第二讲 矩阵及初等变换（4节） 在上一讲中，我们简单介绍了n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的思想，这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表，我们称之为矩阵。 矩阵是线性代数中重要的概念之一，它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较广泛的应用。著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。因此掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。 本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质，为下一步更好地利用矩阵理论与方法讨论线性方程组提供有力的理论支撑。 1.2.1矩阵的概念 定义2.1 由m n ?个数i j a （=1,2,,i m ；=1,2,j n ）排成了m 行n 列的矩形数表 11121212221 2 n n m m m n a a a a a a a a a 称其为m 行n 列矩阵，记作 11121212221 2 n n m m m n m n a a a a a a a a a ??? ? ? ? ??? 。 其中称ij a 是矩阵的第i 行第j 列元素。矩阵常用大写字母m n A ?，m n B ?… ...表示，或简记m n A ?=()ij m n a ?，m n B ?=()ij m n b ?… … 等. 注意：矩阵的行数m 与列数n 可以不相等，行列相同的矩阵称为方阵. 例如 2行3列矩阵 23231 0-2=2 5 -3A ???? ??? ， 2行2列矩阵 2222 2 1=1 6B ???? ?-??。 例2.1例：给个具体的矩阵表示实例 1.2.2矩阵的运算 矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则，以及转置运算等.由于矩阵是个数表，所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。下面我们先给出矩阵的基本的运算. 定义2.2 若两个行列相同的矩阵() () ,ij ij m n m n A a B b ??==其对应元素相等，即
上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程 《矩阵理论》教学大纲（附：选课指南） 一．概况 1．开课学院（系）和学科：理学院数学系 2．课程代码： 3．课程名称：矩阵理论 4．学时/学分：51学时/3学分 5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无 穷级数，常微分方程） 6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。 7．教材/教学参考书： 《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006 《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。 《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。 《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。 《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。 二、课程的性质和任务 矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。 三、课程的教学内容和要求 矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 (数字表示供参考的相应的学时数)
矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．
矩阵式组织结构 新华网（2003-03-19）来源：中华工商时报 矩阵式结构的出现是企业管理水平的一次飞跃。当环境一方面要求专业技术知识，另一方面又要求每个产品线能快速做出变化时，就需要矩阵式结构的管理。前面我们讲过，职能式结构强调纵向的信息沟通，而事业部式结构强调横向的信息流动，矩阵式就是将这两种信息流动在企业内部同时实现。 在实际操作中，这种双重管理的结构建立和维持起来都很困难，因为有权力的一方常常占据支配地位。因此比较成熟的矩阵式管理模式为带有项目／产品小组性质的职能型组织。职能部门照常行使着管理职能，但公司的业务活动是以项目的形式存在的。项目由项目经理全权负责，他向职能经理索要适合的人力资源，在项目期间，这些员工归项目经理管理。而职能经理的责任是保证人力资源合理有效的利用。 与前两种结构不同，矩阵式结构很少能从组织结构图中判断出来，需要根据企业具体的管理行为加以判断。而企业是否应该实行矩阵式管理，应该依据下面三个条件加以判断：条件一：产品线之间存在着共享希缺资源的压力。该组织通常是中等规模，拥有中等数量的产品线。在不同产品共同灵活地使用人员和设备方面，组织有很大压力。比如，组织并不足够大，不能为每条产品线安排足够的工程师，于是工程师以兼职项目服务的形式被指派承担产品服务。 条件二：环境对两种或更多的重要产品存在要求。例如对技术质量和产品快速更新的要求。这种双重压力意味着在组织的职能和产品之间需要一种权力的平衡。为了保持这种平衡就需要一种双重职权的结构。 条件三：组织所处的环境条件是复杂和不确定的。频繁的外部变化和部门之间的高度依存，要求无论在纵向还是横向方面要有大量的协调与信息处理。 根据上面的条件可以看出，提供咨询服务的公司最适合采用矩阵式结构。例如中型规模的咨询公司，这样的公司规模在几十人至上百人，咨询顾问可以根据业务专业划分为不同的职能团队，例如财务咨询，生产、工程咨询，管理咨询小组。由于咨询顾问的成本较高，优秀的咨询顾问资源相对稀缺，而咨询公司没有统一的产品，需要根据客户的具体情况进行二次设计，每一个项目都是一个全新的产品，无法通过流水线作业完成。而且，产品的质量需要由项目经理和职能经理共同控制。矩阵式的结构能最好的满足以上的条件。 矩阵式结构的优势在于它能使人力、设备等资源在不同的产品／服务之间灵活分配，组织能够适应不断变化的外界要求。这种结构也给员工提供了获得职能和一般管理的两方面技能。在矩阵式组织里，关键组织成员的角色定位非常重要。这些关键组织成员包括：高层领导者、矩阵主管和员工。 高层领导者的主要职责是维持职能经理和产品经理之间的权力平衡。高层领导者也必须愿意进行决策委托，鼓励职能经理和产品经理直接接触，共同解决问题，这将有助于信息共享和协调。 矩阵主管的问题在于如何控制他们的下属。由于下属接受两个主管同时领导，不自觉的员工会利用这个机会钻空子，造成主管对他的管理真空化。因此，职能和产品主管必须一起工作，解决问题。职能主管主要解决下属的技术水平问题，而项目主管则具体管理下属在这个项目上的行为、工作结果和绩效。这些活动需要大量的时间、沟通、耐心以及和别人共同工作的技巧，这些都是矩阵管理的一部分。 员工接受双重领导，经常能体会到焦虑与压力。他的两个直接经理的命令经常会发生冲突。这时双重主管的员工必须能够面对产品经理和职能经理的指令，形成一个综合决策来确定如何分配他的时间。员工们必须和他的两个主管保持良好关系，他们应该显示出对这两个主管的双重忠诚。
矩阵式管理的形式、优缺点及实施矩阵式管理时应注意的问题矩阵式管理是相对于那种传统的按照生产、销售、服务等设置的一维式管理而言的。矩阵式管理主要是将管理部门分为两种，一种是传统的职能部门，另一种是为完成某项专门任务而由各职能部门派人联合组成的专门小组，并指定专门负责人领导，任务完成后，该小组成员就各回原单位。从广义上讲，施工企业以职能部门组成的公司总部，以项目实施为核心的项目经理部，按不同专业、领域成立的子(分)公司为二级组织的管理结构，相对于公司而言，就是个矩阵式的管理体制。 矩阵式管理模式就是以产品线为纵轴，区域机构为横轴的交叉组织管理模式，是多产品线、跨区域或跨国企业经营的基本模式。矩阵式管理模式具有灵活、高效、便于资源共享和组织内部沟通等优势，可以适应多元化产品、分散市场以及分权管理等复杂条件。在矩阵组织中，强调区域本地化及产品业务垂直化，各地分公司和产品线负责人都可以更好地了解客户需求，提供差异化的产品及服务，赢得更多订单和市场。通过横向联系和纵向联系的管理方式，企业能够平衡运营中分权化与集权化问题，使各个管理部门之间相互协调和相互监督，更加高效地实现企业的经营目标。 矩阵式管理的优势 从企业运营的角度看，矩阵式管理有三大优势：一是人力资源得到充分利用；二是工作效率得到很大提高。企业可以在最短的时间内调配人力，组成一个团队，把不同职能的人才集中在起，解决些复杂的高难度问题；三是员工的综合才能得到锻炼。 从提高企业的市场竞争力的角度看，矩阵式管理具有以下优势：一是具有良好的前瞻性和扩展性。随着公司的不断发展，经营不断进入新的产品领域和竞争领域，企业迫切需要一种易于扩展的组织结构模式，避免每次结构调整都需要伤筋动骨，给经营带来损失。矩阵式结构可以很容易地以产品或区域的方式扩充新的建制，而不必对企业整体架构做出调整。因此具有良好的前瞻性；二是面向产品市场设计的组织架构具有强烈的市场导向意识。不同的产品进入不同的市场，采用不同的经营方式，可以有效地避免集团公司因突出主业产品而制定的经营策略和市场策略的一般化、简单化；三是经营目标的制定、执行情况的监控、考核办法的制定都比较简单，具有针对性，便于企业总体目标的实现。 矩阵式管理的缺陷 矩阵式管理模式存在的不足：矩阵式管理框架的节点太多，管理成本上升；人力资源紧张、人员素质跟不上导致区域机构管理不善；各业务线节点工作量不均，可能造成局部人力资源浪费；纵向、横向多管理线条交叉，管理难度加大。企业管理层次多，机构设置多造成的内部管理失控，基层执行力下降；管理流程设计复杂化。企业管理流程程序化是确保矩阵式管理取得成功的关键措施，与金字塔组织结构不同的是矩阵管理存在纵向与横向流程交叉的问题，因此，矩阵结构的管理流程设计相当复杂；资源共享和内部工作效率问题。企业的资源是有限的，合理的使用会降低使用成本，提高利用率，在矩阵式管理模式下，资源存在分散配置，资源共享问题比较突出。
鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号：30 指导教师：裴银淑 2013年12月26日
一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义： 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价：
“矩阵理论及其应用”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生 姓名：学号: 专业：机械电子工程类别：学术 上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
最小二乘法问题 摘要：无论在哪个专业领域，都不可避免的要面对测量所得到的一批数据。这些数据看似杂乱无章，但对于特定的时间却是符合特定的规律。而要发现这些规律必须借助一定的手段。矩阵理论作为一门具有强大功能的学科再此发挥了它重要的作用。用矩阵论的理论来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍了。在工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容质疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了崭新的研究途径。矩阵理论与方法已成为研究现代工程技术的数学基础。因此，对于数据的处理采用最小二乘法是最恰当不过的了。 关键词：数据处理，矩阵理论，最小二乘法 正文 一、引言 最小二乘法已有近200年的发展历史，它首先由Gauss K F提出并被应用于天文计算中，现已被广泛地用来解决各种技术问题。在过去的30多年里，它已被成功地应用到过程控制系统的参数估计领域，数字计算机技术又使最小二乘原理更有实践价值。参数估计现在模型结构已知时，用实验法所取得的数据来确定表征系统动力学模型中的参数。最小二乘法原理提供了一个数学程序，通过它可以获得一个在最小方差意义下与实践数据拟合最好的模型，它在稳态系统数学模型的回归分析方面应用已很成熟，在动态系统的参数辨识方面也取得了许多重要成果，其参数估计的收敛性质也得到了深入的研究，可以说在参数估计领域中最小二乘方法已达到了完善的程度。 本文讨论的问题如下： 一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：
《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月
Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015
中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用
Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application
§9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。
定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。 定理1设,?∈n n n A C （下标表示秩）则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵，L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R ，使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R ，使得 =T A R R
基于Matlab 的n阶方阵的LDU分解实现 1.引言 矩阵的LDU分解是“矩阵理论与方法”课程中非常重要的一部分。LDU分解在实际工程应用中也非常广泛。LDU分解可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个对角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。LDU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U和对角矩阵的乘积，其中L和U 分别是下三角和上三角矩阵，D为对角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LDU。即： Matlab 是很好的处理矩阵的工具。它的功能非常强大，包括创建矩阵，对矩阵求逆，转置等操作非常简单，使其成为图像处理，信号分析等领域常用的工具。Matlab 官方已经包括了对非奇异矩阵的LU分解函数[L,U]=lu(A)，为了加深对矩阵分解的理解，本文不采用Matlab 官方的LU分解函数对矩阵A进行LDU 分解，而是根据理论推导和编程实现LDU分解。 2.程序设计 2.1.输入合法检验 LU分解需要被分解矩阵A满足如下条件： 1)矩阵A为方阵 2)A的顺序主子式 全故LU分解需先检验A为n阶方阵，然后检验A的n-1个顺序主子式D k 不为0，才可进行LU分解。而检验主子式D 可以在n-1次循环LU分解中 k 进行，故先检验矩阵是否为方阵。 代码如下
2.2. n-1次循环LDU 分解 LDU 分解本质上是高斯消元法。实质上是将A 通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。从下至上地对矩阵A 做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L 矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。LDU 分解主要分为两步： 1根据高斯消元法对A i ()消元，消元矩阵为L i +1-1；2计算L i +1 -1A i ()=A i +1()以产生下一步迭代的A i ()。 2.2.1. 根据 构造L j ,L j -1(j =i +1) 高斯消元A i ()，使A i ()第i+1列从第i+2行至n 行都为0。构造消元矩阵L j ,L j -1。首先判断是否为0，为0则无法继续分解，退出；否则继续。 代码如下 2.2.2. 计算L i +1-1A i ()=A i +1() D k
《矩阵理论》知识重点 一．概况 1．开课学院（系）和学科：理学院数学系 2．课程代码： 3．课程名称：矩阵理论 4．学时/学分：51学时/3学分 5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无 穷级数，常微分方程） 6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。 7．教材/教学参考书： 《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006 《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。 《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。 《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。 《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。 二、课程的性质和任务 矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。 三、课程的教学内容和要求 矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 (数字表示供参考的相应的学时数) 第一章矩阵代数（复习，2） 1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2）
第二章习题及参考解答 注：第27题(2)(3)错(可将“证明”改为证明或否定)，第28题可不布置。第50题（含）以后属于附加内容，没有参考解答。 1.证明子空间判别法:设U是线性空间V的一个非空子集.则U是子空间??对任 意λ∈F,α,β∈U,有α+β∈U与λα∈U. 证明：必要性是显然的，下证充分性。设U关于加法“+”与数乘均封闭。则U中加法“+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α=α均自动成立，因为U?V.由 于U关于数乘封闭，而0=0α∈U,?α=?1α∈U,因此U是子空间。 2.证明子空间的下述性质。(1)传递性:即若U是V的子空间,W是U的子空间,则W 也是V的子空间; (2)任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且是含于这些子空间的最大子空间; 特别,两个子空间U与W的交U∩W仍是子空间. 证明：（1）由子空间判别法立即可得。 （2）由子空间判别法可知任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且若某个子空 间含于所有这些子空间，则该子空间必然含于这些子空间的交。 3.(1)设V是线性空间,U与W是V的两个子空间.证明： dim(U+W)=(dim U+dim W)?dim(U∩W). (2)设V是有限维线性空间.证明并解释下面的维数公式: dim V=max{m|0=V0?V1?···?V m?1?V m=V,V i是V i+1的真子空间} 证明：（1）设dim U=s,dim W=t,dim(U∩W)=r.任取U∩W的一组基α1,α2,···,αr.由于U∩W是U与W的公共子空间,故U∩W的基是U与W的线性无关的向量组,因此 可以扩充成U或W的基.设 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs(0.0.1) 与 α1,α2,···,αr,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.2) 分别是U与W的基.我们证明 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.3) 是U+W的一组基.为此需要证明该向量组线性无关,且U+W的任何向量均可由这些向量 线性表示. 设 k1α1+k2α2+···+k rαr+b r+1βr+1+···+b sβs+c r+1γr+1+···+c tγt=0.(0.0.4) 12
I B M矩阵式的组织结构 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
IBM矩阵式的组织结构 近些年来，IBM、HP等着名的外国企业都采用矩阵式的组织结构。尽管我在管理学的教科书上看到过对矩阵组织优劣的探讨，但很难有切身的感受。这次听叶成辉先生谈起自己经历着的IBM公司的矩阵组织，感到获益不浅。 1987年，加州伯克利大学电子工程专业出身的叶成辉在美国加入IBM旧金山公司，成为一名程序员。因为不喜欢编程等技术类的工作，梦想着做生意(DOBUSINESS)、当经理(比较喜欢跟人沟通)，他便主动请缨到销售部门去做，经过了差不多5年时间的努力，获得提升，成为一线的经理。随后，叶先生回到IBM香港公司，做产品经理。由于个人"斗志旺盛"，业绩不错，而且"官运亨通"，差不多每两年他都能够蹦一个台阶，如今，叶成辉已经是IBM大中华区服务器系统事业部AS/400产品的总经理。 从旧金山到香港，再到广州到北京；从普通员工到一线经理，再提升到现在做三线经理；从一般的产品营销，到逐步专注于服务器产品，再到AS/400产品经理，10多年来，叶成辉一直在IBM的"巨型多维矩阵"中不断移动，不断提升。他认为，IBM的矩阵组织是一个很特别的环境，"在这个矩阵环境中，我学到了很多东西。"IBM是一个巨大的公司，很自然地要划分部门。单一地按照区域地域、业务职能、客户群落、产品或产品系列等来划分部门，在企业里是非常普遍的现象，从前的IBM也不例外。"近七八年以来，IBM才真正做到了矩阵组织。"这也就是说，IBM
公司把多种划分部门的方式有机地结合起来，其组织结构形成了"活着的"立体网络--多维矩阵。IBM既按地域分区，如亚太区、中国区、华南区等；又按产品体系划分事业部，如PC、服务器、软件等事业部；既按照银行、电信、中小企业等行业划分；也有销售、渠道、支持等不同的职能划分；等等，所有这些纵横交错的部门划分有机地结合成为一体。对于这个矩阵中的某一位员工比如叶成辉经理而言，他就既是IBM大中华区的一员，又是IBM公司AS/400产品体系中的一员，当然还可以按照另外的标准把他划分在其他的部门里。 IBM公司这种矩阵式组织结构带来的好处是什么呢叶成辉先生认为，非常明显的一点就是，矩阵组织能够弥补对企业进行单一划分带来的不足，把各种企业划分的好处充分发挥出来。显然，如果不对企业进行地域上的细分，比如说只有大中华而没有华南、华东、香港、台湾，就无法针对各地区市场的特点把工作深入下去。而如果只进行地域上的划分，对某一种产品比如AS/400而言，就不会有一个人能够非常了解这个产品在各地表现出来的特点，因为每个地区都会只看重该地区整盘的生意。再比如按照行业划分，就会专门有人来研究各个行业客户对IBM产品的需求，从而更加有效地把握住各种产品的重点市场。 "如果没有这样的矩阵结构，我们要想在某个特定市场推广产品，就会变得非常困难。"叶成辉说。比如说在中国市场推广AS/400这个产品吧，由于矩阵式组织结构的存在，我们有华南、华东等各大区的队伍，有金融、电信、中小企业等行业队伍，有市场推广、技术支持等各职能
矩阵型组织结构 定义：矩阵型组织结构是按职能划分的部门和按产品（或项目，或服务等）划分的部门结合起来组成一个矩阵，是同一个员工既同原职能部门保持组织与业务的联系，又参加产品或项目小组的工作，即在直线职能型基础上，再增加一种横向的领导联系。 为了保证完成一定的管理目标，每个项目小组都设置了负责人，在组织最高主管直接领导下进行工作。这个组织结构打破了传统的一个员工只受一个上司主管的原则。而至少有两个或两个以上的主管领导。 矩阵组织结构图：（厂家和企业矩阵组织结构图）
学校领导矩阵组织结构图： 矩阵型组织结构的优缺点： （1）机动、灵活，可随项目的开发与结束进行组织或解散； （2）由于这种结构是根据项目组织的，任务清楚，目的明确，各方面有专长的人都是有备而来。因此在新的工作小组里，能沟通、融合，能把自己的工作同整体工作联系在一起，为攻克难关，解决问题而献计献策，由于从各方面抽调来的人员有信任感、荣誉感，使他们增加了责任感，激发了工作热情，促进了项目的实现； （3）它还加强了不同部门之间的配合和信息交流，克服了直线职能结构中各部门互相脱节的现象。
（4）合理调配资源 缺点是： （1）项目负责人的责任大于权力，因为参加项目的人员都来自不同部门，隶属关系仍在原单位，只是为""会战""而来，所以项目负责人对他们管理困难，没有足够的激励手段与惩治手段，这种人员上的双重管理是矩阵结构的先天缺陷； （2）由于项目组成人员来自各个职能部门，当任务完成以后，仍要回原单位，因而容易产生临时观念，对工作有一定影响。 如何克服这存在的缺点：授予项目经理全面的职权；独立预算；项目经理与职能经理共同制定进度与确定重点，比如说：矛盾，提交上一级解决。 1004504-02 2012年3月24日
“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：舒永录 姓名：朱月学号：20140702057t 专业：机械工程类别：学术 上课时间：2014 年9月至2014年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
相关变量的独立变换 摘要：用矩阵的理论及方法来处理实际生活中或现代工程中的各种问题已 越来越普遍。在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。 正文 一、问题描述 在建立机械系统可靠性模型时，一般总假设个元素间关于强度相互独立。但是实际中，各元素间关于应力和强度又往往是相关的，并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。对于一些随机变量之间不是完全相关，但也不是完全独立的情况，就要进行相关变量的独立变换。 二、方法简述 设系统的基本变量为),,(21n x x x X ，??，各变量之间相关，则随机变量x 的 n 维正态概率密度函数为[1] )1()()(21exp ||2()(1 2 12 ? ??--???-=---X X T X X n X C X C X f μμπ） 式中 ?? ? ???????????=2321232212131212 ),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(21n X n n n n X n X X x x x x x x x x x x x x x x x x x x C σσσ 称为随机变量X 的协方差矩阵。矩阵中的任意元素),cov(j i x x 是变量i x 与变 量j x 的协方差，|C X |是协方差矩阵的行列式，1 -X C 是协方差矩阵的逆矩阵，X ，X μ及 )X X μ-（是n 维列向量 ?? ? ?? ?????--=-????? ?????=?? ??? ?????=n n X n X n x x X x x μμμμμμ 1111, , X
基于Matlab-的-n阶非奇异方阵的LU分解实现
基于Matlab 的 n阶方阵的LDU分解实现 1.引言 矩阵的LDU分解是“矩阵理论与方法”课程中非常重要的一部分。LDU分解在实际工程应用中也非常广泛。LDU分解可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个对角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。LDU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U和对角矩阵的乘积，其中L和U 分别是下三角和上三角矩阵，D为对角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LDU。即： Matlab 是很好的处理矩阵的工具。它的功能非常强大，包括创建矩阵，对矩阵求逆，转置等操作非常简单，使其成为图像处理，信号分析等领域常用的工具。Matlab 官方已经包括了对非奇异矩阵的LU分解函数[L,U]=lu(A)，为了加深对矩阵分解的理解，本文不采用Matlab 官方的LU分解函数对矩阵A进行LDU分解，而是根据理论推导和编程实现LDU分解。 2.程序设计 2.1.输入合法检验 LU分解需要被分解矩阵A满足如下条件： 1)矩阵A为方阵 2)A的顺序主子式 故LU分解需先检验A为n阶方阵，然后检验A的n-1个顺序主子式D k 全不为0，才可进行LU分解。而检验主子式D 可以在n-1次循环LU k 分解中进行，故先检验矩阵是否为方阵。 代码如下
2.2. n-1次循环LDU 分解 LDU 分解本质上是高斯消元法。实质上是将A 通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。从下至上地对矩阵A 做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L 矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。LDU 分解主要分为两步： 1根据高斯消元法对A i ()消元，消元矩阵为L i +1-1；2计算L i +1 -1A i ()=A i +1()以产生下一步迭代的A i ()。 2.2.1. 根据构造L j ,L j - 1(j =i +1) 高斯消元A i ()，使A i ()第i+1列从第i+2行至n 行都为0。构造消元矩阵 L j ,L j - 1。首先判断是否为0，为0则无法继续分解，退出；否则继续。 代码如下 2.2.2. 计算L i +1-1A i ()=A i +1() D k
内蒙古财经大学本科学年论文 可交换矩阵成立的条件与性质 作者： 系别： 专业： 年级： 学号： 指导教师： 导师职称：
指导教师评语： 该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。 成绩：中 指导教师：
内容提要 矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多BA 特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵. 关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵 Abstract Matrix is an important content in altitude-mathematics,it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under AB≠. Whereas, in some certain the normal condition, that is to say, normally, BA conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information. Key Words：matrix interchangeable conditions property upper triangular matrix
矩阵式组织结构 矩阵式结构的出现是企业管理水平的一次飞跃。当环境一方面要求专业技术知识，另一方面又要求每个产品线能快速做出变化时，就需要矩阵式结构的管理。前面我们讲过，职能式结构强调纵向的信息沟通，而事业部式结构强调横向的信息流动，矩阵式就是将这两种信息流动在企业内部同时实现。 在实际操作中，这种双重管理的结构建立和维持起来都很困难，因为有权力的一方常常占据支配地位。因此比较成熟的矩阵式管理模式为带有项目／产品小组性质的职能型组织。职能部门照常行使着管理职能，但公司的业务活动是以项目的形式存在的。项目由项目经理全权负责，他向职能经理索要适合的人力资源，在项目期间，这些员工归项目经理管理。而职能经理的责任是保证人力资源合理有效的利用。 与前两种结构不同，矩阵式结构很少能从组织结构图中判断出来，需要根据企业具体的管理行为加以判断。而企业是否应该实行矩阵式管理，应该依据下面三个条件加以判断： 条件一：产品线之间存在着共享希缺资源的压力。该组织通常是中等规模，拥有中等数量的产品线。在不同产品共同灵活地使用人员和设备方面，组织有很大压力。比如，组织并不足够大，不能为每条产品线安排足够的工程师，于是工程师以兼职项目服务的形式被指派承担产品服务。 条件二：环境对两种或更多的重要产品存在要求。例如对技术质量和产品快速更新的要求。这种双重压力意味着在组织的职能和产品之间需要一种权力的平衡。为了保持这种平衡就需要一种双重职权的结构。 条件三：组织所处的环境条件是复杂和不确定的。频繁的外部变化和部门之间的高度依存，要求无论在纵向还是横向方面要有大量的协调与信息处理。 根据上面的条件可以看出，提供咨询服务的公司最适合采用矩阵式结构。例如中型规模的咨询公司，这样的公司规模在几十人至上百人，咨询顾问可以根据业务专业划分为不同的职能团队，例如财务咨询，生产、工程咨询，管理咨询小组。由于咨询顾问的成本较高，优秀的咨询顾问资源相对稀缺，而咨询公司没有统一的产品，需要根据客户的具体情况进行二次设计，每一个项目都是一个全新的产品，无法通过流水线作业完成。而且，产品的质量需要由项目经理和职能经理共同控制。矩阵式的结构能最好的满足以上的条件。 矩阵式结构的优势在于它能使人力、设备等资源在不同的产品／服务之间灵活分配，组织能够适应不断变化的外界要求。这种结构也给员工提供了获得职能和一般管理的两方面技能。在矩阵式组织里，关键组织成员的角色定位非常重要。这些关键组织成员包括：高层领导者、矩阵主管和员工。