2019复旦大学861概率论与数理统计考试重难点与课后习题讲解（含名校真题答案）
《概率论与数理统计教程》考试重难点与课后习题讲解（含名校真题答案）由鸿知复旦考研网依托多年丰富的教学与辅导经验，组织鸿知教学研发团队与复旦大学优秀研究生共同合作编写而成。全书内容紧凑权威细致，编排结构科学合理，为参加2019复旦大学考研的考生量身定做的必备专业课资料。
本书旨在帮助报考复旦大学考研的同学通过教材章节框架分解、配套的课后习题讲解及相关985、211名校考研真题与解答，帮助考生梳理指定教材的各章节内容，深入理解核心重难点知识，把握考试要求与考题命题特征。
通过研读演练本书，达到把握教材重点知识点、适应多样化的专业课考研命题方式、提高备考针对性、提升复习效率与答题技巧的目的。同时，透过测试演练，以便查缺补漏，为初试高分奠定坚实基础。
适用院系：
管理学院：概率论与数理统计
大数据学院：概率论与数理统计
生命科学学院：生态学
适用科目：
861概率论与数理统计
本书包括了以下几个部分内容：
Part 1 - 考试重难点：
通过总结和梳理《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）等教材的各章节复习和考试的重难点，建构教材宏观思维及核心知识框架，浓缩精华内容，令考生对各章节内容考察情况一目了然，从而明确复习方向，提高复习效率。
Part 2 - 教材配套课后/经典习题与解答：
针对《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）等教材的课后习题配备详细解读，以供考生加深对教材基本知识点的理解掌握，做到对复旦考研核心考点及参考书目内在重难点内容的深度领会与运用。
Part 3 - 名校考研真题详解汇编：
根据教材内容和考试重难点，精选本专业课考试科目相关的名校考研真题，通过研读参考配套详细答案检测自身水平，加深知识点的理解深度，并更好地掌握考试基本规律，全面了解考试题型及难度。
本资料由鸿知复旦考研网发布
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名： …………………………………………………………装订线…………………………………………………… 班级： 姓名：_________________学号：___________________座位号 …………………………………………………………密封线…………………………………………………… 一、填空题 (每小题2分，共10分) 1、一射手对同一个目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为 81 80 ，则该射手的命中率为 . 2、 设随机变量X 在区间[2,5]上服从均匀分布，则=)(2X E ____13_____ . 3、 设X 服从参数为10=θ的指数分布，Y )2,3(~2 N ，且X 与Y 相互独立，Y X Z 23-=， 则=)(Z D ___916_____. 4、已知5.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D 19_ . 5、设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 为来自X 的简单随机样本,则 ~1 1 ∑== n i i X n X ),(2 n N σμ. 二、单项选择题 (每小题2分，共10分) （1）对于任意两事件A 和B ，=-)(B A P C . （A ）)()(B P A P - （B ）)()()(AB P B P A P +- （C ） )()(AB P A P - （D ）)()()(B A P A P A P -+ 2、.对于任意两个随机变量，若)()()(Y E X E XY E =则____B _____. (A))()()(Y D X D XY D = (B))()()(Y D X D Y X D +=+ (C) X 与Y 相互独立 (D)X 与Y 相互不独立 3、设Y X ,相互独立，X 和Y 的分布律分别为 ，则必有 D . （A ）Y X = （B ）{}0==Y X P （C ）{}1==Y X P （D ）{}58.0==Y X P 4、 在假设检验中,原假设0H ,备择假设1H ,则称_____D _____ 为犯第二类错误 (A)10H H 为真，接受 (B) 00H H 不真，拒绝 (C) 10H H 为真，拒绝 (D) 00H H 不真，接受 5、 已知341.1)15(90.0-=t 。设随机变量X 服从自由度为15的t 分布，若90.0)(= 4习题四 1.设随机变量X 的分布律为 求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;82842 E X =-? +?+?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =? +?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[( )]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432. =-?+-?++-?= 3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则 (){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式 1{}{} 1().N N k k k P X k kP X k N N n E X N N ===== ===∑∑ 5.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】1 2 2 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 1 2 2 2 3 20 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X . 【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=?+?+= (2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X - 因独立 1184568.=?-?= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ）， D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3. E X Y E X E Y -=-=?-?= (2) 2 2 (23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 复旦大学招收外校推免硕士生实施 2012-07-31 复旦大学2013年招收外校推荐免试硕士生实施办法 欢迎全国高校优秀应届本科毕业生申请复旦大学推荐免试硕士研究生（以下简称“推免生”），现将复旦大学2013年招收外校推免生办法公布如下： 一、申请条件 拥护中国共产党的领导，愿为社会主义现代化建设服务，品德良好，遵纪守法，且能取得所在高校推荐免试资格的优秀应届本科毕业生： 1．学术研究兴趣浓厚，有较强的创新意识、创新能力和专业能力倾向； 2．诚实守信，学风端正，无任何考试作弊、剽窃他人学术成果以及其他违法违纪受处分记录； 3．本科阶段学习成绩、特别是专业成绩突出，英语水平符合申请学科专业的要求； 4．由申请院系或学科专业确定的、与上述条件不相违背的其他条件。 二、申请材料 申请者须通过复旦大学研究生招生网“复旦大学研究生报考服务系统”提交以下材料： 1．近期正面免冠彩色证件照片（电子版JPG格式，150×200像素，大小30K 以内）； 2．本科阶段历年成绩单（须加盖教务处或院系公章），JPG或PDF格式； 3．外语水平证明，如CET四、六级成绩等； 4．有关获奖证书和学术科研成果（如发表论文、出版物或原创性工作等）。 上述第3、4项材料原件须于复试时携带，以备验证。 完成网上申请后，需打印和寄送以下材料： 1．《复旦大学2013年推荐免试研究生申请表》； 2．《复旦大学推荐免试研究生专家推荐信》2封； 3．《推荐免试资格证明》； 4．本科阶段历年成绩单（原件）。 上述第1-3项材料由申请人在报考服务系统中下载打印（统一用A4纸），按要求填妥后，连同第4项材料，于2012年9月23日前（以邮戳为准,院系另有规定的按其规定执行）寄送至申请院系（各院系联系方式参见申请系统提示）。《推荐免试资格证明》若在递交申请材料阶段未及签字盖章，可先将推荐免试研究生申请表及其他申请材料寄出，获得复试资格者，最迟须于复试时将该证明递交申请院系。未寄送上述材料者，其网上申请无效，所有申请材料恕不退还。 三、申请与选拔考核程序 1．申请者登录复旦大学研究生招生网“复旦大学研究生报考服务系统”，通过“招收推荐免试研究生申请选拔”模块填写和提交申请信息，并按要求向申请院系寄送申请材料。申请时请仔细阅读《复旦大学2013年推荐和招收免试研究生网上申请须知》。 网上申请路径：复旦大学研究生招生网(https://www.doczj.com/doc/4f4839808.html,/)>>>复旦大学研究生报考服务系统>>>招收推荐免试研究生申请选拔。 网上申请时间：2012年6月1日至9月23日（各院系接受申请的具体时间以院系规定为准）。 申请材料寄送截止日期：2012年9月23日（以邮戳为准，院系另有规定的'按其规定执行）。 2．院系组织对申请材料进行评审，择优确定拟复试名单，并于2012年10月上旬或中旬组织复试。经复试拟同意招收者，将寄发《复旦大学2013年推荐免试硕士研究生拟录取通知书》。 3．拟招收并取得所在高校正式推荐资格者，须按照2013年全国硕士生网上报名的要求，于规定时间内凭推荐学校提供的免试校验码，选择当地高招办指定的报考点进行网上报名和办理现场确认手续。 《全国推荐免试攻读硕士学位研究生（直博生）登记表》（省市高招办盖章）须于2012年11月14日前寄（送）至我校研究生院招生办公室（地址：上海市邯郸路220号，邮编：200433）。未进行网上报名和网上确认的考生将取消其推免资格。 正式录取通知书将在政审合格后于2013年6月上旬由院系寄发。 四、其他事项 习 题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大 号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 4.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33 (0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时 间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 复旦大学考研复试失败经验分享 本人就是某财复试被刷的（大概是唯一一个，sad） 先说一下自己的复试吧。个人感觉就我自己的复试结果而言，自身表现不好是主要原因，期间老师主要问了我两个问题，价格歧视和公共产品为什么不能由市场提供。 前一个问题我先举了火车票的差别定价作为例子，后来老师让我仔细说一下每一级价格歧视（第一级、第二级、第三级），这个因为不记得了，所以沉默了一会，然后说自己不记得了，老师很好奇地问了句，你们本科这方面内容应该学的比较深入才对吧（本人专业是经济相关的），我脑子一抽回了一句，因为这些基本理论都在大一大二学的，当时用的全是英文教材，几乎都看不懂，老师又随口问了句，那你微观当时用的是谁的教材，我想了几秒，也没有答上来（当时记得好像是范里安，但记不清范里安到底是写宏观还是微观的了，没敢回答），老师后来就问了公共产品为什么不能由市场提供。 我先回答了公共产品的两个性质（非竞争性和非排他性），然后又开始用自来水来举例（我记得上课的时候老师说的就是自来水的例子），提问的老师打断了我说，谁说自来水不能由市场提供，那美国的自来水为什么是由市场提供的？ 因为对美国的情况不了解，所以请求思考了一会，没想出来，就请老师介绍了一下美国的情况，听完之后还是比较懵逼，然后老师又告诉我，自来水不是公共产品，听完之后更加懵逼了，这时候中间的老师补充了一句，自来水也可以算是公共产品，但不典型（后来去网上查了一下，确实如此），此后间歇性地挣扎了几句，但没有给出完整的回答。 最后我的复试是以沉默结束的，时间到了之后老师问我还能不能回答，看我答不上来就让我出去了。 就面试期间老师的态度来看，我所在的组的老师基本还算比较友善，虽然在我答不上来之后明显表现出了不耐烦= =但我觉得这大概也是因为长时间面试疲劳以及我的表现确实让人没有沟通欲望。 此外可能也确实存在老师态度不端正的情况（比如玩手机），运气成分也占有一定的比例，但要求复试有一个统一的评分标准显然也是无法实现的，即使是同一个老师，面对不同的人也没有办法做到完全相同的对待。 关于经院方面，我只能说这次经院对于复试的安排挺让人失望的，至少会让我们这些复试被刷的人很失望。最重要的一点就是复试的时间拖得太晚，让人几乎没法调剂。 虽然拖的晚可能是为了争取更多的入学名额（据相关消息声称），但在决定采取差额复试的同时，显然没有考虑到被刷考生的感受，尤其是对于二战以及二战以上的群体，在升学这条道路上奋斗了好几年，好不容易看见了曙光，又被无情地踢下了深渊，几乎没有留下任何可以在这条路上继续前行的方法。 其次我个人认为有关领导做出了一个错误的决定，就是以差额复试为代价适当压低了分数线，就本人了解的情况来看，复旦经院之所以会在今年聚集如此多的考生，就是大家默认其复试不会刷人。我相信即使分数线涨到410、415，只要坚持复试不刷人，复旦仍然会对大部分考生，尤其是本科非985、211的考生有着致命的吸引力，现在这种情况已经被院方自己打破，就如那篇帖子标题所说，复旦不刷人的神话已经破灭了，短期内再想像今年这样聚集一大批如此高质量生源（就初试成绩而言），几乎不可能了。 最后，关于招生计划的消息真的太不透明了，每次计划都是几十个，结果招收都是一百多个，建议想招多少就写多少，就算又偏差也别太多，要不等分数线的时候，看到漫天飞舞的小道消息，真的考验心脏。概率论与数理统计(练习参考答案)
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