转子固有频率计算方法对比
本文通过理论计算与ansys 模拟两种方法计算转子的固有频率，分别对单盘与多盘情况下作了计算，本文中转子与轴的材料参数如下：
3
.07850101.211==?=μρ泊松比kg/m 密度Pa 弹性模量3E
一、 单盘时计算与对比
1、理论计算
中点C 处挠度EI
Fl c 483
-=ω
推出轴的刚度3
48l EI
k =,其中l 为轴总长度，E 为弹性模量，
I 为惯性矩，F 为外力
64
4
d I π=
，d 为轴的轴径
得：3
4
43l d E k π=
代入数据有： N/m 5
3
41110342.4225
.0401.014.3101.23?=?????=k 质量kg 5.17850025.01.014.34
141
22=????===ρπρa l D V m
rad/s 5385
.110342.45
=?==m k n ω
HZ 7.8528
.6538
2===
πωn f 2、ansys 模态计算固有频率
约束方式：A 端铰支，即约束X 、Y 、Z 平动自由度，不约束转动自由度，B 端只约束Y 、Z 自由度
用mass21单元：
3、结论：
1).不加集中质量结果偏差较大
2).直接约束与用combin14和matrix27单元模拟与理论计算结果差不多
二、多盘时计算与对比
模型结构图
考虑多个盘时对比较复杂，先画出本文结构如下图：
理论推导示意图
轴系统固有频率计算
ANSYS 中模态分析
直接得出固有频率
通过柔度计算刚度，求
固有频率
根据轴挠度公式计算得柔度，得固有频率
ANSYS 中静力分析求出柔度，推出固有频率
1、理论推导
其中：C 、D 两点为转盘所在位置，AC=CD=DB=l 3
1
，l 为轴长，A 处铰支，B 处限制y 、z 方向自由度。 挠曲轴方程：
???????≤≤-+-≤≤+-=)()2(6)()0(),(6222
22l x a lx a x lEI
x l Fa a x b l x lEI
Fbx ω
将该系统视为两质量弹簧-阻尼系统，通过挠度公式推导柔度矩阵，继而推出刚度矩阵。
柔度计算：（参考机械振动，张义民，第135页） 在C 点施加单位力，则
???
???
?+-====)(63
2,3,322211b l x lEI bx a l b l a l x ，
???
???
?-+-====)2(6)(3
2,3,322221lx a x lEI x l a a l b l a l x 其中，E 为弹性模量，I 为轴惯性矩。
732
22111076.22434)(6-?=-=+-=EI l b l x lEI bx a ，
732
2211041.24867)2(6)(-?==-+-=EI
l lx a x lEI x l a a -
在D 点施加单位力，则
???
???
?+-====)(63
1,32,322212b l x lEI bx a l b l a l x ???
???
?-+-==== )2(6)(3
1,32,322222lx a x lEI x l a a l b l a l x 732
22121041.22434)(6-?=-=+-=EI l b l x lEI bx a
732222
1076.24867)2(6)(-?==-+-=EI
l lx a x lEI x l a a - 所以，柔度矩阵为
???????=??
??
??=-76.241.241.276.2107
2221
1211
a a a a A 根据柔度矩阵与刚度矩阵的关系，有
??
????--?=??????==-5253.13319.13319.15253.1107
2221
1211
1k k k k
A K 根据机械振动课本第80页得固有频率计算公式：
????
????
?
--???
? ??+++=
--???? ??+-+=2121222112211122212111222122212
1222112
211122212111222121421
2142121m m k k k m m k m k m m m k m k m m m k k k m m k m k m m m k m k m ωω （1） 其中：kg 8.0100020
10008014.34178502
21=?
??
? ?????===V m m ρ 得rad/s rad/s,23311097.51059.1?=?=ωω
HZ
πHZ
π95014
.321097.5225314
.321059.123
223
1
1=??===??==ωωf f
2、ansys 静力分析计算柔度
约束方式：A 端铰支，即约束X 、Y 、Z 平动自由度，不约束转动自由度，B 端只约束Y 、Z 自由度
在ansys 中使用BEAM188单元，将轴分6段，分别在节点3和节点5施加沿y 轴负方向的单位力，分别读取节点3和节点5沿y 方向的位移，即柔度，形成柔度矩阵：
???????=??
????='-74.240.240.274.2107
2221
1211
a a a a A 继而，得
??????--?=??
????='='-5679.13733.13733.15679.1107
2221
1211
1k k k k
A K 用公式（1）计算得到固有频率：
rad/s rad/s,2331
1006.61056.1?='?='ωω HZ
πHZ
π96514
.321006.6224814
.321056.123
223
11=??='='=??='
='ωωf f
结论：柔度的理论计算与ansys 中柔度模拟结果基本一致，所得固有频率基本一致。
3、Ansys 中模态分析直接计算系统固有频率 在ansys 中用mass21单元，运行结果如下：
4、结论
1).采用施加集中质量方法时，ANSYS模态分析得出的固有频率与通过柔度计算得出的固有频率基本一致；
2).不施加集中质量时，结果差别较大。
悬臂梁固有频率的计算 试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。 解：法一：欧拉-伯努利梁理论 悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ??=??； 悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l dw w w w x x dx x x x ==???======???，； 该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到 1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中2 4 A EI ρωβ= 将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C 0C +=，24C 0C +=；进一步整理可得 12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件（3）、（4）带入可得 12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要 求12C C 和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即 (cos cosh ) (sin sinh ) =0(sin sinh )(cos cosh ) l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+ 所以得到频率方程为：cos()cosh()1n n l l ββ=-； 该方程的根n l β表示振动系统的固有频率：12 2 4 ()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各 n l β（1,2,...n =）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====，，，，； 若相对于n β的2C 值表示为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表示为21cos cosh ()sin sinh n n n n n n l l C C l l ββββ+=-+；
共振频率与固有频率是不是同一个？ 从数值上来说，它们是相等的。但是两个概念是不同的。 当一个装置成型时，他本身发生的振动的频率是固定的，这一频率就是固有频率。比如一个单摆做好后，他的振动频率等于2*Pi*（l/g）^（1/2），l是单摆的长度，g 是重力加速度，所以这个单摆的振幅无论多大，加在下面的东西多重，只要是没有外界的干扰，都以一个频率振动（固有频率）。 而当我们用一个周期的力推这个单摆时，会发现，单摆的振幅是和这个力的频率有关的，只有这个力的频率和单摆的固有频率相同时，振幅才最大，而这时就发生了共振现象。相应的频率共振频率。换句话讲，共振频率是指发生共振现象时的频率。 固有频率和共振频率的联系是什么？？ 固有频率是某种物质特有的固定震动频率。我们知道，每种物质都会震动。但因为物质中微观粒子的差异性，每种物质的频率都不同。物质在一定频率的外力作用下会以该外力的频率震动，在物理学上叫受迫震动。但因为会消耗能量，所以受迫震动的震福会变小。当外力的频率与物质的固有频率相同时，震福会达到最大。也就是发生了共震！ 什么是共振频率？一个物体的固有频率可以计算吗？ 共振频率与它的硬度、质量、外形尺寸有关，当其发生形变时，弹力使其灰复，弹力主要与尺寸和硬度有关，质量影响其加速度。同样外形时，硬度高的频率高，质量大的频率低。 T=2*圆周率*根号下m/k
共振和那些因素有关，共振时被动振动的物体吸收能量后是否会再释放出来？需要很长时间才能释放麽？ 当发生共振时，被动振动的物体和振动源的振动达到同步，使被动振动的物体能量增加，我想知道如果我前面说的没有错误的话，当振动停止时，是否被动振动的物体的能量会释放出来？时间上能衡量麽？ 还有共振产生的条件之一是振动源的频率和物体固有频率相同，请问固有频率和那些因素有关？具体说，是微小颗粒的固有频率和那些因素有关？ 与它的硬度、质量、外形尺寸有关，当其发生形变时，弹力使其恢复，弹力主要与尺寸和硬度有关，质量影响其加速度。同样外形时，硬度高的频率高，质量大的频率低具体如下： 1.外形尺寸：弹性系数大频率低，面积大频率低、长度短频率低。 2.质地晶格结构和外形：不同的原子面对应的外形频率不同。（石英晶振有AT、BT、SC等不同多种切割方法） 3.温度：温度高低对谐振体内部晶格排列有影响故而影响频率。 4.硬度：硬度高、频率高 5谐振体（谐振腔）的环境参照（或叫作支点）：谐振体单端支点、中心支点等都会影响其频率。 计算频率公式计算误差较大，一般使用特定温度、电压等外界条件后，使用频率计来实测比较准确。
转子固有频率计算方法对比 本文通过理论计算与ansys 模拟两种方法计算转子的固有频率，分别对单盘与多盘情况下作了计算，本文中转子与轴的材料参数如下： 3 .07850101.211==?=μρ泊松比kg/m 密度Pa 弹性模量3E 一、 单盘时计算与对比 1、理论计算 中点C 处挠度EI Fl c 483 -=ω
推出轴的刚度3 48l EI k =,其中l 为轴总长度，E 为弹性模量， I 为惯性矩，F 为外力 64 4 d I π= ，d 为轴的轴径 得：3 4 43l d E k π= 代入数据有： N/m 5 3 41110342.4225 .0401.014.3101.23?=?????=k 质量kg 5.17850025.01.014.34 141 22=????===ρπρa l D V m rad/s 5385 .110342.45 =?==m k n ω HZ 7.8528 .6538 2=== πωn f 2、ansys 模态计算固有频率 约束方式：A 端铰支，即约束X 、Y 、Z 平动自由度，不约束转动自由度，B 端只约束Y 、Z 自由度 用mass21单元：
3、结论： 1).不加集中质量结果偏差较大 2).直接约束与用combin14和matrix27单元模拟与理论计算结果差不多
二、多盘时计算与对比 模型结构图 考虑多个盘时对比较复杂，先画出本文结构如下图： 理论推导示意图 轴系统固有频率计算 ANSYS 中模态分析 直接得出固有频率 通过柔度计算刚度，求 固有频率 根据轴挠度公式计算得柔度，得固有频率 ANSYS 中静力分析求出柔度，推出固有频率
2.8.6.1 液压传动的固有频率 2.8.6.1.1 概述 液压传动装置的固有频率，对于闭环系统的动态特性和系统计算的原点，是一个重要的参数。从稳定性观点来看，一个闭环系统，若系统具有较高的固有频率，则会有一些问题。可粗略地划分为如下的3个频率区： ?低频：3～10Hz，重型机械、机械手、手动设备、注射机。 中频：50～80Hz，位置控制的机床。? ?高频：>100Hz，试验机、注射机、压机。 2.8.6.1.2 基本公式 计算弹簧质量系统固有频率的基本公式为： 式中：（1/s） m=质量（kg） C=弹簧刚度（） 弹簧刚度“液压刚度”C，主要由受压的油液体积决定，由下式确定， 式中：E=液压油的弹性模量 =1～1.4×109（） =1～1.4×104（bar） A2=油缸面积的平方（m4） V=油液体积（m3） 如基本公式已经表明的那样，一个液压传动系统的固有频率，取决于执行器液压马达或液压缸的尺寸，和驱动的质量。 系统中的其他元件，例如调节阀，也有自已的固有频率。因为整个闭环系统的角频率，是由系统中动态特性最低的元件决定的，因而也要注意闭环调节阀的极限频率。此值在50到150Hz的范围。 2.8.6.1.3 双出杆液压缸 让活塞处于缸的中间位置，得到： 式中：AR=油缸环形面积（┫） h=油缸行程（m） 注：对于死容积，应预先给行程h增加20～50%的附加值。 人们都明确地了解到，活塞面积与行程之比，对固有频率有着重要的影响。A：h的系数也可表示为λ=“长径比”。从提高固有频率观点考虑，较大的面积和较短的行程是比较有利的。面积的确定，还要由其他的一些因素，如规格大小、压力、体积流量等一同来考虑。 在作这些考察时，管道的容积未加考虑。很显然，总要尽可能地减小死容积，这就是说，阀与缸之间的管道短些、刚性大些，有利于提高固有频率。 上面计算固有频率，是按活塞处于中间位置的情况得到的一个最小固有频率值，这是实践中处于最不利情况下必须达到的数值。 例1已知：D=50mm，d=32mm，m=50kg≌[ ]，h=500mm=0.5m，E=1.4?109 解： 2.8.6.1.4 单出杆缸
实验三振动系统固有频率的测量 一、实验目的 1、了解和熟悉共振前后利萨如图形的变化规律和特点； 2、学习用“共振法”测试机械振动系统的固有频率（幅值判别法和相位判别法）； 3、学习用“锤击法”测试机械振动系统的固有频率（传函判别法）； 4、学习用“自由衰减振动波形自谱分析法”测试振动系统的固有频率（自谱分析法）。 二、实验装置框图
图3-1实验装置框图 三、实验原理 对于振动系统，经常要测定其固有频率，最常用的方法就是用简谐力激振，引起系统共振，从而找到系统的各阶固有频率。另一种方法是锤击法，用冲击力激振，通过输入的力信号和输出的响应信号进行传函分析，得到各阶固有频率。以下对这两种方法加以说明： 1、简谐力激振 简谐力作用下的强迫振动，其运动方程为： t F Kx x C x m e ωsin 0=++ 方程式的解由21X X +这两部分组成： ) sin cos (211t w C t w C e X D D t +=-ε 21D w w D -= 式中1C 、2C 常数由初始条件决定： t w A t w A X e e sin cos 212+= 其中 ( ) () 2 2 2 22 2 214e e e q A ω εω ω ωω+--= ， () 22 222 242e e e q A ω εω ω ε ω+-= , m F q 0= 1X 代表阻尼自由振动基，2X 代表阻尼强迫振动项。 自由振动周期： D D T ωπ 2= 强迫振动项周期： e e T ωπ 2= 由于阻尼的存在，自由振动基随时间不断得衰减消失。最后，只剩下后两项，也就是通常讲的定常强动，即强迫振动部分： ( ) () () t q t q x e e e e e e e e ωω εω ω ε ωωω εω ω ωωsin 42cos 422 222 22 222 2 2+-+ +--=
Q=wL\R=2πfL\R(因为w=2πf)=1/wCR=1/2πfCR 1. LC并联谐振电路最常见的应用是构成选频电路或选频放大器； 2. LC串联谐振电路最主要用来构成吸收电路，用来构成在众多频率信号中将某一频率信号进行吸收，也就是进行衰减，将某一频率信号从众多频率中去掉； 3. LC并联谐振电路还可用来构成阻波电路，即从众多频率中阻止某一频率信号通过放大器或其他电路； 4. LC并联谐振电路还可以构成移相电路，用来对信号相位进行超前或滞逅移动。 a. 无论是LC并联谐振还是LC串联谐振电路，其频率的计算公式相同，谐振频率又称固有频率，或自然频率。f0=1/(2*pi*sqrt(L1*C1)); b. 品质因数Q值——衡量LC谐振电路振荡质量的重要参数。Q=(2*pi*f0*L1)/R1,R1为线圈L1的直流电阻，L1为谐振电路中电感； ①频点分析：输入信号频率等于该电路谐振电路谐振频率时，LC并联谐振电路发生谐振，此时谐振电路的阻抗达到最大，并且为纯阻性，Z0=Q*Q*R1,Q为品质因数，R1为线圈L1的直流电阻； ②高频段分析：输入信号频率高于谐振频率f0时，LC谐振电路处于失谐状态，电路阻抗下降； ③低频段分析：输入信号频率低于谐振电路f0时，LC并联谐振电路也处于失谐状态，谐振电路的阻抗也要减小。 信号频率低于谐振频率时，LC并联谐振电路的阻抗呈感性电路等效成一个电感（但不等于L1）。
1. 谐振定义：电路中L、C两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ?I2X L = I2 X C也就是 X L =X C时，为R-L-C串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率
固有频率在ADAMS/Linear 和ADAMS/Vibration 中的理解 在ADAMS 中，固有频率是通过本征向量计算的，为了更好的理解计算结果中各个参数的意义，解决仿真中常见的问题，在这里理论联合实际对一些基本知识在ADAMS 中的应用做一基本论述。 在此，不涉及ADAMS/Linear 的扩展命令，所有的线性化命令实际都是在图形界面操作所得的。 对于单自由度系统，如经典的弹簧——质量——阻尼系统，质量m 的运动方程有： 0=++m k x m c x x 或 0=++kx x c x m （1） 这里x 为质量m 的位移，k 为弹簧刚度系数，c 为阻尼系数。根据无阻尼固有圆频率和阻尼比的定义重写等式（1）： 022=++x x x n n ωζω （2） 这里： 无阻尼固有圆频率（Undamped Natural Frequency ）m k n =ω （3） 阻尼比（Damping Ratio ）n m c km c ωζ22== （4） 可以看出，无阻尼固有圆频率n ω只是弹簧刚度k 和质量m 的函数，与阻尼值无关。 ADAMS/Linear 实际上计算无阻尼固有圆频率的方法有所不同，它使用拉普拉斯（Laplace ）在仿真运行点对模型变换为线性矩阵，再通过本征值向量（Eigenvalues ）计算系统的固有圆频率和阻尼比，但计算结果与上述计算是等效的。一般，本征值λ由实部（Real part ）r λ和虚部（Imaginary part ）i λ两部分组成：i r λλλ±=，因此，方程式（2）可以写为： 0222=++n n ωλζωλ （5） 本征值λ由下式决定： 当阻尼比ζ＞1，12-±-=ζωζωλn n （6） 当阻尼比ζ＜1，21ζ ωζωλ-±-=n n j （7） 令：n r ζωλ-=；21ζωλ-=n i 。 当系统阻尼比当ζ＜1时，ADAMS/Linear 使用下式计算无阻尼固有圆频率与阻尼比： 22 i r n λλω+= （8） 即：()()n n n n n n n i r ωωωζωωζξωζωλλ==-+=-+-=+22222222222 1
固有频率测定方法 Prepared on 24 November 2020
固有频率测定方法 1.概要 固有频率的测定一般采用传递函数测定的方法。这个方法是一种为了测定结构物的各个点中的传递函数，使用数字信号处理技术和FFT算法的方法。 所谓传递函数是指若以系统的输入信号为“X”,从该处输出（应答）信号为“Y”，可以公式：传递函数 H=Y/X (1) 来表示的函数。 振动解析的领域中处理的传递函数，输入X多数为力。输出（应答）Y是哪一个物理量，则取决于测定。如表1所示那样，传递函数H分别具有固有频率。 表1 传递函数的种类 图1所示为测定传递函数顺序。固有频率与传递函数的虚数部中的峰值相一致。此外，除在振幅成为“0”的节点测定的外，在所有的测定点，振幅存在于相同的频率上。
图1 传递函数的测定顺序 以的输入信号 同时采样输入信号和应答 信号 实行采样的波形（信号） 的傅里叶交换 以输入的傅里叶交换实行 应答的傅里交换 2.测定安装方法 以下就传递函数测定法的具有代表性的加振方法——随机加振法、脉冲加振法进行说明。对于试验体的材料、结构、试验目的等，可采用各种各样的加振方法，详细内容请参照参考书。 （1）随机加振法图2 随机加振法 随机加振法是一种如图2所示的那样， 在试验体的加振点安装加振机，给与随机噪 声的加振力，测定应答点的加速度，其信号 输入至FFT模拟装置，进行处理的方法。 图3脉冲加振法 （2）脉冲加振法 脉冲加振法是一种如图3所示的那样，用 脉冲锤子敲打作为测定对象的试验体的加振点，
给与脉冲状的力，检测这个力的时间变化和应 答点的加速度，进行与上述加振法相同的处理 方法。 此外，脉冲信号的频谱也是平坦的，所以， 随机噪声同样作为输入波形使用。 再者，采用这类测定时有必要预先确认加振力和应答加速度的时间波形、频谱、相关函数。 表2 所示为各种加振法的比较。 表2 加振法的比较 3.加振试验时的注意事项 以下汇总了进行加振实验时的注意事项。 （1）随机加振 （a）加振机的选择 为了求得必要的加振力，根据其值，选择应适使用得加振机在。这是 得到高SN比的传递函数的重要条件。
固有频率测定方法 1.概要 固有频率的测定一般采用传递函数测定的方法。这个方法是一种为了测定结构物的各个点中的传递函数，使用数字信号处理技术和FFT算法的方法。 所谓传递函数是指若以系统的输入信号为“X”,从该处输出（应答）信号为“Y”，可以公式：传递函数H=Y/X (1) 来表示的函数。 振动解析的领域中处理的传递函数，输入X多数为力。输出（应答）Y是哪一个物理量，则取决于测定。如表1所示那样，传递函数H分别具有固有频率。 Y 位移速度加速度 H 顺从性迁移率加速度 （惯性） 图1所示为测定传递函数顺序。固有频率与传递函数的虚数部中的峰值相一致。此外，除在振幅成为“0”的节点测定的外，在所有的测定点，振幅存在于相同的频率上。 图1 传递函数的测定顺序 以的输入信号 同时采样输入信号和应答 信号 实行采样的波形（信号）的 傅里叶交换 以输入的傅里叶交换实行 应答的傅里交换
2.测定安装方法 以下就传递函数测定法的具有代表性的加振方法——随机加振法、脉冲加振法进行说明。对于试验体的材料、结构、试验目的等，可采用各种各样的加振方法，详细内容请参照参考书。 （1）随机加振法图2 随机加振法随机加振法是一种如图2所示的那样， 在试验体的加振点安装加振机，给与随机噪 声的加振力，测定应答点的加速度，其信号 输入至FFT模拟装置，进行处理的方法。 图3脉冲加振法 （2）脉冲加振法 脉冲加振法是一种如图3所示的那样，用 脉冲锤子敲打作为测定对象的试验体的加振点， 给与脉冲状的力，检测这个力的时间变化和应 答点的加速度，进行与上述加振法相同的处理 方法。 此外，脉冲信号的频谱也是平坦的，所以， 随机噪声同样作为输入波形使用。 再者，采用这类测定时有必要预先确认加振力和应答加速度的时间波形、频谱、相关函数。 表2 所示为各种加振法的比较。 项目脉冲加振法随机加振法 测定的难易度·为了稳定地得到具有必要的区 域和水平地脉冲波形，需要熟练 地技术和小诀窍。 ·只有加振器，就能简单地加振。失 败少。 测定时间·一次一次慎重进行加振，化时 间。 ·快 适用范围·适用于小形、轻量的测定对象。·测定对象为小型、轻量，不仅加振 器安装困难。受到加振器的质量影 响，不能正确地进行测定。 ·适合于具有执行元件等加振器的测 定对象。
悬臂梁固有频率的计 算
悬臂梁固有频率的计算 试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。 解：法一：欧拉-伯努利梁理论 悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ??=??； 悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l dw w w w x x dx x x x ==???======???，； 该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中2 4A EI ρωβ= 将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C 0C +=，24C 0C +=；进一步整理可得12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件（3）、（4）带入可得12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要求12C C 和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即 (cos cosh ) (sin sinh )=0(sin sinh )(cos cosh ) l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+ 所以得到频率方程为：cos()cosh()1n n l l ββ=-；该方程的根 n l β表示振动系统的固有频率：1224 ()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各n l β（1,2,...n =）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====，，，，；
第八节 计算固有频率的近似方法 （教材6.16） 在工程问题中，许多情况只需求出系统最低几阶固有频率。在这种情况下，可以应用近似方法直接求出系统的固有频率。 一、 瑞利（Rayleigh ）法 由振型正交性知，系统的第i 阶固有频率的平方为 {}[]{}{}[]{}2(1,2,,)T i i i ni T i i i u k u K i n M u M u ω== = （a ） 式中 {}i u 是第i 阶振型向量。 Rayleigh 法是根据系统的条件，事先选取一个任意向量{}u 作为系统的第i 阶振型向量，代入式（a ），计算与此假定振型向量相应的频率的平方，用2 R ω表示，即 {}[]{}{}[]{} 2T R T u k u u M u ω= （6-70） 上式右端称为Rayleigh 商，频率R ω称为Rayleigh 频率。 讨论： 1. 从理论上讲，方程（6-70）适用于求系统的各阶固有频率。但实际上，因为关于系统的高阶振型向量很难作出合理假设，所以上式往往只有用于估算系统的第一阶固有频率1n ω时才是切实可行的。 因此，若任选的振型向量{}u 恰好是系统的第一阶振型
向量{}1u ，则Rayleigh 商就是对应的系统的第一阶固有频率 1n ω，即 1R n ωω= 若所选的阵型{}u 不是系统的第一阶振型向量{}1u ，则Rayleigh 商是系统的第一阶固有频率1n ω的估值，即 1R n ωω≈ 证：系统的n 个正则振型向量{}{}{}12,, ,n ???是n 维 空间的一个基。则由线性代数知，该空间的任一向量都可由正则振型向量的线性组合来表示，即 {}{}{}{}[]{}1212n n u c c c c ????=++ += 式中12,, ,c n c c 是任意常数。把上式代入方程（6-70），得 {}[][][]{}{}[][][]{}{}[]{}{}{} 2 2222221122222 122222 22 22222 11111 222221 1 11T T T R T T T n n n nn n n n nn n n n n c k c c c c M c c c c c c c c c c c c c c c c c ωωωωωωωωωΦΦΛ==ΦΦ+++=++++++=+++ （b ） 若任选的振型向量{}u 是系统的第一阶振型向量{}1u ，则 23=c 0n c c == =，故 1R n ωω= 若所选的阵型{}u 不是系统的第一阶振型向量{}1u ，但
悬臂梁固有频率的计算
若相对于n β的2C 值表示为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表示为21cos cosh ( )sin sinh n n n n n n l l C C l l ββββ+=-+；因此1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...sin sinh n n n n n n n n n n l l W n l l ββββββββ??+=---=??+??由此可得 到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得： 111 2 22 222123444 1.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Al ωωωρρρ===，，， 112 22 24544 10.995541()14.1372()EI EI Al Al ωωρρ==，； 法二、铁摩辛柯梁梁理论 1.悬臂梁的自由振动微分方程： 4242442224(,)(,)(1)0 w x t w x t E w I w EI A I kG kG x t x t t ρρρ????+-++=?????； 边界条件：(0)(0)0w x x φ====（1），0x l x l w x x φ φ ==??-==??（2） ； 设方程的通解为：(,)Csin cos n n x w x t w t l π=；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：4 2222222444 2224 r ()(1)0n n n r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=；其中22 I EI r A A αρ==，；若 转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为22 22 22 =n n EI n w l A l αππρ= ；当n=1,2,3,4,5时可分别求得固有频率为： 22222 1234522222 491625EI EI EI EI EI w w w w w A l A l A l A l A l πππππρρρρρ=====
固体力学作业 薄板的振动的固有频率与振型 1、 问题 矩形薄板的参数如下 33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======? 求矩形薄板在 （1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型 2、薄板振动微分方程 薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定： （1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零； （4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。 为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。 图 1 薄板模型 根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。根据假定（4），剪切应变分量为零。由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为
() a a a w u z x w v z y w w ?=-??=-?=+ 高阶小量 (1.1) 根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为 22 22 22a x a y a a xy u w z x x v w z y y u v w z y x x y εεγ??==-????==-?????=+=-???? (1.2) 胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为： 2222 222222222()()11()()111x x y y y x xy xy E Ez w w x y E Ez w w y x Ez w G x y σεμεμμμσεμεμμμτγμ??=+=-+--????=+=-+--???==- +?? (1.3) 现画薄板微元的受力图如图 2所示。 图 2所示中x xy x y yx y M M Q M M Q 、和、、和分别为OB 面、OC 面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。M x 、M y 是由正应力σx 、 σx 引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy 引起的合力矩。 图 2 薄板应力示意图 p (x ,y ,t )=P (x ,y )f (t )为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z 轴方向。应用动静法计算时， 沿z 轴负方向有一虚加惯性力22w h dxdy t ρ??，根据0z F =∑，0y M =∑，0y M =∑则 有
固有频率测定方法1.概要 固有频率的测定一般采用传递函数测定的方法。这个方法是一种为了 测定结构物的各个点中的传递函数， 使用数字信号处理技术和FFT算法的 方法。 所谓传递函数是指若以系统的输入信号为“X”,从该处输出（应答）信 号为“Y”，可以公式：传递函数 H=Y/X (1) 来表示的函数。 振动解析的领域中处理的传递函数，输入X多数为力。输出（应答） Y是哪一个物理量，则取决于测定。 如表1所示那样，传递函数H分别具 有固有频率。 表1 传递函数的种类
从性移 率速度（惯性） 图1所示为测定传递函数顺序。固有频率与传递函数的虚数部中的峰值相一致。此外，除在振幅成为“0”的节点测定的外，在所有的测定点，振幅存在于相同的频率上。 图1 传递函数的测定顺序
2.测定安装方法 以下就传递函数测定法的具有代表性的加振方法——随机加振法、脉 冲加振法进行说明。对于试验体的材 料、结构、试验目的等，可采用各种 各样的加振方法，详细内容请参照参 考书。 （1）随机加振法 图2 随机加振法 随机加振法是一种如图2所示的那 样， 在试验体的加振点安装加振机，给与 随机噪 声的加振力，测定应答点的加速度， 其信号
输入至FFT模拟装置，进行处理的方 法。 3脉冲加振法 （2）脉冲加振法 脉冲加振法是一种如图3所示的那 样，用 脉冲锤子敲打作为测定对象的试验体的加振点， 给与脉冲状的力，检测这个力的时间变化和应 答点的加速度，进行与上述加振法相同的处理 方法。 此外，脉冲信号的频谱也是平坦的，所以， 随机噪声同样作为输入波形使用。 再者，采用这类测定时有必要预先确
第13例有预应力模态分析实例—弦的横向振动本例介绍了利用ANSYS进行有预应力模态分析的方法、步骤和过程，并使用解析解对有限元分析结果进行了验证。有预应力模态分析分为两大步骤：首先进行结构静应力分析，并把静应力作为预应力施加在模型上；其次进行模态分析。 13.1概述 有预应力模态分析用于计算有预应力结构的固有频率和振型，例如，对高速旋转的锯片的分析。除了首先要进行静力学分析把预应力施加到结构上外，有预应力模态分析的过程与普通的模态分析基本一致。 (1)建模并进行静力学分析。当进行静力学分析时，预应力效果选项必须打开(PSTRES，ON)，关于集中质量的设置( LUMPM)必须与随后进行的有预应力模态分析一致。静力学分析过程与普通的静力学分析完全一致。 (2)重新进入Solution，进行模态分析。同样,预应力效果选项也必须打开(PSTRES，ON)。另外，静力学分析中所生成的文件Jobname．EMAT和Jobname．ESAV 必须都存在。 (3)扩展模态后在后处理器中查看它们。 13.2问题描述及解析解 图13-1所示为一被紧的琴弦，已知琴弦的横截面面积A=10-6m2，长度L=1m，琴弦材料密度ρ=7800 kg/m3，紧力T=2000 N，计算其固有频率。根据振动学理论，琴弦的固有频率计算过程如下：
琴弦单位长度的质量 γ=ρA =7800×10?6=7.8×10?3kg/m 波速 α=√T γ=√2000 7.8×10?3 =506.4m/s 琴弦的第i 阶固有频率 ?i = ia 2L =i ×506.42×1 =253.2iHz (i =1,2,… 按式(13-1)计算出琴弦的前10阶频率，如表13-1所示。 13.3分析步骤 13.3.1 改变任务名 拾取菜单Utility Menu →File →Change Jobname ，弹出如图13-2所示的对话框，在“[/FILNAM]”文本框中输入EXAMPLE13，单击“OK ”按钮。 图13-2 改变任务名对话框 13.3.2选择单元类型 拾取菜单Main Menu →Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete ，弹出如图13-3所示的对话框，单击“Add …”按钮，弹出如图13-4所示的对话框，
现罗列如下： 1丨=1.875104,讨=4.694091, '丨=7.854757, ■ 4^ 10.995541，冷丨=14.1372 ； 若相对于哨C 2 值表示为C 2n ，根据式中的C 1 "，C 2 ^可以表示为 C 2" = 6（册刖）； 悬臂梁固有频率的计算 试求在X = 0处固定、X =1处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶） 解：法一：欧拉-伯努利梁理论 悬臂梁的运动微分方程为： EI 叫刀+ Jw^t ）二o & a 悬臂梁的边界条件为: dw c w w(x=0)=0(1),￡(x=0)= 0(2)，x 2 w = 0(3), (El —2- X ± :X :' X 该偏微分方程的自由振动解为 w （x, t ）二W （x ）T （t ），将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到 W(x)二 G cos : x C 2sin : x C 3cosh : x C 4 sinh : x ，T(t)二 Acos wt Bsin wt ；其中：4 :：A 2 EI 将边界条件（1）、（ 2）带入上式可得 C 1+C 3=0，C 2 + C 4=0 ；进一步整理可得 W （x ） =G （cos Px —cosh 卩 x ）+C 2（s in Px —si nh ?x ）；再将边界条件（3 ）、（ 4）带入可得 -C 1 （cos : l cosh ：丨）- C 2（sin :丨 sinh ：丨）=0 ； -Cd - sin 11 sinh ：丨） - C 2（cos : l cosh ：丨） =0 要 求C i 和 C 2有非零解，贝尼们的系数行列式必为零，即 -(cosBl +cosh B l) -(sin B l+sinhBl) -(-sin P l+sinhPl) -(cos P l+cosh P l) 所以得到频率方程为.COS (:n l)COSh (:n l) =-1 .该方程的根n l 表示振动系统的固有频率: W n =( :n l)2 (-TA7)2 ,n =12…满足上式中的各 'n l （n 二1,2 ,…）的值在书P443表8.4中给出,
固有频率仿真计算方法的研究 【摘要】GIS产品部分电站曾出现母线筒体、隔离开关等元件在带电的情况下，出现较为明显的声响，并且筒体有较明显的振动现象。若长期运行可能会造成导电杆、母线筒连接处接触不良、螺栓松动，从而可能影响设备的正常运行。 本文以计算机仿真作为辅助手段，针对固有频率展开计算，作为振动研究的主要工作内容。并针对实际工程进行了大量仿真计算工作：一方面对已出现的问题进行分析，给出修改建议；另一方面总结了工程中常用结构固有频率的影响因素，为以后的工程设计提供参考。 【关键词】振动；固有频率；仿真计算；ANSYS 一、概述 振动是自然界和工程界常见的现象，其作用具有双重性。 GIS产品部分电站曾出现过母线筒体、隔离开关等元件在带电的情况下，出现较为明显的声响，并且筒体有较明显的振动现象。若长期运行可能会造成导电杆、母线筒连接处接触不良、螺栓松动，从而可能影响设备的正常运行。 从目前的研究成果看，出现上述异常现象是由于在电动力的作用下，导电杆和母线筒体发生了共振。分析产生共振原因的手段有计算机仿真及测量两种，其中测量是目前最为可靠的手段，可以较为精确的获得测量对象的固有频率及其在外界激励下的响应，从而判断是否发生共振现象。而计算机仿真作为一种辅助手段，可以节省大量的测量工作量，并且可以有效的进行定性判断，有助于指导前期工程设计。 以往的工程结构按静强度概念设计，依据动强度进行校核，然后再进行动力学实验，根据实验结果对其进行动力学模型修改。一个复杂结构从初步设计到建造完成，需要花费很长时间，耗费大量人力和物力，而且收效甚低，总让设计者处于被动局面。结构在运行过程中，不可避免的要产生过度振动甚至发生振动故障，引起重大事故。有关统计标明，在桥梁等结构所发生的重大事故中，主要与结构强度有关，且40%与振动问题有关。 固有频率是振动结构最为重要的振动特性之一。动载荷作用下的结构响应很大程度上依赖与结构的前几阶固有频率。当动载荷频率接近于结构的某阶固有频率时，结构会出现振幅非常大的过度振动。 本文以计算机仿真作为辅助手段，针对固有频率展开计算，作为振动研究的主要工作内容。 二、产品出现振动的原因
Abaqus固有频率提取 6.3.5 Natural frequency extraction Products: Abaqus/Standard Abaqus/CAE Abaqus/AMS References ?“Procedures: overview,”Section 6.1.1 ?“General and linear perturbation procedures,”Section 6.1.2 ?“Dynamic analysis procedures: overview,”Section 6.3.1 ?*FREQUENCY ?“Configuring a frequency procedure‖ in ―Configuring linear perturbation analysis procedures,”Section 14.11.2 of the Abaqus/CAE User's Manual Overview The frequency extraction procedure: ?performs eigenvalue extraction to calculate the natural frequencies and the corresponding mode shapes of a system; ?will include initial stress and load stiffness effects due to preloads and initial conditions if geometric nonlinearity is accounted for in the base state, so that small vibrations of a preloaded structure can be modeled; ?will compute residual modes if requested; ?is a linear perturbation procedure; ?can be performed using the traditional Abaqus software architecture or, if appropriate, the high-performance SIM architecture (see “Using the SIM architecture for modal superposition dynamic analyses‖ in ―Dynamic analysis procedures: overview,”Section 6.3.1); and ?solves the eigenfrequency problem only for symmetric mass and stiffness matrices; the complex eigenfrequency solver must be used if unsymmetric contributions, such as the load stiffness, are needed. Eigenvalue extraction The eigenvalue problem for the natural frequencies of an undamped finite element model is where
摘要 在化工生产中，分馏塔承受筒体内压、自重、风载荷和地震载荷的作用容易产生载荷振动和诱导振动。当振动频率接近于塔的自振频率时，塔就会发生共振、可能导致设备的破坏。因此，如何减小塔设备受风力作用而产生的诱导振动造成严重的危害，提高塔设备的抗振能力都是需要在设计时予以考虑的问题。 本论文的题目是“基于ANSYS的柴油分馏塔的固有频率的计算”。本文以柴油分馏塔为研究对象，应用ANSYS有限元软件对设备进行了固有频率的计算，首先采用SHELL63单元建立分馏塔的三维实体模型，然后用自由分网的方法对其进行网格划分，施加约束和载荷，最后应用模态分析功能求解出柴油分馏塔的固有频率和振型。然后利用集中质量法假设把均布质量作为一个与之相当的集中质量放置在塔的顶端，根据动能平衡的原理以及虚梁法可以确定不等截面悬臂梁式柴油分馏塔自振周期。这一结果表明基于ANSYS的有限元法对柴油分馏塔自振周期的计算准确性高，计算方便，为工程上其他复杂模型固有频率的计算提供了方法依据。 关键词：ANSYS；柴油分馏塔；固有频率；振型
Abstract In chemical production, fractionation tower were prone to vibration and induced vibration loads beacause of withstanding the body cylinder pressure, dead weight, wind loads and seismic loads. When the vibration frequency close to the tower natural frequency, the tower resonance occurs, which may result in equipment damage. Therefore, how to reduce the damage due to wind-induced vibration effect to improve the tower's vibration capabilities are required to be considered in the design. The thesis is " calculations of diesel distillation tower natural frequency on ANSYS" , and mainly study for the diesel distillation column. First, I apply SHELL63 element in finite element software ANSYS to establish three-dimensional solid model of distillation tower, and then to mesh and impose constraints and loading, modal analysis, and finally solve the diesel distillation tower natural frequencies and mode shapes. Then assume the uniform quality as an equivalent concentrated mass placed in the tower's top based on Lumped mass method, and determine the natural cycle of diesel fractionator according to the principle of kinetic energy balance as well as virtual cantilever beam method. The results show that iesel fuel distillation column calculation of the natural cycle based on the ANSYS finite element method is of high accuracy, easy to calculate, providind a method of calculating the natural frequency for the other complex models. Key words：ANSYS；Diesel fractionator tower；Natural frequency of vibration；Vibration model