三角函数
1．1 任意角和弧度制 1．1.1 任 意 角
1 角的概念
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2 角的分类 (1)正角：按逆时针方向旋转形成的角；
(2)负角：按顺时针方向旋转形成的角； (3)零角：射线没有作任何旋转形成一个零角； 规定:正角>零角>负角；
画法：画角时，用带箭头的螺旋线加以标注； 记法：αα
α∠、角；
意义：用“旋转”定义角之后，角的范围扩大了：角有正负之分；角可以任意大；还有零角。 3 象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限就称为第几象限角．若终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何象限．称为轴线角． 4 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}Z k k ∈?+=,360 αββ 5 象限角的集合表示
第一象限角的集合 第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
6 αk k
α
?、所在象限的判定 方法一 代数推导法；方法二 图示法
例： α是第三象限的角，求2
α的范围，并在坐标系内表示出来，同时指出它在哪一象限.
（代数推导法）
(图示法)
{}Z k ,180360k 90360k |∈?+??<
{}Z k ,360360k 270360k |∈?+??<
；2
1351802
90180270360180360α
∴
∈?+??<<
?+??∴∈?+??<
k Z
,k k αk
7 角的终边对称问题
（1）终边与α角的终边关于x 轴对称：{}
Z k k ∈?+-=,360 αβ
β （2）终边与α角的终边关于y 轴对称：{}Z k k ∈?+-=,360180 αββ （3）终边与α角的终边关于原点对称：{}
Z k k ∈?++=,360180 αββ （4）终边与α角的终边关于y=x 对称：{}Z k k ∈?+-=,36090 αββ （5）终边与α角的终边关于y=-x 轴对称：{}Z k k ∈?+-=,360270 αββ （6）α与β的终边关于x 轴对称：Z k k ∈?=+,360 βα （7）α与β的终边关于y 轴对称：Z k k ∈+?=+,180360 βα （8）α与β的终边关于原点对称：Z k k ∈+?=-,180360 βα
1．1.2 弧 度 制
1 角度制 将圆周的
360
1
作为1度的角，记作1°，这种用度作单位来度量角的单位制叫角度制． 2 弧度制
将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角，记作1 rad.这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．
3 角度、弧度的换算 180°= π rad
1°= 180π rad ≈ 0．01745rad ； 1 rad = ()
?
π
180≈?30.57
4 一些特殊角的弧度数
5：扇形弧长及面积公式
222
1
21360
180r
n 角度制r lr S r
l r n S l ααππ=====
弧度制：；： 6：终边相同的角
},k 2|{},360k |{Z k Z k ∈+=∈??+=παββαββ弧度制：；
角度制：
7 用弧度制写出满足下列条件的角的集合
{}{}
?
?????∈+=??????∈+=∈+=∈=?
?????∈+<<+??????∈+<<+?
?????∈+<<+??????∈+< πππαππππαπ πππαπ；上正；四；三二； 1 任意角三角函数的定义 定义一：如图所示，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x ，y)，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α＝y. (2)x 叫做α的余弦，记作cos α＝x. (3)y x 叫做α的正切，记作tan α＝ y x . 定义二：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P(异于原点)， 其坐标为(x ，y)，且OP ＝r ，则： sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 三角函数 定义域 值域 αsin =y R [] 1,1- R []1,1- R 3 三角函数值在各象限的符号 (2)符号的记忆口诀：一全正、二正弦，三正切，四余弦(为正) 4 特殊角的三角函数 5 诱导公式一 απαα πααπαtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=?+=?+=?+k k k αcos =y αtan =y ???? ??∈+≠Z k k ,2 ππαα 上正下负横为0 左负右正纵为0 交叉正负 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 不存在 不存在 0 一：三角函数线 用有向线段的数量来表示。当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ，MP 都看成带有方 向的线段，这种带方向的线段叫有向线段. （正切线） （余弦线）（正弦线）AT x y M x MP y = = ====αααtan 0cos sin (一) α终边不在坐标轴上时 2 相关结论 ① ④ ② ③ ⑤ （二）α终边在坐标轴上时 ①终边在x 轴上时：正弦线、正切线分别变成了一个点. 此时sin α tan α都为0；cos α=1± ②终边在y 轴上时：余弦线变成了一个点，正切线不存在. 此时cos α=0，sin α=1±， tan α不存在 ) 2,0(,1cos sin tan sin )2,0(tan sin ?? ? ??∈>+ ? ??∈<<παααααπαααα终边不在坐标轴上时， 1．2.2 同角三角函数的基本关系式(第一课时) 1 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2 α＝1 ； (2)商数关系：α ααcos sin tan = （ )(2Z k k ∈+≠π πα ） 2 变式公式 (1)sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2 α； (2)αα2-±=cos 1sin ; αα2sin 1cos -±= (±号由角α终边所在象限来确定) (3)1＝sin 2α＋cos 2 α（1的代换）； ()ααααcos sin 21cos sin (4)2+=+; ()ααααcos sin 21cos sin 2 -=- (5)sin α＝tan α·cos α ；α ααtan sin cos =；（)(2 Z k k ∈+≠π πα） 1．2.2 同角三角函数的基本关系式(第二课时) 1 三个基本思想方法： （1）“1”的代换： （2）切化弦：利用商数关系把正切化为正弦和余弦 （3）整体代换：将式子适当变形使条件可以整体代入 2 化简的结果要求 (1) 函数的种类尽可能少； (2)次数尽可能低；(3)项数尽可能少； (4)尽可能不含字母； (5)尽可能地将根号中的因式移到根号外． 3 证明三角恒等式 基本原则：由繁到简 常用方法：(1)从左证到右 (2)从右证到左 (3)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子 1.3 三角函数诱导公式 1 诱导公式 ()()()()()()()()()()()()α-αα-αα αα -αααπα --αα -απα-αα απα --αα απα k παα-απαk παα απα k παsin 2cos sin 2cos cos 2sin cos 2sin ：公式tan --tan tan tan cos -cos cos cos sin -sin sin sin 公式三：tan tan tan 2tan cos cos cos 2cos sin -sin ：公式sin 2sin 公式一：=?? ? ??+=?? ? ??=?? ? ??+=?? ? ??=======+=+=+=+=+=+ππππ公式四：五公式四：二 口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 所有诱导公式可以概括为： Z k k ∈±,2 απ 的各三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的异名三角函数值；然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 1 正弦曲线的画法 (1)几何法(了解即可) 正弦函数的图象叫做正弦曲线． (2)五点法 在函数y ＝sinx ，x ∈[0，2π]的图象上起关键作用的点主要有五个： ()()()0,2,1,23, 0,,1,2, 0,0ππππ?? ? ??-?? ? ??． 描出这五个点后，用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图． 2 余弦曲线的画法 (1)平移法：因为()R x x x y ∈??? ??+==,2sin cos π，所以把y ＝sinx 的图象向左平行移动π2个单位就得到y ＝cosx 的图象． 这说明余弦曲线的形状和正弦曲线形状相同，只是位置不同． (2)五点法:在函数y ＝cosx ，x ∈[0，2π]的图象上起关键作用的点主要有五个： (0，0)，()()()1,2,0,23, 1,, 9,2,1,0ππππ?? ? ??-?? ? ??． 描出这五个点后，用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图． 余弦函数的图象叫做余弦曲线 3：正弦曲线、余弦曲线的特征 图像的特点： ①延展性：图象可以左右无限延展; ②界性：图象夹在直线1±=y 之间，即正余弦函数的值域都是[]1,1-; ③平衡位置：x 轴，整个图象在x 轴附近上下波动; ④凸性：x 轴上方的图象为上凸，下方的图象为下凸; ⑤呈周期性变化：每间隔π2图象循环出现; ⑥对称性：正弦曲线关于原点对称； 余弦曲线关于y 轴对称 (正弦曲线、余弦曲线的对称中心点一定是与x 轴的交点，纵坐标为0 正弦曲线、余弦曲线的对称轴与曲线的交点要么是最高点要么是最低点，即把对称轴代入函数，值为1或-1) 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（1） 1 函数的周期性的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，T 叫做这个函数的周期． 注：①T 为非零常数，表示的是区间长度； ②定义是对定义域中的每个x 值来说的，如果只有个别x 值满足f(x+T)=f(x)，那么不能说T 是数f(x)的周期.例如：3 sin )23sin(,4sin )24sin(ππππππ≠+=+但 ③对f(x+T)=f(x)的理解：横坐标x 每间隔T 函数值相等；自变量本身加的常数才是周期；例:若f(2x)=f(2x+T)=f(2(x+2T ))则f(x)的周期为2 T . ④周期函数的周期有无数个，若T 是数f(x)的周期，则kT ()0,≠∈k Z k 也是f(x)周期； ⑤如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期（无特别说明，一般都是指函数的最小正周期）．y=sinx 和y=cosx 的最小正周期都为π2; ⑥不是所有的函数都有最小正周期，如常数函数f(x)=C(C 为常数)； ⑦周期函数的定义域必是一个无界区域； ⑧若f(x)是周期为的T 函数，则b x af +)(也是周期为T 的函数. )(?ω+x f 是周期为ω T 的周期函数； 2：求周期的方法 方法一：图像法 例1(1)y ＝|sinx| T ＝π 方法二：公式法 ω π ?ωωπ ?ωπ 2)cos(2)sin(2cos sin )1(= +==+===T x A y T x A y x y x y 的周期的周期的周期为和 ω π?ωωπ?ωπ= +== +===T x A y T x A y x y x y 的周期的周期的周期为和)(cos )(sin cos sin )2(222 2 (2)y ＝||cosx ＋12| T ＝2π ω π ?ωω π ?ωπω π?ωωπ ?ωπ2)0()cos(2)0()sin(2)0(sin )4()(cos )sin(cos sin )3(= ≠++== ≠++==≠+== +==+===T B B x A y T B B x A y T B B x y T x A y T x A y x y x y 的周期的周期的周期的周期的周期的周期为和 3：相关结论 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()a T a x f a T a x x f a T a x x f a T a x f a b T b a x x f a b T b a x f a b T b x a x x f c a b x b f c a x f a b x b f a x f a b x x b f a x f c b a x f x b f c a x f b a x f x b f a x f b a x x f x b f a x f a x x f x a f x f a T x f a x f a T x f a x f a T x f a x f a b T b x f a x f a T x f a x f 4)0,()(4)(2)(2)0,()(4)0,()(2)0,()0,()(2)(3),2 (2)0,2(22 -202 -2)2()(22)(1 2)(1 21=?=?==?==?-=?=-=?-=?==?+?---+---+-=-++?-=++?-=++=?-=+=?-==?-=+=?=+=?-=+-=?+=+=?=+对称关于偶函数对称关于奇函数对称关于偶函数对称关于奇函数）（对称和关于）（对称和关于）（对称和关于周期）奇偶性周期（对称性）双对称（对称 关于与对称 关于与对称 关于与两个函数之间的对称 ）对称 ，关于（）对称 ，关于（对称 关于对称 关于自身的对称： ）对称性：（）周期性： （ 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2） 一．定义： 一般地，对于函数f(x)的定于域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x),那么称f(x)为偶函数； 一般地，对于函数f(x)的定于域内任意一个x ，都有f(-x)=-f(x),那么称f(x)为奇函数； 二．判断方法： 1.定义法：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则非奇非偶;若对称，再看f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)=f(x)（相等）则为偶函数，若f(-x)=-f(x)（相反）则为奇函数; 2.图像法：奇函数关于原点对称 偶函数关于y 轴对称 3. 奇偶性质法：奇+奇=奇； 偶+偶=偶 奇?奇=偶； 偶?偶=偶； 奇?偶=奇 三．正弦函数、余弦函数的奇偶性 是偶函数 x y cos = 是偶函数 为非零常数） 是奇函数（x A y x A y ω?ωωcos .sin )2(== 是奇函数；x y sin )1(= 为奇函数时奇 奇 偶时，当奇偶 奇 时，当)tan(2 2)3(?ωπ?ππ?π?+==?==+======x A y k y k y k y y 1.4.2正、余弦函数的性质（3） 1 正、余弦函数的性质 函数名称 函数性质 y＝sinx y＝cosx 相同处定义域 值域 周期性 T＝T＝ 不同处 图象 单调性 上递减 在 上递增 在 ) ( 2 3 2, 2 2 ) ( 2 2, 2 2 Z k k k Z k k k ∈ ? ? ? ? ? ? + + ∈ ? ? ? ? ? ? + - π π π π π π π π 最值 () ()1 2 2 1 2 2 min max - = ∈ - = = ∈ + = y Z k k x y Z k k x 时， 时， π π π π() ()1 2 1 2 min max - = ∈ + = = ∈ = y Z k k x y Z k k x 时， 时， π π π 对称性 () ) (, 2 ) (,0, Z k k x Z k k ∈ + = ∈ π π π 对称轴： 对称中心： ) (, ) (, 0, 2 Z k k x Z k k ∈ = ∈ ? ? ? ? ? + π π π 对称轴： 对称中心： 奇偶性奇函数偶函数 R [－1，1] [－1，1] 2π 2π R [] []上递减 在 上递增 在 ) ( 2, 2 ) ( 2, 2 Z k k k Z k k k ∈ + ∈ - π π π π π π 1.4.3正切函数的性质与图象 1 正切函数的性质 2 正切函数图像的特征 3 正切函数的性质： ()时为奇函数，当为奇函数为奇函数奇偶性：2 tan tan tan π ??ωωk x A y x A y x y = +=== 1.5函数)sin(?ω+=x A y 的图象 1 “基本变换”法作图 由函数y ＝sinx 的图象通过变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的图象， 途径一：先平移后伸缩 ①正切曲线由无穷多支曲线组成的，每个分支里都是递增的，每支曲线 都是向上、下无限伸展的，且是被相互平行的直线Z k k x ∈+=,2ππ 隔开的； ②渐近线:Z k k x ∈+=,2ππ ③凸性：x 轴上方图形下凸，x 轴下方图像上凸； ④任意一条平行于x 轴的直线及x 轴，与相邻两条曲线的交点的距离都是π ⑤对称性:关于原点对称（奇函数），对称中心: ⑥三点两线法作图： ()221,41,40,0ππππ-==?? ? ????? ??-x x ()()()() ω π?ωπ ωπ?ωπ ω ?ω= +==== +===+T x A y T x y T x A y T x y T x f T x f tan tan tan tan 的周期为，则周期为若周期性： ()()()0),sin(1 11>+=<>? ???????????→?ω?ωωωωx y 纵坐标不变 倍 到原来的或伸长横坐标缩短()()()B x A y B B B ++= <>????????→??ωsin 00个单位 平移或向下所有点向上()()()倍 到原来的或缩短纵坐标伸长11<>A A A ()() ) sin(00sin ????+=<>=??????→?x y x y 个单位平移或向右向左?? ? ??0,2πk 3 由函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的图象求解析式 途径二：先伸缩后平移 2 图象变换 ()() ()() ()()() ()x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y a x f y x f y b x f y x f y a x f y x f y y x a a a b b b a a a = ? ? ? ? ?→ ? = = ? ? ? ? ?→ ? = = ? ? ? ?→ ? = = ? ? ? ?→ ? = = ? ? ? ?→ ? = + = ? ? ? ? ? ? ?→ ? = + = ? ? ? ? ? ? ?→ ? = + = ? ? ? ? ? ? ?→ ? = < > < > < > 右不动，右翻左 上不动，下翻上 关于原点对称 轴对称 关于 轴对称 关于 个单位 平移 或向右 向左 个单位 平移 或向下 向上 个单位 平移 或向右 向左 翻折变换 对称变换 平移变换 ) ( ) ( ) ( .3 ) -( - ) ( ) -( ) ( ) ( - ) ( .2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( .1 ω ω ()()() B x A y B B B + + = < >? ? ? ? ? ? ? ?→ ?? ω sin 个单位 平移 或向下 所有点向上 ()() )0 ( ), sin( > + = < >? ? ? ? ? ?→ ?ω ? ω ω ? ? ? x y 个单位 平移 或向右 向左 ()()() ） （ 横坐标不变 倍 到原来的 或缩短 纵坐标伸长 , sin 1 1 > + = < >? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?→ ?A x A y A A A ? ω ()() )0 ( ), sin( 1 1 1 sin> = < > =? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?→ ?ω ω ω ω ω x y x y 纵坐标不变 倍 到原来的 或伸长 横坐标缩短 简单的三角恒等变换 1.和差角公式 S (α＋β)： sin α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β S (α－β) ：sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β C (α＋β)： cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β C (α－β)： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β β αβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(:)(?-+= ++T β αβ αβαβαtan tan 1tan -tan )-tan(:)(?+= -T 2.化一公式（辅助角公式）：acos α＋bsin α＝a 2＋b 2 sin(α＋φ)． 3.倍角公式 6.万能公式：sin2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝1－tan 2 α 1＋tan 2 α 化 的三角函数值之间的转、、、442π απααα+- 7. )-cos()cos (sin 2)sin( )4()4 cos( 2)4 sin(2cos sin )4 cos(2)4 sin( 2cos sin )3() 4 4 cos()4 4 cos( cos ) 44sin()4 4 sin(sin 222sin 2cos 2-2sin 2cos 22cos -2sin 2-2cos 2sin 1απαααπ απ π αααπ ααπ ααπ π απ απ απ π απ απ ααπααπααπααπα=+=++=-=-- =+=++ - =- +=+ - =- +=??? ??+=??? ??=??? ??+=??? ??=展开：； ； 化一公式： ）（； ，； ，）变换： （ 4.升幂公式 ()2sin 2cos 12cos 2cos 1cos sin cos sin 2cos sin 2sin 1222 22ααααααααααα=-=++=±+=+ 5.将幂公式 2 2cos 1sin 22cos 1cos .322ααα α-=+=降幂公式：α αααααααααα22 2 22tan 1tan 22tan sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin -= -=-=-== 人教版数学必修四三角函数 复习讲义 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形 式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 例4．已知cos(π+α)=－2 1，2 3π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）． 三角函数 知识点精讲： 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 ????? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为___________________________________ 第二象限角的集合为___________________________________ 第三象限角的集合为___________________________________ 第四象限角的集合为___________________________________ 终边在x 轴上的角的集合为______________________________ 终边在y 轴上的角的集合为______________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为____________________________ 3、与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z 二、弧度制 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 三、任意角的三角函数 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的 第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 锐角三角函数 知识点一：锐角三角函数 1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin 。 3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos 。 4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan 。 sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=5 4 ，则AC ：BC ：AB=（ ） A 、3：4：5 B 、5：3：4 C 、4：3：5 D 、3：5：4 2、已知锐角α，cosα= 3 5 ，sinα=_______，tanα=_______。 3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB= = ______。 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则BC 等于_______。 5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ） A 、ncosB B 、1 n cosB C 、cos n B D 、不变 考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三 题型一：任意角与弧度制 【例1】 下列各对角中终边相同的角是（ ）。 A 2π和2()2Z k k ππ-+∈ B 3π-和22 3 C 79π-和119π D 203π和1229π 【例2】 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例3】 当角α与β的终边互为反向延长线，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例4】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。 A 6 rad π B 6 rad π - C 12 rad π D 12 rad π - 【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ） A 1:2 B 1:4 C 1:2 D 1:8 典例分析 板块一.三角函数的基本概念 【例6】 下列命题中正确的命题是（ ） A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2 B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小 D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 【例7】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. 21 (2sin1cos1)2R -? B 21 sin1cos12 R ? C 2 12 R D 2(1sin1cos1)R -? 【例8】 下列说法正确的有几个（ ） （1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90o 的角是锐角；（4）090o o :的角是锐角。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855o 是第 （ ）象限角。 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例10】 下面四个命题中正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角 【例11】 已知角α的终边经过点(3P -，则与α终边相同的角的集合是 . A.2π2π3x x k k ?? =+∈???? Z ， B.5π2π6x x k k ?? =+∈???? Z ， C.5ππ6x x k k ?? =+∈???? Z ， D.2π2π3x x k k ?? =-∈???? Z ， 【例12】 若α是第四象限角，则180α-o 是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例13】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ） __________________________________________________ 高一数学下必修四第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?< __________________________________________________ 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π = ，180157.3π??=≈ ??? ． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+， 211 22 S lr r α==． 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?． 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． 三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．1.1 任 意 角 1 角的概念 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2 角的分类 (1)正角：按逆时针方向旋转形成的角； (2)负角：按顺时针方向旋转形成的角； (3)零角：射线没有作任何旋转形成一个零角； 规定:正角>零角>负角； 画法：画角时，用带箭头的螺旋线加以标注； 记法：αα α∠、角； 意义：用“旋转”定义角之后，角的范围扩大了：角有正负之分；角可以任意大；还有零角。 3 象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限就称为第几象限角．若终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何象限．称为轴线角． 4 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}Z k k ∈?+=,360 αββ 5 象限角的集合表示 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 6 αk k α ?、所在象限的判定 方法一 代数推导法；方法二 图示法 例： α是第三象限的角，求2 α的范围，并在坐标系内表示出来，同时指出它在哪一象限. （代数推导法） (图示法) {}Z k ,180360k 90360k |∈?+??< 专题四 三角函数 一．基本知识点 【1】角的基本概念 （1）正角 负角 零角 （2）角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 {}36036090,k k k αα?<，则 sin y r α= ，cos x r α=， ()tan 0y x x α= ≠． 【3】三角函数的基本关系 ()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=- ()sin 2tan cos α αα =sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ? ? ?． 【4】函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()sin sin παα+=- ()cos cos παα+=- ()tan tan παα+= ()sin sin αα-=- ()cos cos αα-= ()tan tan αα-=- ()sin sin παα-= ()cos cos παα-=- ()tan tan παα-=- sin cos 2παα??-= ??? cos sin 2παα?? -= ??? sin cos 2παα??+=- ??? cos sin 2παα?? +=- ??? 【5】常用三角函数公式 （1）两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?±= ± （2）倍角公式 sin2α=2sin α·cos α α α α2 tan 1tan 22tan -= cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2 α （3）半角公式 sin 2 α22cos 1α-= cos 2 α2 2cos 1α+= （4）辅助角公式()()sin cos 0a x b x x a θ+= +> (其 中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b a θ=确定) （5）特殊角的三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式 ：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602==π. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、 特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值. §1.2.21、 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为Z k ∈） §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π π ππ（， ）（，，）（，，）（，，）（，，）. 1 九年级下册锐角三角函数专题讲义 一．知识框架 二．锐角三角函数 1.Rt △ABC 中: (1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边 斜边 (2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边 斜边 (3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 2.特殊角的三角函数: A sinA cosA tanA 30° 12 32 33 45° 22 22 1 60° 32 12 3 2基础训练： 例1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ） A ． sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ． 2sinA ＝sinA ′ D ． 不能确定 例2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 4 3 练习1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2 sin 3 A =，则边AC 的长是（ ） A B ．3 C ．4 3 D 练习2.如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值 25 24 7C B A 练习3.等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB 练习4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= 练习5.在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝ 4 ，c ＝2，则a ＝ 练习6.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（ ） Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．1 高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1） ? ? ? ? ? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090, k k k αα ?< 高中数学三角函数综合复习讲义 1：产生背景：初中锐角三角函数 定义：设a是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它于原点的距离是r（r>0），那么 正弦: sinα=y/r 余弦: cosα=x/r 正切: tanα=y/x 余切: cotα=x/y 正割: secα=r/x 余割: cscα=r/y 都是a的函数，这六个函数统称为角a的三角函数。 2：找出结构：[函数]包括定义域，值域，对应法则。 本质:对于定义域内地任一x值在对应法则f(x)下都有值域中唯一的y和x对应，即y=f(x) 3：分类：[角的大小]包括：正角三角函数，负角三角函数； [定义域]包括：【0，2π】，【0，2π】之外的 [对应法则]包括：正弦: y= sinx 余弦: y= cosx 正切: y= tanx 余切: y= cotx 正割: y= secx 余割: y= cscx [角的位置]包括:象限角的三角函数，坐标轴上的角的三角函数 4：产生的条件：三角函数是在角的集合与实数集合之间建立的一种一一对应的关系。 5：研究概念的性质{特征、用途、作用、功能} 基本三角函数的性质： 同角的三角函数： 倒数关系: 商的关系： 平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin 2α＋cos 2α＝1 1＋tan 2α＝sec 2α 1＋cot 2α＝csc 2α 诱导公式 sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα sin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α tan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan α sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin α tan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan α sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α sin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α tan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan α sin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α tan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan α sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ （＋）＝＋（－）＝－（＋）＝－（－）＝＋ = 1 ?tan tan tan tan tan αβ αβαβ ＋（＋）－ 1? ?tan tan tan tan tan αβαβαβ －（－）＝ ＋ -- 高一数学下必修四第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< -- 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=，1180π = ，180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ，则l r α=,2C r l =+， 211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐 标是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. １0、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正． 11、三角函数线:sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?. １３、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. 2012届高考三角函数复习讲义 一、角的概念与推广：任意角的概念；角限角、终边相同的角； 二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度； 弧长公式：r l α= 扇形面积：S=α22 121r r l =? 三角函数线：如右图，有向线段AT 与 MP OM 分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。 三、同角三角函数关系：即：平方关系、商数关系、倒数关系。 四、诱导公式：()ααπf n f '±=?? ? ??±2 记忆：单变双不变，符号看象限。单双：即看πn 中的n 是 2π的单倍还是双倍，单倍后面三角函数名变，双不变则三角函数名不变；符号看象限：即把α看成锐角，加上2 π n 终边落在第几象限则是第几象限角的符号。 五、有关三角函数单调区间的确定、最小正周期、奇偶性、对称性以及比较三角函数值的大小问题, 一般先化简成单角三角函数式。然后再求解。 六、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有： 1、 常数代换法：如：αααααα2222 tan sec cot tan cos sin 1-=?=+= 2、 配角方法：ββαα-+=)( ()βαβαα-++=)(2 2 2 βαβ αβ -- += 3、 降次与升次：2 2cos 1sin 2 αα-= 22cos 1cos 22 αα+= 以及这些公式的变式应用。 三角函数知识框架图 4、 ()θααα+ +=+sin cos sin 22b a b a （其中a b = θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。 5、 常见三角不等式： （1）、若x x x x tan sin .2, 0< 高中数学 任意角的三角函数及同角三角函数的关系 知识点 知识点一 三角函数的概念 1．利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那 么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0)． 2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 知识点三 诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z . 作用：可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．体现了三角函数的周期性。 知识点四 三角函数的定义域 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2 ，k ∈Z }． 知识点五 三角函数线 如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . 三角函数的图象与性质 基础梳理 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ????π2，1 (π，0) ? ?? ??32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ????π2，0，(π，－1)，? ?? ??3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ， k ∈Z } 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴：__ x ＝k π＋π 2 (k ∈Z )__ _； 对称中心： _ (k π，0)(k ∈Z )__ _ 对称轴： x ＝k π(k ∈Z )___； 对称中心： _(k π＋π 2，0) (k ∈Z )__ 对称中心：_? ?? ? ?k π2，0 (k ∈Z ) __ 周期 2π_ 2π π 单调性 单调增区间_[2k π－π2 ， 2k π ＋ π 2 ](k ∈Z )___； 单调减区间[2k π＋ 单调增区间[2k π－ π，2k π] (k ∈Z ) ____； 单调减区间[2k π，2k π ＋ π](k ∈Z )______ 单调增区间_(k π－π 2 ，k π＋π 2 )(k ∈Z )___ 3.都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期. 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π |ω| ， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为 π |ω| . 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2 x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ? ????2x －π4；(2)y ＝sin ? ????π4－2x . 热身练习: 1．函数y ＝cos ? ????x ＋π3，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．既不是奇函数也不是偶函数 C ．是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 三角函数复习讲义 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正 半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余 切函数cot α= y x ， 定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan α= αcot 1,商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1 定理2 诱导公式 （Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ?? ? ??-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间?? ? ?? ?+ - 22,2 2πππ πk k 上为增函数， 在区间?? ? ?? ? ++πππ π232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2 π 时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π 均为其对称轴，点 （k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z .人教版数学必修四三角函数复习讲义
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