2018-2019学年四川省绵阳市南山中学高一（下）入学
数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.满足A∪{1，-1}={1，0，-1}的集合A共有（）
A. 2个
B. 4个
C. 8个
D. 16个
2.角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则tan2α=（）
A. B. C. D.
3.三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）
A. B. C. D.
4.设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
5.可以写成①+；②-；③-；④-．其中正确的是（）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
6.已知f（x）是偶函数，对任意的a，b∈[0，+∞）都有＜，若f（lg x）＞f（1），则x的取值范
围是（）
A. B. ∪ C. D. ∪
7.若sinα=，α∈（-，），则cos（）=（）
A. B. C. D.
8.函数＞，＞，＜的图象如图所示，则函数y=A cos
（ωx+φ）的递减区间是（）
A. ∈
B. ∈
C. ∈
D. ∈
9.函数f（x）=，的零点个数为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10.函数y=a|x|+1（a＞0且a≠1），x∈[-k，k]，k＞0的图象可能为（）
A.
B.
C.
D.
11.已知函数y=f（x）在（0，3）上是增函数，函数y=f（x+3）是偶函数，则f（），f（），f（2）的大
小关系（）
A. B. C. D.
12.函数y=f（x）的定义域为D，且f（x）同时满足以下条件：
①f（x）在D上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a，b]?D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]
时，f（x）的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y=f（x）（x∈D）是闭函数．若f（x）=k+是闭函数，则实数k的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.若f（x）=是奇函数，则a=______．
14.在正方形ABCD中，E是DC边的中点，且=，=，则=______．
15.已知函数f（x）=
，
，＞
，若直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同交点的横坐
标依次为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是______．
16.给出下列五个命题：
①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a不可能有两个不同的交点；
②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相同函数；
③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，存在x0，当x＞x0时，有2x＞x2成立；
④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）?f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点；
其中正确的序号是______．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
17.已知集合A为函数f（x）=得定义域，B={x∈R|y=lg（x-4）}．
（1）求集合A，B；
（2）已知集合C={x|1-m≤x≤m-1}，若集合C?（A∪B），求实数m的取值范围．
18.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满
足f（t）=-2t+200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g（t）=t+30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格为g （t）=45（31≤t≤50，t∈N）．
（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
（2）求日销售额S的最大值．
19.已知函数f（x）=?（），其中向量=（sin x，-cos x），=（sin x，-3cos x），=（-cos x，sin x），
x∈R．
（1）若f（α）=，＜＜，求cos2α的值；
（2）不等式|f（x）-m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．
20.已知函数f（x）=，g（x）=f（2x）．
（1）判断函数f（x）在区间（-1，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）g（x-1）+g（3-2x）＜0，求实数x的取值集合；
（3）若函数F（x）=g（x）-2x-m存在零点，求实数m的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：根据题意，集合可能为{0}、{0，1}、{0，-1}、{0，1，-1}，
共有4个；
故选：B．
根据题意，分析可得，集合A中必须有元素0，可能含有元素1或-1，由此列举可得全部可能的集合A，即可得答案．
本题考查集合并集的性质，关键是由并集的定义，分析得到集合A中必须有的元素和可能有的元素．
2.【答案】A
【解析】
解：∵α的终边上一点的坐标为（
sin，cos
），即（，-）
∴
tanα=
=-，
则
tan2α==
=，
故选：A．
根据三角函数的定义求出tanα，利用正切的倍角公式进行计算即可．
本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义以及倍角公式是解决本题的关键．比较基础．
3.【答案】D
【解析】
解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质
可知：log0.76＜0
由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质
可知0.76＜1，60.7＞1 ∴log0.76＜0.76＜60.7
故选：D．
由对数函数的图象和性质，可得到log0.76＜0，再指数函数的图象和性质，可得0.76＜1，60.7＞1从而得到结论．
本题主要考查指数函数，对数函数的图象和性质，在比较大小中往往转化为函数的单调性或图象分面来解决．
4.【答案】B
【解析】
解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，
所以4x=2×6，解得x=3；
故选：B．
利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．
本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y
）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym．
5.【答案】D
【解析】
解：∵①+=；
②-
=；
③-
=；
④-
=．
因此其中正确的是①④．
故选：D．
利用向量的运算法则即可判断出．
本题考查了向量的原式法则，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】
解：由于f（x）是偶函数，
对任意的a，b∈[0，+∞）都有，
则偶函数f（x）在[0，+∞）递减，
则f（lgx）＞f（1），即为
f（|lgx|）＞f（1），
即有|lgx|＜1，即-1＜lgx＜1，
则＜x＜10．
故选：C．
由于f（x）是偶函数，对任意的a，b∈[0，+∞）都有，则偶函数f（x）在[0，+∞）递减，f（lgx）＞f（1），即为f（|lgx|）＞f（1），由单调性，即可得到，再解不等式即可得到解集．
本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】
解：∵
sinα=，α∈（
-），
∴
cosα=
=，
∴cos
（）=-（cosα-sinα）
=-．
故选：A．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】
解：由“五点法”可知解得ω=2，φ=
-，由图象可知A=1，则函数y=cos（2x-），
由2k，k∈Z
解得k∈Z
故选：C．
利用函数图象求出A ，利用五点法得到，求出ω，φ，结合余弦函数的单调性求出函数的递减区间．
本题是基础题，考查三角函数的图象求函数的解析式，掌握五点法作图，函数的基本性质，是解好本题的关键．
9.【答案】A
【解析】
解：函数f（x）=，
可得当x≤0时，x2+2x-3=0，解得x=1（舍去）或x=-3；
当x＞0时，-2+lnx=0，解得x=e2，
函数有2个零点．
故选：A．
利用分段函数分别求解函数的零点即可．
本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．
10.【答案】C
【解析】
解：函数y=a|x|+1（a＞0且a≠1），x∈[-k，k]，k＞0．函数是偶函数，排除A；
函数y=a|x|+1＞1，排除B；a＞1时，x＞0函数是增函数，C 不满足题意，D不满足题意；
当a∈（0，1）时，x＞0函数是减函数，C 满足题意，D不满足题意；
故选：C．
利用函数的奇偶性排除选项，通过a的范围，利用函数的性质判断选项即可．
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本题考查函数的图象的判断，考查分类讨论思想的应用，函数的奇偶性以及函数的单调性，是判断函数图象的常用方法．
11.【答案】A
【解析】
解：根据题意，函数y=f（x+3）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=3对称，
则f （）=f （），f
（）=f （），
又由函数y=f（x）在（0，3）上是增函数，则f
（）＜f（2）＜f
（），
则有f （）＜f（2）＜f
（），故选：A．
根据题意，由函数的奇偶性的性质分析可得函数f（x）的图象关于直线x=3对称，进而可得f
（）
=f
（），f （）=f
（），结合函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的对称性，属于基础题．
12.【答案】B
【解析】
解：根据题意，f（x）
=k+，有x+2≥0，易得f（x）为增函数，
若f（x）=k+为闭函数，则存在闭区间[a，b]，满足，
即a、b是方程
k+=x的两根，
令t=，则t≥0，则原方程等价于k+t=t2-2，变形可得t2-t-k-2=0，若方程k+=x有两根，则t2-t-k-2=0有两个非负的实根，
设g（t）=t2-t-k+2
则
有，解可得-＜k≤-2，
即k的取值范围为（-，-2]
故选：B．
根据题意，分析易得f（x）=k+在其定义域上为增函数，结合闭函数的定义
分析可得
，即a、b是方程
k+=x的两根，令t=，则原方程等价于k+t=t2-2，变形可得t2-t-k-2=0，分析易得t2-t-k-2=0有两个非负的实根，设g（t）=t2-t-k+2，则
有
，解可得t的取值范围，即可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数单调性的判定与应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】
解：∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x），
∴
=
∴=，
解得
a=．
故答案为：．
根据奇函数的性质，f（x）=-f（-x），代入f（x）的解析式，得到等式即可求出a的值．
本题主要考查奇函数的性质，根据f（x）=-f（-x）列出式子即可解得a的值，本题比较基础．
14.【答案】-
【解析】
解：∵正方形ABCD中，E是DC边
的中点，且=，=，
∴=+=+
=
-
=-．
故答案为：-．
由题意可得=+=+=，把=，=代入化简可得结果．
本题主要考查平面向量基本定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
15.【答案】（2，2017）
【解析】
解：作出函数f（x）的图象，
则当0＜x＜1时，函数f（x）关于x=对称，
若直线y=m与函数y=f（x）三个不同交点的横坐标依次为
x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
则0＜m＜1，
且x1，x2关于x=对称，则x1+x2=1，
由log2016x=1，得x=2016，
则1＜x3＜2016，
则2＜x1+x2+x3＜2017，
即x1+x2+x3的取值范围是（2，2017），
故答案为：（2，2017）．
作出函数f（x）的图象，利用函数的对称性以及对数函数的图象和性质进行求解即可．
本题主要考查分段函数的应用，考查了函数图象的作法及应用及函数零点与函数图象的有关系，利用数形结合是解决本题的关键．属于中档题．
16.【答案】①③
【解析】
解：①根据函数的定义可得：函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a不可能有两个不同的交点，正确；
②函数y=log2x2与函数y=2log2x的定义域不同，前者的定义域为{x|x∈R，x≠0}，后者的定义域为{x|x＞0}，因此不是相同函数；
③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，存在x0，当x＞x0时，有2x＞x2成立，例如取x0=5满足条件，因此正确；
④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）?f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内不一定有零点，例如取函数f（x）=，a=2，b=4，满足条件，但是在（a，b）内无零点．
综上正确的为①③．故答案为：①③．
①根据函数的定义即可判断出正误；
②函数y=log2x2与函数y=2log2x的定义域不同，不是相同函数；
③例如取x0=5满足条件，可得正确；
④f（x）在（a，b）内不一定有零点，例如取函数f（x）=，a=2，b=4，满足条件，但是在（a，b）内无零点．
本题考查了函数的定义及其性质、函数零点存在定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=，有4-2x＞0，解可得x＜2，则A=（-∞，2），
y=lg（x-4），有x-4＞0，解可得x＞4，则B=（4，+∞）；
（2）由（1）的结论，A=（-∞，2），B=（4，+∞）；则A∪B=（-∞，2）∪（4，+∞），
C={x|1-m≤x≤m-1}，集合C?（A∪B），
分2种情况讨论：
当1-m＞m-1，即m＜1时，C=?，满足C?（A∪B），
当1-m≤m-1，即m≥1时，若C?（A∪B），必有m-1＜2或1-m＞4，解可得1≤m＜3，
综合可得：m＜3．
【解析】
（1）根据题意，对于函数f（x）=，有4-2x＞0，解可得x的取值范围，即可得集合A，对于y=lg（x-4），有x-4＞0，解可得x的取值范围，即可得集合B；
（2）由（1）的结论，求出集合A∪B，按C是否为空集分2种情况讨论，求出m的取值范围，综合即可得答案．
本题考查集合的包含关系的应用，涉及函数的解析式的计算，属于基础题．
18.【答案】解：（1）当1≤t≤30时，由题知f（t）?g（t）=（-2t+200）?（）=-t2+40t+6000，
当31≤t≤50时，由题知f（t）?g（t）=45（-2t+200）=-90t+9000，
所以日销售额S与时间t的函数关系为S=；
（2）当1≤t≤30，t∈N时，S=-（t-20）2+6400，当t=20时，S max=6400元；
当31≤t≤50，t∈N时，S=-90t+9000是减函数，当t=31时，
S max=6210元．
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∵6210＜6400，
则S的最大值为6400元．
【解析】
（1）根据销售额等于销售量乘以售价得S与t的函数关系式，此关系式为分段函数；（2）求出分段函数的最值即可．
考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数的最值及其几何意义的能力．
19.【答案】解：（1）f（x）=?（）=（sin x，-cos x）?（sin x-cos x，sin x-3cos x）
=sin2x-2sin x cosx+3cos2x=1-sin2x+2cos2x
=2+cos2x-sin2x=2+sin（2x+），
若f（α）=，
则2+sin（2α+）=，即sin（2α+）=，
由＜＜∴-＜2α＜-，
即-＜2α+＜，则cos（2α+）=，
则cos2α=cos[（2α+）-]=cos（2α+）cos+sin（2α+）sin=（-）+×（-）=．（2）∵不等式|f（x）-m|＜2在x∈[，]上恒成立，
∴-2＜f（x）-m＜2，即f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[，]上恒成立，
当x∈[，]，则2x∈[，π]，2x+∈[π，]，
则当2x+=π时，f（x）取得最大值，最大值为f（x）=2，
当2x+=时，f（x）取得最小值，最小值为f（x）=2+sin=2-，
则＞
＜
，
得0＜m＜4-，
即实数m的取值范围是（0，4-）．
【解析】
（1）根据向量数量积的公式以及辅助角公式进行化简，结合两角和差的余弦公式进行转化计算即可．（2）利用不等式恒成立，利用参法分离法转化为最值问题即可．
本题主要考查不等式恒成立问题，结合向量数量积的公式，利用辅助角公式进行化简，结合两角和差的余弦公式以及参数分离法转化求最值是解决本题的关键．
20.【答案】解：（1）根据题意，f（x）==1-，在（-1，+∞）上为增函数，
证明：设-1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（1-）-（1-）=-=，
又由-1＜x1＜x2，
则（x1+1）＞0，（x2+1）＞0，（x1-x2）＜0，
则f（x1）-f（x2）＜0，
故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数，
（2）根据题意，g（x）=f（2x）=，
则g（-x）==-（）=-g（x），函数g（x）为奇函数，
设t=2x，则t＞0，t=2x在R上为增函数，
y=g（t）在（0，+∞）上为增函数，
则y=g（x）在R上为增函数，
g（x-1）+g（3-2x）＜0?g（x-1）＜-g（3-2x）?g（x-1）＜g（2x-3）?x-1＜2x-3，
解可得x＞2，即实数x的取值集合为（2，+∞）；
（3）函数F（x）=g（x）-2x-m存在零点，即方程-2x=m有根，
则m=1--2x=-[（）+（2x+1）]+2，
又由（）+（2x+1）≥2=2，
故m≤2-2，
即m的取值范围为m≤2-2．
【解析】
（1）根据题意，函数的解析式变形可得f（x）==1-，设-1＜x1＜x2，由作差法分析可得结论；
（2）根据题意，分析可得g（x）为奇函数且在其定义域上为增函数，据此可得g（x-1）+g（3-2x）＜0?g（x-1）＜-g（3-2x）?g（x-1）＜g（2x-3）?x-1＜2x-3，解可得x的取值范围，即可得答案；
（3）函数F（x）=g（x）-2x-m
存在零点，即方程-2x=m有根，变形可得m=1--2x=-[（）
+（2x+1）]+2，结合基本不等式的性质分析m的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的单调性以及奇偶性的综合应用，涉及复合函数的单调性以及方程与函数的关
系，属于综合题．
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