基本不等式测试题
A 组
一.填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
x
1. 若 xy>0,则—
y
—的最小值是
x
1.2.提示:
2. 已知a , b
都是正数，则
*、“ 的大小关系是
。提示：平方作差，利用 a 2+b 2> 2ab 可得。
3. 若 x + y = 4, x > 0, y >0，贝U lgx + Igy 的最大值是
3.lg
4.提示：lgx + lgy=lgx y < lg( - y ) 2=lg4.
2
5.已
知：
2 2
6
则2x y 的最大值是
5.9.提示：6 = 2x 2y > 2 ?、2x g2y , ??? 2x g2y W 9。
故2x y 的最大值是9,此时x=y= log 2 3。 6 某公司租地建仓库，
每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比， 而每月库存货物的
运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站 10公里处建仓库，这两项费用
y 1和y 2分别
为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ________________ 公里处'
20 6.8.提示 由已知y 1=
; y 2=0 8x （x 为仓库与车站距离），
x
20 ‘ 20 20
费用之和 y=y 1+y 2=0 8x+ >2 0.8x 一 =8，当且仅当 0
8x= 即 x=5 时"=”
X V x
x
成立。
7. ________________________________________________________ 已知正数 x 、y 满足 xy
x y 3，贝U xy 的范围是 __________________________________________ 。
7. [9,）。提示：由 x 0, y 0，则 xy x y 3 xy 3 x y 2 xy ,即 （.xy ）2 2, xy 3 0 解得.xy 1
（舍）或xy 3 ,当且仅当x y 且xy x y 3即 x y 3时取"=”号，故xy 的取值范围是[9,）。
8. 给出下列命题：
① a,b 都为正数时，不等式a+b > 2ab 才成立。
a 2 +
b 2
4.已知—-1(m
m n
0, n 0）,则mn 的最小值是
4. 2*2。提示: mn 2、2。
=2.
x 丫 > 2 y x
1
②y=x+ 的最小值为2。
x
2
③y=sinx+ (Ox )的最小值为2 ,2 .
sin x 2
④当x>0 时,y=x+16x > 2、16x3,当x = 16x 时，即x=16,y 取最小值512。其中错误的命题是 ____________ 。
8.①②③④。提示：①a+b> 2、、0b成立的充要条件是a 0,b 0 ；
1 1
②当x>0,y=x+ > 2;当x<0 时,y=x+ =-(-x-
x x
③ y=s inx+ 2 , 等号成立的条件是
sin x
丄)W-2 ,. ( x) ( 1) =-2;
X , x
sinx = —，即sinx = -… 2 ,
sin x
而当0x 二时，0 y=t+ (t=sinx)在(0,1上单调递减，从而y min=1 牛; ④“2 ...167 ”不是定值，因此该命题也不对。y=x2+16x在x (0,)单调递增，无最 小值。 二?解答题(本大题共4小题，共54分) 9. 已知：在ABC 中，/ A, / B, / C, 范围分别是什么。 的对边分别是a, b, c,则求满足下列条件的/ B的 ⑴若a=2, b=1 。⑵若b2ac。 2 2 . 2 “ a c b 9.解：⑴■/ cosB=— 2ac 4 1 c 2 4c ;(c -) 4 c 故/ B取值范围分别是(o’#。取等号时c=. 2 2 . 2 2 2 /、 a c b a c ac 2ac ac ⑵?/ cosB=— 2ac 2ac 2ac 故/ B取值范围分别是(0,—]. 取等号时a=c. 3 10.已知直角△ ABC中，周长为L,面积为S,求证：4S W(3 2.2) L2. 10.设直角厶ABC的两直角边为x,y，则斜边为.x2 ~2 1 , ~2 2 y , S=- xy, ??? L= x y . x y ___ L2 > 2 xy 2xy 2 2S 2 .S /? 4Sw —2 (3 2 2)L2 (J2 1) 2 又 p 1+ p 2= 2p p 1* P 2 2 2 P 1P 2W ( )2 = p 2, .?.2x + x 2w 2p + p 2。 11.已知正数x,y 满足x 2y 1.求 - -的最小值有如下解法: x y 解：??? x 2y 1且x 0,y 0. .1 ■ ■ 1 (丄 l)(x f 2y) 2 1 2 ,2xy 4 .、2 x y x y Vy 、 ■(- 1) min 4 2 x y 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法. ii ?解：错误. 等号当且仅当x 2y 时成立，而①②的等号同时成立是不可能的 ( -x 如 3 2'2 - 12?某食品厂定期购买面粉。已知该厂每天需用面粉 6t ,每t 面粉的价格为1800元，面粉 的保管等其他费用为平均每 t 每天3元，购买面粉每次需支付运费 900元.求该厂多少天 购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 12.设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨， 由题意知，面粉的保管等其他费用为： 3[6x 6(x 1) 6 2 6 1] 9x(x 1). 设平均每天所支付的总费用为 y 元， 1 900 则 y —[9x(x 1) 900] 6 1800 9x 10809 > 10989, x x 当且仅当x=10时取等号? 答：该厂10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少 备选题： 1?一种产品的年产量情况是：第一年为 a 件，第二年比第一年增长 》%，第三年比第二 年增长P 2%，且p 1> 0 ,p 2> 0 ,P 1 + P 2= 2p,如果年平均增长 x%，则x,p 的大小关系是 一 1.x w p 。提示:a(1 + p 1)(1 + p 2)= a(1 + x)2,「.1 + p 1p 2+ p 1+ p 2= 1 + 2x + x 2。 xy ①等号当且仅当x y 时成立，又??? x 2y 2xy ② 正确解法: x 2y 1 且 x 0, y 0. .1 1 (丄 1)(x 2y) 3 2y x x y x y x y -，即 x . 2y ，又 x 2y y 3 2 2y x 3 2.2 , ￥ x y x 、 2 1 1，■这时 y 2 2 2 (x- p)(x+ p+ 2)< 0 ,「.x< p「x+ p + 2>0) 1 1 2. _____________________________________________________________ 已知m= a+ — (a>2), n = (^)x2—2(xv0),贝V m 与n 的大小关系为__________ 1 2.m>n 。提示：m= a—2 + + 2>2 + 2= 4(当且仅当a= 3时取等号) a —2 而——2 > —2( - x v 0) ,? ? n = 1 4 3.已知1，且a>0, b>0,求a+b最小值。 a b 1 3.解法一由a>0,b>0,- a 1 得a+b=(a+b) x 1=(a+b) x (― a 4 1. b 4 b 4a )=5+ > 5+2、4 =9. b a b A o 当且仅当一—，即b=2a,即a=3,b=6 时，(a+b)min=9. a b 1 4 解法二由 1 且a>0, b>0 得(a-1)(b-4)=4, a b 1 4 又T 0< <1, 0< <1, a b ??? a>1,b>4,a-1>0,b-4>0. ? (a-1)+(b-4) > 2 .. (a-1)(b-4)=4。 当且仅当a-1=b-4,即a=3,b=6 时,(a+b)min=9. B组 一?填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 4 1.已知x> 0,函数y= 2—3x—-有 x 值是 1.最大，2—4 .3.提示：y= 2 —（3x+ 4）< 2—2 .2= 2— 4.3. 4 x 1 2.设x 1，则函数y x 6的最小值是 2.9.提示:2 (x 1)x4159。 3.函数y x -的值域是 x 3. yy 4提示：（a）当x 0时,x (b)当x 0时，x 4 ， 4 0而( x) ( -) 2 ( x)() X ?x 4 4（当x 2时取等号）x - 4 x x 4（当x 2时取等 号） 所以函数的值域是 8.解(1)由题意可知当 m= 0时,x = 1 (万件), 2, x = 3- 4.当a 0且a 1时，函数f (x) log a (x 1) 1的图像恒过点A ,若点A 在直线 mx y n 0上，贝U 4m 2n 的最小值为 _______________ ▲ ________________ (n N *). 4. 2 … 2。提示：由题意知 y=f(x) 过点(2 ， 1 )。 故 2m+n=1. 4m 2n 2.4m g2n 2-、22mn 2、2. 5. 在4X □+ 9=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填 上 和 。 1 1 5. 6,4.提示：设两数为 x 、y,即 4x + 9y=60 ,— — x y 时成立，故应分别有 6、4。 6. 爷爷与奶奶给他们的孙女、孙子们分糖果吃，爷爷的分配方案如下：给每个孙女的糖果数 等于他 们孙子的人数，给每个孙子的糖果数等于他们孙女的人数，而且若如此分配，糖 果恰好分完.可实际分配时，奶奶记反了，她给每个孙女的糖果数等于他们孙女的人数, 而给每个孙子的糖果数等于他们孙子的人数，请问：分配结果如何？ 6. 糖果恰好分完或糖果不够分.提示：设孙子人数为a ,孙女人数为b ,则由爷爷的分配方案 可知，实际准备的糖果数为 2ab , 而按奶奶的实际分法，则需要糖果数为 a 2+ b 2,所以当a=b … k 量)x 万件与年促销费用 m 万元(m 0)满足x 3 ) (k 为常数)，如果不搞促销活 m 1 动，则该产品的年销售量只能是 1万件。已知2005年生产该产品的固定投入为 8万元，每 生产1万件该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成 本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (1 )将2008年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； (2)该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ ( 1 1)(4x 9y )=丄(13 仝 9y ) x y 60 60 y x >丄(13 12)—，等于当且仅当 60 12 4x 曲，且 4x + 9y=60，即 x=6 且 y=4 x 时, 糖果恰好分完；当 b 时，糖果不够分. 解答题(本大题共4小题，共54分) a b 7.已知a 、b 是正数，且；+ y = 1(x , y € R + ,求证： 7. 【证明】?$+ y = 1 ,「.x + y = (x + y)f + f) =a + b + 节+ xb 》a + b + 2 .ab =(.a + ,b)2 ?'x + y >( ,a + ,b)2 8. 某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算, x + y > (. a + b)2. 该产品的年销售量 (即该厂的年产 每件产品的销售价格为1.5 冬」元)， x ??? 2008 年的利润 y x [1.5 8 16x ] (8 16x m) x 16 [―;(m 1)] 29 (m 0) ? m 1 16 (2) m (时, (m 1) 2 16 8, m 1 16 y 8 29 21,当且仅当 m 1 m 3(万元)时,y max 21 (万元) m 1 答：该厂家2008年的促销费用投入 3万元时，厂家的利润最大 备选题： 1?若实数a,b 满足a+b=2,则3a 3b 的最小值是 _____________________ 1.6.提示：T 3a 3b > 2.3a b 2.32 6 ,此时 a=b=1。 2?某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价 40元，两侧墙砌砖，每米造价 45元，屋顶每平方米造价 20元， 试计算： (1 )仓库面积S 的最大允许值是多少？ (2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 2 ?解析：(1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则S=xy ,由题意得40x+2 >45y + 20xy= 3 200,应用二元均值不等式，得3 200 导伽 +20xy,即S+6jjj < 160而(石 +16)(近 -10) < 0. w 10—S w 100. 因此S 的最大允许值是100米2. .Ky= 100, (2 )当「 40.z = 90y 即x=15米，即铁栅的长为 15米. 4 8x m 4 8(3 —) m m 1
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