第二章测试装置的基本特性
本章学习要求
1.建立测试系统的概念
2.了解测试系统特性对测量结果的影响
3.了解测试系统特性的测量方法
为实现某种量的测量而选择或设计测量装置时，就必须考虑这些测量装置能否准确获取被测量的量值及其变化，即实现准确测量，而是否能够实现准确测量，则取决于测量装置的特性。这些特性包括静态与动态特性、负载特性、抗干扰性等。这种划分只是为了研究上的方便，事实上测量装置的特性是统一的，各种特性之间是相互关联的。系统动态特性的性质往往与某些静态特性有关。例如，若考虑静态特性中的非线性、迟滞、游隙等，则动态特性方程就称为非线性方程。显然，从难于求解的非线性方程很难得到系统动态特性的清晰描述。因此，在研究测量系统动态特性时，往往忽略上述非线性或参数的时变特性，只从线性系统的角度研究测量系统最基本的动态特性。
2.1 测试系统概论
测试系统是执行测试任务的传感器、仪器和设备的总称。当测试的目的、要求不同时，所用的测试装置差别很大。简单的温度测试装置只需一个液柱式温度计，而较完整的动刚度测试系统，则仪器多且复杂。本章所指的测试装置可以小到传感器，大到整个测试系统。
玻璃管温度计
轴承故障检测仪
图2.1-1
在测量工作中，一般把研究对象和测量装置作为一个系统来看待。问题简化为处理输入量x(t)、系统传输特性h(t)和输出y(t)三者之间的关系。常见系统分析分为如下三种情况：
1)当输入、输出能够测量时(已知)，可以通过它们推断系统的传输特性。－系统辨识
2)当系统特性已知，输出可测量，可以通过它们推断导致该输出的输入量。－系统反求
3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出量。－系统预测
图2.1-2 系统、输入和输出
2.1.1 对测试系统的基本要求
理想的测试系统应该具有单值的、确定的输入－输出关系。对于每一输入量都应该只有单一的输出量与之对应。知道其中一个量就可以确定另一个量。其中以输出和输入成线性关系最佳。许多实际测量装置无法在较大工作范围内满足线性要求，但可以在有效测量范围内近似满足线性测量关系要求。一般把测试系统定常线性系统考虑。
2.1.2 线性系统及其主要性质
若系统的输入x(t)和输出y(t)之间的关系可以用常系数线性微分方程来描述
a n y(n)(t)+a n-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(0)(t) =
b m x(m)(t)+b m-1x(m-1)(t)+b1x(1)(t)+b0x(0)(t) (2.1-1)
则称该系统为线性定常系统。其中a 0，a 1，…，a n 和b 0，b 1，…，b m 均为常数，既不随时间而变化，也不是自变量x 、因变量y 及它们各阶导数的函数。一般在工程中使用的测试装置、设备都是线性定常系统。
线性定常系统有下面的一些重要性质：
☆ 叠加性
系统对各输入之和的输出等于各单个输入所得的输出之和，即
若 x 1(t) → y 1(t)，x 2(t) → y 2(t)
则 x 1(t)±x 2(t) → y 1(t)±y 2(t)
☆ 比例性
常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常数倍，即
若 x(t) → y(t)
则 kx(t) → ky(t)
☆ 微分性
系统对原输入信号的微分等于原输出信号的微分，即
若 x(t) → y(t)
则 x’(t) → y’(t)
☆ 积分性
当初始条件为零时，系统对原输入信号的积分等于原输出信号的积分，即
若 x(t) → y(t)
则 ∫x(t)dt → ∫y(t)dt
☆ 频率保持性
若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的稳态输出将为同一频率的谐波信号，即
若 x(t)=Acos(ωt+φx )
则 y(t)=Bcos(ωt+φy )
线性系统的这些主要特性，特别是符合叠加原理和频率保持性，在测量工作中具有重要作用。例如，在稳态正弦激振试验时，响应信号中只有与激励频率相同的成分才是由该激励引起的振动，而其它频率成分皆为干扰噪声，应予以剔除。根据叠加原理和频率保持性，研究复杂输入信号所引起的输出时，就可以转换到频域中去研究，研究输入频域函数所产生的输出的频域函数。实际上在频域处理问题，往往比较方便和简捷。
2.1.3 有关测试装置的常用术语（学生自学）
在今后的讨论中，将会遇到一些常用术语，在此作简单介绍。此处所指的测试装置，是一个广义的概念，包括上节所示测试系统或环节。
1)量程和测量范围
量程 是指测试装置示值范围的上、下之差；测量范围是指该装置在规定的极限误差范围内所能测量的被测量的范围，对于动态测试装置，要给出频率的测量范围。
2)测试装置的误差
测试装置的误差 测试装置的指示值与被测量的真值的差值，称为装置的示值误差。可简称为测试装置的误差。即
示值误差＝指示值－真值
在实际测量中，被测量的真值是不知道的，通常用实测量的算术平均值或满足规定准确度测量值作为真值。如用一级精度压力表去检定二级精度压力表，那么一级精度压力表的测量值就作为二级精度的压力真值使用。
引用误差 在实际工作中，常使用反映测试装置质量的最常用的综合性指标是装置的引用误差；即
％装置的满量程
指示值－真值
引用误差＝100max 3)测量误差
反映测量工作的最常用的一个指标是测量误差，即
％真值装置指示值－真值测量误差＝100? 若有相同的示值误差，指示值愈小，相应的测量误差愈大。例如测量100mm 和10mm 长度，如果示值误差都是0.01mm ，显然10mm 的测量误差大，也就是说，它的测量精度低。因此在选用测试装置时应注意使它的量程与被测量的大小相适应，最好是被测量接近满量程处，至少也要在满量程的以上，才能得到较好测量精度。
4)信噪比
信噪比 是信号功率与噪声功率之比，用SNR 表示，它的分贝数为
)N n /N s lg(SNR 10=
也常用信号电压和噪声电压来表示信噪比，其分贝数为
)V n /V s lg(SNR 20=
5)准确度
准确度 表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。误差越小，测量结果愈准确。
2.2 测试装置的基本特性
为了获得准确的测量结果，需要对测量系统提出多方面的性能要求。这些性能大致包括四个方面的性能：静态特性、动态特性、负载效应和抗干扰特性。对于那些用于静态测量的测试系统，一般只需衡量其静态特性、负载效应和抗干扰特性指标。在动态测量中，则需要利用这四方面的特性指标来衡量测量仪器的质量，因为它们都将会对测量结果产生影响。
2.2.1静态特性
测量装置的静态特性是通过某种意义的静态标定过程确定的。静态标定是一个实验过程，这一过程是在只改变测量装置的一个输入量，而其他所有的可能输入严格保持为不变的情况下，测量对应的输出量，因此得到测量装置输入与输出间的关系。通常以测量装置所要测量的量为输入，得到的输入与输出间的关系作为静态特性。为了研究测量装置的原理和结构细节，还要确定其他各种可能输入与输出间的关系，从而得到所有感兴趣的输入与输出的关系。如图2.2-1所示。
第三版P43图2－1
测试装置的静态测量误差与多种因素有关，包括测量装置本身和人为的因素。本章只讨论测量装置本身的测量误差。
有一些测量装置对静态或低于一定频率的输入没有相应，例如压电加速度计。这类测量装置也需要考虑诸如灵敏度等类似于静态特性的参数，此时则是以特定频率的正弦信号为输入，研究其灵敏度。这种特性称为稳态特性。
2.2.2动态特性
测试装置的动态特性是当被测量即输入量随时间快速变化时，测量输入与相应输出之间动态关系的数学描述。在研究测量装置动态特性时，往往认为系统参数是不变的，并忽略诸如迟滞、死区等非线性因素，即用常系数线性微分方程描述测量装置输入与输出间的关系。测量装置的动态特性也可用微分方程的线性变换描述，采用初始条件为零的Laplace 变换可得到传递函数，采用初始条件为零时Fourier 变换可得频响函数。此外，测量装置的动态特性也可用单位脉冲输入的响应来表示。
测量装置的微分方程
a n y (n)(t)+a n-1y (n-1)(t)+…+a 1y (1)(t)+a 0y (0)(t) =
b m x (m)(t)+b m-1x (m-1)(t)+b 1x (1)(t)+b 0x (0)(t)
(2.2-1) 传递函数
(2.2-2)
频响函数 a
j a j a j a b j b j b j b j X j Y j H n n n n m m m m 01110111)()()()()()()()()(++++++++==----ωωωωωωωωωΛΛ (2.2-3)
脉冲响应函数（后面介绍）
在测量装置动态特性建模中，常常使用静态标定得到的灵敏度等常数。然而，在某些情况下动态灵敏度不同于静态灵敏度，在要求高的动态特性精度时，则需要深入考虑这些问题。
确定测量装置动态特性的目的是为了了解其所能实现的不失真测量的频率范围。
2.2.3负载特性
当传感器安装到被测物体上或进入被测介质，要从物体与介质中吸收能量或产生干扰，使被测物理量偏离原有的量值，从而不可能实现理想的测量，这种现象称为负载效应。这种效应不仅发生在传感器与被测物体之间，而且存在于测量装置的上述各环节之间。测量装置的负载特性是其固有特性，在进行测量或组成测量系统时，要考虑这种特性并将其影响降到最小。
2.2.4抗干扰特性
测量装置在测量过程中要受到各种干扰，包括电源干扰、环境干扰（电磁场、声、光、温度、振动等干扰）和信道干扰。这些干扰的影响决定于测量装置的抗干扰性能，并且与所采取的抗干扰措施有关。
对于多通道测量装置，理想的情况应该是各通道完全独立的或完全隔离的，即通道间不发生耦合与相互影响。实际上通道间存在一定程度的相互影响，即存在通道间的干扰。因此，多通道测量装置应该考虑通道间的隔离性能。
2.3 测试系统的静态响应特性
如果测量时，测试装置的输入、输出信号不随时间而变化，则称为静态测量。静态测量时，测试装置表现出的响应特性称为静态响应特性。表示静态响应特性的参数，主要有灵敏度、非线性度和回程误差。为了评定测试装置的静态响应特性，通常采用静态测量的方法求取输入－输出关系曲线；作为该装置的标定曲线。理想线性装置的标定曲线应该是直线，但由于各种原因，实际测试装置的标定曲线并非如此。因此，一般还要按最小二乘法原理求出标定曲线的拟合直线。
2.3.1非线性度
标定曲线与拟合直线的偏离程度就是非线性度。若在标称（全量程）输出范围A 内，标定曲线偏离拟合直线的最大偏差为B （图2.3-1 a 所示），则定义非线性度为
非线性度=(B/A)×100% (2.3-1)
拟合直线该如何确定，目前国内外还无统一的标准。较常用的是最小二乘法。
图2.3-1 测试系统误差与灵敏度
最小二乘法
在许多实际问题中，往往需要根据实验测得两个变量x 与y 的若干组实验数据(x 1,y 1),…(x n ,y n )来建立这两个变量的函数关系的近似式，这样得到的函数近似式称为经验公式。
通过对实验数据的处理，能够判断x 、y 大体上满足某种类型的函数关系y ＝f (x ,a 1,a 2,…,a s ),但是其中s 个参数a 1,a 2,…,a s 的值需要通过n 组实验数据来确定，通常可以这样来确定参数：选择参数a 1,a 2,…,a s ，使得f (x ,a 1,a 2,…,a s )在x 1,x 2 …x n 处的函数值与实验数据 y 1,y 2 …y n 的偏差的平方和为最小，就是使
D＝ (1)
为最小，这种方法称为最小二乘法。当f(x,a1,a2,…,a s)是s个参数的线性函数时，利用求极值与解线性方程组的方法可以解决。
例如，若x、y大体上满足线性关系即f(x,a,b)＝ax+b，则
D(a,b)＝ (2)
由多元极值的求法有
(3)
解上述关于a、b的二元一次方程组得
a＝，b＝
从而求得经验公式y＝ax＋b。
D＝的大小是衡量经验公式精度的一种尺度。
线性函数是最简单最常用的经验公式，有一些实际问题，它们的经验公式可能不是线性函数，我们可以把它化为线性函数来讨论，例如y=ke mx,两边取对数得ln y=mx+ln k ,令z=ln y,b=ln k,即可化为z＝mx＋b。2.3.2灵敏度
当测试装置的输入x有一增量△x，引起输出y发生相应的变化△y时(图2.3-1 c所示)，则定义
灵敏度=△y/△x (2.3-2)
为该测试系统的灵敏度。
线性装置的灵敏度为常数，是输入－输出关系直线的斜率，斜率越大，其灵敏度就越高。非线性装置的灵敏度是一个变量，即X－Y关系曲线的斜率，输入量不同，灵敏度就不同，通常用拟合直线的斜率表示装置的平均灵敏度。灵敏度的量纲由输入和输出的量纲决定。应该注意的是，装置的灵敏度越高，就越容易受外界干扰的影响，即装置的稳定性越差。
关于计算线性度和灵敏度的例题。参见课件。
2.3.3回程误差（迟滞）
实际测试装置在输入量由小增大和由大减小的测试过程中，对应于同一个输入量往往有不同的输出量。在同样的测试条件下，若在全量程输出范围内，对于同一个输入量所得到的两个数值不同的输出量之间差值最大者为h max（图2.3-1 b所示），则定义回程误差为
程误差=(h max/A)×100% (2.2-3) 回程误差是由迟滞现象产生的，即由于装置内部的弹性元件、磁性元件的滞后特性以及机械部分的摩擦、间隙、灰尘积塞等原因造成的。
2.3.4静态响应特性的其它描述
描述测试装置的静态响应特性还有其它一些术语，现分述如下：
测量范围：指测试装置能正常测量最小输入量和最大输入量之间的范围。
分辨力：指能引起输出量发生变化时输入量的最小变化量，表明测试装置分辨输入量微小变化的能力。 零点漂移：使测量装置的输出零点偏离原始零点的距离。如图2.3-2所示。
灵敏度漂移：由于材料性质的变化所引起的输入与输出关系（斜率）的变化。
总误差是零点漂移和灵敏度漂移之和。一般情况下，后者的数值很小，可以忽略不计，于是只考虑零点漂移。
图2.3.2见第三版P48图2-6。
2.4 测试系统的动态响应特性
严格地讲，实际的测试装置往往是时变的，因为构成物理系统的材料、元件等特性并非稳定，它们会随工作环境状况而改变。但在工程上，在允许的精度范围内，可以把时变线性系统当作线性定常系统处理。
测试装置的动态特性可以从时域（微分方程或脉冲响应函数）、复数域（传递函数）和频域（频率特性）三个不同角度来描述。而时域分析（微分方程的解）一般比较复杂，使用不方便；用传递函数求输出，其输出包括了稳态解和瞬态解，而瞬态解与输入无关，只取决于测试装置的结构和参数，可见它达不到测试的目的；用频率特性求输出，其输出只有与输入有关的稳态解。脉冲响应函数和频率特性是傅里叶变换对，它们的作用有共同之处。因此，在测试技术中，常使用脉冲响应函数和频率特性来描述测试装置的动态特性。
2.4.1传递函数
对线性测量系统，输入x(t)和输出y(t)之间的关系可以用常系数线性微分方程来描述
a n y (n)(t)+a n-1y (n-1)(t)+…+a 1y (1)(t)+a 0y (0)(t) =
b m x (m)(t)+b m-1x (m-1)(t)+b 1x (1)(t)+b 0x (0)(t) (n ≥m ） (2.4-1) 但直接考察微分方程的特性比较困难。如果对微分方程两边取拉普拉斯变换，建立与其对应的传递函数的概念，就可以更简便、有效地描述测试系统特性与输入、输出的关系。
当初始条件为零时，对微分方程两边取拉普拉斯变换，得系统的传递函数为
==)()()(s X s Y s H
直接对微分方程两边进行拉氏变换，得
)()()()(s s X s H s Y G h +
= (2.4-3) 其中s 为复变量，ωαj s +=，)(s G h
是与输入和系统初始条件有关的；而H(s)却与系统初始条件及输入无关，只反映系统本身的特性。
初始条件为零时，传递函数与微分方程两者完全等价，可以相互转化。考察传递函数所具有的基本特性，比考察微分方程的基本特性要容易得多。这是因为传递函数是一个代数有理分式函数，其特性容易识别与研究。
传递函数有以下几个特点：
1）H(s)和输入x(t)的具体表达式无关
传递函数H(s)用于描述系统本身固有的特性，与x(t)的表达式无关。x(t)不同时，y(t)的表达式也不同，但二者拉普拉斯变换的比值始终保持为H(s)。
2）不同的物理系统可以有相同的传递函数
各种具体的物理系统，只要具有相同的微分方程，其传递函数也就相同，即同一个传递函数可表示不同的物理系统。例如，液柱温度计和简单的RC 低通滤波器同是一阶系统，具有相同的传递函数；动图式电表、振动子、弹簧－质量－阻尼系统和LRC 振荡电路都是二阶系统，具有相同的传递函数。
3）传递函数与微分方程等价
由于拉普拉斯变换是对应变换，不丢失任何信息，故传递函数与微分方程等价（初始条件为零时）。
4）H(s)中的分母取决于系统的结构，分母中s 的最高幂次n 代表系统微分方程的阶数。分子则和系统同外界之间的关系，如输入（激励）点的位置、输入方式、被测量及测点分布情况有关。
附：拉氏变换定义
2.4.2频率响应函数
传递函数是在复数域中来描述和考察系统的特性的，比在时域中用微分方程来描述考察系统待性有许多优点。但工程中的许多系统却极难建立其微分方程式和传递函数，而且传递函数的物理概念也很难理解。 频率响应函数是在频率域中描述和考察系统特性的。与传递函数相比较，频率响应的物理概念明确，也易通过实验来建立；利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数；因此频率响应函数是实验研究系统的重要工具。
(1)幅频特性、相频特性和频率响应函数
根据定常线性系统的频率保持性，系统在简谐信号t t x X ωsin )(0=
的激励下，所产生的稳态输出也是简谐信号)sin()(0?ω+=t t y Y 。这一结论也可从微分方程解的理论得出。此时输入和输出虽为同频率的简谐信号，但两者的幅值并不一样，其幅值比X Y A 00/=随频率ω而变，是ω的函数。相位差φ也是频率ω的函数。
因此，定常线性系统在简谐信号的激励下，其稳态输出信号和输入信号的幅值比被定义为该系统的幅频特性，记为A(ω)；稳态输出对输入的相位差被定义为该系统的相频特性，记为φ(ω)。两者统称为系统的频率特性。因此系统的频率特性是指系统在简谐信号激励下，其稳态输出对输入的幅值比、相位差随激励频率ω变化的特性。
对于任何一个复数jb a z +=，也可以表达为e j z z θ=，其中模b a z 2
2+=；相角)/arctan(a b =θ。它表示可以将某个比值（模）和相位角两个量组合成一个复数)(ωH ，
e j A H )()()(ω?ωω= (2.4-4) 即)(ωH 是以A(ω)为模，以φ(ω)为幅角的复数。显然，)(ωH 表示了系统的频率特性。通常将)(ωH 称为系统的频率响应函数，它是激励频率ω的函数。
(2)频率响应函数的求法
1)由传递函数)(s H 求频率响应函数法
在系统的传递函数)(s H 已知的情况下，令ωj s =，便可求得频率响应函数。例如，设系统的传递函数为
a s a j a s a
b s b s b s b s X s Y s H n n n n m m m m 0
1110111)()()()(++++++++==----ΛΛω
令ωj s =代入，便得该系统的频率响应函数)(ωH a
j a
j a j a b j b j b j b j X j Y H n n n n m m m m 01110111)()()()()()()()()(++++++++==----ωωωωωωωωωΛΛ (2.4-5)
问：为什么用ωj s =代入，而不是前面所说的ωαj s +=代入呢？
在研究系统动态特性时，若只关心系统到达稳定后的响应（这对于大多数测量装置来说是符合实际的），由拉氏变换定义
上式中相当于拉普拉斯算子s 中的α＝0，即以j ω代替s 。
此时拉氏变换式变为
dt t y j Y e t j ωω-∞?=0)()(
这实际上就是傅里叶变换。只不过是对应于t<0、y(t)=0的函数y(t)，其单边傅里叶变换而已。同时考虑到系统在初始条件为零时，有)
()()(s X s Y s H =的关系，因而系统的频率响应函数)(ωH 就成为输出y(t)的傅里叶变换)(ωY 和输入x(t)的傅里叶变换)(ωX 之比，即：
)
()()(ωωωX Y H = 这一结论有着广泛的用途。
2)实验方法求频率响应函数
用频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过实验来求得，原理简单，具体如下：依次用不同频率ωi 的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值X i 0、Y i 0和相位差?i 。这样，对于某个频率ωi ，便有一组对应的A X Y i i i
=00和?i ，全部的A i
－ωi 和?i －ωi ，i=1,2,…便可表达系统的频率响应函数。
3)在初始条件全为零的情况下，同时测得输入x(t)和输出y(t)，由其傅里叶变换)(ωX 和)(ωY 求得频率响应函数)()()(ωωωX Y H =。
注意：频率响应函数是描述系统的简谐输入和相应的稳态输出的关系。因此在测量系统频率响应函数时，应当在系统响应达到稳态阶段时进行测量。
(3)幅、相频率特性及其图像描述
将ωω-)(A 和ωω?-)(分别作图，即得幅频特性曲线和相频特性曲线。
实际作图时，常对自变量ω或πω2/=f 取对数标尺，幅值比)(ωA 的坐标取分贝(dB)数标尺，相角取实数标尺。由此所作的曲线分别称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，总称为伯德图(Bode 图)。 如果将)(ωj H 的实部和虚部分开，有
H （jω）= P （ω）+ jQ （ω）
(2.4-6)
其中，)(ωP 和)(ωQ 都是ω的实函数。显然， (2.4-7) 以频率ω为横坐标，以P （ω）和Q （ω）为纵坐标所绘的图形分别称为系统的实频特性图与虚频特性图。
尽管频率响应函数是对简谐激励而言的，但如前所述，任何信号都可分解成简谐信号的叠加。因而在任何复杂信号输人下，系统频率特性也是适用的。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输人信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。
2.4.3脉冲响应函数
若装置的输人为单位脉冲δ（t ），因单位脉冲δ（t ）的拉普拉斯变换为1，因此装置的输出y （t ）的拉普拉斯变换必将是H （s ），即Y （s ）=H （s ），或y （t ）=L -1[H （S ）]，并可以记为h （t ），常称它为装置的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函数可视为系统特性的时域描述。
图2.4-1 二阶系统的脉冲输入和响应
阶跃响应函数
若系统的输入信号为单位阶跃信号，即x(t)=u(t)，则X(s)=1/s ，此时Y(s)=H(s)/s ，有y （t ）=L -1[H(s)/s]。
图2.4-2 二阶系统的阶跃输入和响应
至此，系统特性在时域、频域和复数域可分别用脉冲响应函数h （t ）、频率响应函数H （ω）和传递函数H （s ）来描述。三者之间存在着—一对应的关系。h （t ）和传递函数H （s ）是一对拉普拉斯变换对；h （t ）和频率响应函数H(ω)又是一对博里叶变换对。
2.5测试环节的串联和并联
如下图a 所示的两传递函数分别为H 1(s)和H 2(s)的环节串联而成的测试系统，当环节之间没有能量交换时，其传递函数为
(2.5-1)
一般地，对由n 个环节串联而成的系统，有
(2.5-2)
如下图b 所示的两传递函数分别为H 1(s)和H 2(s)的环节并联而成的测试系统，当环节之间没有能量交换时，其传递函数为 )()()()
()()()()(2121s H s H s X s Y s Y s X s Y s H +=+== (2.5-3) 一般地，对由n 个环节串联而成的系统，有
(2.5-4)
图2.5-1 测试环节的串联和并联
同样，令s=j ω代入上式(2.5-2)和式(2.5-4)，得到n 个环节串联系统频率响应函数为
∏==
n
i i H H 1)()(ωω (2.5-5) 其幅频、相频特性分别为 ???
????==∏∏==n i i n i i A A 11)()()()(ω?ω?ωω (2.5-6) 而n 个环节并联系统的频率响应函数为
∑==
n i i H H 1
)()(ωω (2.5-7) 由前面式子
a s a j a s a
b s b s b s b s X s Y s H n n n n m m m m 0
1110111)()()()(++++++++==----ΛΛω 可以将式中的分母分解为s 的一次和二次实系数因子式，即：
∏∏-==--+++=++++2/)(12210111)2()
()(r n i ni ni i r i i n n n n n s s p s a a s a j a s a ωωξωΛ (2.5-6)
式中p i 、ξi 、ωni —实常数；其中12
<ξi 。
据此，可把原式改为
∏∑-==+++++=2/)(12212)(r n i ni ni i i i r i i i s s s p s q s H ωωξβα (2.5-7) 式中αi 、βi 、q i —实常数。
上式表明，任何分母中s 高于三次的高阶系统都可以看作是若干个一阶环节和二阶环节的并联（也自然可转化为若干个一阶环节和二阶环节的串联）。因此分析并了解一、二阶环节的传输特性是分析并了解高阶、复杂系统传输特性的基础。
2.6典型系统的动态响应特性—一阶、二阶系统的特性
注意：对于一阶装置的时间常数为什么越小越好？二阶装置的阻尼比为什么取值在0.6~0.8之间？结合第四节的内容介绍。
2.6.1一阶系统
一阶系统的微分方程为
(2.6-1)
对上式两边取拉氏变换得
(2.6-2)
令 s=jω,代入上式，得频率响应函数
(2.6-3)
幅频特性为
(2.6-4)
｜H(ω)|
相频特性
(2.6-5)
.
图2.6-1
2.6.2二阶的略，详细参考控制工程课本。
2.7 实现不失真测量的条件
设有一个测试系统，其输出y(t)与输入x(t)满足关系
y(t)=A0x(t-t0) (2.7-1) 其中，A0，t0都是常数，此式表明该测试系统的输出波形与输入信号的波形精确地一致，只是幅值放大了A0倍，在时间上延迟了t0而已（如图2.7-1所示）。这种情况下，我们认为测试系统具有不失真的特性，椐此来考察测试系统不失真测试的条件。
图2.7-1 波形不失真复现
对上式做傅里叶变换，则有Y(ω)=A0e-jωt0X(ω)，详细推导如下
(2.7-2)
考虑到测试系统的实际情况，当t<0时，x(t)=0，y(t)=0，于是有
(2.7-3) 由此可见，若要测试系统的输出波形不失真，则其幅频特性和相频特性应分别满足
A(ω)=A0=常数
(2.7-4)
φ(ω)=-t0ω
A（ω）不等于常数时所引起的失真称为幅值失真，φ(ω)与ω之间的非线性关系所引起的失真称为相位失真。
应当指出，满足上式波形不失真的条件后，装置的输出仍滞后于输入一定的时间。如果测量的目的只是精确地测出输入波形，那么上述条件完全满足不失真测量的要求。
如果测量的结果要用来作为反馈控制信号，那么还应当注意到输出对输入的时间滞后有可能破坏系统的稳定性。这时应根据具体要求，力求减小时间滞后。
实际测量装置不可能在非常宽广的频率范围内都满足上式的要求，所以通常测量装置既会产生幅值失真，也会产生相位失真。下图表示四个不同频率的信号通过一个具有图中A(ω)和φ(ω)特性的装置后的输出信号。四个输人信号都是正弦信号（包括直流信号），在某参考时刻t＝0，初始相角均为零。下图中形象地显示各输出信号相对输入信号有不同的幅值增益和相角滞后。
图2.72 信号中不同频率成分通过测量系统后的输出
对于单一频率成分的信号，因为通常线性系统具有频率保持性，只要其幅值未进人非线性区，输出信号的频率也是单一的，也就无所谓失真问题。对于含有多种频率成分的，显然既引起幅值失真，又引起相位失真。
对实际测量装置，即使在某一频率范围内工作，也难以完全理想地实现不失真测量。人们只能努力把波形失真限制在一定的误差范围内。为此，首先要选用合适的测量装置，在测量频率范围内，其幅、相频率特性接近不失真测试条件。其次，对输入信号做必要的前置处理，及时滤去非信号频带内的噪声。
在装置特性的选择时也应分析并权衡幅值失真、相位失真对测量的影响。例如在振动测量中，有时只要求了解振动中的频率成分及其强度，并不关心其确切的波形变化，只要求了解其幅值谱而对相位谱无要求。这时首先要注意的应是测量装置的幅频特性。又如某些测量要求测得特定波形的延迟时间，这时对测量装置的相频特性就应有严格的要求，以减小相位失真引起的测试误差。
从实现测量不失真条件和其它工作性能综合来看，对一阶装置而言，如果时间常数越小，则装置的响应越快，近于满足测试不失真条件的频带也越宽。所以一阶装置的时间常数，原则上越小越好。
图2.7-3 一阶系统的频率特性
对于二阶装置，其特性曲线上有两个频段值得注意。在ω＜0．3ωn范围内，φ(ω)的数值较小，且φ(ω)—ω特性曲线接近直线。A（ω）在该频率范围内的变化不超过10％，若用于测量，则波形输出失真很小。在ω＞（2.5～3）ωn范围内，φ(ω)接近180o，且随ω变化很小。此时如在实际测量电路中或数据处理中减去
固定相位差或把测量信号反相180o，则其相频特性基本上满足不失真测量条件。但是此时输出幅值太小。若二阶系统输人信号的频率ω在（0.3ωn，2.5ωn）区间内，装置的频率特性受ζ的影响很大，需作具体分析。一般来说，在ζ>0.6～0.8时，可以获得较为合适的综合特性。计算表明，对二阶系统当ζ=0.7O7时，在0～0. 58ωn的频率范围内，幅频特性A（ω）的变化不超过5％，同时相频特性φ(ω)也接近于直线，因而所产生的相位失真也很小。
图2.7-4 二阶系统的频率特性
测量系统中，任何一个环节产生的波形失真，必然会引起整个系统最终输出波形失真。虽然各环节失真对最后波形的失真影响程度不一样，但是原则上在信号频带内都应使每个环节基本上满足不失真测量的要求。
2.8 测试系统动态特性的测试方法
要使测试装置精确可靠，不仅测量装置的定度应当精确，而且应当定期校准。定度和校准就其实验内容来说，就是对测试装置本身特性参数的测试。
对测量系统的静态参数进行测量时，一般以经过校准的“标准”静态量作为输入，绘出输入－输出曲线。然后根据曲线确定其回程误差，整理和确定其校准曲线、线性误差和灵敏度。所采用的测量量误差应当是所要求测试结果误差的1/3～1/5或更小些。对于测试系统动态特性，其测量方法就要复杂得多，下面就叙述其测量方法。
2.8.1 频率响应法
通过稳态正弦激励可以求得系统的动态特性。方法是对系统输入正弦激励信号x(x)=Asin(2πft)，在系统达到稳态后测量输出和输入的幅值比和相位差。这样可以得到频率f下系统的传输特性。从系统的最低测量频率f min到系统的最高测量频率f max，按一定的增量方式逐步增加正弦激励信号频率f，记录各频率对应的幅值比和相位差，绘制在图上就可以得到系统的幅频和相频特性曲线。
图2.8-1 频率响应法测量系统特性
对一阶系统，主要的动态特性参数是时间常数,由一阶系统的幅频特性公式可知，当
A(ω)=0.707(2.8-1) 有
ωτ=1(2.8-2) 测量出半功率点对应的频率值f后，就可以计算出一阶系统的时间常数。
(2.8-3)
图2.8-2
对二阶系统而言，主要的动态特性参数是系统固有频率和阻尼系数。固有频率为系统幅频特性曲线峰值点对应的频率，阻尼系数则可以由峰值点附近的两个半功率点的频率计算。
(2.8-4)
图2.8-3
2.8.2 阶跃响应法
用阶跃响应法求测量系统的动态特性是一种简单易行的时域测量方法。测试时，根据系统可能存在的最大超调量来选择阶跃信号的幅值，超调量大时应选择较小的输入幅值。
①对一阶系统来说，对系统输入阶跃信号，测得系统的响应信号。取系统输出值达到最终稳态值的63%所经过的时间作为时间常数。
图2.8-4
2.对二阶系统来说，对系统输入阶跃信号，测得系统的响应信号。取系统响应信号一个振荡周期的时间t b,可近似计算出系统的固有频率
f n=1/t b(2.8-5) 取系统响应信号相邻两个振荡周期的过调量M和M1,可近似计算出系统的阻尼系数
(2.8-6)
图2.8-5
2.8.3 白噪声信号测量法
由系统传输特性，若系统输入为x(t)，系统时域特性为h(t)，系统输出为y(t)，则系统的输出为系统输入和系统时域特性的卷积分，有
y(t) = x(t) * h(t) (2.8-7) 系统输出的频谱为
Y(f)=X(f)H(f) (2.8-8) 若选择系统输入为白噪声信号，即在所有频率成分处X(f)=1，有
Y(f)=X(f)H(f)＝１H(f)=H(f) (2.8-9) 这时系统的频率特性等价于系统输出的频率特性，因此可以通过测量输出信号的频率特性来得到系统的频率特性。
图2.8-6
由于实际的白噪声信号做不到严格的X(f)=1，故实际系统频响函数的计算公式为
H(f)=Y(f)/X(f) (2.8-10) 只要分别计算出输入信号和输出信号的频谱，然后相除就可以得到系统的频响函数。与频率响应法相比，实验效率提高了许多。
图2.8-7
2.9 负载效应
2.9.1负载效应
在实际测量工作中，测量系统和被测对象之间、测量系统内部各环节相互连接必然产生相互作用。接入的测量装置，构成被测对象的负载；后接环节成为前面环节的负载。彼此间存在能量交换和相互影响，以致系统的传递函数不再是各组成环节传递函数的叠加(并联)或连乘(串联)。
现以简单的电阻传感器测量直流电路为例来看负载效应的影响。R2是阻值随被测物理量变化的电阻传感器，通过测量直流电路将电阻变换转化为电压变化，通过电压表进行显示。未接入电压表测量电路时，电阻R2上的电压降为
U0=ER2/(R2＋R1) (2.9-1) 接入电压表测量电路时，电阻R2上的电压降为
U1=ER2R m/[R1(R m+R2)+R m R2] (2.9-2) 为了定量说明这种负载效应的影响程度，令R1＝100KΩ、R２＝150KΩ、R m＝150KΩ,E=150V。带入上式计算，得到U0=90V，U1=62.3V，误差到达28.6%。若将电压表测量电路负载电阻加大到1MΩ，则U1=82.9V，误差减小为5.76%。此例充分说明了负载效应对测量结果的影响是很大的。
图2.9-1
减小负载效应误差的措施：
(1) 提高后续环节(负载)的输入阻抗。
(2) 在原来两个相连接的环节中，插入高输入阻抗、低输出阻抗的放大器，以便减小从前一环节吸取的能量，减轻负载效应的影响。
(3) 使用反馈或零点测量原理，使后面环节几乎不从前面环节吸取能量。
总之，在组成测量系统时，要充分考虑各组成环节之间连接时的负载效应，尽可能地减小负载效应的影响。
2.9.2 测量系统的抗干扰
在测量过程中，除了待测量信号外，还有各种不可见的、随机的信号可能出现在测量系统中。这些信号与有用信号叠加在一起，严重扭曲测量结果。因此，认识干扰信号，重视抗干扰设计是测试工作中不可忽视的问题。
测量系统的干扰源来自多方面。机械振动或冲击会对测试系统(尤其是传感器)产生严重的干扰；光线会对测量装置中的半导体元件产生干扰；温度的变化会导致电路参数和工作点的变化，产生干扰；此外，还有电磁的干扰等等。干扰信号传入测量系统主要有三种传输途径，如下图所示
图2.9-2
(1) 电磁干扰：干扰以电磁波辐射方式经空间串入测量系统。
(2) 信道干扰：信号在传输过程中，通道中各元件产生的噪声或非线性畸变所造成的干扰。
(3) 电源干扰：这是由于供电电源波动对测量电路引起的干扰。
一般说来，良好的屏蔽及正确的接地可去除大部分的电磁波干扰。使用交流稳压器、隔离稳压器可减小供电电源波动的影响。信道干扰是测量装置内部的干扰，在设计时，选用低噪声的元器件，合理排放印刷电路板上的元件等措施可增强信道的抗干扰性。