在全世界推广应用, 在雷达、语音通信、地震等领域获得应用, 但芯片价格较贵, 还不能进 入消费领域应用。 90 年代DSP 技术的飞速发展十分惊人, 理论和技术发展到以非线性谱估计为代表的更先进的信号处理阶段, 能够用高速的DSP 处理技术提取更深层的信息, 硬件采用更高速的DSP 芯片, 能实时地完成巨大的计算量, 以TI 公司推出的TMS320C6X 芯片为例, 片内有两个高速乘法器、6 个加法器, 能以200MHZ 频率完成8 段32 位指令操作, 每秒可以完成16 亿次操作, 并且利用成熟的微电子工艺批量生产,使单个芯片成本得以降低。并推出了C2X 、C3X 、C5X 、C6X不同应用范围的系列, 新一代的DSP 芯片在移动通信、数字电视和消费电子领域得到广泛应用, 数字化的产品性能价 格比得到很大提高, 占有巨大的市场。 1.3、数字信号处理的特点
小波分析及其在通信中的应用 专业：电子信息工程 姓名：张天雷 学号：123408148 河南城建学院 2011年05月29日
小波分析及其在通信中的应用 摘要：小波分析是傅里叶分析的重大突破，是当今许多领域研究的热点。从小波分析的发展历程出发，介绍了小波在现代通信中的一些应用，并指出了未来的一些研究方向。 关键词：小波变换；傅里叶变换；小波应用；通信 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。小波分波是自1986年以来由于Meyer、Mallat和Daubechies等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴学科，它是傅立叶分析划时代的发展结果。与Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题， 小波分析的目的是“既要看到森林(信号的概貌) ，又要看到树木(信号的细节) |”。因此，它被誉为“学显微镜”。 小波分析已经在图像处理、语音识别，声学，信号处理，神经生理学，磁性谐振成像，地震测量，机械故障诊断，生物医学，医疗卫生，以及一些纯数学应用如解决一些微分方程式等领域取得一系列重要应用。小波变换理论在通信中的应用研究在国际上日益受到重视。小波函数提供的一系列正交基非常适合通信系统中的信号波形设计，扩频特征波形设计，多载波传输系统的正交子信道划分等。 小波变换技术在通信系统中的信源编码、信道编码、调制、均衡、干扰抑制和多址等方面具有广阔的应用前景。 一、小波分析在通信系统中的研究动态 如何在各种信道环境下实现有效可靠的信息传输一直是通信领域关注的课
“小波工程应用”实验报告 一维信号离散小波分解与重构（去噪）的VC实现 一、目的 在理解了离散小波变换的基本原理和算法的基础上，通过设计VC程序对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。 二、基本原理 1、信号的小波分解与重构原理 在离散小波变换(DWT)中，我们在空间上表示信号，也就是说对于每一个在上表示的信号能用在上面提到的两个空间中的基函数来表示。 Where and are the coefficients of the scale metric space (j-1) which are obtained after the Decomposing the coefficient of the scale metric space j . Analogously we could reconstruct the by and . 我们在尺度度量空间对系数进行分解得到在尺度度量空间的两个系数 和。同样的，我们也能从两个系数和通过重构得到系数。
如上图中的分解与重构我们可以通过一定的滤波器组来实现（也就是小波变换算法）。当小波和尺度在空间内是正交的，我们就可以用内积公式计算得到系数和: 下面是内积计算方法的具体公式： 具体的系数计算过程如下: 对于上面的小波分解过程，通过分别设计高通滤波器和低通滤波器两组滤波器的系数(数组g[]和h[])即可实现，特别是对于离散小波变换，程序算法相对简单。而重构也只是分解的逆过程，重构算法和分解的算法是相对应而互逆的。 2、小波去噪原理
1． （必选，10分）在统计信号处理中，人们常常假设信号或噪 声服从高斯分布, 充分说明这个假设的理论根据以及在实际应用中带来的优点。 2． (必选，10分) (高阶累积量) 设1()[(),,()]T N N t x t x t C =∈x 为一复值 矢量随机过程，假设()t x 的每个分量的均值和奇次矩都为零，给出123456***6[(),(),(),(),(),()]m m m m m m Cum x t x t x t x t x t x t 的M-C 公式，其中 12345,6,,,,1,,m m m m m m N = ，上标T 和*依此表示取转置和复共轭。 3．1（三选一，10分）假设存在一个由11个阵元构成的立体阵 列，建立x-y-z 直角坐标系，11个阵元的坐标分别为（1， 1，1） ，（1，2，1），（2，1，1），（2，2，1），（1，1，2），（1，2，2），（2，1，2），（2，2，2），（1，2，3），（2， 1，3） ，（2，2，3），空间远场处一信号源发射电磁波，假设信号源方位角为?，俯仰角为θ，波长为λ，试写出阵列相对于该信号源的导向矢量。 3．2（三选一，10分） 证明导向矢量矩阵与信号子空间之间可 以互相（张成）表示。
3．2（三选一，10分）推导Levinson 递推公式。 4．1（二选一，10分）在卡尔曼滤波中，用下标“i ”表示时刻“i t ” 。给定状态方程和观测方程的离散形式分别为 .11,111i i i i i i i i -----=++x Φx Γu w i i i i =+z H x v 式中i x 是1n ?维状态向量；i u 是1r ?维控制向量，它是确定的非随机向量；已知的.1i i -Φ和,1i i -Γ分别为n n ?的状态转移矩阵和n r ?的控制矩阵；i w 为1n ?维随机噪声；i z 为1m ?维观测向量；已知的i H 为的m n ?维矩阵；i v 为-1m ?维量测噪声向量。假定两个噪声向量i w 和i v 皆为空时白的。1）给出预测值估计/1?i i -x 和滤波估计 /?i i x 及其相应的协方差矩阵的递推公式（6分）；2） 从滤波估计/?i i x 的协方差矩阵估计出卡尔曼滤波的增益矩阵i K （4分）。 4．2 （二选一，10分）分析算式的计算复杂性（仅记乘除次数，精确到最高二次） 5．1（二选一，10分）推导多参数估计的Cramer-Rao 下界。 5．2 （二选一，10分）在白噪声干扰下，给出用方程误差方法 和矩阵结构分析方法无偏估计ARMA 系统参数的理论。
第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
小波分析复习题 1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。 答：三者之间的异同见表 2、小波变换堪称“数学显微镜”，为什么？ 答：这主要因为小波变换具有以下特点： 1）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号； 2）也可以看成用基本频率特性为)(ωψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波； 如果)(t ?的傅里叶变换是)(ωψ，则)(a t ?的傅里叶变换为)(||a a ω ψ，因此这组滤波 器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。a 越大相当于频率越低。 3）适当的选择基本小波，使)(t ?在时域上位有限支撑，)(ωψ在频域上也比较集中，便可以使WT 在时、频两域都具有表征信号局部特征能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。 4）如)(t x 的CWT 是),(τa WT x ，则)(λt x 的CWT 是),( λ τ λλa WT x ；0>λ 此定理表明：当信号)(t x 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在τ,a 两轴上作同一比例的 伸缩，但是不发生失真变形。 基于上述特性，小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。 3、在小波变换的应用过程中，小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在，请列举一些选择原则。 答：选择原则列举如下：（也即需满足的一些条件和特性） 1）容许条件
当?∞ +∞-∞<=ωω ωψ?d c 2 ) (时才能由小波变换),(τa WT x 反演原函数)(t x ，?c 便是对 )(t ?提出的容许条件，若∞→?c ，)(t x 不存在，由容许条件可以推论出：能用作基本小 波)(t ?的函数至少必须满足0)(0==ωωψ，也就是说)(ωψ必须具有带通性质，且基本小波 )(t ?必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零。 2）能量的比例性 小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。 3）正规性条件 为了在频域上有较好局域性，要求),(τa WT x 随a 的减小而迅速减小。这就要求)(t ?的 前n 阶原点矩为0，且n 值越大越好。也就是要求? =0)(dt t t p ?，n p ~1:，且n 值越大越好， 此要求的相应频域表示是：)(ωψ在0=ω处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点就是容许条件），即)()(01 ωψω ωψ+=n ，0)(00≠=ωωψ，n 越大越好。 4）重建核和重建核方程 重建核方程说明小波变换的冗余性，即在τ-a 半平面上各点小波变换的值是相关的。 重建核方程：τττττ?? ?∞ +∞ ∞-=0 00200),,,(),(),(a a K a WT a da a WT x x ； 重建核：><== ?)(),(1)()(1),,,(0000* 00t t c dt t t c a a K a a a a ττ? ττ??????ττ 4、连续小波变换的计算机快速算法较常用的有基于调频Z 变换和基于梅林变换两种，请用 框图分别简述之，并说明分别适合于什么情况下应用。 答： 1）基于调频Z 变换 ),(2a j a n j e A e W ππ--== 运算说明： a ．原始数据及初始化：原始数据是)(k ?（1~0-=N k ）和a 值，初始化计算包括 a j e A π-=和a n j e W π2-=。 --- 1)(2N k r )2(am N π 12~2--N N 对应于：1~0-=N r
基于小波分析的一维信号处理方法研究 [摘要]小波分析是在傅立叶变换的基础上发展起来的一种时频分析方法。作为一种新的变换域信号处理方法，小波变换尤其擅长处理在非平稳信号的分析。 目前，这种分析方法已经广泛应用于信号处理、图像处理、量子场论、分形理论等领域 。 【关键词 】小波分析 ；时域 ；频域 1 前言 小波分析是近年来发展起来的一门新技术,是建立在Fourier 分析、泛函分析、调和分析 及样条分析基础上的分析处理工具。是傅里叶分析发展史上里程碑式的进展，它被看成是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶。在信号处理方面Fourier 变换是不可缺少的分析工具，但由于Fourier 只适用于平稳信号的分析，不能做局部分析，加窗Fourier 变换无法满足正交性。且窗口大小固定，它不能敏感反映信号的突变，而小波分析优于Fourier 分析之处在于它的时间域和频率域同时具有良好的局部化性质，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。这种特性正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点，使小波变换县有对信号的自适应能力。有一个灵活可变的时间-频率窗,它被称为多分辨分析，并且常被誉为信号分析的“数学显微镜”。 2 小波分析的发展历史 小波分析方法的提出，可以追溯到1910年Haar 提出的小“波”规范正交基及1938年Littlewood-Paley 对Fourier 级数建立的L-P 理论，即按二进制频率成分分组。Fourier 变换的相位变化本质上不影响函数的形状及大小。其后，Calderon 于1975年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上H 1的原子分解，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到组成一个正交系的结论。1981年，Stromberg 对Haar 系统进行了改进，证明了小波函数的存在性。1984年，法国地球物理学家Morlet 在分析地震波的局部性质时，发现传统的Fourier 变换难以达到要求，引入“小波”概念对信号进行分解。随后，理论物理学家Grossman 对Morlet 的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。 真正的小波热开始于1986年，Meyer 创造性的构造出了具有一定衰减性的光滑函数ψ，其二进制伸缩与平移/2,{()2(2):,}j j k j t t k j k z ψψ--=-∈构成L 2(R)的规范正交 基。继Meyer 提出了小波变换之后，Lemarie 和Battle 又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat 巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思
成绩： 现代信号处理 及其应用 题目:现代信号处理在通信对抗中的应用学号:111143321 姓名:王琦 2015年6月
现代信号处理在通信对抗中的应用 摘要：信息技术在现代军事领域占有越来越重要的地位,成为决定战争胜负的一个关键因素。信息战已经成为现代战争的主要作战形式之一。应用于军事通信对抗的现代信号处理理论发展非常迅速,这得益于两个方面的动力:其一,军事通信的技术和手段不断更新。其二,现代信号处理的三大热点—谱估计、高阶统计量方法、时频分析的理论和技术日臻完善,并逐渐应用于通信对抗领域。通信对抗是电子战的重要组成部分。 关键词：通信对抗；信号检测；现代信号处理技术 一、引言 信号处理是信息科学的重要组成部分。在现代科技领域,电子信息系统的应用范围十分广泛,主要有通信、导航、雷达、声纳、自动控制、地震勘探、医学仪器、射电天文等。这些领域的研究进展很大程度上依赖于信号处理理论和技术的进步。通信对抗是电子战的重要组成部分,也是电子战领域中技术含量最高的部分。[1]通信对抗不仅采用了最先进的电子和通信技术,而且有力地推动了信号处理理论的发展,促进了通信技术的发展。通信对抗在现代战争中具有广泛的应用价值。本文探讨的内容主要涉及现代信号处理理论在通信对抗技术中相关的应用。 二、现代信号处理技术基本原理 信号是信息的载体,是随时间和空间变化的物理量。要想得到有用信息就必须对信号进行分析处理。它分为确定信号和随机信号。其中，确定信号：序列在每个时刻的取值服从某种固定函数的关系的信号；随机信号：序列的取值服从某种概率规律的信号。而确定信号又分为周期信号与非周期信号；随机信号分为平稳随机信号和非平稳随机信号。 现代信号处理技术，则是要把记录在某种媒体上的信号进行处理，以便抽取出有用信息的过程，是对信号进行提取、变换、分析、综合等处理过程的统称。 [2]利用观测数据作出关于信号与（或）系统的某种统计决策。统计决策理论主要解决两大类问题：假设检验与估计。信号检测、雷达动目标检测等是假设检验的典型问题。估计理论设计的范围更广泛，它又被分为非参数化和参数化两类方法。 三、现代信号处理技术在通信对抗中应用 在军事通信对抗中,军用无线电台是电子战部队实施电子侦测、截获和干扰的主要目标。电台在工作中常常受到敌方有针对性地发射的电磁波攻击。扩频通信是目前军用电台的常见通信方式。扩频通信具有良好的低功率谱密度发射所带
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参
数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H
为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况
科技文献检索作业 卷 试 料 小波分析及其应用 测控技术1103 雷创新
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪 数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家 J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反
小波分析及其在信号处理中的应用 发表时间：2016-07-27T16:15:12.383Z 来源：《基层建设》2016年9期作者：王亚东杨浩雷娜 [导读] 小波分析，是当前迅速发展的新领域。 西安电子工程研究所陕西西安 710100 摘要：小波分析，是当前迅速发展的新领域。在应用数学和工程学科中，在经过近30年的研究和探索中，已经建立起非常重要的数学形式化体系，在理论基础中也更加的扎实。那么与Fourier的变换相比，小波的变换是空间，和频率的局部性变换，所以能高效率地从信号中提取有用的信息。通过平移和伸缩等一些运算功能，对信号或函数进行微观的细化分析。它解决了Fourier变换所不能解决的很多困难。小波变换联系了多个学科，包括：应用数学、物理学、科学、信号与信息处理、计算机、图像处理、地震勘探等。有数学家认为，小波分析就是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样条分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。 关键词：小波分析；信号处理；主要应用 引言： 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。小波分析是近年来发展起来的一种新的信号处理工具，这种方法是因为傅立叶分析，小波（wavelet），就是在小范围的波，只在有限的区间内有非零值，比起正弦波和余弦波那样无始无终完全不同。小波是可以通过时间轴上下平移的，同时也可以按比例伸展和压缩，用来获取低频和高频的小波，一些构造好的小波函数，就可以用于滤波或者压缩信号，从而可以提取出信号中的有用信号。 1.小波分析的概念 小波（Wavelet）这一词语，顾名思义，“小波”通俗说就是小的波形。“小”的意思就是具有减退性；而“波”的意思就是指它的震动性，它的振幅有上下相间的震荡。与Fourier变换相比，小波变换也就是时间（空间）频率的部分化解析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步细致的对比，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。还有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波分析基本理论 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子 a 和平移因子 b 来调节的，平移因子 b，可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子 b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置，还能改变窗口的形状。对在不同的频率在时域上小波变换的取样步长是可调节的。在频率较低时，小波变换的时间分辨率也比较低，但是频率分辨率较高；在频率较高时，小波变换的时间分辨率较高，但是频率分辨率却较低。处理信号时如要使用小波变换，首先应当选取适当的小波函数，对其信号进行分解，其次，要进行阈值处理对分解出的参数，再选取适当的阈值进行简要分析，最后要进行逆小波变换利用处理后的参数对信号进行重构。它可以用于边界的处理与滤波、信噪时频、时频分析，分析分离提取信号、求分形指数、信号的识别以及诊断以及多尺度边缘检测。 3.小波分析在信号处理中的应用 事实上，小波分析在应用上，领域十分宽泛，它包括：数学领域的许多学科，以及信号分析和图像处理甚至大型机械的故障诊断的方面。小波分析应用的一个重要方面是小波分析用于信号与图像压缩。它的主要特点是压缩比例高，压缩的速度也快，在压缩后不仅能保持信号与图像的特征不变，而且在传递中可以抵抗干扰。小波分析的压缩方法有很多。小波包最好基形式，小波域的纹理模型形式，都是科学的例子。 3.1在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等；在信号的分析方面它能用于边界的处理与滤波也可以用于时频分析、求分形指数、信噪分离与提取弱信号、信号的识别和与诊断以及多尺度边缘检测等；在图像压缩方面，它具有压缩比高，压缩的速度快的特征。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，以提高分辨率等。 3.2信号的小波和小波包分解：小波变换可以等效为一组镜像滤波的过程，即信号通过一个分解快速的滤波器和一个分解慢速的滤波器。细节信号就是快速滤波器输出对应信号的高频分量组成。慢速滤波器所输出对应信号的相对较低的频率分量组成，称为近似分量。并同时对信号进行一次二抽一采样，以一个多层分解来说明的。 3.3小波在去噪方面的应用：从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题。小波去噪在很大程度上可以看成是低通滤波，但是因为在去噪后，也还能成功地保留信号特征，所以在这一点上，又比传统的低通滤波器更加优良。所以可以分析出，小波去噪的实质就是特征提取和低通滤波的相互综合。小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪，一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式：S f k e k （k）（）（）k=0.1…….n-1其中，f（k）为有用信号，s（k）为含噪声信号，e（k）为噪声，ε为噪声系数的标准偏差。假设 e（k）为高斯白噪声，通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则表现为高频的信号。 3.4在工程技术等方面：包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。 4.小波提升方案具有的优点 20世纪90年代中期，Sweldens提出了小波提升方案（lifting scheme）以及第二代小波概念，它不依赖于Fourier变换，在时域和空域中直接实现小波变换，并切确定了经典小波中，双正交小波的提升方案（又称提升格式）。同年，Daubechies和Sweldens合作，将小波分化成有限步的过程利用提升方法，并同时证明，凡是用Mallat算法完成的小波变动，都可以转用提升格式来完成。从理论上说，提升方案大大拓展了小波分析的研究领域小波提升格式可以实现整数到整数变换的优点，给图像处理带来了极大的方便。它具有良好的特性：结构方便简单、原位计算、运算量较低、节省空间、逆变换可直接反转实现，以及可逆的整数到整数的变换，非常便于实现。在移动的手持设备、高速处理、低功耗设备应用中也具有很大的吸引力。在静态图像处理中，提升小波已被选JPEG2000的变换核心。它提供了多精度的功能，同基于JPEG2000的标准相比，在很低的比特率时具有良好的压缩DCT的JPEG性能，并且提供了在同一个编码结构内有效的失真和
第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ
2011年的题（大概） P29采样、频率混叠，画图说明 P33列举时域参数（有量纲和无量纲），说明其意义与作用 P37～自相关互相关及作用（举例说明） P51～蝶形算法 P61频谱细化过程，如何复调制 P67Hilbert 变换过程，瞬时频率 循环平稳信号，调频调幅信号边频带的分析 小波双尺度方程 P128下方的图 第六章三种连续小波的原理性质及应用 P157算法图示 P196图7.1.1和图7.1.2 P219EMD 基本流程 P230端点效应的处理 2012年1月9日现代信号处理试题（无敌回忆版） 一、必选题 1.请说明基函数在信号分解与特征提取中的作用。 2.什么是信号的相关分析？试举一例说明其工程应用。 3.什么是倒频谱？倒频谱的量纲单位是什么？如何利用倒频谱实现时域信号解卷积？ 4.解释尺度函数和小波函数的功能，并给出小波分解三层和小波包分解三层的频带划分示意图。 5.试举例说明将任意2种信号处理方法相结合的特征提取技术及其故障诊断工程应用案例。 二、选答题（7选5） 1.请列出你认为重要的小波基函数两种性质，说明理由。 2.解释机械信号在离散化过程中产生的频率混叠现象及其原因？在实践中如何避免发生频率混叠现象？ 3.试说明旋转机械故障诊断中二维全息谱的原理，工频全息谱椭圆较扁说明转子系统存在什么状态现象？ 4.以五点序列为例，给出预测器系数为N=2，更新器系数为2=-N 时的第二代小波分解图。 5.给出经验模式分解（EMD ）的基本过程，并分析出现端点效应的原因与两种减弱或消除端点效应的措施。 6.给出循环平稳信号的定义，并列出机械设备循环平稳信号的特点。 7.根据你的学习体会，谈谈实现故障定量诊断的重要性，并举例说明某一种故障定量诊断方法。
现代数字信号处理作业 小波分析及其应用 电研111 梁帅
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与