考点三连接体问题
基础点
知识点1连接体
1．定义：多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆联系)在一起构成的物体系统称为连接体。连接体一般具有相同的运动情况(速度、加速度)。如下图所示：
2．处理连接体问题的方法：整体法与隔离法，要么先整体后隔离，要么先隔离后整体。
(1)整体法是指系统内(即连接体内)物体间无相对运动时(具有相同加速度)，可以把连接体内所有物体组成的系统作为整体考虑，分析其受力情况，对整体列方程求解的方法。
整体法可以求系统的加速度或外界对系统的作用力。
(2)隔离法是指当我们所研究的问题涉及多个物体组成的系统时，需要求连接体内各部分间的相互作用力，从研究方便出发，把某个物体从系统中隔离出来，作为研究对象，分析其受力情况，再列方程求解的方法。
隔离法适合求系统内各物体间的相互作用力或各个物体的加速度。
3．整体法、隔离法的选取原则
(1)整体法的选取原则
若连接体内各物体具有相同的加速度，且不需要求物体之间的作用力，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的合外力，应用牛顿第二定律求出加速度(或其他未知量)。
(2)隔离法的选取原则
若连接体内各物体的加速度不相同，或者要求出系统内各物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解。
(3)整体法、隔离法的交替运用
若连接体内各物体具有相同的加速度，且要求出物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二定律求作用力。即“先整
体求加速度，后隔离求内力”。
知识点2临界与极值
1．临界问题
物体由某种物理状态转变为另一种物理状态时，所要经历的一种特殊的转折状态，称为临界状态。这种从一种状态变成另一种状态的分界点就是临界点，此时的条件就是临界条件。
在应用牛顿运动定律解决动力学的问题中，当物体的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”“最小”“刚好”“恰好出现”或“恰好不出现”等词语时，常常会涉及临界问题。
2．产生临界(极值)问题的条件
(1)接触与脱离的临界(极值)条件：两物体相接触或脱离，临界(极值)条件是：弹力F N＝0。
(2)相对滑动的临界(极值)条件；两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界(极值)条件是：静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界(极值)条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界(极值)条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界(极值)条件是F T＝0。
(4)加速度最大与速度最大的临界(极值)条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度。当出现速度有最大值或最小值的临界(极值)条件时，物体处于临界(极值)状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值。
重难点
一、连接体问题
1．常见类型
(1)涉及滑轮类的问题
这类问题中一般都忽略绳、滑轮的重力和摩擦力，且滑轮的大小忽略不计。若要求绳的拉力，一般都必须采用隔离法。绳跨过定滑轮，连接的两物体虽然加速度大小相同但方向不同，可以先整体求a的大小，再隔离求F T。如图所示，可由整体法列方程为(m1－m2)g＝
(m1＋m2)a?a＝m1－m2g
m1＋m2，再隔离m1(或m2)求F T，有m1g－F T＝m1a?F T＝
2m1m2g
m1＋m2
(2)水平面上的连接体问题
①这类问题一般多是连接体(系统)中各物体保持相对静止，即具有相同的加速度。解题时，一般采用先整体、后隔离的方法。
②建立坐标系时也要考虑矢量正交分解越少越好的原则，或者正交分解力，或者正交分解加速度。
(3)斜面体与上面的物体类连接体问题
斜面体(或称为劈形物体、楔形物体)与在斜面体上物体组成的连接体(系统)的问题，一般为物体与斜面体的加速度不同，其中最多的是物体具有加速度，而斜面体静止的情况。解题时，可采用隔离法，但是相当麻烦，因涉及的力过多。如果问题不涉及物体与斜面体的相互作用，则采用整体法用牛顿第二定律求解。
2．解题思路
(1)分析所研究的问题适合应用整体法还是隔离法。
处理各物体加速度都相同的连接体问题时，整体法与隔离法往往交叉使用，一般思路是：
①求内力时，先用整体法求加速度，再用隔离法求物体间的作用力。
②求外力时，先用隔离法求加速度，再用整体法求整体受到外加的作用力。
(2)对整体或隔离体进行受力分析，应用牛顿第二定律确定整体或隔离体的加速度。
(3)结合运动学方程解答所求解的未知物理量。
3．必避误区
(1)对连接体进行受力分析时误认为力可以通过物体传递，如用水平力F推M及m一起前进(如图甲所示)，隔离m受力分析时误认为力F通过M作用到m上。
(2)不理解轻绳、轻弹簧与有质量的绳、弹簧的区别，如用水平力F通过质量为m的弹簧秤拉物体M在光滑水平面上加速运动时(如图乙所示)，往往误认为弹簧秤拉物体的力等于F，实际上此时弹簧秤拉物体M的力为T＝F－ma，也就是说只有在弹簧秤质量不计时两者才相等。
(3)不能正确建立坐标系，对加速度或力进行分解。
特别提醒
如图甲、乙所示的情景中，无论地面或斜面是否光滑，只要力F拉着物体m1、m2一起
加速，由整体及隔离法可证明：总有F内＝
m1
m1＋m2F，即动力的效果按与质量成正比的规律
分配。这个常见的结论叫动力分配原理。
二、临界(极值)类问题
1．问题说明
(1)在物体的运动状态发生变化的过程中，往往达到某一个特定状态时，有关的物理量将发生突变，此状态即为临界状态，相应的物理量的值为临界值。临界状态一般比较隐蔽，它在一定条件下才会出现。
(2)解决此类问题时，一般先以某个状态(非临界状态)为研究对象，进行受力和运动情况的分析，利用极限法对某一物理量推导极大或极小值，找到临界状态，再根据牛顿运动定
律分析求解。
2．常见类型及举例说明
(1)相互接触的两物体脱离的临界条件是相互作用的弹力为零，即N ＝0。
例如，图甲中，当斜面以多大加速度向右加速运动时，小球与斜面间的作用力为零？
分析：当小球随斜面加速运动，支持力减小，以获得水平合外力，当加速度足够大时，
小球与斜面间作用力为零时，如图乙所示，可得F 合＝mg tan θ，所以a ＝F 合m ＝g tan θ。
(2)绳子松弛的临界条件是绳中张力为零，即T ＝0。
例如，图丙中，当斜面以多大加速度向左运动时，绳对小球的拉力为零？
分析：当小球随斜面向左加速运动，则绳的拉力将减小，支持力增大，以获得水平向左加速度，加速度足够大时，小球可能沿斜面上移，绳的拉力为零，如图丁所示，可得F 合＝
mg tan θ，所以a ＝F 合m ＝g tan θ。
(3)存在静摩擦力的连接系统，相对静止与相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，即f 静＝f m 。
例如，图中水平面光滑，A、B质量相等为m，A、B间最大静摩擦力为f，则F为多少时，A、B发生相对运动。
分析：力F很小时，加速度小，A对B的摩擦力小，A、B一起运动。随着力F增大，
加速度a增大，A对B的摩擦力增大，最大静摩擦力是极限，此时a B＝f
m，A、B恰不发生
相对运动，a＝a B，则F＝2ma＝2f。
(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大(小)时，具有最大(小)加速度；当加速度与速度方向一致时，物体加速，当a＝0时，速度达最大；当加速度与速度方向相反时，物体减速，当a＝0时，速度达最小。
例如：自由下落的小球下落一段时间后与弹簧接触，从它开始接触弹簧到弹簧压缩到最短的过程中，加速度和速度的变化情况讨论如下：
①小球接触弹簧上端后受两个力作用：向下的重力和向上的弹力。在接触后的前一阶段，重力大于弹力，合力向下，因为弹力F＝kx不断增大，所以合力不断变小，故加速度也不断减小，由于加速度与速度同向，因此速度不断变大。
②当弹力逐渐增大到与重力大小相等时，合外力为零，加速度为零，速度达到最大。(注意：此位置是两个阶段的转折点)
③后一阶段，即小球达到上述平衡位置之后，由于惯性仍继续向下运动，弹力大于重力，合力向上，且逐渐变大，因而加速度逐渐变大，方向向上，小球做减速运动，因此速度逐
渐减小到零，到达最低点时，弹簧的压缩量最大。
特别提醒
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
(4)若题目要求“最终加速度”“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
3．解决临界(极值)问题的基本思路
(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)；
(2)寻找过程中变化的物理量；
(3)探索物理量的变化规律；
(4)确定临界(极值)状态，分析临界(极值)条件，找出临界(极值)关系。
特别提醒
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，挖掘隐含的条件是解题的关键，要特别注意可能出现的多种情况。
三、滑块——木板类问题
1．类型特征
上、下叠放两个物体，并且两物体在摩擦力的相互作用下发生相对滑动。
2．“滑块——木板类”问题的分析思路
3．滑块与滑板类问题的解法说明
(1)判断滑块与滑板间是否存在相对滑动是思考问题的着眼点，方法有整体法、隔离法、假设法等。即先假设滑块与滑板相对静止，然后根据牛顿第二定律求出滑块与滑板之间的摩擦力，再分析滑块与滑板之间的摩擦力是不是大于最大静摩擦力。
(2)滑块与滑板存在相对滑动的临界条件
①运动学条件：若两物体速度或加速度不等，则会相对滑动。
②力学条件：一般情况下，假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算出滑块“所需要”的摩擦力F f，比较F f与最大静摩擦力F fm的关系，若F f>F fm，则发生相对滑动。
③滑块滑离滑板的临界条件
当滑板的长度一定时，滑块可能从滑板滑下，恰好滑到滑板的边缘达到共同速度是滑块滑离滑板的临界条件。
特别提醒
此类问题涉及两个物体、多个运动过程，并且物体间还存在相对运动，所以应准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变)，找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口。求解中应注意联系两个过程的纽带，每一个过程的末速度是下一个过程的初速度。
1．思维辨析
(1)整体法和隔离法是指选取研究对象的方法。()
(2)只有相对静止的物体才可以看成一个整体系统。()
(3)“恰好出现”与“恰好不出现”指物体的所处状态相同。()
(4)整体法与隔离法可以相互代替，只是繁简不同。()
(5)子弹打木块的相关问题可以归结为滑块滑板类问题。()
(6)连接体问题包含滑块—滑板类问题。()
(7)临界问题往往出现在连接体问题中。()
(8)连接体问题、临界问题、滑块—滑板类问题都独立于牛顿运动定律问题。()
答案(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√(7)√(8)×
2．如图所示，a、b两物体的质量分别为m1和m2，由轻质弹簧相连。当用恒力F竖直向上拉着a，使a、b一起向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x1，加速度大小为a1；当用大小仍为F的恒力沿水平方向拉着a，使a、b一起沿光滑水平桌面做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x2，加速度大小为a2。则有()
A．a1＝a2，x1＝x2B．a1＜a2，x1＝x2
C．a1＝a2，x1＞x2D．a1＜a2，x1＞x2
答案B
解析对a、b物体及弹簧整体分析，有：
a1＝F－m1＋m2g
m1＋m2＝
F
m1＋m2－g，a2＝
F
m1＋m2，
可知a1＜a2，
再隔离b分析，有：
F1－m2g＝m2a1，解得：F1＝
m2F
m1＋m2，
F2＝m2a2＝
m2F
m1＋m2，
可知F1＝F2，再由胡克定律知，x1＝x2。
所以B选项正确。
3．(多选)如图所示，光滑的水平地面上有三块木块a、b、c，质量均为m，a、c之间用轻质细绳连接。现用一水平恒力F作用在b上，三者开始一起做匀加速运动，运动过程中把一块橡皮泥粘在某一木块上面。系统仍加速运动，且始终没有相对滑动。则在粘上橡皮泥并达到稳定后，下列说法正确的是( )
A．无论粘在哪块木块上面，系统的加速度一定减小
B．若粘在a木块上面，绳的张力减小，a、b间摩擦力不变
C．若粘在b木块上面，绳的张力和a、b间摩擦力一定都减小
D．若粘在c木块上面，绳的张力和a、b间摩擦力一定都增大
答案ACD
解析无论粘在哪块木块上面，系统质量增大，水平恒力F不变，对整体由牛顿第二定律得系统的加速度一定减小，选项A正确；若粘在a木块上面，对c有F T c＝ma，a减小，故绳的张力减小，对b有F－F f＝ma，故a、b间摩擦力增大，选项B错误；若粘在b木块上面，对c有F T c＝ma，对a、c整体有F f＝2ma，故绳的张力和a、b间摩擦力一定都减小，选项C正确；若粘在c木块上面，对b有F－F f＝ma，则F f＝F－ma，a减小，F f增大，对a 有F f－F T c＝ma，则F T c＝F f－ma，F f增大，a减小，F T c增大，选项D正确。
[考法综述]本考点内容在高考中有非常重要的地位，既可能单独命题又可能和功和能、电和磁等其它知识交汇命题，既可能以选择题的形式，又可能以计算题的形式考查，难度系数均不小，应在中等及以上水平，因此复习本考点知识时要重在理解和掌握运用上。应掌握：
3类问题——连接体问题、临界(极值)类问题、滑块滑板类问题
5种方法——整体法、隔离法、极限法、假设法、数学法
1种思想——转换研究对象的思想
命题法1 加速度相同的连接体问题
典例1 如图所示，一夹子夹住木块，在力F 作用下向上提升。夹子和木块的质量分别为m 、M ，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f 。若木块不滑动，力F 的最大值是( )
A.2f m ＋M M
B.2f m ＋M m
C.2f m ＋M M
－(m ＋M )g D.2f m ＋M m
＋(m ＋M )g [答案] A
[解析] 当夹子连同木块一起向上做匀加速运动，且恰好不相对滑动时，力F 最大，此时夹子与木块间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
解法一：对木块M ，利用牛顿第二定律得
2f －Mg ＝Ma ①
同理，对夹子和木块整体，有
F －(M ＋m )g ＝(M ＋m )a ②
联立①②解得F ＝2f m ＋M M
，A 正确。 解法二：利用动力分配原理
如图所示，当F 拉着物体m 1、m 2向上加速时，内部绳的拉力F 内＝m 1m 1＋m 2
F ，对本题模型有
2f ＝M M ＋m
F ，即F ＝2f m ＋M M ，A 正确。 【解题法】 加速度相同的连接体处理思路
物体系的动力学问题涉及多个物体的运动，各物体既相互独立，又通过内力相互联系。处理各物体加速度都相同的连接体问题时，整体法与隔离法往往交叉使用，一般思路是：
(1)求内力时，先用整体法求加速度，再用隔离法求物体间的作用力。
(2)求外力时，先用隔离法求加速度，再用整体法求整体受到的外加作用力。
命题法2 加速度不同的连接体问题
典例2 如图所示，质量为M 的木板可沿倾角为θ的光滑斜面下滑，木板上站着一质量为m 的人，求：
(1)为了保持木板与斜面相对静止，人运动的加速度是多少？
(2)为了保持人与斜面相对静止，木板运动的加速度是多少？
[答案] (1)M ＋m m g sin θ，方向沿斜面向下
(2)M ＋m M g sin θ，方向沿斜面向下
[解析] (1)为了使木板与斜面保持相对静止，必须满足木板在斜面上的合力为零，所以
人施于木板的摩擦力f应沿斜面向上，故人应加速向下跑。现分别对木板和人应用牛顿第二定律。
对木板进行受力分析，如图甲所示
沿斜面方向有：Mg sinθ－f1＝0
对人进行受力分析，如图乙所示
mg sinθ＋f1′＝ma人(a人为人相对斜面的加速度)f1＝f1′
解得a人＝M＋m
m g sinθ，方向沿斜面向下。
(2)为了使人与斜面保持相对静止，必须满足人在木板上所受合力为零，所以木板施于人的摩擦力应沿斜面向上，故人相对木板向上跑，木板相对斜面向下滑，但人相对斜面静止不动。设木板相对斜面的加速度为a木，现分别对木板和人进行受力分析如图丙、丁，则：
对木板：Mg sinθ＋f2′＝Ma木
对人：mg sinθ＝f2
f2＝f2′
解得a木＝M＋m
M g sinθ，方向沿斜面向下，即人相对木板向上加速跑动，而木板沿斜面
向下滑动，此时人相对斜面静止不动。
【解题法】加速度不同的连接体问题处理方法
(1)若系统内各个物体的加速度不同，一般应采用隔离法。以各个物体分别作为研究对象，对每个研究对象进行受力和运动情况分析，分别应用牛顿第二定律建立方程，并注意应用各个物体的相互作用关系，联立求解。
(2)对某些加速度不同的连接体问题，也可以运用“类整体法”列方程求解
设系统内有几个物体，这几个物体的质量分别为m1、m2、m3、…，加速度分别为a1、a2、a3、…，这个系统的合外力为F合，则这个系统的牛顿第二定律的表达式为F合＝m1a1＋m2a2＋m3a3＋…，其正交分解表达式为
F x合＝m1a1x＋m2a2x＋m3a3x＋…
F y合＝m1a1y＋m2a2y＋m3a3y＋…
命题法3临界(极值)类问题
典例3如图所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m。已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数
μ＝
3
3。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。
(2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
[答案](1)3 m/s28 m/s(2)30°133
5N
[解析](1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得
L＝v0t＋1
2at2①
v＝v0＋at②
联立①②式，代入数据得
a＝3 m/s2③
v＝8 m/s④
(2)设物块所受支持力为F N，所受摩擦力为F f，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得
F cosα－mg sinθ－F f＝ma⑤
F sinα＋F N－mg cosθ＝0⑥
又F f＝μF N⑦
联立⑤⑥⑦式得
F＝mg sinθ＋μcosθ＋ma
cosα＋μsinα⑧
由数学知识得
cosα＋
3
3sinα＝
23
3sin(60°＋α)⑨
由⑧⑨式可知对应F最小时与斜面间的夹角α＝30°⑩
联立③⑧⑩式，代入数据得F的最小值为
F min＝133
5N
【解题法】求解临界极值问题的三种常用方法
(1)极限法：当题中出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，意味有临界现象。此时，可用极限法(把物理过程或问题推向极端，从而使临界状态暴露)判定，以达到正确解决问题的目的。
(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题。
(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件。
命题法4滑块—滑板类问题
典例4如图所示，质量为M＝4.0 kg的长木板B静止在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m＝1.0 kg的小滑块A(可视为质点)。初始时刻，A、B分别以大小为v0＝2.0 m/s 的速度向左、向右运动，最后A恰好没有滑离B板。已知A、B之间的动摩擦因数μ＝0.40，取g＝10 m/s2。求：
(1)发生相对运动时A、B的加速度a A、a B的大小和方向；
(2)A相对于地面的速度为零时，B相对于地面的位移x；
(3)木板B的长度l。
[答案](1)a A＝4.0 m/s2，方向水平向右a B＝1.0 m/s2，方向水平向左(2)0.875 m (3)1.6 m
[解析](1)滑块A受到水平向右的摩擦力作用，木板B受到水平向左的摩擦力作用，且摩擦力的大小均为μmg，则根据牛顿第二定律，对滑块A有μmg＝ma A
解得a A＝μg＝4.0 m/s2，方向水平向右。
对木板B有μmg＝Ma B
解得a B＝μmg/M＝1.0 m/s2，方向水平向左。
(2)开始阶段A相对于地面向左做匀减速运动，设速度减小到零所用的时间为t1，则有v0＝a A t1
解得t1＝v0/a A＝0.50 s
此时B相对于地面向右做匀减速运动的位移为
x＝v0t1－1
2a B t21＝0.875 m
(3)A向左匀减速到速度为零后，开始向右做匀加速运动，加速度大小仍为a A＝4.0 m/s2 B仍向右做匀减速运动，加速度大小仍为
a B＝1.0 m/s2；
当A、B的速度相等时，A滑到B的最左端，恰好不滑出木板。
故木板B的长度等于全过程中A、B间的相对位移。
在A相对于地面的速度为零时，B的速度为
v B＝v0－a B t1＝1.5 m/s
设由A的速度为零至A、B的速度相等所用的时间为t2，则有
a A t2＝v B－a B t2
解得t2＝v B/(a A＋a B)＝0.3 s
A、B的共同速度v＝a A t2＝1.2 m/s
A向左运动的位移大小为
x A＝(v0－v)(t1＋t2)/2＝(2－1.2)(0.5＋0.3)/2 m＝0.32 m
B向右运动的位移大小为
x B＝(v0＋v)(t1＋t2)/2＝(2＋1.2)(0.5＋0.3)/2 m＝1.28 m
故木板B的长度为l＝x A＋x B＝1.6 m。
【解题法】“滑块—木板模型”的分析技巧
(1)分析滑块和木板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度。
(2)对滑块和木板进行运动情况分析，找出滑块和木板之间的位移关系或速度关系，建立方程。特别注意滑块和木板的位移都是相对地面的位移。
(3)滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；反向运动时，位移之和等于板长。