多尺度法初识和应用
摘要：简要介绍多重尺度发的中心思想，另外，举例说明多重尺度法在求解方程中的应用。
非线性问题的研究
非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。历史上曾有过一些解非 线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。 因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个 领域。本世纪六十年代以来，情况发生了变化。人们几乎同时从非线性系统的 两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非 线性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现了“孤子”，发 展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性 方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领 域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着 对初值极为敏感的复杂运动。促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和 广泛应用。科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处 理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。
线性与非线性的意义
“线性”与“非线性”是两个数学名词。所谓“线性”是指两个量之间所存在 的正比关系。若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。由线性函数关系描述的系 统叫线性系统。在线性系统中，部分之和等于整体。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。这是线性系统最本质的特征之一。
“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲线。 最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。简单地说，一切不是一次的函 数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性函数关系 描述的系统称为非线性系统。
多尺度法的基本思想
多尺度法首先是由Sturrock(1957) 、Cole(1963) 、 Nayfeh(1965)等提
出的,此后得到进一步的发展。 上面介绍该法的基本思想与方法。我们考虑形式为 的方程所控制的系统，设方程的解为
将原点移至中心位置
是合适的。于是有 ()0=+q f q
+++=+=22100x x q x q q εε0q q =
此时第一式可写成 假设 f 可以展为泰勒级数，则上式可写为
其中
而 f (n ) 表示关于自变量的 n 阶导数，对于中心，
，而
我们可以把方程的解看成是多个自变量的函数，而不是一个自变量的函数。
也就是们可以把x 看成是 t 和 , …, 的函数。多尺度法的基本思想是，将表
示响应的展开式考虑成为多个自变量(或多个尺度)的函数。
即
因此关于t 的导数变成了关于的偏导数的展开式，即
然后代入方程进行求解，求出
。这时，方程的 解可写成： 然后按照小参数法 ( 摄动法 ) 建立ε 的 各阶方程， 进而 求出
多重尺度法的应用
一、求解自治系统
例1.4.1 求Duffing 方程（1.1.4）
0q
q x -=()00
=++q x f x
∑==+N n n n
x a x
1
0 ()
()
01q f
n a n n ！
=()00=q f ()()0
>q f
n t ε()
,2,1,0==n t T n
n ε t T t T t T 2
210εε===
++=++=101100D D d d d d d d ε????T t T T t T t ()
++++=202
12102022D 2D D D D 2D d d εεt ,,,321x x x ,,,321x x x
30(1)x x x εω??
+=-=
自由振动的二次近似解（用多尺度法）
解：
求二次近似解可选三个变量，设
2
001210122012(,,)(,,)(,,)x x T T T x T T T x T T T εε=++
代入原方程，并用到式（1.4.3），可得到下列方程组
20
02
0x x T ?+=? （1.4.4a ）
223
110
2001
2x x x T T T ??+=--??? (1.4.4b)
22223
2220122
001021
223x x x x x T T T T T T ????+=----?????? (1.4.4c)
设式（1.4.4a ）的解为
01200(,)exp()exp()x A T T iT A iT =+-
其中A 是未知复函数，
A 是A 的共轭。用复数形式表示是为了运算方便。把 0x 代入式（1.4.4b ）
223
110020123exp()exp(3)x A x i A A iT A i T cc T T ????+=-+-+ ?????
其中cc 表示前面各项的共轭。为使x1,不出现永年项，必须
21
230A
i A A T ?+=? （1.4.4d ）
又求得
3
101exp(3)8
x A i T cc =+ 把
01
,x x 代入（1.4.4c ）,并利用条件（1.4.4d ），有
23245
2200
020*******exp()exp(3)exp(5)888x A x i A A iT A A i T A iT cc T T ????+=----+ ?????
消除永年项
32215208A i A A T ?-=? （1.4.4e ）
解
2
x 为
45
200211exp(3)exp(5)6464x A A i T A iT cc =-
-+
利用式（1.4.4d ）,（1.4.4e ）求A （T1,T2）如下： 由（1.4.4d ）
213
2
A iA A T ?=? 由（1.4.4c ）
2321516
A iA A T ?=-? 利用式（1.4.3a ）并注意到00
A
T ?=?，就得到
223315
216
dA iA A iA A dt =- 令1
exp()2A a i ?=
，其中
,a ?是t 的实函数，将之代入上式，实、虚部展开，有
0a ?
=
224
3
158
256a a ?εε?
=-
积分得
0a a =
22403158256a a t ?εε???
=-
+ ???
00,a ?为积分常数，所以
224001315exp ()28256A a i a a t i εε???
=-+??
??
于是，原方程二阶近似解为
3
22500001211cos (1)cos3cos532321024
x a a a a ψεεψεψ=+
-+ 其中
224
315(1)8256a a t ψεε?=+-+
二、无限传输方程的近似解
（一） 稳定性分析
对于系统
()()()()(())x t x t x t x t f x t αταβτε--++-= （2.1.1）
对于方程（2.1.1）的根0x , 如果对0x 的任一邻域U,存在0x 的一个属于U 的邻域
1U ，使系统（2.1.1）的解()x t ，若有01x U ∈,则对一切0t >，有()x t U ∈，就
称0x 是稳定的，否则就称为不稳定的。如果0x 稳定，并且有0
()lim t x t x
→+∞
=，就
称0x 是渐近稳定的。
定义：若（2.1.1）的零解对τ+?∈?都是渐近稳定的。则称（2.1.1）为全时滞稳定的。或叫无条件稳定或绝对稳定。 可求(2.1)的特征方程：
将t
x ce λ=代人到方程（2.1.1）中则有，
()t x
t c e λλ= ()()t x t ce λττ--= ()()t x t c e λττλ--= 所以有：
()()
0t t t c e c e ce λλτλτλαλαβ---+=
即有： 0e
e λτ
λτλαλαβ---+= （2.1.2）
1
e e λτ
λτ
αβλα---=- 若0τ
=时，则1
αβλα-=-为其特征根。
如果其特征根位于左半平面，而当
τ
由0增至+∞时，不越过虚轴，则系统
（2.1.2）的更全具有负实部，这样系统（2.1）的零解为全时滞稳定的。因此，
要使（2.1.1）为全时滞稳定，首先要使（2.1.2）的根具有负实部。 只有当(2.1.1)的特征根为纯虚数时，方程的解才有近似周期解。 用i λ
ω=代人（2.1.1）中，有
0i i i ie e ωτ
ωτωεωαβ---+=
即 (cos sin )cos sin 0i i i i ωαωωτωταβωταβωτ--+-=
所以有 cos sin 0
sin cos 0ωαωωταβωταωωταβωτ--=??+=?
令
22()(1cos )cos f ωωαωταβωτ
=--
当1cos 0αωτ->时，在区间上0,2πτ??
????
上， '22()2(1cos )sin sin 0f ωωαωτωατωταβτωτ=-++>
函数 f
单调
当
0ω=时， 2()(0)0f f ωαβ=
=-<
当2πωτ
=时，
2
2()()024f f ππ
ωττ
==>
函数与X 轴有交点，方程有解，即 特征方程（2.1.2）有纯虚根。
（二）近似周期解
在3x ε的非线性扰动的情况下，可求系统的一次近似周期解（利用多尺度法） 设2
001210122012()(,,)(,,)(,,)x t x T T T x T T T x T T T εε=+++ （2.2.1）
其中2012,,n
n
T t T t T t T t εεε==== 应用微分算子，记
00D T ?=?，11
D T ?
=?，知： 220101
0()0()d D D dt T T εεεε??
=++=++?? （2.2.2） 由001101()(,)(,)x t x T T x T T ε=
++20()ε，知
001101()(,)(,)x t x T T x T T τττεττ-=--+--20()ε+ (2.2.3)
根据二元函数的泰勒展开：
00(,)f x h y k ++
0000(,)()(,)f x y h k f x y x y
??
=+++?? 令0
010(,0,,)T x h T y k ττ-===-= 知
1
00100110
(,)(,)(0)T x x T T x T T x T T ττττ???--=-+?-????
0011
(,)x
x T T T ττε?=--?
10
111(,)x T T D x ττε=-- （2.2.4）
1
10110110
(,)(,)(0)T x x T T x T T x T T τττττ???--=--+?-???? 1011
(,)x x T T
T ττε?=--?
10111(,)x T T D x ττε=
-- （2.2.5）
将（2.2.4），（2.2.5）代人(2.2.3)中 得到时滞项：
2001101()(,)(,)0()x t x T T x T T τττεττε-=--+--+
10111(,)x T T D x ττε=
--+210111(,)x T T D x εττε--+20()ε
2
0011011001(,)[(,)(,)]0()x T T x T T D x T T τετττε=-+---+（2.2.6）
3301()()x t x x ε=++
32001001101(,)3(,)(,)x T T x T T x T T ε=+
22
33
0011011013(,)(,)(,)x T T x T T x T T εε+?++ （2.2.7）
223000111
010012
()x x x x x x x t T T T T T T εεεεε??????=+++++?????? （2.2.8）
将（2.2.1）（2.2.2）(2.2.3)（2.2.4）（2.2.5）（2.2.7）（2.2.8）代人原方程得
()()()x
t x t x t αταβτ--+- 20001100100011101(,)(,)(,)(,)D x T T D x T T D x T T D x T T εεε=+++
2
0001100101011101(,)(,)(,)(,)D x T T D x T T D x T T D x T T αεεε??-+++??
]0011011001(,)(,)(,)x T T x T T D x T T αβτετεττ?+-+---?
3223243001001101001101101(,)3(,)(,)3(,)(,)(,)x T T x T T x T T x T T x T T x T T εεεε=++?+
这样根据多项式的性质，可知，指数012,,εεε的系数在等式两边相等。这样就有， 0
00010001001:(,)(,)(,)0D x T T D x T T x T T ε
ααβτ-+-= （2.2.9）
则，当(,)a b D ∈时，系统可形如（2.1.1），这样0i ω-
+是特征方程的根。易见方程（2.2.9）有如下形式的谐波解：
000011(,)()T i x T T A T e cc ω=+
其中cc 表示前面各项的共轭，
000000111
(,)()()T i T i x T T A T e A T e ωω-=+ 00000032332001111(,)()3()()T i T i T i
x T T A T e A T e A T e ωωω-=+
000000223231113()()()T i T i T i A T e A T e A T e ωωω--++
00000000333223
111111
()3()()3()()()T i T i T i T i A T e A T A T e A T A T e A T e ωωωω--=+++
11001010110010101:(,)(,)(,)(,)D x T T D x T T D x T T D x T T εαα+--
1011001(,)(,)x T T D x T T αβταβττ+---
3001(,)x T T =
又有，000001001111
(,)T i T i
x A A D x T T e e T T T ωω-???=
=+??? 这样， 010********(,)(,)(,)D x T T D x T T x T T ααβτ-+- 3
10011001100
1001(,)(,)(,)(,)D x T T D x T T D x T T x T T ααβττ=-++-+
0000000000033111111
()T i i T i i T i i
T i
A A A A A e e e e e e A T e T T T T T ωωτωωτωωτωαααβτ---?????=-+?+-?+?+?????
=00000000011111
T i i T i i T i i
A A A A A e e e e e e T T T T T ωωτωωτωωταααβτ---?????-+?+-?+?????? 00000000333223111111()3()())3()()()T i T i T i T i
A T e A T A T e A T A T e A T e ωωωω--++++
0002111113()()i T i A A A e A T A T e T T T ωτωααβτ-?????=--+???????
000000332
33111111
3()()()()T i T i T i A A A T A T e A T e A T e T T ωωωα-????+++++??????
而对齐次方程010********(,)(,)(,)0D x T T D x T T x T T ααβτ-+-=的特征方程有：
00000w i w i w i w ie e ττααβ---+=
得， 000()
w i
w i
e
w i ταβ-=
-
为此，我们可以设 1()111
()()2
ib T A T a T e =
可令
11
,a b
a b
D D T T ??==??
这样， 11()()
1111
11()22ib T ib T A a b e a T e i T T T ???=+???
11()()
1122
ib T ib T a b D e aD ie =+
1()
1()2
ib T a b e D aD i =+ 由于所求的为方程的近似周期解，所以其永年项为0. 则， 0211111
3()()0i
A A A e A T A T T T T ωτα
ταβ-???-+?+=??? 即， 01()2111()[1]3()()02
i ib T a b e D aD i e A T A T ωτααβτ-+-++= 而， 11()()
111111()()()()22ib T ib T A T A T a T e
a T e -=?214
a = 这样有， 011()()2111()[1]30242
i
ib T ib T a b e D aD i e a ae ωτααβτ-+-++??= 即， 033()[1]04
i
a b D aD i e a ωτααβτ-+-++= 22000a a a a a D w i D D w i D D w i ααβααβαβτ---+
22000b b b b b a D w a D i a w D a D i a w D αβαααβαβτ--++-
33033
044
a w i a ααβ+
-=
分离实部和虚部
得
22300022
300003
4304
{
a a
b b b a a a b b D D a D w a w D a w D a D w D w D w a D a D a w αβαβαααβταβαααβταβαβα---+--=-+-++=
根据克拉默法则解方程组，得
3
203
2022022000
3434
a a a a a w a a D a a w w w a a αβαωαααβαβαβαβαωααααβτταβαβ
--+-+=
---+-+-+
3
23
2000022022000
3434
b a a w w w w D a a w w w a a αβαβαβααααβτταβαβαωααααβτταβαβ
----+=
---+-+-+
把回代，因此有：
010********(,)(,)(,)D x T T D x T T x T T ααβτ-+-0033T i
A e
cc ω=+
（注：其余那些项为永年项为零） 因此，
1x 应有形如0033T i
cA e ω形式的周期解。
将0033101
(,)T i
x T T cA e ω=回代，则有 003330033i i c i c i ce A e ωτωτωαωαβ--+=
0330033i
A c i i e ωαωαβ-=
-+
所以方程有如下形式的周期解：
0033101300(,)33i
i
A e
x T T i i e ωτωτωαωαβ-=
-+
结论：
当0τ=时，
当1cos 0αωτ->时，在区间上0,2πτ??
????
上，
'22()2(1cos )sin sin 0f ωωαωτωατωταβτωτ=-++> 函数 f
单调
当
0ω=时， 2
()(0)0f f ωαβ
==-<
当2π
ωτ
=时，
2
2()()024f f ππ
ωττ
==>
函数与X 轴有交点，方程有解，即 特征方程（2.1.2）有纯虚根。
参考文献
[]1陈予恕，唐云.非线性动力学中的现在分析方法 第1版 北京：科学出版1992
[]2张锦炎，冯贝叶.常微分方程几何理论与分支问题 第二次修订本 北京大学
出版社，1997
[]3魏俊杰，中立型微分方程零解的稳定性征与全局
Hopf 分支[]J .数学学报，
2002，45（1）：93-104. [4] 多尺度法论文 郑国金
约束变尺度法 Newton 法最突出的优点是收敛速度快，在这一点上其它算法无法比拟的。因此，建议凡是Hesse 矩阵比较容易求出的问题，尽可能使用Newton 法求解。但是，Newton 法也有一个严重缺陷，就是每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，当问题的维数较大时，计算量迅速增加，从而就抵消了Newton 法的优点。为此，人们开始寻找一种算法既可以保持Newton 法收敛速度快的优点，又可以摆脱关于Hesse 矩阵的计算，这就是变尺度算法。 变尺度法是一种非常好的方法，其中DFP 算法和BFGS 算法。可以说，直到目前为止，在不用Hesse 矩阵的方法中是最好的算法。 一、拟Newton 法 为了吸收Newton 法收敛速度快的优点，同时避免Newton 法每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，人们提出了具有超线性收敛的拟Newton 法。 （一）拟Newton 法的基本原理 在Newton 法中的基本迭代公式 k k k k P t X X +=+1， 其中 1 =k t ， ) ()]([12 k k k X f X f P ?? -=- 令 ) ()(2 k k k k X f g X f G ?=? =，
于是有 ，，，，21011=-=-+k g G X X k k k k 其中X0是初始点, gk 和 Gk 分别是目标函数f (X )在点 Xk 的梯度和Hesse 矩阵. 为了消除这个迭代公式中的Hesse 逆矩阵G-1k ,可用某种近似矩阵Hk=Hk(Xk)来替换它,即构造一矩阵序列{Hk}去逼近Hesse 逆矩阵序列{G-1k}，此时 k k k k g H X X -=+1 事实上,式中 Pk= -Hk gk 无非是确定了第k 次迭代的搜索方向.为了取得更大的灵活性,考虑更一般的迭代公式 k k k k k g H t X X -=+1 其中步长tk 通过从Xk 出发沿Pk= -Hk gk 作直线搜索来确 定.此式代表很广的一类迭代公式. 例如,当Hk=I (单位矩阵)时,它变为最速下降法的迭代 公式。 附加条件 为了使Hk 确实与G-1k 近似并有容易计算的特点,必须对 Hk 附加某些条件: ⑴ 为保证迭代公式具有下降性质,要求 {Hk} 中的每一个矩阵都是对称正定 的. 因为使搜索方向Pk= -Hk gk 是下降方向, 只要 <-=k k T k k T k g H g P g ⑵ 求Hk 之间的迭代具有简单形式.
拟牛顿法（变尺度法）DFP算法的c/c++源码 #include "iostream.h" #include "math.h" void comput_grad(double (*pf)(double *x), int n, double *point, double *grad); //计算梯度 double line_search1(double (*pf)(double *x), int n, double *start, double *direction); //0.618法线搜索 double line_search(double (*pf)(double *x), int n, double *start, double *direction); //解析法线搜索 double DFP(double (*pf)(double *x), int n, double *min_point); //无约束变尺度法 //梯度计算模块 //参数：指向目标函数的指针，变量个数，求梯度的点，结果 void comput_grad(double (*pf)(double *x), int n, double *point, double *grad) { double h=1E-3; int i; double *temp; temp = new double[n]; for(i=1;i<=n;i++) { temp[i-1]=point[i-1]; } for(i=1;i<=n;i++) { temp[i-1]+=0.5*h; grad[i-1]=4*pf(temp)/(3*h); temp[i-1]-=h; grad[i-1]-=4*pf(temp)/(3*h); temp[i-1]+=(3*h/2); grad[i-1]-=(pf(temp)/(6*h)); temp[i-1]-=(2*h); grad[i-1]+=(pf(temp)/(6*h)); temp[i-1]=point[i-1]; } delete[] temp; }
2015-2016学年第二学期《物流配送中心规划与设计》期末作业要求1、运用层次分析法分析生活中面临的选择问题，评价指标自选，准则层不少于3个，方案层不少于3个。 2、内容格式要求见例文。
层次分析法在购买洗面奶决策中的应用 班级：姓名：学号： 摘要：随着科技的发展，数学与人们的生活联系越来越紧密，层次分析法作为其中一个分支，也被广泛应用于军事，经济等方面。本文采用层次分析法，从价格、效果和品牌影响力三个方面因素对购买洗面奶模型做出评价，并用权重定量化进行研究，可为消费者和生产厂家提供有效地依据。 关键词：层次分析法判断矩阵购买洗面奶要素 一．问题描述 随着人们对生活水平要求的不断提高，对洗面奶的选择也成为众多男士一个不可避免的问题。由于现在市面上洗面奶的品牌目不暇接，所以对洗面奶的选择也成了一个难题。通过查阅资料和网上问卷调查结果，对男士经常选择的牌子大致分三类：曼秀雷敦、巴黎欧莱雅和火山泥，购买时主要考虑的因素有价格、效果和品牌影响力三个方面。由于每款洗面奶在各影响因素上往往各有优缺点，可利用层次分析法将消费者购买的经验判断予以量化，为购买决策提供依据。 二．问题求解 1.建立层次结构模型： 目标层A 准则层 方案层 其中价格数据为厂家出厂时的规定价格，效果和品牌影响力由网络问卷调查得
到，其中效果等级分类从高到低为5,4,3,2,1；品牌吸引力等级从高到低为3,2,1；得到下表数据： 2.构造判断矩阵： 由上表数据可得A-C 判断矩阵为： 1 3 5 1/3 1 3 1/5 1/3 1 P C i -判断矩阵分别为： 1 3 5 1 1/ 2 1/5 1 2 4 1/ 3 1 3 2 1 1/3 1/2 1 3 1/5 1/3 1 5 3 1 1/ 4 1/3 1 3.一致性检验及求各层元素相对权重： 由程序（程序见附件）可以判断以上四个矩阵都满足一致性检验，且算得A-C 矩阵的最大特征值和特征向量为： 1λ=3.0385,1ω=(0.6370,0.2583,0.1047)T ； P C i -矩阵的最大特征值和特征向量分别为： T )1047.0,2583.0,6370.0(,0385.322==ωλ; T )6483.0,2297.0,1220.0(,0037.333==ωλ T )1220.0,3196.0,5584.0(,0183.344==ωλ。 4.计算方案的总权重：
一、变尺度法的基本思想 变尺度法是在牛顿法的基础上发展起来的，它和梯度法亦有密切关系。我们观察一下梯度法和阻尼牛顿法的迭代公式，即： 式——（1） 和——（2） 分析比较这两种方法可知:梯度法的搜索方向为，只需计算函数的一阶偏导数，计算工作量小，当迭代点远离最优点时对突破函数的非二次性极为有利，函数值下降很快，但是当迭代点接近最优点时收敛速度很慢。牛顿法的搜索方向为， 不仅需要计算一阶偏导数而且要计算二阶偏导数矩阵及其逆矩阵.计算工作璧很大，但牛顿法具有二次收敛性，当迭代点接近最优点时收敛速度很快。对这两种方法取其优，去其劣，迭代过程先用梯度法，后用牛顿法并避开牛顿法的赫森矩阵的逆矩阵的繁琐计算，这就是萌生建立“变尺度法”的基本构想。下面对变尺度法的基本思想进行阐述。 变尺度法所构成的迭代公式为： ——（3） 式中为最优步长因子，由一维搜索 而得;对照无约束优化迭代通式。变尺度法的搜索方向应为； 是根据需要人为构造的一个n×n阶对称矩阵，它在迭代过程中随迭代点的位置变化而变化。若在初始点取为单位矩阵取I,则式(3}就成为式(1)表示的梯度法迭代公式，搜索方向为负梯度方向。以后随着迭代过程不断地修正构造矩阵，使它在整个迭代过程中 逐步地逼近目标函数在极小点处的赫森矩阵的逆矩阵。当时。式(3)就成为式(2)表示的阻尼牛顿法迭代公式。这样，当迭代点逼近最优点时，搜索方向就趋于牛 顿方向。如能实现这种构想，那就综合了梯度法和牛顿法的优点，不直接计算，而是用变化的构造矩阵去逼近它，使算法更为有效。构造矩阵在迭代过程中是变
化的，称为变尺度矩阵。由于变尺度法的迭代形式与牛倾法类似，不同的是在迭代公式中用 来逼近，所以又称为“拟牛顿法”，变尺度法的搜索方向 ，最终要逼近牛顿方向，故又称为拟牛顿方向。 实现上述变尺度法的基本思想，关键在于如何产生这一合乎要求的变尺度矩阵，下面对此进行重点讨论。 二、构造变尺度矩阵的基本要求 1.为了使拟牛顿搜索方向朝着目标函 数值下降的方向，必须为对称正定矩阵。证明如下： 若有目标函数f(X}由点沿方向具有下降的性质，即，根 据梯度的性质，可知搜索方向与负梯度方向之间的夹角应成锐角，即两者的点积应大于零 将代入上式，则有 用矩阵表示为或 这表明变尺度矩阵必须是对称正定矩阵才能保证变尺度算法拟牛顿搜索方向是函数值下降方向。 2.要求构造的变尺度矩阵具有简单的迭代形式，能利用本次迭代信息以固定的格式构造下一次迭代的变尺度矩阵，可以写成
层次分析法应用于城市购房决策中的实例分析 濮长飞 南京晓庄学院04数本2班 摘要：本文针对消费者购房这一具体问题，基于高等代数矩阵内容，立足于数学建模， 通过具体实例的分析详细描述了采用层次分析法解决多目标决策问题的方法和步骤，为 消费者的购房决策提供科学合理的办法。 关键词：成对比较矩阵；特征根；特征向量；层次分析法 随着经济的发展，收入水平的增加，消费者对商品房的要求也在增加。目前多数消费者购房有的因为工作，有的是为了改善居住环境，还有的是为了投资。不管是什么原因，由于涉及金额巨大，购房需慎之又慎，以免花钱买后悔。 针对消费者的需求，房地产开发商也在不断地推出新的楼盘。这些楼盘往往各有各的特点，这使得消费者经常因选房而筋疲力尽，生怕捡了芝麻丢了西瓜。究其原因，主要是考虑的因素太多，价格、交通、环境等等。如就价格而言，甲比乙便宜；而就交通而言，乙又不如甲，这就使得购房者难以做出孰优孰劣的判断。但是，所有的购房者都想买到物美价廉的房子，这是总目标，如果我们能够对备选房源“物美价廉”的程度进行量化，就能通过简单的数值比较做出决策。运用统计学中的层次分析法就能轻松解决这一决策难题。 一、层次分析法概述 1 简介 层次分析法是美国运筹学家萨蒂在20世纪70年代提出的一种实用的定性和定量相结合的多准则决策方法。它是把复杂的决策按照目标层、准则层、子准则层、方案层的顺序表示为一个有序的递阶层次结构，通过人们的比较判断，计算各种决策方案在不同准则及总目标之下的相对重要性权重，从而把难以量化的各种方案定量化，以得到各种方案的相对优劣的排序值，并据此做出最后的决策。 2 层次分析法的基本步骤 第一步：根据问题的性质和要求，提出一个总目标。将目标逐层分解为几个层次，建立层次结构模型。
跨原子/连续介质（第一类）多尺度分析的各种方法按照其控制方程的类型可分成两类，基于能量的方法和基于力平衡的方法 一、基于能量的方法 假定系统的总能量由原子区，握手区（可无），连续介质区构成 tot A H C ∏=∏+∏+∏ 其中，握手区和连续介质区的能量是由有限元法近似求得的。 基于能量的方法一个最大的缺陷是很难消除耦合能量的非物理效应“鬼力”。鬼力产生的原因： 假设全区域采用原子进行计算，则其能量为： ,,atom atom A atom C ∏=∏+∏ 对位移进行求导，可得 ,,atom A atom C f u u α αα?∏?∏=--?? 在平衡时：,,atom A atom C u u αα ?∏?∏=-?? 同理，对于无握手区的多尺度能量法，在平衡时，满足方程： A C u u αα?∏?∏=-?? 同时因为在两种方法中，,A atom A ∏=∏ 即对于多尺度能量法需满足方程：,C Atom C u u αα ?∏?∏=?? 因为在多尺度能量法的计算中，连续介质区的能量是由有限元法近似求得的，与原子计算的能量不一致，所以会产生“鬼力”。 1. QC 法（1998, Tadmor E B, OrtizMand Phillips R 1996 Quasicontinuum analysis of defects in solids Phil. Mag. A 73 1529–63） 在之前的报告中阐述过，本周的阅读中暂无改进内容 2. CLS 法（1999，Broughton JQ, Abraham F F, BernsteinNand KaxirasE1999 Concurrent coupling of length scales: methodology and application Phys. Rev. B 60 2391–403） 提出该方法的作者是基于自身对于MEMS （Micro-Electro-Mechanical
基于等距算法模式识别的学习与研究
一、Isomap 算法实现的基本步骤 1.等距离映射(Isomap) 该算法是一种全局非线性优化算法。Isomap 算法以多维尺度变换（ fmult mensional scaling ，简称MDS)为基础，利用数据点间的测地线距离来替代MDS 中的欧氏距离，力求保持数据的内在流形结构，最大限度的保持数据点问在低维空间中的欧氏距离误差最小，最终实现数据点的低维空间的表示。Isomap 算法的目的是将高维空间 n R 中的数据集合},,,{21N x x x X =映射到低维流形空间 )(D d R d <<中，得到低维嵌人数据集合： },,,{Y 21N y y y = 2.具体算法步骤如下： 步骤1：计算样本点i x 的邻域点集(取欧氏距离最近的个近邻点),构造邻域图。 步骤2：计算测地线距离。根据邻域图，使用计算样本点间的最短距离),(j i c x x d ，近似看作为两点间的测地线距离),(j i M x x d 。 步骤3：使用MDS 对最短距离矩阵c D 。重构d 维嵌入。， 2)()(N I I I D N I I I D T N N G T N N c ---=）（τ,令321λλλ≥≥≥ 是矩阵）（c D τ的前 d 个最大的特征值，d v νν,,,21 为对应的d 个特征向量，则d 维嵌入坐标为： N d N N d y y y Y ????? ??? ??? ? ?? ? ?=νλνλνλ111121],,,[ Isomap 算法作为常用的流形学习算法，在低维空间中可以有效保持高维空 间数据的非线性结构，但在小样本情况时，当每类样本数小于构造邻域图数值尼时，计算得出的各个点的最短距离就不能正确得出测地线距离了。本文使用Gabor’s 波对预处理后的图像进行5个中心频率、8个方向的滤波，输出40副滤波图像。但在增加了样本数量的同时，也对系统的硬件要求提出了更高的要求。为了进一步降低计算量，本文提出使用Gabor 特征融合方法，很好地解决了这一问题。将每个中心频率的不同方向滤波结果进行相加，得到一个该中心频率的滤波图像。图l 给出对ORL 数据库中的人脸经过Gabor~,波后相同中心频率的8个不同方向的滤波结果相加后的图像。通过实验结果的比较表明，使用该方法对一副图像计算得出的5副图像和将一副图像的40副Gabor 滤波图像作为Isomap
摘要 本文针对一名高考升学考生报考学校专业问题进行建立层次分析模型。 首先通实地了解“一考生”有关意向数据，并对其进行处理，总结四大影响因素：专业就业情况、学校有关情况、自身影响因素和家庭影响因素及各因素对比比较矩阵A，和报考的学校专业：南昌大学计算机专业、九江学院船舶制造专业、景德镇陶瓷学院陶瓷专业、上饶师范学校教育专业和各专业对比较矩阵。 ( B )4,3,2,1 i i 其次，建立目标、准则和方案的‘层次直观模型图’。进而以准则层对方案层权重比值及一致性指标进行检验，此过程利用MATLAB软件进行对数据进行求解，得出矩阵的最大特征值及特征向量，从而利用相关Saaty .定理验证得 T S. 出准则层对方案层一致性指标验证通过。 同理，再次验证方案层对准则层权重比值及一致性指标进行检验，得出各准则中每个方案相互比较矩阵的特征向量。 最后，由‘方案’对‘目标’层次总排序可以得出结论，该生选择南昌大学计算机专业更为适合。 关键词：层次分析法最大特征值特征向量
一、问题的提出 一位高中毕业生想要选择一个适合自己的某学校专业，他考虑的因素有专业的就业前景，学校的有关情况（所在地，知名度，交通的便捷度等），自身的因素（高考分数，自己的兴趣、爱好等）家庭的经济状况等。比较中意的学校和专业有南昌大学的计算机专业，九江学院的船舶制造专业，景德镇职业学院的陶瓷制造专业，上饶的师范专业。但不知道选择哪所学校，为此，请通过数学建模给出一个建议。 二、模型的假设及符号说明 模型的假设： (1)假设这四所学校的分数线都不会提高。 (2)这四所学校都不会减少录取名额。 (3)这位同学不会改变所选的四所学校。 (4)不会出现所有非人为的意外情况。 符号的说明：
多尺度方法在复合材料力学分析中的研究进展 摘要简要介绍了多尺度方法的分量及其适用范围，详细论述了多尺度分析方法在纤维增强复合材料弹性、塑性等力学性能中的研究进展，最后对多尺度分析方法的前景进行了展望。 关键词多尺度分析方法，复合材料，力学性能，细观力学，均匀化理论 1 引言 多尺度科学是一门研究不同长度尺度或时间尺度相互耦合现象的跨学科科学，是复杂系统的重要分支之一，具有丰富的科学内涵和研究价值。多尺度现象并存于生活的很多方面，它涵盖了许多领域。如介观、微观个宏观等多个物理、力学及其耦合领域[1]。空间和时间上的多尺度现象是材料科学中材料变形和失效的固有现象。 多尺度分析方法是考虑空间和时间的跨尺度与跨层次特征，并将相关尺度耦合的新方法，是求解各种复杂的计算材料科学和工程问题的重要方法和技术。对于求解与尺度相关的各种不连续问题。复合材料和异构材料的性能模拟问题，以及需要考虑材料微观或纳观物理特性，品格位错等问题，多尺度方法相当有效。 复合材料是由两种或者两种以上具有不同物理、化学性质的材料，以微观、介观或宏观等不同的结构尺度与层次，经过复杂的空间组合而形成的一个多相材料系统[2]。复合材料作为一种新型材料，由于具有较高的比强度和比刚度、低密度、强耐腐蚀性、低蠕变、高温下强度保持率高以及生物相容性好等一系列优点，越来越受到土木工程和航空航天工业等领域的重视。 复合材料是一种多相材料，其力学性能和失效机制不仅与宏观性能（如边界条件、载荷和约束等）有关，也与组分相的性能、增强相的形状、分布以及增强相与基体之间的界面特性等细观特征密切相关，为了优化复合材料和更好地开发利用复合材料，必须掌握其细观结构对材料宏观性能的影响，即应研究多尺度效应的影响。 如何建立起复合材料的有效性能和组分性能以及微观结构组织参数之间的
用层次分析法处理近途旅游问题 “江南好，风景旧曾谙；日出江花红胜火，春来江水绿如蓝。能不忆江南?”每每颂吟着白居易的这首千古名句，总会把我们的思绪引到那风景如画的江南古镇和隐隐回绕的亭榭水乡……那里河湖交错、水网纵横；小桥流水、曲径回廊；吴侬细语、江南丝竹，可谓如诗如画、别有韵味。 散发着浓郁的江南文化的乌镇，可以说是江南古城的缩影。踏着清冷的石板，信步于幽深的街巷和古老的民居中，你就会觉得自己好像走进了一部地域文化的线装书，让你在淡泊、幽思中品读。 被誉为神州第一水乡的周庄因河成街，呈现一派古朴、明洁的幽静，是江南典型的“小桥、流水、人家”。桥街相连，依河筑屋，小船轻摇，绿影婆娑。虽历经900多年的沧桑，仍完整地保存着原有的水乡老街的风貌和格局，宛如一颗镶嵌在淀山湖畔的明珠。 从传统角度来看，旅游的构成要素为旅游的费用，旅途的便捷，行程的长短，景点的经济及其历史影响。旅游景点的中和评价是一种为旅游者提供直接或间接旅行服务所产生的客观指导，它是随着景点综合评估的变化而产生和发展的，是游客不可缺少的物质条件之一，同时也具有为旅游者提供物质与精神享受的功能。 近年来对于长江三角洲区域旅游的研究成为一个热点，该地区凭借自身良好的经济、区位和资源优势，旅游业发展如火如荼。从经济地理意义上来讲，长江三角洲范围包括15个市即上海、江苏的苏南苏中8市和浙江的北部6市．上海则可以说是长江三角洲区域的交道枢纽。本文主要针对以上海为中心的长三角近途旅游（江南古镇群）进行研究。 1.层次分析法(analytic hierarchy process) AHP是美国著名运筹学家Saaty1977年正式提出的。它是一种实用的多准则决策方法。它把—个复杂问题表示为一十有序的递阶层次结构利用人们的判断，对决策方案的优劣进行排序。这种方法能够统一处理决策中的定性与定量因素，
多尺度法初识和应用 摘要：简要介绍多重尺度发的中心思想，另外，举例说明多重尺度法在求解方程中的应用。 非线性问题的研究 非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。历史上曾有过一些解非 线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。 因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个 领域。本世纪六十年代以来，情况发生了变化。人们几乎同时从非线性系统的 两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非 线性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现了“孤子”，发 展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性 方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领 域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着 对初值极为敏感的复杂运动。促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和 广泛应用。科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处 理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。 线性与非线性的意义 “线性”与“非线性”是两个数学名词。所谓“线性”是指两个量之间所存在 的正比关系。若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。由线性函数关系描述的系 统叫线性系统。在线性系统中，部分之和等于整体。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。这是线性系统最本质的特征之一。 “非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲线。 最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。简单地说，一切不是一次的函 数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性函数关系 描述的系统称为非线性系统。 多尺度法的基本思想 多尺度法首先是由Sturrock(1957) 、Cole(1963) 、 Nayfeh(1965)等提 出的,此后得到进一步的发展。 上面介绍该法的基本思想与方法。我们考虑形式为 的方程所控制的系统，设方程的解为 将原点移至中心位置 是合适的。于是有 ()0=+q f q +++=+=22100x x q x q q εε0q q =
多维尺度与对应分析 多维尺度与对应分析多维尺度分析（MDS)，是基于研究对象之间的相似性或距离，将研究对象在一个低维（二维或三维）的空间形象地表示出来，进行聚类或维度分析的一种图示法。通过多维尺度分析所呈现的空间定位图，能简单明了地说明各研究对象之间的相对关系。 多维尺度分析常用于品牌形象评价，比较消费者对公司及其竞争对手的品牌认知差异，了解在消费者心目中，公司品牌与竞争对手相比处于什么样的位置。如，广州民众对市内各医院，从专业、服务、费用、方便等四个角度的感知评价，通过多维尺度分析所产生的空间定位图。广州民众对市内各医院的感知评价基本分为三类，中山医院、省人民医院、中医药大学医院、省中医院，及专科医院是民众心目中是专业性强、技术高的医院；市/区的中医院、人民医院及妇幼保健医院是费用比较合理的医院；红十字会医院、军区/部队医院的特点则不明显（注：由于样本数量限制，分院、同类型医院合并分析，差异性有所平均，结论仅供参考。） 对应分析的本质是将行和列变量的交叉表变换为一张散点图，从而将表格中包含的类别关联信息用各散点空间位置关系的形式表现出来。如上述数据用对应分析呈现如下：
似乎看起来，对应分析比多维尺度分析更直观、更简单易懂；而且在操作上，通过xlstat插件做对应分析非常方便，做一个多维尺度分析所花的时间可以做十个对应分析了。那么，能用对应分析来替代多元尺度分析吗？ 通过分析两者所使用的原始数据表格，能容易区分两者的差异所在，并且知道在什么时候用多维尺度分析，什么时候用对应分析。 多维尺度分析，计算的是行变量之间的差异性或相似性，即表中“省人民医院、中山医院、省中医院 …”等各类医院之间的差异或相似性。 对应分析，计算的是行变量与列变量的相关性，如表中行变量中“省人民医院”与列变量“医院专 业水平、医院服务…”之间的相关性。 所以，在上述多维尺度空间图中，强调的是各类医院之间的相对位置；在上述对应分析图中，强调的是各类医院与专业、服务、费用、方便等之间的相关性，而不是各医院之间的相对关系。 那么，对应分析图中各医院的分布，同样能说明各医院之间的相对位置吗？我们用聚类分析来验证，同样用“专
中国计量学院 本科毕业设计（论文） “90后”员工工作满意度研究 ——基于杭州的实证 A Research on Job Satisfaction of the Post-90s Staffs —Based on the Empirical Study of Hangzhou 学生姓名学号 学生专业工商管理班级 1 二级学院经济与管理学院指导教师 中国计量学院 2014年5月
郑重声明 本人呈交的毕业设计论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。 学生签名：日期： 2014年5月20日
分类号：F272.9 密级：公开 UDC：33 学校代码：10356 中国计量学院 本科毕业设计（论文） “90后”员工工作满意度研究 ——基于杭州的实证 A Research on Job Satisfaction of the Post-90s Staffs —Based on the Empirical Study of Hangzhou 作者学号 申请学位管理学学士指导教师 学科专业工商管理培养单位中国计量学院 答辩委员会主席评阅人 2014 年 5 月
致谢
“90后”员工工作满意度实证研究 ——基于杭州的实证 摘要：在全球经济一体化日渐形成和中国特色市场经济体制不断完善的背景下，国内各行各业的企事单业员工都承受着远超以往的工作压力。作为国家的希望，当“90后”这批新时代的生力军开始踏上职场之后，他们的工作满意度如何，影响他们工作满意度的因素有哪些，如何帮助他们更好地适应职场，便成了人们关心的问题，这即是本文研究的主要内容。 本次调查采用问卷调查的形式，对杭州市123位企事业单位“90后”员工工作满意度现状进行实证研究，研究结果如下： （1）“90后”企事单业员工工工作满意度现状总体水平处于正常水平，但有较大的提升空间； （2）“90后”企事单业员工对“同事关系”的满意度最高，而对“工作强度”的满意度最低； （3）除性别以外，不同教育程度、单位性质和收入状况对于“90后”企事单业员工的工作满意度的多数影响因素都有显著的影响。 关键词：“90后”员工；工作满意度；层次分析法 中图分类号：F272.9
多目标规划结课论文 论文题目：层次分析法在人才招聘中的应用 研究
如何从众多的应聘者中甄选出适合于本企业的人才是人力资源管理所面临的重要课题之一。目前用人单位在招聘员工时，通常只是对众多的应聘人员进行简单的考察。因受各种主客观因素的影响，对应聘人员的评价难免有失公正。文章以某大型企业高层次人才的胜任力模型为例，设计了在招聘过程中甄选应聘者的指标体系，在评估方法上，采取定性与定量相结合的方法，运用层次分析法（AHP）确定了指标权重系数，针对甄选指标的模糊性，建立了评估的模糊综合评价模型，并进行了应用实例评估，结果表明，所建立的应聘者甄选评估体系是实际可操作的。 关键词：胜任力模型；层次分析法；模糊评价
随着我国经济的飞速发展，人才已成为各企业竞争的核心要素。这当中，人才招聘是企业实施人才战略，合理配置人才梯队最为基础性的工作，同时对于企业提升人才队伍整体水平有着至关重要的意义。从企业人力资源规划角度出发，员工招聘规划是企业人力资源规划最为基础性、决定性的工作，员工招聘规划的合理性直接对企业人力资源规划中后续工作产生重要的影响。图1揭示了员工招聘规划在企业人力资源规划中扮演的重要角色，充分体现了人才招聘在企业战略发展中的重要意义。 在人才招聘的工作中，常常会遇到许多模糊的概念，例如，人才业务能力的大小、思想水平高低、身体状况等。传统的人才招聘工作中，多采用团队针对应聘者多方面表现，综合评价进行人才甄选，该方法虽然采用团队综合评价，但由于团队中领导者的导向作用会对团队成员对应聘者评价有不同程度的影响，而且团队成员做出的评价本身都具有主观性，导致最终的结果客观性不强，且针对不同应聘者的可比性不够。模糊优选的基本理念是将模糊的问题通过合理的评定、比较实现量化，将模糊优选模型应用于人才招聘问题中，可实现将模糊问题清晰化，同时在此基础上引入层次分析法，对人才模糊优选中的各影响因素赋予合理权重，最终实现人才招聘的规范化、客观化。
武夷学院实验报告 课程名称：多元统计分析项目名称：多维标度分析姓名：专业： 14信计班级：1班学号：同组成员：无
(一)操作步骤 (1)点击分析-度量--多维尺度 ,进入多维标度分析的主对话框，如下图。 (2变量为设定变量列表框，用于将要分析的表示距离的变量移入此处。本案例是将北京，合肥，长沙，杭州，南昌，南京，上海，武汉，广州，成都，福州，昆明放置于此框。 (3)单个矩阵表示如果数据文件中有多个受访者的距离阵时。就应当使用该选项选取代表不同受访者的变量。
(4)距离用于设置所使用距离的产生方式。 ①数据为距离数据表示如果所提供的数据为距离阵，可直接用于分析。单击"形状"有3个选项(图:正对称表示距离阵为完全对称形式，且行列表示相同的项目，要对角线上下三角中相应的数值对称相等，正对称表示距离阵为不完全对称结构且行列表示相同项目，上下三角中相应的数值不想等，矩形表示距离阵为距离完全不对称形式，并需要在行数框中输入行数，如下图。
②从数据中创建度量表示如果数据代表的不是距离，使用该选项可以根据数据生成距离阵。 单击"度量标准"打开数据测度方法对话框，如下图。其中，度量标准用于选择不相似性量度方法，转换值是选择进行标准化转化的方法，创建距离矩阵表示是根据变量还是根据样品创建距离阵(变量间计算成对变量之间的不相似性矩阵，个案间计算两两样品之间的不相似性距离矩阵)。 设置完成后，点击继续返回主对话框。 (5)在主对话框中点击模型，用于设置数据和模型的类型，如下图。
①度量水平用于指定测量尺度。其中，序数为有序数据，区间为定距数据，比率为比例数据，鉴于本例中的数据是距离，因此选择interval。 ②条件性用于进一步定义距离阵的情况。矩阵表示只有一个矩阵或者每个矩阵代表不同的个体时采用，它表示距离阵的数值意义相同，是可以相互比较的，行只在非对称或者距离阵时才使用。表示只对同一行间数据进行比较才有意义，无约束表示不受任何限制，资料中所有数值的比较都有意义。 ③维数用于指定多维尺度分析的维度。最小值输入最少维度，最大值输入最大维度，由于一般是计算二维解，均输入2。 ④度量模型用于选择距离测量模式。Euclidean 距离是欧几里得距离，个别差异Euclidean 距离加权欧几里距离。
层次分析法论文 Prepared on 24 November 2020
层次分析法应用于城市购房决策中的实例分析 濮长飞 南京晓庄学院04数本2班 摘要：本文针对消费者购房这一具体问题，基于高等代数矩阵内容，立足于数学建模， 通过具体实例的分析详细描述了采用层次分析法解决多目标决策问题的方法和步骤，为 消费者的购房决策提供科学合理的办法。 关键词：成对比较矩阵；特征根；特征向量；层次分析法 随着经济的发展，收入水平的增加，消费者对商品房的要求也在增加。目前多数消费者购房有的因为工作，有的是为了改善居住环境，还有的是为了投资。不管是什么原因，由于涉及金额巨大，购房需慎之又慎，以免花钱买后悔。 针对消费者的需求，房地产开发商也在不断地推出新的楼盘。这些楼盘往往各有各的特点，这使得消费者经常因选房而筋疲力尽，生怕捡了芝麻丢了西瓜。究其原因，主要是考虑的因素太多，价格、交通、环境等等。如就价格而言，甲比乙便宜；而就交通而言，乙又不如甲，这就使得购房者难以做出孰优孰劣的判断。但是，所有的购房者都想买到物美价廉的房子，这是总目标，如果我们能够对备选房源“物美价廉”的程度进行量化，就能通过简单的数值比较做出决策。运用统计学中的层次分析法就能轻松解决这一决策难题。 一、层次分析法概述 1 简介 层次分析法是美国运筹学家萨蒂在20世纪70年代提出的一种实用的定性和定量相结合的多准则决策方法。它是把复杂的决策按照目标层、准则层、子准则层、方案层的顺序表示为一个有序的递阶层次结构，通过人们的比较判断，计算各种决策方案在不同准则及总目标之下的相对重要性权重，从而把难以量化的各种方案定量化，以得到各种方案的相对优劣的排序值，并据此做出最后的决策。 2 层次分析法的基本步骤 第一步：根据问题的性质和要求，提出一个总目标。将目标逐层分解为几个层次，建立层次结构模型。 第二步：对同一层次的各元素关于上一层次某一准则的重要性进行两两比较并赋权值，构造成对比较矩阵。
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲0616 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2011 年 8 月20 日
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
对学生建模论文的综合评价分析 摘要 本文研究的是五篇建模论文的评价和比较问题。首先，研读分析了五篇论文，并写出评语。其次,进行综合量化评价,主要运用的方法是层次分析法和模糊综合评判。最后,依据所得权重大小对论文排序。 针对问题一，我们对论文进行了横向比较和纵向分析。依据数学建模竞赛论文评分基本原则，首先，在研读论文的基础上，对论文分块进行了横向比较，并按照优、良、中、差四个等级作出评价。其次，采取纵向分析的方法，找到论文的优点与不足，写出每篇论文的评语。最后，结合横向比较和纵向分析对论文综合评价。 针对问题二，在建立数学模型时，首先从建模理念的应用意识、数学建模、创新意识出发利用模糊评判的二级评判模型把所给论文的建模摘要、模型与求解、模型评价与推广、其他作为第一级因素集，把问题描述等作为第二级因素集。在用模糊综合评判方法时，确定评估数据（评判矩阵）和权重分配是两项关键性的工作，求权重分配时，我们通过往年评分标准确定数据后用层次分析法计算出二级权重和一级权重；对于评判矩阵，我们通过对五篇论文进行评阅打分（用平均分数作为每项得分），用每一项得分占五篇论文该项得分的比重（商值法），建立评价矩阵。 最终，我们通过matlab编程处理得出的综合量化比较结果是所给5篇论文由好到差依次为论文4，论文2，论文1，论文5，论文3。并在模型结束时付上了对五篇论文的评语。 关键词：层次分析法；模糊综合评判；统计分析：matlab编程；论文评价
基于Gabor特征的人脸识别算法的研究 摘要：Gabor特征能从不同方向和尺度有效表示人脸图片的局部特征,但是利用传统Gabor特征的方法却忽略原始人脸图片所包含的全局特征.文中把Gabor特征和原始图片信息结合起来,构成增强的Gabor特征,并结合直接分步线性判别分析算法,提出一种人脸识别方法.在Yale、ORL和Georgia Tech人脸库的仿真实验结果表明,相对于传统Gabor特征,增强Gabor特征能够有效提高人脸识别率. 关键字：Gabor，人脸识别 近些年,“生物特征识别技术”因其良好的安全性越来越多地应用于身份识别,人脸识别技术因造价低、使用友好等优点成为其中很有前景的一部分。由于在一个场景中找到一张脸并且识别它的能力在人类生活中是很重要的,因此将这项任务自动化是非常有意义的。人脸识别是一个非常具有挑战性的问题。首先因为人脸图像的获取过程不同,导致二维图像信息在质量、几何、光线上都有内在的不同,此外还有脸部受到遮挡和化妆等因素的影响。但是,更内在的原因是,人脸是具有高度相似性的非刚体。人脸不同于普通物体,不同人的脸具有高度的相似性,同一人的脸又具有不同的状态,这使得人脸识别问题不同于普通物体的识别问题。目前,许多研究机构致力于这一领域的研究,取得了丰硕的理论成果并有不同的应用软件应运而生。人脸识别领域中,判别主成分分析算法是最有效的算法之一。主成分分析(PCA)基于人脸的全局特征,不能有效提取局部特征。局部特征分析(LFA)可以提取人脸图像的局部特征,但由于人脸特征点定位不准确通常会导致系统性能下降。与图像灰度信息特征相比,Gabor特征通常具有更好的鲁棒性。．生物学研究发现H J，Gabor小波可较好地模拟大脑皮层中简单细胞感受野的轮廓，能够捕捉空间定位、方向选择等视觉属性．特别是Gabor小波可像放大镜一样放大灰度的变化，人脸的一些关键功能区域(眼镜、鼻子、嘴、眉毛等)的局部特征被强化，从而有利于区分不同的人脸图像．因此，Gabor小波特征在人脸识别领域得到广泛应用，如弹性图匹配旧J、基于Gabor特征的增强Fisher判别分析局部Gabor直方图序列等．但是，这些方法往往只利用Gabor 特征，捕获人脸图像的局部特征，却忽略人脸图像原始的灰度值信息所代表的全局特征． 1.Gabor算法的实现与原理分析 1.1Gabor算法的分类和实现原理 1.11EGM算法 EM 算法是 Dempster，Laind，Rubin 于 1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行 MLE 估计，是一种非常简单实用的学习算法。这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据，截尾数据，带有讨厌数据等所谓的不完全数据(incomplete data)。 假定集合Z = (X,Y)由观测数据 X 和未观测数据Y 组成，Z = (X,Y)和 X 分别称为完整数据和不完整数据。假设Z的联合概率密度被参数化地定义为P(X，Y|Θ)，其中Θ表示要被估计的参数。Θ的最大似然估计是求不完整数据的对
影响XXX学习积极性的因素 XXXXXX XXXXX 摘要：随着大学教育转型的不断深入，XXX的综合有很大的提高，但学习积极性仍不尽如人意。究竟是什么因素影响了XXX的学习积极性，通过对诸多可能因素利用AHP层次分析法进行对比分析，总结其原因，主要有以下几方面：1.在市场经济体制的大环境下，XX的思想日益活跃，对现行课程教学的重要性认识不足，兴趣不浓；2.由于XXX相对稳定，与XX 的学生相比，XX缺少生活压力和就业压力，缺乏必要的学习动力；3.XX在教学管理过程中，以XX为主体的思想体现不足。 关键词：XX；XXX；学习积极性；主体地位；思想教育；教学管理 1.引言 面对当前XXX普遍存在的学习积极性不足的现状，我们必须寻求一种科学的途径来解决问题。在此之前，大家进行过很多探讨，找到了影响学习积极性的一些较为主要的因素：学习氛围不浓，缺少自主平台，考风考纪差，休息不足，XX任务重，缺少就业和生活压力，对课程不重视等。但这只是较为零散的概括，不能突出体现各个因素之间的重要关系，所以下面将采用层次分析法对这些因素进行研究，通过这种方法比较得出各因素对XXXX学习积极性影响程度大小。从而让我们更清楚的认识问题，进而更好的加以改进。 2.层次分析法简介 层次分析法[1]是由美国运筹学家A.L.Saaty 于本世纪70 年代提出的一种系统分析方法，80 年代初开始引入我国。其基本思想是：把复杂问题分解成若干个组成因素，将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构；通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性；然后综合有关人员的判断，确定备选方案相对重要性的总排序。 在运用层次分析法进行评价和决策时，可分为以下步骤： （1）在分析系统中各因素之间关系的基础上，建立系统的递阶层次结构图。 （2）对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两 比较判断矩阵。 （3）检验判断矩阵的一致性。 （4）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，即层次的单排序。 （5）计算各层要素对系统目标的总权重，并对各备选方案进行层次总排序及一致性检 验。 2.1用层次分析法分析XXXXX学习积极性不足的原因 2.1.1建立层次结构模型 A:XXXX学习积极性不足
多维尺度分析 多维尺度分析（multidimensional scaling ,MDS ）又称ALSCALE(alternative least-square SCALing),还有人称之为多维量表分析；它是将一组个体间的相异数据经过MDS 转换成空间构图，且保留原始数据的相对关系。 1多维尺度分析的目的 假设给你一张中国台湾省地图，要你算出基隆，台北，新竹，台中，台南，嘉义，高雄，花莲，台东，枋寮，苏澳，恒春等地间的距离，你可以用一把刻度尺根据比例测算出一个12x12de 距离矩阵；反之，如果给你一份12个城市间的距离矩阵，要你画出12个城市相对位置的二维台湾地图，且要他们与现实尽量保持一致，那就是一件不容易的工作了，多为尺度分析就为此工作提供了一个有效地分析手段。 2多为尺度分析与因子分析和聚类分析的异同 多为尺度分析和因子分析都是维度缩减技术，但是因子分析一般使用相关系数进行分析，使用的是相似性矩阵；而多为尺度分析采用的是不相似的评分数据或者说相异性数据来进行分析；与因子分析不同，多为尺度分析中维度或因素的含义不是分析的中心，各数据点在空间中的位置才是分析解释的核心内容； 多为尺度分析与聚类分析也有相似之处，两者都可以检验样品或者变量之间的近似性或距离，但聚类分析中样品通常是按质分组的；多维分析不是将分组或聚类作为最终结果，而是以一个多维尺度图作为最终结果，比较直观。 若你的目的是要把一组变量缩减成几个因素来代表，可考虑使用因素分析；若目的是变量缩减后以呈现在空间图上，则可以使用MDS 。如果你是想要却仍相似观测值得组别，请考虑以聚类分析来补充多为尺度分析，聚类分析虽可以确认组别，但无法在空间图中标示出观测。 3.定性的和定量的MDS MDS 分析测量的尺度不可以是nominal 的，但可以是顺序的ordinal,等距的interval,比率的ratio 。顺序量表只可以用于质的分析，又称为定性多维量表分析；它以个体间距离排序为主；而interval 和ratio 量表称为定量多维量表分析（定量多维尺度分析）。 定性的多维量表分析是目前比较常用的MDS 法，因为他可以使用使用量表要求比较宽的顺序量表，但可以得到量表比较严的数值空间图，也就是说，输入的是分类数据，输出的是数值结果。 4.MDS 分析的各种类型 定性MDS 分析------------------------------------------------------------------------------------例1 定量MDS 分析------------------------------------------------------------------------------------例2 不对称方阵MDS 分析--------------------------------------------------------------------------例3 从数据中创建距离对称矩阵MDS-----------------------------------------------------------例4 个体差异模型MDS------------------------------------------------------------------------------例6 5多维量表分析的运算原理 对定量MDS 而言，输入的距离矩阵()rs n n D d ?=是欧氏距离，如果能在某个P 维空间上 找到坐标点，是其点间的距离2' ()()rs r s r s d x x x x =--所形成的矩阵刚好等于D,即可求得 MDS 的最佳解。其求解是一个迭代过程，不在此细述。 6.拟合度的测量-------Stress 拟合的好坏的指标称为压力系数（stress 应力），系数越小拟合越好；所绘图与原数据