三角函数的图像与性质
二. 教学目标：
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。
三. 知识要点：
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2. 三角函数的单调区间：
的递增区间是，
递减区间是；
的递增区间是，
递减区间是
的递增区间是，
3. 函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4. 由y＝sin x的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）
先将y＝sin x的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，
再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。
途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x
轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。
5. 对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。
6. 五点法作y=A sin（ωx+）的简图：
五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
【典型例题】
例1. 把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是（）
A. B. C. D.
解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解。
向左平移个单位后的解析式为y=cos（x++）
则cos（－x++）=cos（x++），
cos x cos（+）+sin x sin（+）=cos x cos（+）－sin x sin（+）∴sin x sin（+）=0，x∈R.
∴+=kπ，∴=kπ－＞0
∴k＞，∴k=2，∴=
答案：B
例2. 试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sin x的图象。
解：y=sin（2x+）
另法答案：
（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；
（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sin x的图象；
（3）再将y=sin x图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sin x的图象。
例3. 求函数y=sin4x+2sin x cos x－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间。
解：y=sin4x+2sin x cos x－cos4x
=（sin2x+cos2x）（sin2x－cos2x）+sin2x
=sin2x－cos2x
=2sin（2x－）.
故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是［0，］，［，
π］
点评：把三角函数式化简为y=A sin（ωx+）+k（ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。
例4. 已知电流I与时间t的关系式为。
（1）下图是（ω＞0，）
在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式；
（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最
大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力。
（１）由图可知A＝300
设t1＝－，t2＝
则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝
∴ω＝＝150π
将点代入
∴＝
故所求的解析式为
（2）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）
∴ω≥300π＞942，又ω∈N*
故最小正整数ω＝943．
点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
【模拟试题】
1. 在（0，2π）内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围是（）
A. （，）∪（π，）
B. （，π）
C. （，）
D. （，π）∪（，）
2. 如果函数f（x）=sin（πx+θ）（0＜θ＜2π＝的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么（）
A. T=2，θ=
B. T=1，θ=π
C. T=2，θ=π
D. T=1，θ=
3. 设函数f（x）=A+B sin x，若B＜0时，f（x）的最大值是，最小值是－，则A=_______，B=_______。
4. 已知函数y=tan（2x+）的图象过点（，0），则可以是（）
A. －
B.
C. －
D.
5. 函数y=sin（－2x）+sin2x的最小正周期是（）
A. 2π
B. π
C.
D. 4π
6. 若f（x）sin x是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）
A. sin x
B. cos x
C. sin2x
D. cos2x
7. 函数y=2sin（－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是（）
A. ［0，］
B. ［，］
C. ［，］
D. ［，π］
8. 把y=sin x的图象向左平移个单位，得到函数__________的图象；再把所得
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象。
9. 函数y=lg（cos x－sin x）的定义域是_______.
10. f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，
那么a的值等于（）
A. 4
B. －6
C. －4
D. －3
【试题答案】
1. 答案：C
2. 解析：T==2，又当x=2时，sin（π·2+θ）=sin（2π+θ）=sinθ，要使
上式取得最大值，可取θ=。
答案：A
3. 解析：根据题意，由可得结论
答案：－1
4. 解析：将（，0）代入原函数可得，tan（+）=0，再将A、B、C、D代入
检验即可。
答案：A
5. 解析：y=cos2x－sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=π.
答案：B
6. 答案：B
7. 解析：对于y=2sin（－2x）=－2sin（2x－），其增区间可由y=2sin（2x －）的减区间得到，即2kπ+≤2x－≤2kπ+，k∈Z。
∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.令k=0，故选C.
答案：C
8. 解析：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（
x+）。
答案：y=sin（x+）y=sin（x+）
9. 解析：由cos x－sin x＞0cos x＞sin x.由图象观察，知2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z）
答案：2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z）
10. 解析：f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1.
∵x∈［0，］，∴2x+∈［，］.
∴f（x）的最小值为2×（－）+a+1=－4
∴a=－4.