高中数学复习全套

高中数学复习全套 Written by Peter at 2021 in January

集合一定义

集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。

二集合的抽象表示形式

用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。

三元素与集合的关系

有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作a A

∈；元素a不属于集合A，记作a A

?。

四几种集合的命名

有限集：含有有限个元素的集合；

无限集：含有无限个元素的集合；

空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用?表示；

；整数集：Z；

自然数集：N；正整数集：N*或N

+

有理数集：Q；实数集：R。

五集合的表示方法

(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，

例如：{a,b,c}。

注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。

(二) 描述法：有以下两种描述方式

1．代号描述：

【例】方程2x3x+2=0

-的所有解组成的集合，可表示为{x|x2-

3x+2=0}。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。

2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。

【例】{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。

(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合

之间的所有关系。

1．子集：如果属于A的所有元素都属于B，那么A就叫做B的子集，记作：A B

?，如图1-1所示。图1-1

子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集；

(2)当A和B相等时，A仍为B的子集。

真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A，那么A叫做B的真子集，记作A B或A B

?。

真子集也是子集，和子集的区别之处在于A B

≠。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。

(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，

有2n个子集，有2n -1个真子集；

(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，A B ?的等价形式主要有：

B B A A B A == ，。

2．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交

集，记作B A ，读作A 交B ，如图1-2所示。

图1-2 图1-3 图1-4 3．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作B A ，读作A 并B ，如图1-3所示。

4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作U C A ，读作A 补，如图1-4所示。 德摩根公式 ：

();()U U U U U U C A

B C A C B C A

B C A C B ==.

(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．

第二章 函数

一 映射与函数的基本概念 (一) 映 射

A 集合中的每个元素按照某种对应法则在

B 集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A 集合到B 集合的映射。A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫做象。

在A 到B 的映射中，从A 中元素到B 中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。

图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射

(Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m 个元素的集合到n 个元素的集合

的映射的个数是n m

。

(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。 (二) 函数的概念

定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x 按照对应法则f 对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。

函数三要素：定义域A ：x 取值范围组成的集合。值域B ：y 取值范围组成的集合。对应法则f ：y 与x 的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式

函数与普通映射的区别在于： (1)两个集合必须是数集；

(2)不能有剩余的象，即每个函数值y 都能找到相应的自变量x 与其对应。 图2- 4

二 定义域题型

(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式

直接考查：主要考解不等式。利用：在()f x 中()0f x ≥；在()()

g x f x 中，()0f x ≠；在log ()a f x 中，()0f x >；在tan ()f x 中，()2

f x k π

π≠+

；在

0()f x 中， ()0f x ≠；在 x

a 与log a x 中0a >且1a ≠，列不等式求解。

(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。

三 值域题型

(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。

常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。

(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。 解题步骤：(1)换元变形；

(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。

(三) 分式函数求值域 ：四种题型

(1)cx d y ax b +=+(0)a ≠ ：则c

y a

≠且y R ∈。

(2)(2)cx d

y x ax b

+=

≥+：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围。

(3)22232

61

x x y x x +-=--：

(21)(2)21

()(21)(31)312

x x x y x x x x -++=

=≠-++ ， 则

1y 13

y ≠≠且且y R ∈。 (4)求221

1

x y x x -=++的值域，当x R ∈时，用判别式法

求值域。2

211

x y x x -=++?2

(2)10yx y x y +-++=， 2(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域

(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。

判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；

大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。

(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。

(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。 四 函数运算法则

（一） 指数运算法则

①m n m n

a a a

+?= ②m n m n

a a a

-÷=

③()m n

mn

a a = ④()m m m

a b ab =

运用指数运算法则，一般从右往左变形。

（二） 对数运算法则

同底公式：①

log a b a b = ②log log log ()a a a M N MN +=

③log log log a a a

M

M N N

-= ④log log n

a a M n M =

运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。 不同底公式：①log log log m a m N

N a =

②log log m n

a a n

b b m =

③1

log log a b b a

=

运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。 五 函数解析式

(一) 换元法：如f(2x + 3)=x 2

+ 3x + 5，求f(3-7x)，

(设2x + 3=3-7t)。 (二) 构造法：如221

)1(x

x x

x f +

=+，求f(x)。 (三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin(ωx +?) + C 中系数 (四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。

(五) 求原函数的反函数：先反表示，再x 、y 互换。 六 常规函数的图像

常规函数图像主要有： 指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转，

底数越来越大 底数越来越小

幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图

象看函数奇偶性确定。

七 函数的单调性

(一) 定义：在给定区间范围内，如果x 越大y 越大，那么原函数为增函数；如果x 越大y 越小，那么原函数为减函数。

(二) 单调性题型：

1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。 复合函数法：

2

11x

-- ：

当0 < x <1时，x ↑，x 2↑，- x 2↓，↓，

1

↑，

1

-↓

2.判断单调性

(1).求导函数：()0f x '≥为增函数，()0f x '≤为减函数

(2).利用定义：设x 1

f x f x -因式分解，看正负。

(3).原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条

件是它具有严格的单调性。

3.利用函数单调性：

(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。 (2).比较函数值的大小：画图看

(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。 增函数1212()()x x f x f x >?>或1212()()f x f x x x >?> 减函数1212()()x x f x f x >?<或1212()()f x f x x x >?<

(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。 八 函数的奇偶性

(一)定义：如果()()f x f x -=,则()f x 为偶函数；如果()()f x f x -=-,

则()f x 为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。 (二)奇偶性题型： 1.判断奇偶性 ：

(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负 (2).看图像对称性：关于y 轴对称为偶，关于原点对称为奇

(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。 2.利用奇偶性：

(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式 (2).利用复合函数奇偶性结论：

F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇

F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x 得：

F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。

3.奇偶函数图像的对称性

偶函数：关于y 轴对称?若()()f a x f b x +=-，

则f(x)关于2

b

a x +=

对称 奇函数：关于原点对称?若()()2f a x f b x m ++-=，

则f(x)关于点(2

b

a +，m) 对称

九 函数的周期性 (一) 定义：

若()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数，T 为()f x 周期

(二) 周期性考点：

1.求周期：

(1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =

(2).把所给函数化为y=Asin(ωx +ф) + C 标准形式，直接读出周期

ω

π2=T

2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)

(1).求解析式

(2).求函数值

十 函数图像的对称性 (一) 一个图关于点对称：

(Ⅰ)奇函数关于原点对称

(Ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m ，则f(x)关于(

2

b

a +，m)对称 (二) 一个图关于直线对称：

(Ⅰ)偶函数关于y 轴对称

(Ⅱ) ()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2

b

a x +=

对称 (三) 两个图关于点对称

(Ⅰ)()y f x =

关于原点对称的函数：x→-x ，y→-y ，

即-y=f(-x)

(Ⅱ)()y f x =关于(,)a b 对称的函数：

2,2x a x y b y →-→-即2(2)b y f a x -=-

(四) 两个图关于线对称

(Ⅰ)原函数与反函数：关于y=x 对称

(Ⅱ)y= f(x)关于y=x + c对称的函数:x→y-c ，y →x +c ，

即x+c= f(y-c )

(Ⅲ)y= f(x)关于y=-x+c对称的函数: x→-y+c,y →-x+c ，

即-x+c= f(-y+c )

(Ⅳ)f(x)与f(-x )关于y轴对?f(a+x)与f(b -x )关于

2

a

b x -=

对称 (Ⅴ)f(x)与-f(x )关于x轴对称

十一 原函数与反函数

反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关系解题。

（一） 求反函数：先反表示，再,x y 互换；或先,x y 互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。

（二） 利用原函数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。

1．定义域、值域：

原函数自变量等价于反函数函数值，

原函数函数值等价于反函数自变量；

原函数定义域等价于反函数值域，

原函数值域等价于反函数定义域。

2．单调性：原函数与反函数具有相同的单调性

3．奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。

4．对称性：原函数与反函数图像关于y x

=对称，原函数与反函数交点一定在y x

=上。

不等式

一不等式的证明

证明不等式选择方法的程序：

①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解；

②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1；

③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n次方；

平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：

2

11

2

a b

a b

+

≥≥

+

(当a = b时取等

)

3

a b c

++

≤，123123

a a a a a a

++≤++，(0)

a b a b a b ab

-≤-≤+≥时,取等

④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，后面的方法都是特殊的等价变形方法；

⑤逆代：把数换成字母；

⑥换元：均值换元或三角换元；

⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；

⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证；

⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；

⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。二不等式的解法

(一)有理不等式

1．一次不等式：ax b

>

解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。

2．二次不等式：20

++>

ax bx c

两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。

3．高次不等式：序轴标根法

(二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式

先变形成有理不等式，再求解。

绝对值不等式：

当a> 0时，有

2

2

x a x a a x a

22

<-.

>?>?>或x a

x a x a x a

无理不等式：

(1)

()0()()()0

()()f x f x g x g x f x g x ≥??

>?≥??>?

. (2)

2()0

()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x ≥?≥??

>?≥??

?>?或. (3)

2()0()()()0

()[()]f x f x g x g x f x g x ≥??

??

(三)指数不等式 对数不等式

不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。

(1)当1a >时,

()()()()f x g x a a f x g x >?>;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??>?

.

(2)当01a <<时,

()()()()f x g x a a f x g x >?<;

三 线性规划

线性规划，出题现象如下：

设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-??

+≥??-≤?

则目标函数4z x y =+的最大值为

（ )

解题步骤：

（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，

标明直线序号

（2）依据以下结论确定平面区域：

()y f x ≥是点在直线上方（包括直线） ()y f x ≤是点在直线下方（包括直线）； ()y f x >是点在直线上方（不包括直线） ()y f x <是点在直线下方（不包括直线）

（3）确定目标函数函数值的几何意义

（4）○

1若目标函数值z 表示截距，在已知区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z 的最值。○

2若目标函数z 表示距离或者距离的平方，精确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离，用距离公式直接求最值。○3若目标函数z 表示斜率，精确画图，利用求斜率取值范围结论，求最值。

导数

一 导数的概念 （一）导数的定义

1.导数的原始定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果

0→?x 时，y ?与x ?的比

x y ??(也叫函数的平均变化率)有极限即x

y

??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0

/

x x y =，即x

x f x x f x f x ?-?+=→?)

()(lim

)(000

0/

2导函数的定义：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数。 （二）导数的实际意义：

1.导数的几何意义：

/0()f x 是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率因此，如果

)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-

2.导数的物理意义：

导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。

（三）概念部分题型：

1.利用定义求函数)(x f y =的导数 主要有三个步骤：

(1)求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?

(2)求平均变化率

x

x y ?=

?? (3)取极限，得导数/y ＝()f x '=x

y

x ??→?0lim

2.利用导数的实际意义解题

主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。 二 导数的运算 （一）常见函数的导数

1．0='C

2．1

)(-='n n nx x

3．x x e e =')( 4．a a a x x ln )(=' 5．1(ln )x x

'= 6．a

x e x x a a ln 1log 1)(log ==

' 7．x x cos )(sin ='

8．x x sin )(cos -=' （二）导数的四则运算 1．和差：()u v u v '''±=±

2．积： v u v u uv '+'=')(

3．商： 2)(v v u v u v u '-'=' （三）复合函数的导数：

1．运算法则复合函数导数的运算法则为： 2复合函数的求导的方法和步骤：

求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。

求复合函数的导数的方法步骤：

(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量

(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数

(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数

三 导数的应用

（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。

1.导数和函数单调性的关系：

(1)若f '(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是增函数，

f '(x )>0

的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；

(2)若f '(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是减函数，

f '(x )<0

的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。

2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤 ①确定)(x f 的定义域； ②计算导数)(/x f ； ③求出0)(/=x f 的根；

④用0)(/=x f 的根将)(x f 的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内)(/x f 的符号,进而确定)(x f 的单调区间f '(x )>0，则f (x )在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f '(x )<0，则f (x )在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。 （二）利用导数求解函数极值与最值。

1.极值与最值的定义：

(1)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点

(2)极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记

作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点

(3)函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

2.极值的性质：

(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近

点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最

大或最小

(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值

或极小值可以不止一个

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必

大于极小值。

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区

间的端点

3.判别f (x 0)是极大、极小值的方法:

若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值

4.求函数f (x )的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )

(2)求方程f ′(x )=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，

那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处

取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值

5.利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

（三）利用导数求解证明不等式：

主要方法为将不等式()()t x g x ≥左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数()()()f x t x g x =-，通过对()f x 求导，根据()f x '的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明。

四 定积分与微积分基本原理 (理科考查，文科不考查) （一）曲边梯形面积与定积分

1、定积分定义：设函数()f x 在[,]a b 上有界(通常指有最大值和最小值)，在a 与b 之间任意插入1n -个分点，

0121n n a x x x x x b -=<<<

<<=，将区间[],a b 分成n 个小区间

[]1,i i x x -()1,2,,i n =，记每个小区间的长度为i x ?= 1i i x x -- ()1,2,,i n =，

在[]1,i i x x -上任取一点ζi ,作函数值()i f ζ与小区间长度i x ?的乘积

()i f ζi x ?()1,2,

,i n =，并求和()1n

i i i s f x ζ==?∑

记λ=max{i x ?；1,2,,i n =},如果当λ->0时,和s 总是趋向于一个定值,则该定值便称为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记为?b

a dx x f )(，即

()b

a

f x dx =?

∑=→?n

i i i x f 1

)(lim ξλ

其中, x i n

i i f ?∑=)(1

ζ称为函数()f x 在区间[],a b 的积分和.

2、定积分的几何意义

定积分?b

a dx x f )(在几何上,当()0f x ≥时,表示由曲线()y f x =、直线

x a =、直线x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积；当()0f x ≤时，表示由

曲线()y f x =、直线x a =、直线x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴之间的个部分面积的代数和 （二）微积分基本定理

1、基本定理

若函数()f x 在[]b a ,上连续，且存在原函数()F x ，即

()()[]b a x x f x F ,,∈='，则f 在[]b a ,上可积，且 ()()().a F b F dx x f b

a -=?这

称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成 ()().b a b

a

x F dx x f =?

二、常用的不定积分公式： 1. C dx =?0

2. C x dx x ++=

+?1

11ααα

(1-≠α) 3. C x dx x

+=?ln 1

4. C a a

dx a x

x +=

?ln 1(0>a ，1≠a ) 5. C e dx e x x +=? 6. C x xdx +-=?cos sin 7. C x xdx +=?sin cos 8. C x xdx +=?tan sec 2 9. C x xdx +-=?cot csc 2 10.C x xdx x +=?sec tan sec

12.C x xdx x +-=?csc cot csc 13.C x C x dx x

+-=+=-?arccos arcsin 112

14.C x C x dx x +-=+=+?

cot arc arctan 11

2

本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。

复数

一 复数的概念

1.虚数单位i ：

(1)它的平方等于-1，即 21i =-；

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2

=－1的另一个根是－i

3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1

4. 复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*

5. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式

6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数

z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0

时，z 就是实数0

7. 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

高中数学复习资料

高中数学第一章-集合 考试容：集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合. （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义. §01.集合与简易逻辑知识要点 一、知识结构： 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用^ 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法^ 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 ^ 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为 A A; ②空集是任何集合的子集，记为A; ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A B ,同时B A,那么A = B. 如果A B, B C,那么A C. ［注］:①Z= ｛整数｝（3 Z =｛全体整数｝（X） ②已知集合S中A的补集是一个有限集，贝U集合A也是有限集.（X）（例：S=N ; A= N 则CA= ｛0｝） ③空集的补集是全集. ④若集合A=集合B,则C A= , C B = 。（C B）=D （注：C B = ）. 3. ①｛（x, V）|xy =0 , x￡ R, y￡R｝^标轴上的点集.

②((x, y) |xyv 0, x€ R, y€ R 二、四象限的点集 ③{ (x, y) |xy> 0, x￡ R, y€ R } 一、三象限的点集.［注］：①对方程组解的集合应是点集 x y 3 例： 解的集合{(2, 1)}. 2x 3y 1 ② 点集与数集的交集是 .(例：A ={(x, y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1}则An B =) 4. ①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有 2n -1个. ③n 个元素的非空真子 集有2n - 2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真 .否命题 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真 .原命题 逆否命题. 例：①若a b 5,则a 2或b 3应是真命题. 解：逆否：a = 2且b = 3 ,贝U a+b = 5 ,成立，所以此命题为真 . ② x 1 且y 2,三二 x y 3. 解：逆否:x + y =3 *x = 1 或 y = 2. x 1且y 2扫^x y 3,故x y 3是x 1且y 2的既不是充分，又不是必要条件 ⑵小围推出大围；大围推不出小围 3. 例：若 x 5, x 5或x 2 . 4. 集合运算：交、并、补. 父：A B {x|x A,且 x B} 并：A^B {x|x A 或x B} 补：G J A {x U,且x A 5. 主要性质和运算律 求补律：AA U A=()) A U U A=U U U=()) U =U U U( U A)= A (1) 包含关系： A A, A, A U ,C U A U, A B, B C (2) 等价关系：A (3) 集合的运算律： 交换律：A B 结合律：(A B) 分配律:.A (B 0-1 律：「A 等藉律：A A A C;A 「 B A,A 「B B; A B A 「B A A^B B B A; A B B A. C A (B C);(A B) C C) (A B) (A C); A (B ,U A A ,U 「 A A ,U IJ A A, A A A. .|J B A, 41 B B. C UA U B U A ( B C) C) (A B) (A C) U

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

高中数学复习必背知识点

高中数学复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数：①解出)(1y f x -=②y x ,互换③写出)(1x f y -=的定义域； 2、对数：①负数和零没有对数 ②1的对数等于0：01log =a ③底的对数等于1：1log =a a ， ④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m n b a n a m log log = ， 第三章 数列 1、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系：???≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 ： ①定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数； ②通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；） ③前n 项和：2)(1n n a a n S += d n n na 2 ) 1(1-+= ④等差中项： A 是a 与b 的等差中项：2 b a A +=或b a A +=2， 三个数成等差常设：a-d ，a ，a+d 3、等比数列：

①定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，（0≠q ）。 ②通项公式：11-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ） ③前n 项和：??? ?? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n ④等比中项： G 是a 与b 的等比中项：G b a G = ，即ab G =2（或ab G ±=，等比中项有两个） 第四章 三角函数 1、弧度制：①π= 180弧度，1弧度'1857)180 ( ≈=π ； ②弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 2、三角函数定义： y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc sec cot tan cos sin 3、特殊角的三角函数值 4、同角三角函数基本关系式： 1cos sin 22=+αα α α αcos sin tan = 1cot tan =αα

高中数学复习资料大全

高中数学第一章-集合 https://www.doczj.com/doc/506744773.html, 考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集． 逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： https://www.doczj.com/doc/506744773.html, （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.

④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ? ?=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子 集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② 且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. 2 1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255πφφx x x 或，?. 4. 集合运算：交、并、补. {|,}{|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????I I U U C （2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?=I U U C （3） 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .

2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设

人教版A版高中数学必修3全套经典教案第一套

人教版A版高中数学必修3全套教案 第一章算法初步 一、课标要求： 1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。 2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。 3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。进一步体会算法的基本思想。 4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。 二、编写意图与特色： 算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。 1、结合熟悉的算法，把握算法的基本思想，学会用自然语言来描述算法。 2、通过模仿、操作和探索，经历设计程序流程图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中理解程序流程图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 3、通过实际问题的学习，了解构造算法的基本程序。 4、经历将具体问题的程序流程图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，体会算法的基本思想。 5、需要注意的问题 1) 从熟知的问题出发，体会算法的程序化思想，而不是简单呈现一些算法。 2) 变量和赋值是算法学习的重点之一，因为设置恰当的变量，学习给变量赋值，是构

高中数学全套资料

高三数学二轮复习全套资料 高中数学第一章-集合 考试容： 集合、子集、补集、交集、并集． 逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，.

[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ? ?=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集 有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② 且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. 2 1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小围推出大围；大围推不出小围. 3. 例：若255 x x x 或，?. 4. 集合运算：交、并、补. {|,}{|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????C （2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C （3） 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==

高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。

高中数学人教版必修5全套教案

课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

人教版高中数学全套试题5.3

1.设n S 为等比数列{n a }的前n 项和2580a a ,+=,则52 S S 等于( ) A.-11 B.-8 C.5 D.11 答案:A 解析:由2580a a +=,∴582 a a =-,即382q q =-,=-. ∴5(1)151153311223(1)1211a q S q q S a q q q ---====-----. 2.在等比数列{n a }中11a ,=,公比|q|1≠.若12345m a a a a a a =,则m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案:C 解析:51010123451111m a a a a a a a q a q a ====. 3.在公比为整数的等比数列{n a }中,如果1418a a +=, 2a 312a +=,那么该数列的前8项和为( ) A.513 B.512 C.510 D.2258 答案:C 解析:3211313(1)18()1222q a q a q q q q ++=,+=,=,+12 或q=2,而q ∈Z , ∴122q a =,=. ∴9882(12)2251012 S -==-=-. 4.在正项等比数列{n a }中153537225a a a a a a ,++=,则35a a += . 答案:5 解析:2223355353()2()()25a a a a a a a ++=+=,+5a =5. 5.等比数列{n a }的前n 项和为21n -,则数列{2 n a }的前n 项和n T = . 答案:413 n - 解析:∵21n n S =-,当2n ≥时1121n n S --,=-, ∴12n n a -=, ∴214n n a -=, ∴2114a q =,=. ∴1441143 n n n T --==-. 6.等比数列{n a }中,已知14216a a =,=. (1)求数列{n a }的通项公式;

新课标人教A版高中数学全部知识点归纳总结

高三第一轮复习资料（注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用

人教版-高一数学必修4全套导学案

第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 【自主学习】 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； b c，则a和c是方向相同的向量； （4）向量a和b是共线向量，//

最新整理高中数学公式大全(完整版)资料

高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21

高中数学知识点体系框架超全超完美

高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=