导数及其应用测试题（文科）
一、 选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π='(D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，
，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2
1
（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．29
4
e
Ｂ．22e
Ｃ．2
e
Ｄ．2
2
e
7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52
C ．2
D ．32
9．设2
:()e l n 21x p f x x x m x =++++
在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p
是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-< 4
二、填空题：（每题5分共25分）
11．.设P 为曲线C ：2
23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为
04π??
????
，，则点P 横坐标的取值范围为 12.已知函数2)(2
3
-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线
33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __.
13.直线a y =与函数x x x f 3)(3
-=的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是
________________
14 若函数f (x )＝ax 2－1
x
的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．
15 若x e x f =)(，则0
(12)(1)
lim
t f t f t
→--= ___________.
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本题满分12分)已知点??
? ??21,0x A 在曲线1
1
+=x y 上 （Ⅰ）求0x 的值；
（Ⅱ）求该曲线在点A 处的切线方程。
17.(本题满分12分)已知函数f (x )＝1
2x 2＋ln x .
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <2
3
x 3.
18. (本题满分12分)设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 19. （13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，
距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元 （Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；
（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？
20. （本小题满分13分）设函数()f x 是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x ∈
［－1，0）时，21
()2f x ax x
=+（a ∈R ).
（1）当x ∈(0，1］时，求()f x 的解析式；
（2）若a ＞－1，试判断()f x 在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a ，使得当x ∈（0，1）时，f (x )有最大值－6. 21. （本小题满分14分） 设函数1
()ln 1
x f x a x x -=+
+ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）讨论函数()f x 的单调性.
导数及其应用测试题答案
一、选择题
1．()∴==,42)(222x x x f ππ=?='x x f 242)(πx x f 28)(π=';C 2．∴=?=-.)(x x
e x e x x
f []
=?-?='21)(x x x e e x e x f ， ()[]
1,012<∴>?-x e e x x x 选(A) 3.(B)数形结合
4.A 由()
b x b x x f -=-='22333)(,依题意，首先要求b>0, 所以()()
b x b x x f -+='3)( 由单调性分析，b x =有极小值，由()1,0∈=b x 得.
5．解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A 6．（D ）7．（D ）8．（C ）9．（B ）
10．B 设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A 处的切线为AT 点B 处的切线为BQ ，
T
=
-)2()3(f f AB k f f =--2
3)
2()3( ,)3(BQ k f =' ,)2(AT k f =' 如图所示，切线BQ 的倾斜角小于
直线AB 的倾斜角小于 切线AT 的倾斜角 <∴BQ k 所以选B 二;填空题 略 三解答题： 16.（Ⅰ）因为 1 1 210+= x ， 所以x 0=1。 （Ⅱ）2 ) 1(1)'11( '+-=+=x x y ， 41 ) 11(1|'2 1-=+- ===x y k 。 曲线11+= x y 在点)2 1 ,1(处的切线方程为 )1(4 1 21--=-x y ， 即 034=-+y x 。 18．解：（1）2()663f x x ax b '=++， 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=?? ++=?， ． 解得3a =-，4b =． （2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++， 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01)x ∈， 时，()0f x '>； 当(1 2)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈， 时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以 2 98c c +<， 解得 1c <-或9c >， 19.解：（Ⅰ）设需要新建n 个桥墩，， 所以 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 令f ′（x ）=0，得，所以x=64， 当0＜x ＜64时，f ′（x ）＜0，f （x ）在区间（0，64）内为减函数； 当64＜x ＜640时，f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（64，640）内为增函数， 所以f （x ）在x=64处取得最小值， 此时，， 故需新建9个桥墩才能使y 最小。 20.（1）解：设x ∈(0，1］，则－x ∈［－1，0)，f (－x )=－2ax + 2 1x ， ∵f (x )是奇函数.∴f (x )=2ax － 21 x ，x ∈(0，1］. （2）证明：∵f ′(x )=2a +)1 (2233x a x +=， ∵a >－1，x ∈(0，1］，31x >1，∴a +31 x >0.即f ′(x )>0. ∴f (x )在（0，1］上是单调递增函数. （3）解：当a >－1时，f (x )在（0，1］上单调递增. f (x )max =f (1)=－6，?a =－ 2 5 (不合题意，舍之）， 当a ≤－1时，f ′(x )=0，x =31a -. 如下表：f max (x )=f (31a -)=－6，解出a =－22. x =22∈(0，1). 21.
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