线性代数第一讲
概论
线性代数是一门普通的基础理论课，它被广泛地应用于科技的各个领域，尤其在计算机日益普及的今天，求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题。
线性代数重点研究应用科学中常用的矩阵法，线性方程组的基本知识，另外行列式也是一个有力的工具，在讨论上述问题时都要用到。
本门课程的特点，既有繁琐和技巧性很强的数字计算，又有抽象的概念和逻辑推理，在学习中，需要特别加强这两个方面的训练。
第一章 行列式
§1定义
一、 二阶、三阶行列式 中学学过解二元一次方程组
??
?=+=+221
1
21c y b x b c y a x a 如果有解，它的解完全可由他们的系数()212121,,,,,c c b b a a 表示出来。
??
?=+=+)
2()1(2
211
21c y b x b c y a x a 1
1
)1()2(b a ???
??
?=+=+)
4()3(2
12111112211c a y b a x b a b c y b a x b a
()()1
1211221)
3()4(c b c a y b a b a -=-?
-.
若01221≠-b a b a ，则2
1
212111
1
2211121b b a a c b c a b a b a c b c a y ?
=
--=
（2）
同理 2
1
212221b b a a b c a c x =
（3）
其中
2
2
212
1
21
2111,
,b c a c b b a a c b c a 均称为二阶行列式
定义1.二阶行列式
bc
ad d
c
b a -= （4）
是一个数，主对角线两数之积减副对角线两数之积（对角线法则）
同样，在解三元一次方程组???
??=++=++=++3333231
2
2322211131211b
z a y a x a b z a y a x a b z a y a x a （5）
时，要用到“三阶行列式”，这里可采用如下的定义。 定义2，三阶行列式
33
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a D =32
31
222113
33
31
232112
33
32
232211a a a a a a a a a a a a a a a +-= （6）
行、列()3,2,1,3,2,1==j i a ij 称为D 的元素。
例1
00
5
04
10
603
10
6521
650432
+-=10
040352=?+?-?=
如果我们把ij a 所在的行（第i ）和列（第j ）()3,2,1,3,2,1==j i 划去后，所剩下的二阶行列式记为ij M ，那么有 ,33
32
232211a a a a M =
,33
31
232112a a a a M =
32
31
222113a a a a M =
故（6）式可写成：
13
1312121111M a M a M a D +-= （7）
ij M
称为元素ij a 的余子式，若令()
ij j
i ij M A +-=1，则（7）式又可写成
131312121111A a A a A a D ++=∑==
3
1
11k k
k
A a
（8）
ij
A 称为元素ij a 的代数余子式（注，这里的ij A 是一个二阶的）
二、n 阶行列式
以上，从二阶行列式到三阶行列式的定义。蕴含了一种规律，我们同样用之来定义更高的行列式。这种规律可由归纳法表现出来。
定义 3. 由2n 个数排成或n 行n 列的正方形数表，按照以下规律，可以得到
一个数：nn
n n n n a a a a a a a a a D
2
1
2222111211
=
∑==
+++=n
k k
k
n n A a
A a A a A a 1
111112121111 （9）
称为n 阶行列式，其中ij j i ij M A +-=)1(，ij M 表示D 划去第i 行第j 列
()n j i ,...,2,1,=后所剩下的n-1阶行列式。
行列ij a ——元素ij M 称为元素ij a 的余子式，ij A 成为元素ij a 的代数余子式。
注：1. 为了方便，定义一阶行列式1111a a =。
2. 按照定义式（9），从一阶行列式可以得到二阶行列式的
2112221122
21
1211a a a a a a a a -=（同对角线法）
。 例2. 证明对角行列式（其对角线上的元素是i λ未写出的元素都为0）
n n λλλλλλ
212
1
=
()
()n n n n
λλλλλλ
212
12
1
1--=
证：按定义式（9）
n
n λλλλλλλ
3
2
1
2
1
=n n
λλλλλλλ
212
13
===
()
n
n
n
λλλλλλλ
3
2
1
12
1
1+-=()
()n
n n
λλλλ
3
2
1111--=+
()
()n
n
n λλλλ
3
2
111++-=()
()n n n λλλ 212
11--==
例3. 证明下三角行列式
nn nn n n a a a a a a a a a D
22112
1
222111
==
按定义式（9）得
nn n n a a a a a a a D
3
2
333222
11
=nn n n a a a a a a a
4
3
433322
110
=nn
a a a 2211==
以上，n 阶行列式的定义（9）式，是利用行列式的第一行元素来定义行列式的，这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开是。我们可以证明。行列式按第一列元素展开也有相同的结果，即
nn
n n n n a a a a a a a a a D
2
1
2222111211
=
∑==
+++=n
k k k n n A a
A a A a A a 1
1
1
1121211111 （10）
我们还可以证明，行列式按任意行（列）展开，都有相同的结果，即有： 定理（Laplace ） ),,2,1(1
n i A a
D n
k ik
ik
==
∑= （11）
)
,,2,1(1
n j A a
D n
k kj
kj
==
∑= （12）
例4 计算行列式
1
7
5
004026140132---=
D
解 选一行（或列）具有较多的0元素的展开式，按第三行展开，得
()
1
5
2640
12
142
3--?=+D ()56
1
5
121243
2-=--?-=+
例5 计算行列式 1
4
2
3
101012344321
-=
D
解 按第三行展开，得
()()4
2
3
234321111
4
3
124
4
31
17
5-?--=D ????
??+--=43
244
1
3
143
1
4
12
??
????+-+23
343
4
3
242
4
2
23 [][]50153532084032-=--=--++---= 另外，三阶行列式也有对角线法则。
33
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a --- 例6 计算三阶行列式 6
5
4
987
321
---=D 解：()()()573492681-??+??-+?-?=D ()()()672591483??---??-?-?-
08445961057248=+++---=
同样，三元一次方程组（5）的解也可以用三阶行列式表示
当（5）的系数行列式 0333231
232221
13
1211
≠=a a a a a a a a a D 时（5）的解为 D
D z D
D y D
D x 321,,=
=
=
，其中33
32
3
23222
13121
1a a b a a b a a b D = 33
3
31
23221
13
1112a b a a b a a b a D = 3
32
31
22221
11211
3b a a b a a b a a D = 例7 解线性方程组 ??
?
??=+-=++-=++-55730422z y x z y x z y x
解： 先计算系数行列式 5
7
3
411
1
12
--=D 069556371210≠-=----+-= 因此可用行列式（13）求解 再计算321,,D D D
515
7
5
410
1
121-=--=D ，315
5
3
4011
222=--=D ，55
7
3
0112123=---=D
代入公式（7）得
23
171==
D D x ，69
312-
==
D
D y ，69
53-
==
D
D z
例8 求二次多项式()x f ，使得
()61=-f ，()21=f ，()32=f
解 设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得
??
?
??=++=++=+-32426c b a c b a c b a 求c b a ,,如下： 061
2
4
111
111≠-=-=D ，61
2
3
112
116
1-=-=D ，121
3
4
121
161
2==D ，
183
2
4
211
6113-=-=D 所以 11==
D
D a ，22-==
D
D b ，33==
D
D c
故()322+-=x x x f 为所求。
注： 公式（2）-（3） （二元）
称为克莱姆法则
公式（13） （三元）
作业：习题1-1
1（2）.（5）.（6）.（7）；2.（3）；3. 1-2 5 1-4 1
n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．
行列式习题答案
2 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13， 5 -） （D ）（5,13--） 3 ． 方 程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的 值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s
网上搜集的计算行列式方法总结, 还算可以. 计算n 阶行列式的若干方法举例 闵 兰 摘 要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。 关键词：n 阶行列式 计算方法 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100200 10 000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足
,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明 由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a =
计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式 例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1定义法 (1) 2利用行列式的性质 (23) 化三角形行列式 (3) 4行列式按一行（列）展开 (4) 5 升阶法 (5) 6 递推法 (6) 7 范德蒙德行列式 (7) 8 拉普拉斯定理 (7) 9 析因法 (8) 小结 (10) 参考文献 (11)
n阶行列式的计算方法 学生姓名:孙中文学号：20120401217 数学与计算机科学系数学与应用数学专业 指导老师:王改霞职称：讲师 摘要：行列式是高等代数中最基本也是最重要的内容之一，是高等代数学习中的一个难点.本文主要探讨一般n阶行列式的计算方法和一些特殊的行列式求值方法.如：化三角形法、拉普拉斯定理法、升阶法等.总结了每种方法的行列式特征. 关键词：行列式；定义；计算方法 Abstract: Determinant is one of higher algebra the most fundamental and important content, is a difficult point in Higher Algebra Learning. This paper mainly discusses the general order determinant of calculation method and some special determinant evaluation method. Such as: triangle method, method of Laplace theorem, ascending order method. This paper summarizes the determinant of the characteristics of each method. Keywords: Determinant ;Definition ;Calculation method 引言 行列式是高等代数的一个非常重要的内容，同时它也是非常复杂的.它的计算方法多种多样.在我们本科学习中只解决了一些基本的有规律的行列式.当遇到低阶行列式时，我们可以根据行列式的性质及其定义便能计算得出结果.但对于一些阶数较大的n阶行列式来说，用定义法就行不通了，本文根据各行列式的特征总结了一些对应方法. 1定义法 n阶行列式计算的定义：
n阶行列式的计算方法 姓名： 学号： 学院： 专业： 指导老师： 完成时间：
n阶行列式的计算方法 【摘要】 本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。 【关键词】 n阶行列式行列式的性质数学归纳法递推法加边法
Some methods of an n-order determinant calculation 【Abstract】In this paper, considering the characteristics of determinant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues . 【Key words】n-order determinant the property of the determinant the mathematical induction adding the edge method
n 阶行列式的计算方法 1．利用对角线法则 “对角线法则”： （1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素 的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。 例 1 计算二阶行列式 D = 1 3 。 2 4 解： D = 1 3 = 1? 4 ? 3 ? 2 = ?2 2 4 例 2 计算三阶行列式 D = 1 2 0 4 ? 3 8 。 0 ?1 2 解： D = 1 2 0 4 ? 3 8 = 1? (?3) ? 2 + 2 ? 8 ? 0 + 0 ? 4 ? (?1) ? 0 ? (?3) ? 0 ? 2 ? 4 ? 2 ?1? 8 ? (?1) 0 ?1 2 = ?14 2．利用 n 阶行列式的定义 a 11 a 12 ? a 1 n n 阶行列式 D = a 21 a 22 ? a 2 n =∑ (?1) τ a 1 p 1 a 2 p 2 ? a np n ? ? ? ( p 1 p 2 ? p n ) a n 1 a n 2 ?a nn 其中 τ = τ( p 1 p 2 ? p n ) ， 求和式中共有 n ! 项。 显然有 a 11 a 12 ? a 1 n 上三角形行列式 D = a 22 ?a 2 n = a 11 a 22 ? a nn ? ? a nn a 11 下三角形行列式 D = a 21 a 22 ? = a 11 a 22 ? a nn ? ? a n 1 a n 2 ?a nn
第一章 行列式 行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。 §1.1 n 阶行列式定义和性质 一、 二、三阶行列式定义的引出 1. 二阶行列式 例1：二阶线性方程组 ?? ?=+=+2 2221211 212111b x a x a b x a x a 且021122211≠-a a a a . 解：利用加减消元可求得122122 112121 1211221221 11221221 , .b a a b a b b a x x a a a a a a a a --==-- 取 2112221122 21 1211a a a a a a a a D -== ，21222122 2 1211b a a b a b a b D -== ， 得 .,2 21 1D D x D D x = = 定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号） 2112221122 21 1211a a a a a a a a -= 称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第 j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。 2阶行列式由2 2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。 应用：解线性方程 例2：解方程组.328 3221 21 ???-=-=+x x x x 解 D 2 132-=13)2(2?--?=,7-=1D 233 8--=)3(3)2(8-?--?=,7-= 1112112121 21 2 a b D a b b a a b = =-
线性代数第一讲 概论 线性代数是一门普通的基础理论课，它被广泛地应用于科技的各个领域，尤其在计算机日益普及的今天，求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题。 线性代数重点研究应用科学中常用的矩阵法，线性方程组的基本知识，另外行列式也是一个有力的工具，在讨论上述问题时都要用到。 本门课程的特点，既有繁琐和技巧性很强的数字计算，又有抽象的概念和逻辑推理，在学习中，需要特别加强这两个方面的训练。 第一章 行列式 §1定义 一、 二阶、三阶行列式 中学学过解二元一次方程组 ?? ?=+=+221 1 21c y b x b c y a x a 如果有解，它的解完全可由他们的系数()212121,,,,,c c b b a a 表示出来。 ?? ?=+=+) 2()1(2 211 21c y b x b c y a x a 1 1 )1()2(b a ??? ?? ?=+=+) 4()3(2 12111112211c a y b a x b a b c y b a x b a ()()1 1211221) 3()4(c b c a y b a b a -=-? -. 若01221≠-b a b a ，则2 1 212111 1 2211121b b a a c b c a b a b a c b c a y ? = --= （2） 同理 2 1 212221b b a a b c a c x = （3） 其中 2 2 212 1 21 2111, ,b c a c b b a a c b c a 均称为二阶行列式 定义1.二阶行列式 bc ad d c b a -= （4） 是一个数，主对角线两数之积减副对角线两数之积（对角线法则） 同样，在解三元一次方程组??? ??=++=++=++3333231 2 2322211131211b z a y a x a b z a y a x a b z a y a x a （5）
四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
线性代数讲稿 讲稿编者：王杰 使用教材：《线性代数》 教学参考：《线性代数典型题分析解集》
第一章 n 阶行列式 §1.2 排列及其逆序数 1．排列：n 个依次排列的元素． 例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种． 1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243 2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143 3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142 4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132 例1 互异元素n p p p ,,,21 构成的不同排列有!n 种． 解 在n 个元素中选取1个 n 种取法 在剩余1-n 个元素中选取1个 1-n 种取法 在剩余2-n 个元素中选取1个 2-n 种取法 ……………… ………… 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 ------------------ 总共!n 种取法 2．标准排列：n 个不同的自然数从小到大构成的排列． n 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列． 3．逆序数： (1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有1个逆序． (2) 排列n p p p 21中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作)(21n p p p τ． 算法：固定),,2(n i =, 当i j <时, 满足的“”的个数记作（称为的逆序数）, 那么． 例2 排列6372451中, ． 例3 排列, 求逆序数． 解 记作 , , , …,
4．奇偶性：排列 奇数时, 称为奇排列； 偶数时, 称为偶排列． 5．对换： 相邻对换： 一般对换： 定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变． 证先证相邻对换：(1) (2) ：对换后增加1, 不变, 故； ：对换后不变, 减少1, 故． 所以与的奇偶性相反． 再证一般对换：(1) (2) (3) (1)(2)经过次相邻对换 (2)(3)经过次相邻对换 (1)(3)经过次相邻对换, 所以与的奇偶性相反． 推论奇排列标准排列, 对换次数为奇数． 偶排列标准排列, 对换次数为偶数． §1.3 阶行列式的定义 1．二阶： 2．三阶： (1) 乘积中三个数不同行、不同列： 行标(第1个下标)：标准排列123 列标(第2个下标)：是1,2,3的某个排列(共6种) (2) 正项：123, 231, 312为偶排列 负项：132, 213, 321为奇排列 于是, ． 3．阶：个数, 称 为阶行列式, 它表示数值 , 其中, 求和式中共有项． 例3 计算, . 解中只有一项不显含0, 且列标构成排列的逆序数为, 故．
n 阶行列式的若干计算方法 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例计算行列式00100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇 数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=， 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 01002001000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行 列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230 000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
第一章 n 阶行列式 §1.2 排列及其逆序数 1．排列：n 个依次排列的元素． 例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种． 1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243 2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143 3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142 4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132 例1 互异元素n p p p ,,,21 构成的不同排列有!n 种． 解 在n 个元素中选取1个 n 种取法 在剩余1-n 个元素中选取1个 1-n 种取法 在剩余2-n 个元素中选取1个 2-n 种取法 ……………… ………… 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 ------------------ 总共!n 种取法 2．标准排列：n 个不同的自然数从小到大构成的排列． n 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列． 3．逆序数： (1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有1个逆序． (2) 排列n p p p 21中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作)(21n p p p τ． 算法：固定),,2(n i =, 当i j <时, 满足i j p p >的“j p ”的个数记作i τ（称为i p 的逆序数）, 那么)(21n p p p τn ττ++= 2． 例2 排列6372451中, 1462230172=+++++=++=τττ ． 例3 排列42)22)(2)(12(13 --n n n , 求逆序数．
线性代数讲稿 讲稿编者：安徽工业大学数理学院 应用数学系线性代数课程组 使用教材：《线性代数》（第二版） 高等教育出版社 华中科技大学数学系编 教学参考：《线性代数》（第四版）同济大学数学系编《高等代数》（第三版）北京大学数学系编 高等教育出版社
第一章 n 阶行列式 1．教学目的和要求： (1) 使学生了解行列式概念，掌握行列式的性质. (2) 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式. 2．教学重点： (1) 行列式的定义. (2) 行列式的性质及行列式按行（列）展开定理. (3) 克拉默法则. (4) 行列式的计算. 3．教学难点： 四阶及n 阶行列式的计算. 4．本章结构： 行列式的理论来源于解线性方程组，所以从解二元线性方程组的 角度引入了二阶行列式，然后归纳给出了n 阶行列式的定义，讨论其性质和计算方法，最后作为行列式的应用，介绍了Gramer 法则。 5．教学内容： §1.1 行列式定义 1．二阶行列式的定义 用消元法解二元线性方程组 ?? ?=+=+22221211212111b x a x a b x a x a (1) 为消去未知数2x ,以22a 与12a 分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减 得 , 类似地消去1x ,得 ()211211*********a b b a x a a a a -=- 当021122211≠-a a a a 时,求得方程组（1）的解为 2112221121 12112211222112122211,a a a a a b b a x a a a a b a a b x --=--= (2) (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中分母21122211a a a a -是由方程组（1）的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组（1）中的位置,排成二行二列（横排称行，竖排称列）的数表 (3) 表达式21122211a a a a -称为数表(3)所确定的二阶行列式,并记作 22 211211a a a a 22 211211a a a a ()2 12221121122211b a a b x a a a a -=-
线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 行列式的定义 一．选择题 1．若行列式x 52231 5 2 1- = 0，则=x [ ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组?? ?=+=+4 733 22121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--） 3．方程09 3 142 112 =x x 根的个数是 [ ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，该项为零； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个 二、填空题 1．行列式 1 22 1--k k 0≠的充分必要条件是 2．排列36715284的逆序数是 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = s = ，t = 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 。
密级： JINING UNIVERSITY 学士学位论文 THESIS OF BACHELOR 题目n阶行列式的计算方法与技巧 系别：数学系 专业年级： 学生姓名：学号： 指导教师：职称： 起讫日期：
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1 利用行列式定义直接计算 (2) 1.1 利用定义计算的条件 (2) 1.2 对定义计算的举例应用 (2) 2 化三角形法 (2) 2.1 化三角形方法的运用条件 (2) 2.2 化三角形方法举例应用 (2) 3 按行（列）展开法（降阶法） (3) 3.1 降阶法法的运用条件 (3) 3.2 降阶法方法举例应用 (3) 4 归一法 (4) 4.1 归一法的运用条件 (4) 4.2 归一法举例应用 (4) 5 加边法（升阶法） (5) 5.1 加边法的运用条件 (5) 5.2 加边法举例应用 (5) 6 递推法 (6) 6.1 递推法的运用条件 (6) 6.2 递推法举例应用 (6) 7 利用范德蒙行列式 (6) 7.1 范德蒙行列式 (6) 7.2 范德蒙行列式方法举例应用 (7) 8 数学归纳法 (7) 8.1 数学归纳法的运用条件 (7) 8.2 数学归纳法举例应用 (7) 9 利用拉普拉斯定理 (8) 9.2 拉普拉斯定理 (8) 9.2 拉普拉斯定理方法举例应用 (8) 10 拆行（列）法 (9) 10.1 拆行（列）法的运用条件 (9)
10.2 拆行（列）法举例应用 (9) 11 析因法 (10) 11.1 析因法的运用条件 (10) 11.2 析因法举例应用及分析 (10) 12 利用矩阵行列式公式 (11) 12.1 引理一及其证明 (12) 12.2 利用矩阵行列式公式方法举例应用 (13) 13 论文总结 (13) 致谢 (14) 参考文献 (14)