一、内容提要
1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.
2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠).
① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c 2=a 2+b 2
. ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt ∠ ③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）
SinA=
c a ， CosA=c b , tanA=b a , CotA=a
b
. ④ 互余的两个角的三角函数的关系：
Sin(90
－A)= CosA ， Cos(90
－A)= SinA ， tan(90
－A)= CotA, Cot(90
－A)= tanA. ⑤ 特殊角的三角函数值：
锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.
3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)
① 正弦定理：
SinC
c
SinB b SinA a =
==2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理： c 2
=a 2
+b 2
－2abCosC ； b 2
=c 2
+a 2
－2ca CosB ； a 2
=c 2
+b 2
－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系：
Sin(180
－A)= sinA ， Cos(180
－A)= － cosA ， tan(180
－A)=－cotA ， cotA(180
－A)=－tanA. ④ S △ABC ＝
21absinC=21bcsinA=2
1
casinB. 4. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，
方位角等. 二、例题
例1. 已知：四边形ABCD 中，∠A ＝60
，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1.
求：AC 的长.
解：延长AD 和BC 相交于E ，则∠E ＝30 .
在Rt △ECD 中，∵sinE=CE
CD
, ∴CE=
30
sin 1=1÷21
＝2. EB ＝4. 在Rt △EAB 中， ∵tanE=EB
AB
,
∴AB=EBtan30。
=3
3
4.
根据勾股定理AC ＝223
342）＋（
＝2132
. 又解：连结BD ，设AB 为x ，AD 为y.
根据勾股定理 AC 2＝x 2+22=y 2+12
.
根据余弦定理BD 2
＝x 2
+y 2
－2xyCos60 =22
＋12
－2×2×1Cos120 .
得方程组 ?????=+-+=+-.
07032222xy y x y x ，
解这个方程组， 得 x=
3
3
4. (以下同上一解) 例2. 已知：如图，要测量山AB 的高，在和B 同一直线上的C ，D 处,分别测得对A 的仰
角的度数为n 和m ，CD=a. 试写出表示AB 的算式. 解：设AB 为x ，BD 为y.
在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，
??
?=+=.cot cot n x a y m x y ，
xCotm=xCotn －a .
∴ x=
Cotm
Cotn a
-.
答：山高AB ＝Cotm
Cotn a
-.
例3. 已知：四边形ABCD 中，∠ABC ＝135 ，∠BCD ＝120
，CD ＝6，AB ＝6，
BC ＝5－3.
求：AD 的长. （1991年全国初中数学联赛题）
B
解：作AE ∥BC 交CD 于E ， BF ⊥AE 于F ， CG ⊥AE 于G..
在Rt △ABF 中，
BF ＝6Sin45 =3, AF ＝BF ＝3
在Rt △CGE 中， GE ＝CGtan30 =3×
3
3
＝1, ∴CE ＝2， ED ＝4.
∴AE=3+5－3+1=6， ∠AED ＝120 . 在△AED 中，根据余弦定理，得 AD 2
＝62
＋42
－2×6×4Cos120 =76.
∴AD ＝219.
例4. 如图，要测量河对岸C ，D 两个目标之间的距离，在A ，B 两个测站，测得平面角∠CAB ＝30 ，∠CAD ＝45 ，∠DBC ＝75 ，∠DBA ＝45 ，AB ＝3. 试求C ，D 的距离.
解：在△ABC 中，
∵∠ACB ＝∠CAB ＝30 ，
∴BC ＝AB ＝3, ∴AC ＝23cos30 =3. 在△ABD 中，∠ADB ＝60 由正弦定理，
45sin AD ＝
60
sin AB
， AD ＝
60
sin AB ×sin45
=3÷23×22＝2. 在△ACD 中，由余弦定理，得
CD 2
＝32
＋（2）2
－2×3×2Cos45
=5
∴CD ＝5.
例5. 已知：O 是凸五边形ABCDE 内的一点且
∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8. 求证：∠9和∠10相等或互补
(1985年全国初中数学联赛题)
证明：根据正弦定理，得
5
sin 4sin 3sin 2sin 1sin 10sin OA OD
OC OC OB OB =
==== =9
sin 8sin 7sin 6sin OA OE OE OD =
==. ∴sin10=sin9
∴∠9和∠10相等或互补. 例6. 已知：二次方程mx 2
－(m －2)x+
4
1
(m －1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.
求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比. 解：作Rt △ABC 斜边上的高CD.
则sinA=AC CD , sinB=BC
CD
.
∵sinA 和 sinB 是方程的两根，
根据韦达定理，得
sinA+ sinB=m m 2
-； (1)
sinA sinB=m
m 41
- . (2)
即AC CD BC CD =m
m 41-. （3） (1)2－2(2)得： (sinA)2+(sinB)2
=(m m 2-)2－m
m 21-.
∵sinB=cosA, 且 (sinA)2
+( cosA)2
=1， ∴(
m m 2-)2－m
m 21
-=1， m 2
+7m －8=0, ∴m=1， m=－8.
由（3）AC CD BC CD
＝AB CD ABCD CD 2
＝＝m
m 41-.
∴
CD AB ＝1
4-m m . 当 m=1 时，没有意义； 当m=-8时，
CD AB =9
32
. 即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9.
三、练习 1. 填空：
① 如果从点A 对着点B 测得仰角是60
，那么从点B 对着点A 测得的俯角是＿＿度.
② 点C 在点D 的南偏东25
，那么点D 在C 的方向是＿＿＿＿＿＿.
③ 斜坡AB 的坡角是30 ，那么AB 的坡度i=1∶＿＿＿. ④ 锐角A ＞45 ，那么下列函数的取值范围是：
SinA_____， CosA_____， tanA_______，cotA________. ⑤ 已知：30 ＜∠A ＜60 ，那么如下的函数的取值范围是
∠A 的余弦＿＿＿＿＿＿＿＿，∠A 的正切＿＿＿＿＿＿＿.
2. 已知：△ABC 中，∠B ＝45 ，AC ＝7，点D 在BC 上，CD ＝3， D ＝5.
求AB 的长.
3. 如图观测塔AB 的高为a 米，从塔顶A 测得地面上 同一方向上的两个目标C ，D 的俯角分别是30 和45 ，
求CD 的距离.
4. 船A 在船B 的正北，它们同时向东航行，时速分别是15和20海里，3小时后，船B 在船A 的东南，问这时两船相距多远？
5. 一只船向南航行，出发前在灯塔A 的北偏东30 ，相距15海里，2小时后，灯塔在船的北偏西60 ，求船的航行速度.
6. 如图要测量建筑物AB 的高，先在楼下C 测得对顶端A 的 仰角为45
，然后在楼上D 测得对A 的仰角为30
，已知 楼高CD=m 米，求AB.
7. 已知：△ABC 中，a=21, b=17, c=10. 求：S △ABC .
8. 已知：△ABC 中，SinA ∶ SinB ∶SinC=3∶5∶7.
求：△ABC 的最大角的度数.
9. 船B 在艇A 的方位角120 ，相距24海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角240 的方向前进，速度是每小时9海里. A 艇以最快的时速21海里赶去营救，问应沿什么方向，
要经过几小时才能靠近船B ？ 10. 已知：锐角三角形ABC 的外接圆直径AE 交BC 于D. 求证：tanB ×tanC=AD ∶DE
提示：作BC 边的高AF(h)并延长交圆于G,连结GE
11. 已知：△ABC 中，∠A=45
，AB=6，BC=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？如不
能，说明理由；如能请解这个三角形.
(1981年福建省初中数学联赛题)
12. 如图已知：ABCD 为圆内接四边形，过AB 上一点M 引MP ，MQ ，MR 分别垂直于BC ，CD ，AD ，连结PR 和MQ 交于N.
j
30
45
A B
D
A B
C
E
D A B C F G
求证：
MA
BM
NR PN =
. (1983年福建省初中数学联赛题)
13. 如图已知：锐角△ABC 中，AC=1，AB=c ，△ABC 的外接圆半径R ≤1.
求证： Cos 练习题参考答案 1①60 ②北偏西25 ③3 ④大于 221；小于22 1；大于1；小于1 ⑤ 21 3 3 2 6 5. 3. CD=(3-1)a 4. 152 5. 53 6. 2 )33(m + 7. 用公式S △=))()(-S(S c S b S a --，其中S= 2 c b a ++或先求最大边的高为8， S △= 2 1 ×21×8=84 . 8. 由正弦定理得a ∶b ∶c=3∶5∶7 ，CosC=- 2 1 ,∠C=120度 9. 应沿方位角141度48分的方向， 1小时可到达 10. 左边= =?=?=FG h h FC BF h FC h BF h 2 2… 11.可由余弦定理求AC=3+1，∠C=120或60度…… 或AC=3-1，∠B=15或75度…… 4. 由正弦定理PN=① MA MR MNP S MP in ， NR=② MB MP MNP S MR in ，①÷②即可 5. 由正弦定理1<2R 2B S 1≤=in ， 2 1 ≤SinB<1 ， 30 ≤B<90 0 3， 由余弦定理1-a 2-c 2+3ac ≥0①，a 2+c 2 -1>0②……
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