高考数学函数压轴题：
1. 已知函数3
1()(,)3
f x x ax b a b R =
++∈在2x =处取得的极小值是43
-
.
(1)求()f x 的单调递增区间；
(2)若[4,3]x ∈-时，有210()3
f x m m ≤++恒成立，求实数m 的取值范围.
2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x 艘的产值函数R (x)=3700x + 45x 2
– 10x 3(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）
(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);
(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?
(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
3. 已知函数155)(2++=x x x ?)(R x ∈，函数)(x f y =的图象与)(x ?的图象关于点
)2
1,
0(中心对称。
（1）求函数)(x f y =的解析式；
（2）如果)()(1x f x g =，)2,)](([)(1≥∈=-n N n x g f x g n n ，试求出使0)(2 立的x 取值范围； （3）是否存在区间E ，使{}Φ= N n ∈，且2≥n 时，都有0)( 4．已知函数：)(1)(a x R a x a a x x f ≠∈--+= 且 （Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a －x)=0对定义域内的所有x 都成立. （Ⅱ）当f(x)的定义域为[a+ 2 1,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]； （Ⅲ）设函数g(x)=x 2+|(x －a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 . 5. 设()f x 是定义在]1,0[上的函数，若存在*x )1,0(∈，使得()f x 在],0[*x 上单调递增，在] 1,[*x 上单调递减，则称()f x 为]1,0[上的单峰函数，*x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的]1,0[上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法. （1）证明：对任意的21,x x )1,0(∈，21x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间；若)()(21x f x f ≤，则)1,(1x 为含峰区间； （2）对给定的)5.00(< 6. 设关于x 的方程0222=--ax x 的两根分别为α、β()βα<，函数1 4)(2 +-= x a x x f （1）证明)(x f 在区间()βα,上是增函数； （2）当a 为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小 7. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数()8+=x x f ，()12+= x x g ， 及任意的0≥x ，当甲公司投入x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于()x f 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于()x g 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题： (1)请解释()()0,0g f ；(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？ (3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入121=a 万元，乙在上述策略下，投入最少费用1b ；而甲根据乙的情况，调整宣传费为2a ；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为2b ,, 如此得当甲调整宣传费为n a 时，乙调整宣传费为n b ；试问是否存在lim n n a →∞ ， n n b ∞ →lim 的值，若存在写出此极限值（不必证明） ，若不存在，说明理由. 8. 设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. （l ）求证)(x f 在]1,1[-上是减函数； （ll ）如果)(c x f -，)(2 c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围； （lll ）证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2 c x f -存在公共的定义域，并求这个公 共的空义域. 9. 已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ∈N *，b ∈N ，c ∈Z 。 （1）若b>2a ，且f （sinx ）（x ∈R ）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f （x ）的最小值； （2）若对任意实数x ，不等式4x ≤f （x ）≤2（x 2＋1）恒成立，且存在x 0，使得f （x 0）<2 （x 02 ＋1）成立，求c 的值。 10. 已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减； （1）求a 的值； （2）求证：x=1是该函数的一条对称轴； （3）是否存在实数b ，使函数1)(2-=bx x g 的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由. 11. 定义在区间（0，∞）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x 、q,都有)()(x qf x f q =. （1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根； （2）若a>b>c>1,且a 、b 、c 成等差数列，求证：)()()(2 b f c f a f ?； （3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有)2 (2)()(n m f n f m f +==， 求证：32m <<+ 12. 已知三次函数c bx ax x x f +++=2 3)(在y 轴上的截距是2，且在) ,2(),1,(+∞--∞ 上单调递增，在（－1，2）上单调递减. (Ⅰ)求函数f (x)的解析式； (Ⅱ)若函数)ln()1() 2(3)()(m x m x x f x h ++--'=，求)(x h 的单调区间. 13. 已知函数()f x a x = （0a ≠且1a ≠）． (1) 试就实数a 的不同取值，写出该函数的单调递增区间； (2) 已知当0x >时，函数在上单调递减，在)+∞上单调递增，求a 的值并写出函数的解析式； (3) （理）记(2)中的函数的图像为曲线C ，试问是否存在经过原点的直线l ，使得l 为曲线C 的对称轴？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． (文) 记(2)中的函数的图像为曲线C ，试问曲线C 是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由． 14. 已知函数()l o g a f x x =和()2lo g (22),(0,1,)a g x x t a a t R =+->≠∈ 的图象在2x =处的切线互相平行. (Ⅰ) 求t 的值； （Ⅱ）设)()()(x f x g x F -=，当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立，求a 的取值范围. 15. 设函数()f x 定义在R +上，对任意的,m n R + ∈，恒有()()()f m n f m f n ?=+，且当1x >时，()0f x <。试解决以下问题： （1）求(1)f 的值，并判断()f x 的单调性； （2）设集合{}{}(,)|()()0,(,)|(2)0,A x y f x y f x y B x y f ax y a R =++->=-+=∈，若A B ≠? ，求实数a 的取值范围； （3）若0a b <<，满足|()||()|2|()|2 a b f a f b f +==，求证：32b <<+ 16. （理科）二次函数f(x)=)(2 R b a b ax x ∈++、 （I ）若方程f(x)=0无实数根，求证：b>0； （II ）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)=)1(4 1 2-a ； （III ）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k ，使得4 1)(≤ k f . (文科)已知函数f(x)=c bx ax ++2，其中.,,*Z c N b N a ∈∈∈ （I ）若b>2a,且 f(sinx)(x ∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值； （II ）若对任意实数x ，不等式)1(2)(42+≤≤x x f x 恒成立,且存在 )1(2)(0 200+ x f x 使得成立，求c 的值。 17. 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x 、y (-1,1)都有。 （I ）求证：函数f(x)是奇函数； （II ）如果当 时，有f(x)>0，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明； （III ）设-1 18. 已知二次函数),,0(1)(2R b a bx ax x f ∈>++=设方程f(x)＝x 有两个实数根x 1、x 2. (Ⅰ)如果4221<< 19. 函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ； ②对任意x 、R y ∈，有y x f xy f )]([)(=；③.1)3 1 (>f 则 （1）求)0(f 的值； （4分） （2）求证：)(x f 在R 上是单调增函数； （5分） （3）若ac b c b a =>>>2 ,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+ 20. （理）已知)0()1()(2≤++=a ax x In x f （1）讨论)(x f 的单调性； （2）证明：2 ),()11()3 11)(2 11(* 4 4 4 ≥∈<+ + + n N n e n 其中无理数) 71828 .2 =e . （文）设函数)(3 1)(2 3 c b a cx bx ax x f <<++= ，其图象在点 )) (,()),1(,1(m f m B f A 处的切线的斜率分别为a o -,. （1）求证：10<≤ a b ； （2）若函数)(x f 的递增区间为],[t s ，求]-[t s 的取值范围. 21.设函数)10(323 1)(2 2 3 <<+-+- =a b x a ax x x f （1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值； （2）当x ∈[a+1, a+2]时，不等a x f ≤'|)(|，求a 的取值范围. 22. 已知函数1 x x 716x )x (f --+ =，函数m x ln 6)x (g +=. （1）当1x >时，求函数f(x)的最小值； （2）设函数h(x)=(1－x)f(x)+16，试根据m 的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数. 23. 已知二次函数t t t t y l c bx ax x f .20(8:,)(2 12 ≤≤+-=++=其中直线为常数）；2:2=x l .若直线l 1、l 2与函数f （x ）的图象以及l 1，y 轴与函数f （x ）的图象所围成的封 闭图形如阴影所示. （Ⅰ）求a 、b 、c 的值； （Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数S （t ）的解析式； （Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得y=f （x ）的图象与y=g （x ）的图象 有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 24. 已知()()()f x x x a x b =--，点A(s,f(s)), B(t,f(t)) (I) 若1a b ==,求函数()f x 的单调递增区间； (II)若函数()f x 的导函数()f x '满足：当|x|≤1时，有|()f x '|≤ 2 3恒成立，求函数 ()f x 的解析表达式； (III)若0 且a b +=,证明：OA 与 OB 不可能垂直. 25. 已知函数().)(2 R m x x m x f ∈-= (1)设x x f x g ln )()(+=,当m ≥ 4 1时,求g(x)在[22 1 ,]上的最大值； (2)若),1[)](8[log 3 1+∞-=在x f y 上是单调减函数，求实数m 的取值范围. 26. (本小题满分12分) 已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 答案： 1.解：(1)2 ()f x x a '=+，由题意(2)40 4844(2)233f a a b f a b '=+=?=-????? ==++=- ??? ， 令2()40f x x '=->得()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(2,)∞. (2) 3 1()443 f x x x = -+，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： x - 4 (-4，-2) -2 (-2,2) 2 (2,3) 3 () f x ' () f x 43 - 单调递增 283 单调递减 43 - 单调递增 1 所以[4,3]x ∈-时，m ax 28()3 f x =.于是2 10()3 f x m m ≤++ 在[4,3]x ∈-上恒成立等价 于2 10283 3 m m ++ ≥ ，求得(,3][2,)m ∈-∞-?+∞. 2.解：(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x 3 + 45x 2 + 3240x – 5000 (x ∈N 且x ∈[1, 20]); 2分 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x 2 + 60x +3275 (x ∈N 且x ∈[1, 20]). 4分 (2) P`(x) = – 30x 2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (x ∈N 且x ∈[1, 20]) 7分 当1< x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增, 当 12 ∴当1< x ≤ 20时，MP (x)单调递减. 12分 MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1 3.解：（1）2 55)(x x x f -= ………………………………………………………………（6分） （2）由0)(5)(5)(2 112<-=x g x g x g 解得1)(0)(11> 即15505522 >-<-x x x x 或 解得10 5 510 5 510+<<-> （1） 由{}}{1 00)(><= 又{}Φ=> 10)1055,1055( x x x 或， 当)10 55,1055( +- ∈x 时，0)(2 223<-=x g x g x g ， ∴对于3,2=n 时，)10 5 5,1055( +- ?E ，命题成立。………………（14分） 以下用数学归纳法证明)10 55,1055( +- ?E 对N n ∈，且2≥n 时，都有0)( 那么0)(5)(5)]([)(2 1<-==+x g x g x g f x g k k k k 即1+=k n 时，命题也成立。 ∴存在满足条件的区间)10 5 5,1055(+- ?E 。 4.解：（Ⅰ）证明：x a a a x a x a a x x a f x f +--+-+ +--+= -++21221)2(2)( 01 221121=--+--+-+= -+-+ +--+= x a x a x a a x a x x a x a a x ∴结论成立 ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：x a x a x a x f -+ -=-+--=111 )()( 当112,2112 1112 1-≤-≤ -- ≤-≤-- -≤-≤--+≤≤+ x a x a a x a a x a 时 2113-≤-+-≤-x a 即]2,3[)(--值域为x f …………9分 （Ⅲ）解：)(|1|)(2 a x a x x x g ≠-++= （1）当a x a x x x g a x a x -+ +=-++=≠-≥4 3)2 1(1)(,12 2 时且 如果2 11- ≥-a 即2 1≥ a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增 2 min )1()1()(-=-=a a g x g 如果a g x g a a a -= - =- ≠< -<-4 3)2 1()(,2 12 12 11min 时且即当 当2 1- =a 时，)(x g 最小值不存在…………………………11分 （2）当4 5)21(1)(12 2- +-=+--=-≤a x a x x x g a x 时 如果4 5 )21()(23 2 11min -==> > -a g x g a a 时即 如果2min )1()1()()1,()(2 32 11-=-=--∞≤≤-a a g x g a x g a a 上为减函数在时即…13分 当0 ) 2 1()4 3( )1(2 10 )2 3()4 5()1(2 32 2 22>- =---< >-=--->a a a a a a a a 时当时 综合得：当2 12 1≠ a -4 3 当 2 321≤≤a 时 g （x ）最小值是2)1(-a 当2 3> a 时 g （x ）最小值为4 5- a 当2 1-=a 时 g （x ）最小值不存在 5.解：(1)证明:设*x 为()f x 的峰点,则由单峰函数定义可知, ()f x 在],0[*x 上单调递增, 在 ]1,[* x 上单调递减, 当)()(21x f x f ≥时,假设*x ?),0(2x ,则21x x <<*x ,从而),()()(12*x f x f x f >≥这与)()(21x f x f ≥矛盾,所以* x ∈),0(2x ,即),0(2x 为含峰区间. 当)()(21x f x f ≤时,假设*x ?)1,(1x ,则*x 21x x <≤,从而),()()(21*x f x f x f >≥这与)()(21x f x f ≤矛盾,所以* x ∈)1,(1x ,即)1,(1x 为含峰区间………………………….(7分) （2）证明：由(1)的结论可知: 当)()(21x f x f ≥时, 含峰区间的长度为21x l =； 当)()(21x f x f ≤时, 含峰区间的长度为121x l -=； 对于上述两种情况，由题意得???+≤-+≤r x r x 5.015.012 ① 由①得,21112r x x +≤-+即r x x 212≤-， 又因为r x x 212≥-，所以r x x 212=- ② 将②代入①得，，－r x r x +≥≤5.05.021 ③ 由①和③解得，＝，－＝r x r x +5.05.021 所以这时含峰区间的长度r l l +==5.021， 即存在21,x x 使得所确定的含峰区间的长度不大于r +5.0 6.解：(1)证明：2 2 2 ' ) 1() 22(2)(+---= x ax x x f ， 由方程0222=--ax x 的两根分别为α、β()βα<知 ()βα,∈x 时，0222<--ax x ，所以此时0)(' >x f ， 所以)(x f 在区间()βα,上是增函数 (2)解：由（１）知在()βα,上，)(x f 最小值为)(αf ，最大值为)(βf ， 1 ]2)[(] 44)()[(1 41 4)()(2 2 2 2 2 +-++-++-= +--+-= -αββαβ ααββααβα αβ βαβa a a f f 2 a = +βα ，1-=αβ，可求得44 2 += -a αβ， 161 24 1) 442 (44 )()(2 2 2 2 += +++ ++?+= -∴a a a a f f αβ， 所以当0=a 时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小，最小值为４ 7.解：(1))0(f 表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入)0(f =8 万元; …………………… (2分) )0(g 表示当乙公司不投入宣传费时, 甲公司要回避失败风险,至少要投入 )0(g =12万元. …………………………… (4分) (2) 解方程组 ???? ?+=+=8 12 x y y x ………………(6分) 得: x = 17, y = 25 ……………(9分) 故甲公司至少投入17万元, 乙公司至少投入25万元. …… (11分) (3) 经观察, 显见 25lim , 17lim ==∞ →∞ →n n n n b a . 故点M (17, 25) 是双方在宣传投入上保 证自己不失败的一个平衡点. ………(16分) 8.解：（1）∵奇函数)(x f 的图像上任意两点连线的斜率均为负 ∴对于任意]11[21，、-∈x x 且21x x ≠有 0x x )x (f )x (f 2 121<--……………………………………………………3分 从而21x x -与)()(21x f x f -异号 ∴)(x f 在]11[，-上是减函数…………………………………………5分 （2） )(c x f -的定义域为]11[+-c c ， )(2c x f -的定义域为]11[22+-c c ，………………………………7分 ∵ 上述两个定义域的交集为空集 则有： 112+>-c c 或112-<+c c …………………………9分 解得：2>c 或1- 故c 的取值范围为2>c 或1- 112 +≤-c c 当2c 1≤≤或0c 1≤≤-时 112+≥+c c 且 112 -≥-c c 此时的交集为]1,1[(2 +-c c ………………………………………12分 当10< 112+<+c c 且 112 -<-c c 此时的交集为]1, 1[2 +-c c 故2c 1≤≤-时，存在公共定义域，且 当0c 1≤≤-或2c 1≤≤时，公共定义域为]1, 1[(2 +-c c ； 当10< +-c c . 9.解：（1）由函数f （x ）的图像开口向上，对称轴x ＝－b/2a<－1知，f （x ）在[－1，1]上为增函数，故f （1）＝a ＋b ＋c ＝2，f （－1）＝a －b ＋c ＝－4，∴b ＝3，a ＋c ＝－1。又 b>2a ，故a ＝1，c ＝－2。∴f （x ）＝x 2 ＋3x －2，最小值为－17/4。 （2）令x ＝1，代入不等式4x ≤f （x ）≤2（x 2 ＋1）得f （1）＝4，即a ＋b ＋c ＝4，从而b ＝4－a －c 。又4x ≤f （x ）恒成立，得ax 2＋（b －4）x ＋c ≥0恒成立，故△＝（b －4）2－ 4ac ≤0，∴a ＝c 。又b ≥0，a ＋c ≤4，∴c ＝1或c ＝2。当c ＝2时，f （x ）＝2x 2 ＋2，此时不存在满足题意的x 0。当c ＝1时满足条件，故c ＝1。 10.解：（1） ∵ [][]取得极大值，时，当上单调递减， ，上单调递增，在 ，在)(12110)(x f x x f =∴∴ 0|)2124,0)(12 3 / =+-==x ax x x x f 即（，∴4=a ， （2）设 点A （x )),(,21)())(,0000x f x B x x f x f -=（的对称点的坐标为 上的任一点，它关于是 ∵的图象的一条对称轴。 是)(1)()2(00x f y x x f x f ==∴=- 由个不同的的图象恰有与2144)(1)(2342-+-=-=x x x x f bx x g 交点对应于方程 个不同的实根，恰有214412 342 -+-=-x x x bx 即 04000442 2 3 4=≠===∴=-+-b x b x x bx x x x 时方程有等根得，当时是一个根，当∴b=4或b=0为所求. 11.解：(1)取x=1,q=2,有 的一个根，是即0)(10)1()2()1(2 =∴==x f f f f 若存在另一个实根10≠x ，使得 , 0)()(),0(),0((0)(0101111==≠=+∞∈≠x qf x f q x x x x x f q 有成立，且对任意的10)(,0)0)(10==∴≡∴=x x f x f x f 有且只有一个实根与条件矛盾，（恒成立， （2）2 1,,1q q b c b a c b a ==>>>不妨设 ， ，则q 1 >0，20q >∴)()()()()(2 212 1 b f q q b f b f c f a f q q ?=?=?，又a+c=2b, ∴ac-b 2 =2 ()04 a c -- < 即ac 2 1 21221,02,12q q q q b b q q q q ++??∴<∴<+<∴≤< ??? )()()(2b f c f a f <∴ (3) .0)(),1(;0)()1,0(),0()(,0)1(>+∞∈<∈+∞=x f x x f x x f f 时，当时单调递增，当在 又).()(,0),()(),()(,)()(n f m f n m n f m f n f m f n f m f -=∴>>-==∴= 令m=b 1q ,n=2 q b ,b ,1≠且q 021≠q 则f(m)+f(n)=(q )21q +f(b)=f(mn)=0,22)(,10.12 ?? ? ??+=<<<=∴n m f m f m n mn 且 ??? ???????? ??+=∴+==>+>22)(),2 ( 2)(,12 ,1n m f m f n m f m f mn n m m 2 2??? ??+=∴n m m 即4m=,222n mn m ++2224n m m =--∴,由0 <<∴m 12.解：(Ⅰ)∵c bx ax x x f +++=23)(在y 轴上的截距是2，∴f(0)=2,∴c=2. 1分 又)(x f 在),2(),1,(+∞--∞上单调递增，（－1，2）上单调递减， 023)(2=++='∴b ax x x f 有两个根为－1，2， 3 2 231233()6222 6 123a a f x x x x b b ? -+=-? ?=-??∴∴∴=- -+? ??? =--?=??? ，…………5分 (Ⅱ)2'()3363(1)(2)f x x x x x =--=+- ， )2)(ln()1(1)(≠->++-+=∴x m x m x m x x h 且 ，………………6分 m x x m x m x h +-=++- ='∴1 11)( ，……………………………………… 7分 当m ≤－2时，－m ≥2，定义域：),(+∞-m ， 0)(>'x h 恒成立，),()(+∞-m x h 在上单增； ……………………… 8分 当12-≤<-m 时，12≥->m ，定义域：),2()2,(+∞- m 0)(>'x h 恒成立，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增……………………… 9分 当m >－1时，－m <1，定义域：),2()2,(+∞- m 由0)(>'x h 得x >1，由0)(<'x h 得x <1. 故在（1，2），（2，+∞）上单增；在)1,(m -上单减. ………………11分 综上所述，当m ≤－2时，h(x)在（－m,+∞）上单增； 当12-≤<-m 时, ),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增； 当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m ，1）单减.…12分 13.解：(1) ①当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(0) 及， ②当01a <<时，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞及(0,)+∞， ③当1a >时，函数()f x 的单调递增区间为(,-∞ 及)+∞． （6分） (2) 由题设及(1) = 1a >，解得3a =， （9分） 因此函数解析式为()3 f x x = (0)x ≠． （10分） (3) （理）假设存在经过原点的直线l 为曲线C 的对称轴，显然x 、y 轴不是曲线C 的对称轴，故可设l ：y kx =（0k ≠）， 设(,)P p q 为曲线C 上的任意一点，(,)P p q '''与(,)P p q 关于直线l 对称，且 p p '≠，q q '≠，则P '也在曲线C 上，由此得 2 2 q q p p k ''++=， 1q q p p k '-=- ' -， 且 q p = + ，q p ''= + ' ， （14分） 整理得1 k k - = k =或3 k =- ， 所以存在直线y =及3 y =-为曲线C 的对称轴． （16分） （文）该函数的定义域(,0)(0,)D =-∞+∞ ，曲线C 的对称中心为(0,0)， 因为对任意x D ∈，()()f x f x a x a x -=- + =-=--? ? ， 所以该函数为奇函数，曲线C 为中心对称图形． 14.解：(Ⅰ) 14()log ,()log 22 a a f x e g x e x x t ''= = +- ………………………3分 ∵函数()f x 和()g x 的图象在2x =处的切线互相平行 (2)(2)f g ''∴= …………………………………………………5分 1 4 log log 22 a a e e t ∴ =+ 6t ∴= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）6t = ()()()F x g x f x ∴=-2log (24)log a a x x =+－ []2 (24) log ,1,4a x x x +=∈ …………………………………………7分 令[]2 (24) 16()416,1,4x h x x x x x += =+ +∈ []2 2 164(2)(2) ()4,1,4x x h x x x x -+'=- = ∈ ∴当12x ≤<时，()0h x '<,当24x <≤时，()0h x '>. ∴)(x h 在[)1,2是单调减函数，在(]2,4是单调增函数. …………………………9分 min ()(2)32h x h ∴==，()(1)(4)36max h x h h ∴=== ∴当10<a 时，有m in ()log 32a F x =. ∵当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立, ∴m in ()2F x ≥ …………………………11分 ∴满足条件的a 的值满足下列不等式组 01,log 362;a a < ≥?①，或1, log 32 2.a a >??≥? ② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1a <≤ 综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1a <≤. 15. 解 ：（1） 在()()f m n f m f n ?=+中令1m n ==，得 ( 1 )f =； …………………2分 设120x x >>，则 12 1x x >，从而有12 ()0x f x < 所以，1112222 2 ()()()( )()x x f x f x f x f f x x x =?=+< 所 以 ， () f x 在R + 上单调递 减 …………………5分 （2） 2 2 ()()()0(1)f x y f x y f x y f ++-=->=， 由（1）知，()f x 在R +上单调递减， ∴220 01x y x y x y ?+>? ->??- ， …………………7分 故集合A 中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分； 而(2)0(1)f ax y f -+==，所以，10ax y -+=， ………… 故集合B 中的点所表示的区域为一直线，如图所示， 由图可知，要A B ≠? ，只要1a <， ∴实数a 的取值范围是(,1)-∞ …………………10分 （3）由（1）知()f x 在R +上单调递减，∴当01x <<时，()0f x >，当1x >时，()0f x <， 0a b <<，而|()||()|f a f b =，1,1a b ∴<>，故()0,()0f a f b ><， 由 |()||()| f a f b =得，()(f a f b +=，所以， 1a + 1ab =， …………………12分 又12a b +>=，所以()(1)02 a b f f +<=， 又 2()2()22a b a b f b f f ??++??== ? ? ????? 由|()|2|()|2 a b f b f +=得，2224()2b a b a b =+=++，∴22 42b b a -=+， 又01a <<，所以2223a <+<，由 2 243b b <-<及1b > 解得，32b <<+ 16.解：（理）（I ）0.,0,0,42>∴≥?≤-=?b b b a 方程有实根与题设矛盾则若（3 分） （II ）设两整根为x 1,x 2，x 1>x 2 ??? ??=-=-=+, 1,,21 2121x x b x x a x x 411422-==-∴a b b a )1(4 1)(2 -= =-∴a b a f (5分) （III ）设m 042 2 a b b a < ?>- ]2 1,(2 .1+∈-?m m a 即021<+≤-m a f(m)=4 1)2 (4 2 2 2 2≤ + =+ +<++a m a am m b am m )1,2 1(2 .2++∈-?m m a f(m+1)=4 1)2 1(4 )1()2()1()1(2 2 2 2 ≤ + +=+ +++<++++a m a m a m b m a m .存在∴ (6分) （文）f(sinx)=c x b x a ++sin sin 2 左边对称轴在1,12-=∴-<-x a b ,4)1()(sin min -=-=∴f x f f(sinx)max =f(1)=2, ?? ?=++-=+-∴, 2, 4c b a c b a ? ?--==, 1, 3a c b 又b>2a>0,.2,1-==∴c a .23)(2-+=∴x x x f 4 17)(min - =x f (7分) (2))1.(4)1(,4)11(2)1(4),1(2)(42分=∴=+≤≤∴+≤≤f f x x f x )1).((4,4分即c a b c b a +-=-=++∴ .0)4(,4)(2 恒成立即又≥+-+≥c x b ax x x f ,04)(,04)4(2 ≤---≤--=?∴ac c a ac b 即 ) 1.(21.,2,024) 2.(,0)(* 2 分或又分==∴∈≤≥-=∴=∴≤-∴a a N a a a b c a c a .22)(,0,2,22 +=∴=∴==x x f b c a 时当 不存在 .22)(2 000+ 当a=1时，c=1,.12)(,22++=∴=∴x x x f b 此时存在x 0,使)2.(1).1(2)(2 00分故=+ 17.解：(I)证：令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0), 故f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)= ∴f(-x)=-f(x) ∴函数f(x)的奇函数 4’ （II ）设-1 因此 ∴函数f(x)在（-1，1）上是减函数 8’ （III ） 是（-1，1）上的减函数， 由 得x<0或x>2 9’ 当a=0时， ，原不等式的解集为{x|x>2} 10’ 当-1 故原不等式的解集为 12’ 当0 若x>2，则a(x-1)<1,x<1+ ∴ 故原不等式的解集为{x| } 18.解：(Ⅰ)设,0,1)1()()(2>+-+=-=a x b ax x x f x g 且 ∴由条件0)4(0)2(,4221><<< 22144 30 34160 124a b a b a b a -< <-? ???>-+<-+（4 分） ∴.8 122 144 3 > -< -a a a 得……（5 分）对可得 a b a 22 144 3 -< <- .83 22411a a b a - <- <- . 18 141141120-=? - >->- =∴a a b x ……（8分） （Ⅱ）由.0101)1()(21212 同号与即可知x x a x x x b ax x g >= =+-+= ,2,42,2012211=-∴<<<< .1)1(1244)1(4)()(2 2 2 122 122 12+-= +?=- -= -+=-∴b a a a b x x x x x x 由01240)2(<-+ 1231)1(2 2 < ?-<+-b b b 19.解：解法一：（1）令2,0==y x ，得：2 )]0([)0(f f =……………1分 1)0(0 )0(=∴>∴f f …………………………4分 （2）任取1x 、),(2+∞-∞∈x ，且21x x <. 设,3 1,3 12211 p x p x = = 则21p p < 21)]3 1([)]31([)31 ( )3 1()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=-…………………… 8分 )() ()(,1)3 1 (212 1x f x f x f p p f ∴<∴<> 在 R 上是单调增函数…… 9分 （3）由（1）（2）知 1)0()(=>f b f 1)(>b f b a b f b c b f a f )] ([)()(=? = b c b f b c b f c f )] ([)()(=?=………11分 b c a b c b a b f b f b f c f a f +>+=+∴ )] ([2)] ([)]([)()( 而)(2)] ([2)] ([2222 22 b f b f b f b b ac c a b b b c a =>∴==>++ )(2)()( b f c f a f >+∴ ……15分 解法二：（1）∵对任意x 、y∈R，有y x f xy f )]([)(= x f x f x f )]1([)1()(=?=∴………1分 ∴当0=x 时0)]1([)0(f f =……2分 ∵任意x ∈R， 0)(>x f …………3分 1)0(=∴f ……………………4分 （2）1)]3 1([)3 13()1(,1)3 1(3>=?=∴>f f f f …………………………6分 x f x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数 即)(x f 是R 上单调增函数；…… 9分 （3）c a c a f f f c f a f +>+=+)]1([2)]1([)]1([)()(……………………11分 而)(2)] 1([2)] 1([222222b f f f b b a c c a b c a =>∴==>++ )(2)()(b f c f a f >+∴ 20.解：（理）（1）.x 1a x 2ax a x 1x 2)x (f 2 2 2 ' +++= ++= ①若0=a 时，,00)(,0012)(' 2 ' ?>+= x x f x x x x f ∴)x (f 在+∞,0单调递增，在0,∞-单调递减，……………………………………1' ②若-1a 0 .0≤??? ?≤? ≤x f 对R x ∈恒成立. ∴)x (f 在R 上单调递减. …………………………………………………………6′
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