6-2等差数列

6-2等差数列 基础巩固强化

1.(文)(2012·辽宁文，4)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( )

A ．12

B ．16

C ．20

D ．24

[答案] B

[解析] 本题考查等差数列的性质．

由等差数列的性质得，a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16，B 正确． [点评] 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质． (理)(2013·浙江金华一中12月月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64

a n

的最小值为( )

A ．7

B ．8 C.152 D.17

2 [答案] D

[解析] 由题意知?????

a 1＋d ＝4，

10a 1＋45d ＝110.

∴?????

a 1＝2，

d ＝2.

∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n . ∴S n ＋64a n

＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立

时，n 2＝32

n ，∴n ＝8，故选D.

2．(文)(2011·福州模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6

＋a 7＝18，则S 9的值是( )

A ．64

B ．72

C ．54

D ．以上都不对

[答案] C

[解析] 由a 2＋a 6＋a 7＝3a 1＋12d ＝3a 5＝18，得a 5＝6. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)

2

＝9a 5＝54. (理)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )

A ．12

B ．8

C ．6

D ．4

[答案] B

[解析] 由等差数列性质知，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，

∴a 8＝8. ∴m ＝8.故选B.

3．(2011·西安五校一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1

＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )

A ．8

B ．7

C ．6

D ．9 [答案] C

[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 1

5－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0

得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.

4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为( )

A ．3

B ．－1

C ．2

D ．3或－1

[答案] D

[解析] 由x 2－2x －3<0及x ∈Z 得x ＝0,1,2. ∴a 4＝3或－1.故选D.

5．(2012·大纲全国理，5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5

＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1

}的前100项和为( )

A.100101

B.99

101 C.99100 D.101100

[答案] A

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．

∵a 5＝5，S 5＝15，∴5(a 1＋a 5)

2＝15，即a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .

∴

1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1

. 则数列{1a n a n ＋1

}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－1

3)＋…＋

(1100－1101)＝1－1101＝100101.

故选A.

[点评] 本题亦可利用等差数列的性质，由S 5＝15得5a 3＝15，即a 3＝3，再进一步求解．

6．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等

差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )

A ．f (x )＝2x ＋1

B ．f (x )＝4x 2

C ．f (x )＝log 3x

D ．f (x )＝? ??

??

34x

[答案] D

[解析] 对于函数f (x )＝? ??

??34x 上的点列(x n ，y n )，有y n ＝? ??

??

34x n ，由于

{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n

＝? ???

?34x n ＋1? ????34x n ＝? ????

34x n ＋1－x n ＝

? ??

??34d

，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D. [点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．

(理)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n

项和为T n ，则T 2014＝( )

A.2013

4029 B.2014

4029 C.40174029 D.40184029

[答案] B

[解析] 依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋

m (3x －y )＝0，令????? x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得?????

x ＝1

y ＝3

，

∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1，

∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－1

2n ＋1

)，

∴T 2014＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(14027－14029)]＝12×(1－14029)＝2014

4029.故选B.

7．(2011·洛阳部分重点中学教学检测)已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2

b 2的值为________．

[答案] 20

[解析] 依题意得①?????

a ＋c ＝2

b ，

b 2

＝ac .

或②?????

a ＋c ＝2

b ，

a 2

＝bc .

或③

?

????

a ＋c ＝2

b ，

c 2＝ab .由①得a ＝b ＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2

b 2＝20；由③消去a 整理得(

c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c ＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2

b 2＝20.

8．(文)(2011·天津文，11)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．

[答案] 110

[解析] 由题意，设公差为d ，则

???

a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2

d ＝20，解得?

????

a 1＝20，

d ＝－2.

∴S 10＝10a 1＋10(10－1)

2

d ＝110.

(理)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，则a 11＋a 12＋a 13＝________.

[答案] 75

[解析] ∵?????

a 1＋a 2＋a 3＝15，

a 1a 2a 3＝105，

∴????? a 2＝5，a 1a 3＝21，∴?????

a 1＋d ＝5，

a 1(a 1＋2d )＝21， ∵d >0，∴?????

d ＝2，a 1＝3，

∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝75. 9．(文)将正偶数按下表排成5列：

[答案] 252 2

[解析] 通项a n ＝2n ，故2014为第1007项，∵1007＝4×251＋3，

又251为奇数，因此2014应排在第252行，且第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．

(理)已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：

记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (31,12)＝________.

a 1 a 2 a 3 a 4

a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …

[答案] 912

[解析] 由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n 行有2n －1个数，故前n 行有S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2

个数，因此前30行共有S 30＝900个数，故第31行的第一个数为901，第12个数为912，

即A (31,12)＝912.

10．(文)(2011·济南模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝3

a n ·a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n .

[解析] (1)由已知点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，可得S n ＝3n 2－2n .

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －3(n －1)2＋2(n －1)＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)b n ＝3a n a n ＋1＝3

(6n －5)(6n ＋1)

＝12(16n －5－16n ＋1

)，

∴T n ＝12(11－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1)

＝12(1－16n ＋1)＝12－112n ＋2

.

(理)(2011·重庆文，16)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .

[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，

解得q ＝2或q ＝－1(舍)，∴q ＝2， ∴a n ＝a 1·q n －1＝2·2n －1＝2n . (2)数列b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＋[n ×1＋n (n －1)2×2]

＝2n ＋1＋n 2－2.

能力拓展提升

11.(文)已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )

A ．－2或－3

B ．2或3

C ．－2

D ．3

[答案] A

[解析] 由2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6， 由S 15＝m 得a 8＝m

15.

又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根， 解之得m ＝0，或m ＝－45， 则a 8＝0，或a 8＝－3.

由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2，或d ＝－3. (理)如表定义函数f (x )：

n 1n n －1a 2014的值是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[答案] A

[解析] 本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律．由特殊到一般易知a 1＝4，a 2＝f (a 1)＝f (4)＝1，a 3＝f (a 2)＝f (1)＝5，a 4＝f (a 3)＝f (5)＝2，a 5＝f (a 4)＝f (2)＝4，…，据此可归纳数列{a n }为以4为周期的数列，从而a 2014＝a 2＝1.

12．(2011·烟台诊断)设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S 15>0，S 16<0，则S 1a 1

，S 2a 2

，…，S 15

a 15

中最大的是( )

A.S 15a 15

B.S 9a 9

C.S 8a 8

D.S 1a 1

[答案] C

[解析] ?

????

S 15>0，

S 16<0，??

??

a 1＋7d >0，

a 1＋15

2

d <0，????

a 8>0，

a 9<0.

∴0S 9>S 10>…>S 15>0>S 16，a 1>a 2>…>a 8>0>a 9， ∴S 8

a 8

最大．故选C.

13．(文)(2011·湖北文，9)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L ，下面3节的容积共4L ，则第5节的容积为( )

A ．1L B.6766L C.4744L D.3733L

[答案] B

[解析] 设该数列为{a n }公差为d ，则

????? a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即?????

4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，

解之得?????

a 1＝1322，

d ＝7

66，

所以第5节的容积为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋766×4＝67

66.

(理)(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )

A ．2011

B ．－2011

C ．0

D ．1

[答案] A

[解析] S 21＝S 4000?a 22＋a 23＋…＋a 4000＝0?a 2011＝0，

又P (1，a n )，Q (2011，a 2011)，则OP →＝(1，a n )，OQ →

＝(2011，a 2011)， ∴OP →·OQ →＝(1，a n )·(2011，a 2011)＝2011＋a n a 2011＝2011，故选A. 14．(文)(2011·哈尔滨六中模拟)若数列{x n }满足x n －x n －1＝d ，(n ∈N *，n ≥2)，其中d 为常数，x 1＋x 2＋…＋x 20＝80，则x 5＋x 16＝________.

[答案] 8

[解析] 由x n －x n －1＝d 知{x n }为公差为d 的等差数列，

∴x1＋x2＋…＋x20＝80?10(x1＋x20)＝80?x1＋x20＝8，

∴x5＋x16＝x1＋x20＝8.

(理)(2011·莱阳模拟)数列{a n}，{b n}都是等差数列，a1＝0，b1＝－4，用S k、S k′分别表示等差数列{a n}和{b n}的前k项和(k是正整数)，若S k＋S k′＝0，则a k＋b k＝________.

[答案] 4

[解析]由条件知，S k＋S k′＝k(k－1)

2d＋

k(k－1)

2d′－4k＝

k(k－1)(d＋d′)

2－4k＝0，

∵k是正整数，∴(k－1)(d＋d′)＝8，

∴a k＋b k＝(k－1)d－4＋(k－1)d′

＝(k－1)(d＋d′)－4＝4.

15．(文)(2011·杭州质量检测)已知正数数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的正整数n满足2S n＝a n＋1.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设b n＝1

a n·a n＋1

，求数列{b n}的前n项和B n.

[解析](1)由2S n＝a n＋1，n＝1代入得a1＝1，

两边平方得4S n＝(a n＋1)2①

①式中n用n－1代替得4S n－1＝(a n－1＋1)2(n≥2)②

①－②，得4a n＝(a n＋1)2－(a n－1＋1)2,0＝(a n－1)2－(a n－1＋1)2，[(a n－1)＋(a n－1＋1)]·[(a n－1)－(a n－1＋1)]＝0，

∵{a n}是正数数列，∴a n－a n－1＝2，

所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴a n＝2n－1.

(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1

(2n －1)(2n ＋1)

＝12? ??

??12n －1－12n ＋1， 裂项相消得B n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－1

5)＋…＋(12n －1

－12n ＋1)]＝n 2n ＋1

. (理)(2011·河南郑州质量检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)．

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝b n

a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .

[解析] (1)由题意S n ＝2－a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝2－a n －1，② ①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ， 即a n ＝1

2a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1，

∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，1

2为公比的等比数列，所以a n ＝

1

2n －1

； 由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)知，数列{b n }是等差数列， 设其公差为d ，则b 5＝1

2(b 3＋b 7)＝9， 所以d ＝b 5－b 1

4＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1. 综上，数列{a n }和{b n }的通项公式为 a n ＝

12n －1，b n ＝2n －1.

(2)c n ＝b n

a n ＝(2n －1)·2n －1，

T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n

＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，③

2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，④ ③－④得：－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝1＋2×2－2n 1－2－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3.

∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.

16．(2012·湖北文，20)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.

(1)求等差数列{a n }的通项公式；

(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． [分析] (1)利用等差数列的通项公式，及相关关系求出首项和公差．

(2)先确定数列的通项公式，由于首项a 1<0需判断从哪一项开始a n >0，将{|a n |}前n 项和写为分段函数的形式．

[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，

由题意得?????

3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.

解得?????

a 1＝2，d ＝－3，或?????

a 1＝－4，

d ＝3.

所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n

＝－4＋3(n －1)＝3n －7.

故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.

(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；

当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．

故|a n |＝|3n －7|＝?

????

－3n ＋7， n ＝1，2.

3n －7， n ≥3.

记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4； 当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，

S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)

＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－11

2n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．

综上，S n ＝???

4， n ＝1，32n 2－11

2n ＋10， n >1.

1．(2011·郑州一测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8

＝1

3，

则S 8

S 16

＝( )

A.18

B.13

C.19

D.310

[答案] D

[解析] 设a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝A 1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝A 2，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝A 3，a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝A 4，∵数列{a n }为等差数列，∴A 1、A 2、A 3、A 4也成等差数列，S 4S 8＝A 1A 1＋A 2＝1

3，不妨设A 1＝1，则A 2＝2，

A 3＝3，A 4＝4，S 8S 16

＝A 1＋A 2A 1＋A 2＋A 3＋A 4＝1＋21＋2＋3＋4＝3

10，故选D.

2．(2011·济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组{14,16,18,20,22,24}，则2010位于第( )组．

A ．30

B ．31

C ．32

D ．33

[答案] C

[解析] 因为第n 组有2n 个正偶数，故前n 组共有2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n 个正偶数.2010是第1005个正偶数．若n ＝31，则n 2＋n ＝992，而第32组中有偶数64个，992＋64＝1056，故2010在第32组．

3．(2011·黄冈3月质检)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，则a b 1＋a b 2＋…＋a

b 10

＝( ) A ．1033 B ．2057 C ．1034 D ．2058

[答案] A

[解析] 依题意得a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，

a b n ＝b n ＋1＝2n －1＋1，因此a b 1＋a b 2＋…＋a b 10＝(20＋1)＋(21＋1)＋…

＋(29

＋1)＝1×(210

－1)2－1

＋10＝210＋9＝1033，故选A.

4．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为5

6，则判断框中应填入的条件是( )

A ．i <4?

B ．i <5?

C ．i ≥5?

D ．i <6?

[答案] D

[解析] 由题意知S ＝

11×2＋12×3＋…＋1

i (i ＋1)＝?

????1－12＋? ???

?12－13＋…＋? ????1i －1i ＋1＝i i ＋1

，故要输出S ＝5

6，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D.

5．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为1

4的等差数列，则|m －n |＝( )

A ．1 B.34 C.12

D.38

[答案] C

[解析] 设x 2－2x ＋m ＝0的根为x 1、x 2且x 1

4， 又x 1＋x 2＝2，∴x 2＝7

4，

又x 3＋x 4＝2，且x 1、x 3、x 4、x 2成等差数列， ∴公差d ＝13(74－14)＝12，∴x 3＝34，x 4＝5

4. ∴|m －n |＝|14×74－34×54|＝1

2，故选C.

6．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )

A ．21

B ．20

C ．19

D ．18

[答案] B

[解析] ∵3d ＝(a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5)＝99－105＝－6，∴d ＝－2，由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39，∴a n ＝39－2(n －1)＝41－2n ，

由a n ≥0，n ∈N 得，n ≤20，∴a 20>0，a 21<0，故选B.

7．已知函数f (x )＝sin x ＋tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n

∈? ??

??

－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.

[答案] 14

[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0.

∵{a n }为等差数列且d ≠0，

∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *)对称分布在原点及原点两侧， ∵f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，∴f (a 14)＝0. ∴k ＝14.

8．(2011·南京一模)已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4

＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．

[答案] 4

[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4，又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n .由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4.

9．(2012·东北三校二模)公差不为零的等差数列{a n }中，a 3＝7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设a n ＝b n ＋1－b n ，b 1＝1，求数列{b n }的通项公式．

[解析] (1)由条件知，?????

a 3＝7，

a 24＝a 2·a 9，

∴?????

a 1＋2d ＝7，

(a 1＋3d )2

＝(a 1＋d )·(a 1＋8d )， 解之得?

????

a 1＝1，d ＝3.

∴a n ＝3n －2.

(2)由条件知，b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝1＋a 1＋a 2

＋…＋a n －1

＝1＋(n －1)(1＋3n －5)2＝3n 2－7n ＋62， ∴b n ＝3n 2－7n ＋62

. 10．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝S n n ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也

为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．

[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a 1和公差d 的值，由条件a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{b n }，可考虑利用等差数列的定义，研究使b n

＋1

－b n (n ∈N *)为一个常数时需要满足的条件．

[解析] (1)由题设知{a n }是等差数列，且公差d >0，

则由????? a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得?????

(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18，

解得?????

a 1＝1，d ＝4.

所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．

(2)由b n ＝S n

n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n (n －1

2)n ＋c ，

因为c ≠0，所以可令c ＝－1

2，得到b n ＝2n . 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， 所以数列{b n }是公差为2的等差数列．

即存在一个非零常数c ＝－1

2，使数列{b n }也为等差数列． 11．(2012·东北三省四市第二次联考)已知等差数列{a n }满足a 4＝6，a 6＝10.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设等比数列{b n }各项均为正数，其前n 项和T n ，若a 3＝b 2＋2，T 3＝7，求T n .

[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，

∵a 4＝6，a 6＝10，∴????? a 1＋3d ＝6，a 1＋5d ＝10.解得?????

a 1＝0，d ＝2.

∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2. (2)设各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q (q >0)． ∵a n ＝2n －2，∴a 3＝2×3－2＝4. ∵a 3＝b 2＋2，∴b 2＝2.

∴?????

b 1q ＝2，

b 1(1＋q ＋q 2

)＝7.

解得?????

b 1＝1，q ＝2，

或?

??

b 1＝4，

q ＝1

2

.

∴T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n

－1，

或T n ＝4[1－(12)n ]

1－12＝8－(12)n －3

.

等差数列专项练习

等差数列专项练习 公式1：等差数列的和= （首项+末项）×项数÷2 公式2：公差=后一项-前一项 公式3：项数=(末项-首项)÷公差+1 公式4：末项=首项+（项数-1）×公差 公式5：首项=末项-（项数-1）×公差 1.填一填，只列式不计算。 a求和练习 1+2+3+4+5+6+7+8+9...+15 首项是（） 末项是（） 公差是（） 项数的求法列式为（） 求和列式为（） 填一填，只列式不计算。 5+6+7+8+9+...+55+56+57 首项是（） 末项是（） 公差是（） 项数的求法列式为（） 求和列式为（） 填一填，只列式不计算。 2+4+6+8+10+..+1990 首项是（） 末项是（） 公差是（） 项数的求法列式为（） 求和列式为（） 填一填，只列式不计算。 5+10+15+20+...+550 首项是（） 末项是（） 公差是（） 项数的求法列式为（） 求和列式为（）

b求末项 填一填，只列式不计算。 数列1、2、3、4、......x共有50个数。末项x是多少？再求和。首项是（） 公差是（） 项数是（） 末项求法列式为（） 求和列式为（） 填一填，只列式不计算。 数列3、6、9、12、......x共有30个数。末项x是多少？再求和。首项是（） 公差是（） 项数是（） 末项求法列式为（） 求和列式为（） c求首项 填一填，只列式不计算。 数列y、...222、226、230共有30个数。末项x是多少？再求和。末项是（） 公差是（） 项数是（） 首项求法列式为（） 求和列式为（） 填一填，只列式不计算。 数列y、...555、557、559共有30个数。末项x是多少？再求和。末项是（） 公差是（） 项数是（） 首项求法列式为（） 求和列式为（）

等差数列 习题 简单

等差数列习题 一、选择题（共14小题；共70分） 1. 在等差数列{a n}中，a1+a9=10，则a5的值为( ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 2. 已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+?+a101=0，则有( ) A. a1+a101>0 B. a2+a100<0 C. a3+a99=0 D. a51=51 3. 已知在等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是( ) A. 15 B. 30 C. 31 D. 64 4. 等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项和为( ) A. 32 B. 64 C. 108 D. 128 5. 下列数列不是等差数列的是( ) A. 6，6，6，?，6，? B. ?2，?1，0，?，n?3，? C. 5，8，11，?，3n+2，? D. 0，1，3，?，n2?n 2 ，? 6. 若等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a3=6，则S4的值为( ) A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 7. 若首项为?24的等差数列从第10项起为正数，则公差的取值范围是( ) A. (8 3,+∞) B. (?∞,3) C. [8 3 ,3) D. (8 3 ,3] 8. 等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=10，S3=3，则首项a1与公差d为( ) A. a1=?2，d=3 B. a1=2，d=?3 C. a1=?3，d=2 D. a1=3，d=?2 9. 若等差数列的首项是?24，且从第10项开始大于0，则公差d的取值范围是( ) A. [8 3,+∞) B. (?∞,3) C. [8 3 ,3) D. (8 3 ,3] 10. 设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2且S5=30，则S8等于( ) A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 11. 在等差数列{a n}中，a4+a5=15，a7=15，则a2=( ) A. ?3 B. 0 C. 1 D. 2 12. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 13. 等差数列{a n}中，a1=84，a2=80，则使a k≥0，且a k+1<0的正整数k=( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 14. 在等差数列{a n}中，a9=1 2 a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=( ) A. 24 B. 48 C. 66 D. 132

等差数列专题训练三及答案

等差数列专题训练三 班次 ________ 姓名________________ 计分______________ 三、选择题: 1、等差数列共3n项，前n项和为10,后n项和为30, 前2n项和为() (A) 20 (B) 30 (C) 40 (D)其他值 2、等差数列｛a n｝的前m项和为30,前2m项和为100, 则它的前3m项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 3、已知数列{a n}满a1=2, a n+1 —a n+ 1=0, (n € N)，则此数列的通项a n等于( ) (A)n 2+ 1 (B) n + 1 (C)1 —n (D)3 —n 4、数列a n的通项公式a n=- 1 9 中前n项和为，则项数n为 ( ) (2n 1)(2 n 1) 19 (A)7 (B)8 (C) 9 (D)10 5、记两个等差数列｛a n｝和｛b n｝的前n项和分别为S n和T n ，且 $ 7n 1 (n N)， 则 T n 4n 27 等于( ) 7 3 4 78 (A)- (B)- (C)- (D) 4 2 3 71 6、数列a n的通项公式an=——1,S n = 10,则项数门为( ) J n 1 、n (A)11 (B) 99 (C)120 (D)121 7、a i, a2, a3, a4成等差数列，且a i, a4为方程2x2 -5x -2= 0的两根，则a2 + a3等于( ) 5 5 …宀 (A)-1 (B)—(C)-—(D)不确定 2 2 8、已知Ig x , lg( 2x —3 ) , Ig ( 3x —2 )成等差数列，则以1为首项，x为公差的等差数列的 第8项a8 = ( ) (A) 8 (B) 64 (C) 8 或64 (D) 128 9、等差数列a n 中，首项a1= -,a8> 6,a7< 6,则此数列的公差 2 d的取值范围是( ) 11 11 11 11 11 —11 (A) d > —(B) d v (C) v d v (D) v d w — 14 12 14 12 14 12 10、已知数列 3 ,7 , 1 1 ,15，…侧3 11是它的( ) (A )第23项(B ： )第24项(C)第19项(D )第25项

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

高考数学等差数列专题复习(专题训练)doc

一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ． 47 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 2．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 4．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 919 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35 7．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 8．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ）

等差数列的概念与简单表示

2．2 等差数列 第1课时等差数列的概念与简单表示 1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点) [基础·初探] 教材整理1等差数列的含义 阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题． 1．等差数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． (2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．() (3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．()

(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．() (5)方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为－3.() 【解析】(1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列． (2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1. (3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列． (4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． (5)√.设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1， x2的等差中项为A＝x1＋x2 2＝－3.故该说法正确． 【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√ 教材整理2等差数列的通项公式 阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题． 1．等差数列的通项公式 以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d. 2．从函数角度认识等差数列{a n} 若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位． 1．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________. 【解析】∵a1＝4，d＝－2， ∴a n＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 【答案】6－2n 2．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________． 【解析】由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d， 可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.

等差数列专题训练

等差数列 【巩固练习】 1．已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－ C. D. 2 2.已知等差数列{}n a 的前3项依次为1a -，1a +，23a +，则通项公式n a =（ ）. A. 25n - B. 23n - C. 21n - D. 21n + 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 5．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 6.已知等差数列{a n }满足：a 3a 7=-12，a 4+a 6=-4，则通项公式a n =________. 7.已知等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，且m n ≠，则m n a +=__________. 8.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差的取值范围是__________. 9.等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，则369a a a ++=_________. 10．首项为21的等差数列，从第10项开始为负数，则公差的取值范围是__________. 11．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。 12．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。 13．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。 14．三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，那么原三数为什么？ {}n a 7a 4a 3a 1212

数列简单练习题

等差数列 一、填空题 1. 等差数列2，5，8，…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知1 3 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ） A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.220 4. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 5. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（ ） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 6. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在 7. 等差数列中连续四项为a ，x ，b ，2x ，那么 a ：b 等于 （ ） A 、 B 、 C 、或 1 D 、

高中数学数列专题练习版

高中数学数列专题练习（精编版） 1. 已知数列{}()n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >== (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证: 11111321<++++n a a a a ； (3)设1log 22+=n n a b ,求数列{}n b 的前100项和. 2.数列{a n }中，18a =，42a =，且满足21n n a a ++-=常数C (1)求常数C 和数列的通项公式； (2)设201220||||||T a a a =+++， (3) 12||||||n n T a a a =++ +,n N +∈ 3. 已知数列n n 2,n a =2n 1,n ???为奇数； －为偶数； ， 求2n S 4 .已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且 11=a . (1) 求证: 数列? ?? ????-n n a 231是等比数列; (2) 求数列{}n b 的前n 项和n S . 5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？ 6. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5 1，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4 1. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元， 写出a n ,b n 的表达式；

数列基础练习题(简单)

1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 2. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 3. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 4. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 5. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 在等差数列 {}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ）A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220 4. 设n S 是数列 {}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列 5. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ 三、计算题 1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 {}n a 的有关未知数： （1）1 51,,5,66n a d S ==-=-求n 及n a ； （2）12,15,10,n n d n a a S ===-求及 2. 设等差数列 {}n a 的前n 项和公式是253n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公式

等差数列专题练习题

等差数列及其前n 项和练习题 一．填空题： 1.在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6= . 2.【2010?全国卷2理数】如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么 127...a a a +++= ． 3．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s = . 4．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a = . 5. (2010?安徽文数】设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a = . 6．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = . 7.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 . 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735,S =则4a = . 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 36 1,3S S =则 612 S S = 10已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是 . 11.数列{a n }的通项a n =2n +1，则由b n =n a a a n +++ 21(n ∈N * )，所确定的数列{b n }的前n 项和n S = . 12设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 13设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则数列的通项公式n a = . 1４在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ ． 二.解答题： 1５.等差数列{}n a 中，已知33,4,3 1521==+=n a a a a ，试求n 的值 1６【2010?北京文数】已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若等差数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式

三年级奥数等差数列专项练习

三年级奥数等差数列专项练习 1. 求等差数列2,5,8,11,…的第28项和50项 2. 求等差数列2,7,12,17,22…的第20项和第80项 3. 等差数列1,4,6,…某项为82,它是第多少项？ 4.等差数列3,7,11,15,…某项为163,它是第多少项？ 5.等差数列3,10,17,…前20项和是多少？ 6. 在等差数列4,11,18,25,32,…中,前25项和是多少？ 7. 50个士兵排成一行报数,后一个士兵总是比前一个士兵多报4,一直到最后一个同学报198,那么第一个士兵报多少？第20个士兵报多少？ 8. 有65个学生参加数学竞赛,每个学生都有一个考号,已知前一个学生的考号总是比后一个学生的考号小4,最后一个学生的考号是259,那么第一个学生的考号是多少？第40个学生的考号是多少？ 9.军训时排队列,第一排5人,以后每排比第一排多4人,共排成19排,那么中间一排有多少人？一共有多少人？ 10. 6个连续自然数的和是363,那么这6个数是？

11. 5个连续奇数的和是295,那么这5个奇数分别是？ 12. 在1~1000中所有是7的倍数的数和是多少？ 13. 在1~200之间不能被3整除的数的和是多少？ 14. 一座大钟在半点敲一次,在整点敲对应时间的次数,那么这座中一天共敲多少次？ 15. 把一堆苹果分给8个小朋友,每个小朋友至少有一个,但是大家的数量都不相同,至少需要多少个苹果？ 16. 把120个苹果分给一群小朋友,每个小朋友至少有一个,但是大家所分的苹果数都不同。那么这群小朋友最多有多少个 17. 20支球队进行比赛,每个队伍都和其他队伍有一场比赛,那么一共有多少场比赛？ 18. 若干支球队进行比赛,每个队伍都和其他队伍有一场比赛,一共进行了36场比赛,那么一共有多少支队伍？ 19. 在一个等差数列中,前10个数的和是70,前20个数的和是130,那么前30个数的和是多少？

湖北省宜昌市天问高中高考数学等差数列专题复习(专题训练) 百度文库

一、等差数列选择题 1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 3．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 6．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（ ） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 7．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为 （ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则129 10 a a a a ++???+= （ ） A ． 278 B ． 52 C ．3 D ．4 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7 B ．12 C ．14 D ．21 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11 2 a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ?? ? ??? 的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．21 4 a =- B ． 648 211S S S =+

小升初等差数列专项训练(内附答案)

小升初等差数列专项训练 像（1）1，2，3，4，5，…（2）10，20，30，40，50，…（3） ， ， ，1，1 ，…这种从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 在等差数列a 1，a 2，a 3，a 4，…a n 中，它的公差是d ，那么 a 2=a 1＋d a 3= a 2＋d=(a 1＋d) ＋d= a 1＋2d a 4= a 3＋d=(a 1＋2d) ＋d= a 1＋3d … 由此可见，等差数列从第2项起，每一项都等于第一项加上公差的若干倍，这个倍数等于这项的项数减1的差，所以：a n = a 1＋(n －1) ×d 。这个公式我们称它为等差数列的通项公式，利用它可以求出等差数列中的任何一项。 等差数列和=（a 1＋a n ）×n÷2 经过总结： 等差数列和=（a 1＋a n ）×n ÷2 （等差数列和=（首项+末项）×项数÷2） a n = a 1＋(n －1) ×d (任意项的值=首项+（项数－1）×公差) a 1= a n －(n －1) ×d (首项=任意项－（项数－1）×公差) n= (a n －a 1) ÷d+1 (项数=(任意项－首项) ÷公差+1) 中间的项=(a n +a 1) ÷2 (中间的项=（末项+首项）÷2) d=（a n －a 1）÷n （公差=（末项－首项）÷项数） 本篇专项练习共有习题32道。 1、求等差数列3，8，13，18，…的第38项和第69项。 2、求等差数列1，4，7，10，13，…的第20项和第80项。 3、超市工作人员在商品上依次编号，分别为4，8，12，16，…请问第34个商品上标注的是什么数字？第58个呢？ 4、商店中推行打包促销活动，每6个商品为一包。第一包中每个商品的编号依次是3，6，9，12，15，18；第二包 中编号为21，24，27，30，33，36。以此类推，请问第20包的第3个商品的编号为多少？ 1 4 1 2 3 4 1 4

等差数列基础测试题(附详细答案)

姓名：_______________学号：____________________班级：_____________________ 等差数列基础检测题 一、选择题（共60分，每小题5分） 1、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，则a 4等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．9 2、已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3、在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项公式a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n －1 C ．2n D ．2(n －1) 4、等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)( ) A ．是公差为d 的等差数列 B ．是公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．以上都不对 5、在等差数列{a n }中，a 1＝21，a 7＝18，则公差d ＝( ) A.12 B.13 C ．－12 D ．－13 6、在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14＝( ) A ．45 B ．41 C ．39 D ．37X k b 1 . c o m 7、等差数列{a n }中，前三项依次为1x ＋1，56x ，1x ，则a 101＝( ) A ．5013 B ．1323 C ．24 D ．823 8、已知数列{a n }对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列 D ．非等差数列 9、已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 10、若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( ) A ．24 B ．27 C ．30 D ．33 11、下面数列中，是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8，… ②3,0，－3,0，－6，… ③0,0,0,0，… ④110，210，310，410 ，…新 课 标 第 一 网 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12、首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞83 B ．d ＜3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3

经典等差数列性质练习题(含答案)

等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣ 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．

等差数列的认识与公式运用

知识点拨、等差数列的定义 ⑴先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差 数列. 譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用a i表示 末项：一个数列的最后一项，通常用a n表示，它也可表示数列的第n项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示； 和：一个数列的前n项的和，常用S n来表示. 二、等差数列的相关公式 （1）三个重要的公式 ①通项公式：递增数列：末项首项（项数1）公差，a n a1（n 1）d 递减数列：末项首项（项数1）公差，a n a1（n 1）d 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这样一个 有用的公式：a n a m （n m）d, （n m） ②项数公式：项数（末项首项）公差+1 由通项公式可以得到：n （a n a1）d 1 （若a n a1）；n （a1 a n） d 1 （若a1 a n）. 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的. 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L、40、43、46 , 分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、L、（46、47、48），注意等差是 3 ,那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48 4 1 45 项，每组3个数，所以共45 3 15组，原数列有15组.当然还可以有其他的配组方法. ③求和公式：和=（首项末项）项数吃 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： 偲路1) 1 2 3 L 98 99 100 1 41004 ( 2 4^ 4 2 3 4 98) 4 4 450 4爭)仙50 5050 等差数列的认识与公式运用

等差数列专题训练二及答案

等差数列专题训练二 班级?????? 姓名???????? 记分?????????? 二、填空题： 1．=+++=-=||||||,16,20,}{2021164a a a a a a n 则为等差数列 . 2、等差数列{a n }中，若a 1＋a 3＋a 5=－1，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5=____________ 3、等差数列{a n }中，若a 2+a 3+a 4+a 5=34, a 2a 5=52, 且a 4＞a 2, 则a 5=________ 4、数列前n 项和为S n =n 2+3n, 则其通项a n 等于____________. 5、等差数列{a n }中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n 项和为340, 则n 的值为． （ ） 6、等差数列{a n }中, S 5=28, S 10=36 (S n 为前n 项和), 则S 15等于________. 7.若等差数列的前三项为a-1,a+1, 2a+3,则这个数列的通项公式为—————— 8．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, a 11>|a 10|, S n 为前n 项和，则S 1，S 2，…，S 10都小于0， 还是都大于0 （ ） 9、在1与9之间插入n-1个数b 1,b 2,…b n-1，使这n+1个数成等差数列，记为A n+1, 则数列{A n+1}的通项公式为（ ）。 10、若数列{}n a 的前n 项和n S =13+n ，则n a = ____________ 11、若数列{}n a 的前n 项和n S =322 +-n n ，则其通项公式=n a ___________. 12、数列lg 21250?, lg 32250?, lg 4 3250?,……中，开始出现负值的项是第（ ）项。 13、凸n 边形的各内角度数成等差数列,最小角为1200 , 公差为50 , 则边数n 为 ( )。 答案： 1、 300； 2、--5/3； 3、13； 4、a n =2n+2； 5、20； 6、48； 7、a n =2n —3； 8、〈0；

必修5等差数列基础(简单)

高中数学必修5等差数列基础简单测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[-1.2）=-1．下列命题： ①函数f（x）=[x）-x的值域是（0，1]； ②若{a n}是等差数列，则{[a n）}也是等差数列； ③若{a n}是等比数列，则{[a n）}也是等比数列； ④若x∈（1，4），则方程[x）-x=有3个根． 正确的是（） A．②④B．③④C．①③D．①④ 2．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（） A．B．C．D． 3．设数列{a n}（n∈N*）满足a n+2=2a n+1-a n，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（） A．a n+1-a n＜0B．a7=0 C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值 4．等差数列a1，a2，a3，…，a n的公差为d，则数列ca1，ca2，ca3，…，ca n（c为常数，且c≠0）是（） A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列 C．非等差数列D．以上都不对

5．设实数a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4．若定义，给出下列命题： （1）b1，b2，b3，b4是一个等差数列；（2）b1＜b2；（3）b2＞4；（4）b4＞32；（5）b2：b4=256．其中真命题的个数为（） A．2B．3C．4D．5 6．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n秒内的位移为a n，则数列{a n}是（） A．公差为a的等差数列B．公差为-a的等差数列 C．公比为a的等比数列D．公比为的等比数列 7．已知（z-x）2=4（x-y）（y-z），则（） A．x，y，z成等差数列B．x，y，z成等比数列 C．成等差数列D．成等比数列 8．已知tanB=，则cotA、cotB、cotC（） A．成等差数列 B．成等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 9．已知lg2，，lg（1-y）顺次成等差数列，则（） A．y有最大值1，无最小值B．y有最小值-1，最大值1 C．y有最小值，无最大值D．y有最小值，最大值1 10．要在如下表所示的5×5正方形的25个空格中填入自然数，使得每一行，每一列的数都成等差数列．则填入标有※的空格的数是（）

(完整版)三年级奥数等差数列专项练习

等差数列及应用 1. 求等差数列2,5,8,11，…的第28项和50项 2. 求等差数列2,7,12，17,22…的第20项和第80项 3. 等差数列1,4,6，…某项为82，它是第多少项？ 4.等差数列3,7,11,15，…某项为163，它是第多少项？ 5.等差数列3,10,17，…前20项和是多少？ 6. 在等差数列4,11,18,25,32，…中，前25项和是多少？ 7. 50个士兵排成一行报数，后一个士兵总是比前一个士兵多报4，一直到最后一个同学报198，那么第一个士兵报多少？第20个士兵报多少？ 8. 有65个学生参加数学竞赛，每个学生都有一个考号，已知前一个学生的考号总是比后一个学生的考号小4，最后一个学生的考号是259，那么第一个学生的考号是多少？第40个学生的考号是多少？ 9.军训时排队列，第一排5人，以后每排比第一排多4人，共排成19排，那么中间一排有多少人？一共有多少人？ 10. 6个连续自然数的和是363，那么这6个数是？ 11. 5个连续奇数的和是295，那么这5个奇数分别是？

12. 在1~1000中所有是7的倍数的数和是多少？ 13. 在1~200之间不能被3整除的数的和是多少？ 14. 一座大钟在半点敲一次，在整点敲对应时间的次数，那么这座中一天共敲多少次？ 15. 把一堆苹果分给8个小朋友，每个小朋友至少有一个，但是大家的数量都不相同，至少需要多少个苹果？ 16. 把120个苹果分给一群小朋友，每个小朋友至少有一个，但是大家所分的苹果数都不同。那么这群小朋友最多有多少个 17. 20支球队进行比赛，每个队伍都和其他队伍有一场比赛，那么一共有多少场比赛？ 18. 若干支球队进行比赛，每个队伍都和其他队伍有一场比赛，一共进行了36场比赛，那么一共有多少支队伍？ 19. 在一个等差数列中，前10个数的和是70，前20个数的和是130，那么前30个数的和是多少？ 20. 小明家住在一条胡同里，这条胡同门牌号为“1,2,3……”这样一组自然数，如果小明把除了自己家的门牌号都加在一起得到88，那么这条胡同里一共有多少户人家？