有趣的“悖论”
—《数学文化》的读书报告
袁凤平
采矿10-2班 2010304198
摘要:什么是悖论,悖论该怎么解释,又对我们日常生活和社会发展有什么影响呢?
关键词: 悖论发展意义
引言: 如果直接说“悖论”，大家肯定会觉得陌生，感觉离我们很遥远。其实我们不知道的是，悖论就存在我们生活中间，也许你早已听说过，只是不知道这就是悖论而已。
想必大家都听过这样的问题：假设上帝是万能的，上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗？第一次听到这种问题感觉很古怪，然后我们会想：如果说他能，那么他创造出来的东西自己不能举起这个东西，就证明他不是万能的。如果他不能，那么不能创造出这样一个东西，也证明他在创造方面不是万能的。我们就非常矛盾，而此时问我们的人就会非常开心。没错，这就是悖论，现在让我们一起了解一下这有趣的“悖论”吧。
一.定义
所谓悖论，其实就是从一个看似正确的前提出发，经过看似正确的推论，而得到了荒唐的答案。即可以这么解释：假设一句话A（比如上帝是万能的）是真的，而由这句话可以推出另一句话B（上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西）,然后，若假定B真，就可推出A不是真的（因为上帝既然造出自己举不起的东西，那他就不是万能的）。而我们就会陷入矛盾中。
二.几种主要悖论
其实悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。而其中比较著名的有以下几种悖论：
1.罗素悖论
如果R是第一类的，R是自己的元素，但由定义，R只由第二类集合组成，于是R又是第二类集合；如果R是第二类集合，那么，由R的定义，R必须是R的元素，从而R又是第一类集合。
而其中比较有代表性的像理发师问题（即理发师说他只给村里不给自己理发的人理发，而经过推理他自己的头发却没办法）。
2.伽利略悖论
每个人都知道“整体大于部分”这个事实，而伽利略在1638年提出“部分可以等于整体”的悖论。在数学上两个集合元素个数相等指它们之间能建立一一对应的关系。
3.芝诺悖论：
“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷
“阿基里斯追不上乌龟”：奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头。
“飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。
三.几个悖论的解释
尽管悖论的历史悠久，但是开始我们的研究却很少，知道后来我们才真正开始专门研究悖论的本质，才逐渐认识到悖论也有其积极作用。而随着研究的深入与科学的发展，很多悖论都有了相应的解释。比如：
1.棘手的电灯
一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？
但是学习了无限理论我们知道，根本就不会有末了，它是无限的，没有终结。
2.全能悖论
上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗？
现在我们的回答是上帝是全能的，所以“不能举起”是毫无意义的条件。其他的回答指出这个问题本身就是矛盾的，就像“正方形的圆”一样。
3.祖父悖论
一个人回到了过去，在他祖母能遇到祖父之前就杀了他的祖父。这就意味着这个人的父母之中有一个不会出生因此这个人自己也不会出生；这就意味着他没有机会进行时光旅游挥刀过去；这就意味着他的祖父依然还活着；这就意味着这个人能构思回到过去，并杀了自己的祖父。
现代量子力学可以解释这个问题:当时间旅行者改变了过去的某事的瞬间，那么平行宇宙就会被切开，这个可以由量子力学来解释。
四.研究悖论的意义
从上面的例子我们可以看出，随着科学的发展和进步，很多悖论不在是悖论了，而且有的悖论本身条件是不成立的。那么悖论是怎么产生的？又有什么意义呢？
我觉得悖论之所以产生，一方面是因为看问题的角度不一样，思考有一定的局限性；另一方面是由于我们体系的不完美。而正是这种不完美的存在，激发了人们求知和精密的思考，而且解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
像数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展。
由上可知，研究悖论具有很深远的意义！悖论的存在转换了我们思维的角度，它使我们反思原有的思维，走出思维定势。还可以我们的锻炼思维,使我们勇于创新，达到别人意想不到的效果而悖论的部分问题的解决基本都是一项理论的创新与发展，它客观地促进科学的发展与进步，逐步完善了我们的思维体系与各种理论体系。
现在还有很多悖论未能解决，而我们正是在深入研究它们并加以解决的路上不断前进，促进科学的发展与辉煌，未来的路还有很长！
参考文献:
[1] 孟云剑,非是非非[M],辽宁教育出版社,2004
[2]马丁·加德纳,悖论与谬误[M],上海科技教育出版社,2012
《离散数学》实验报告专业网络工程 班级 姓名 学号 授课教师 二 O 一六年十二月
目录 实验一联结词的运算 实验二根据矩阵的乘法求复合关系 实验三利用warshall算法求关系的传递闭包实验四图的可达矩阵实现
实验一联结词的运算 一.实验目的 通过上机实验操作,将命题连接词运算融入到C语言的程序编写中,一方面加强对命题连接词运算的理解,另一方面通过编程实现命题连接词运算,帮助学生复习与锻炼C语言知识,将理论知识与实际操作结合,让学生更加容易理解与记忆命题连接词运算。 二.实验原理 (1) 非运算, 符号:? ,当P=T时 ,?P为F, 当P=F时 ,?P为T 。 (2) 合取, 符号: ∧ , 当且仅当P与Q的真值同为真,命题P∧Q的真值才为真;否则,P∧Q的真值为假。 (3) 析取, 符号: ∨ , 当且仅当P与Q的真值同为假,命题P∨Q的真值才为假;否则,P∨Q的真值为真。 (4) 异或, 符号: ▽ , 当且仅当P与Q的真值不同时,命题P▽Q的真值才为真;否则,P▽Q的真值为真。 (5) 蕴涵, 符号: →, 当且仅当P为T,Q为F时,命题P→Q的真值才为假;否则,P→Q 的真值为真。 (6) 等价, 符号: ? , 当且仅当P,Q的真值不同时,命题P?Q的真值才为假;否 则,P→Q的真值为真。 三.实验内容 编写一个程序实现非运算、合取运算、析取运算、异或运算、蕴涵运算、等价运算。四．算法程序 #include
《数学文化》读书报告 （一）数学是什么 数学是什么？正如科学是什么、系统是什么、精神是什么、文化是什么、生命是什么等问题一样，都是众说纷纭的问题。每个人都觉得自己知道一些，但就是说不清楚，不仅是我们这种学了十几年数学的新手说不上来，就连那学了几十年的老学者也不一定能说得明白，数学的高深可见一斑。 ①有人说，从工作领域来看，数学是技术，数学是逻辑，数学是科学，数学是艺术，数学是文化；有人说，从数学的对象来看，数学研究计算，数学研究数和量，数学研究模型，数学研究无穷；还有人说，从社会价值看，数学是语言，数学是工具，数学是框架，数学是符号游戏…… 这些看法都有其道理，但没有一个观点可以充分说明现代数学研究的全部特点。②数学源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。③按照大卫·希尔伯特的观点：1.数学是研究抽象形式与关系的领域；2.数学对象如果追根溯源的话，应该来自我们经验的现实世界，然而，从一开始，抽象及推广两种有效的方法就一直在起作用，因此，大部分数学概念是由一些比较基本的概念衍生出来的；3.数学同时是“在”（being）的科学也是“为”（doing）的科学；4.数学的不朽性。 仁者见仁，智者见智，但数学本身的特质是唯一的，是亘古不变的，我们应该站在前人的肩膀上，不断加深对数学的理解与认识。 （二）数学之美 “数学，如果正确的看，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美”，罗素说。数学—人类进化过程中创造的学问，它是智慧的积累、知识的升华、技巧的创新，其中也自然不乏美。因为数学正是在不断追求美的过程中发展的。诚然，人类的进步、社会的发展，正是人类不断追求“美”、创造“美”的结晶。
离散数学实验报告（实验ABC） 专业班级 学生姓名 学生学号 指导老师 完成时间
目录 第一章实验概述..................................... 错误!未定义书签。 实验目的....................................... 错误!未定义书签。 实验内容....................................... 错误!未定义书签。 实验环境....................................... 错误!未定义书签。第二章实验原理和实现过程........................... 错误!未定义书签。 实验原理....................................... 错误!未定义书签。 建立图的邻接矩阵，判断图是否连通 ............ 错误!未定义书签。 计算任意两个结点间的距离 ................... 错误!未定义书签。 对不连通的图输出其各个连通支 ................ 错误!未定义书签。 实验过程（算法描述）........................... 错误!未定义书签。 程序整体思路 ............................... 错误!未定义书签。 具体算法流程 ................................ 错误!未定义书签。第三章实验数据及结果分析........................... 错误!未定义书签。 建立图的邻接矩阵并判断图是否连通的功能测试及结果分析错误!未定义书签。 输入无向图的边 .............................. 错误!未定义书签。 建立图的连接矩阵 ............................ 错误!未定义书签。 其他功能的功能测试和结果分析................... 错误!未定义书签。 计算节点间的距离 ............................ 错误!未定义书签。 判断图的连通性 .............................. 错误!未定义书签。 输出图的连通支 .............................. 错误!未定义书签。 退出系统 .................................... 错误!未定义书签。第四章实验收获和心得体会........................... 错误!未定义书签。
、在东方，最早把rational number翻译成有理数的是： (2.00分) A．俄罗斯人 B．日本人 C．中国人 D．印度人 2、“万物皆数”是谁提出 (2.00分) A．笛卡尔 B．欧几里得 C．阿基米德 D．毕达哥拉斯 3、平面运动不包括 (2.00分) A．反射 B．平移 C．旋转 D．折射 4、罗巴切夫斯基几何改变了欧式几何的第（）公设。 (2.00分) A．三 B．一 C．五 D．二 5、四色猜想的提出者是哪国人： (2.00分) A．法国 B．英国 C．美国 D．中国 6、两个量的比相等是哪位数学家定义的： (2.00分) A．欧多克索斯 B．阿契塔 C．A和B D．以上都不是 7、（）指出函数不连续时也可能进行定积分。 (2.00分) A．柯西 B．费曼 C．黎曼 D．牛顿 8、数学发展史上爆发过几次数学危机 (2.00分) A．一 B．二 C．三 D．四 9、毕达哥拉斯“万物皆数”中数是指： (2.00分)
A．法则 B．实数 C．有理数 D．自然数 10、下面哪一项不是黄金分割点 (2.00分) A．印堂 B．肚脐 C．膝盖 D．肘关节 11、南开大学每年出的杂志，收录数学文化课的学生优秀读书报告，叫做：（） (2.00分) A．数学之美 B．数学与文化 C．数学文化课文集 D．数学 12、（）关于化归提出了“烧水”的例子。 (2.00分) A．波利亚 B．笛卡尔 C．高斯 D．庞加莱 13、可以完全铺满地面的正多边形不包括 (2.00分) A．正方形 B．正三角形 C．正五边形 D．正六边形 14、“物不知数”的问题出自哪部著作 (2.00分) A．《九章算术》 B．《海岛算经》 C．《孙子算经》 D．《五经算术》 15、在（）中，过直线外一点找不到平行线。 (2.00分) A．黎曼几何 B．双曲几何 C．欧氏几何 D．以上都不对 16、根号2不能表示成整数比引发（）数学危机 (2.00分) A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 17、首先提出公理化方法的局限性的人是 (2.00分) A．伽罗瓦
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》 “四次”数学危机 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。 我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。 第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。 我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那
读书心得《数学教育中的数学文化》读后感 精选5篇 （一） 本学期有幸阅读了《数学教育中的数学文化》这一本书，细细翻阅，什么是文化呢？书上台湾作家龙应台关于文化曾这样说：“什么是文化？它是随便一个人迎面走来，他的举手投足，他的一颦一笑，他的整体气质，他走过一棵树，树枝低垂…………”文化其实体现在一个人如何对待他人、对待自己、对待自己所处的自然环境。那什么又是数学文化呢？书上这样提到，数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。数学文化具有传统性、渗透性、哲学性、美学性和自我完善性等特征，进行数学文化教育能帮助学生形成正确的教学观、促进学生深刻理解数学的本质，发展理性精神。 我们可以类似地用比较通俗的语言来谈数学文化，当你看到一个数学定理的时候，你会浮现出古人的身影，产生敬畏之心吗？在你思考问题时，你是否关注他的数量是常量还是变量？在一连串的变换之后问题得解，你会由衷地感叹数学之美吗？在碰到一桩随机事件，如购买彩票，你会习惯性地看中奖的概率有多少吗？
在平时的数学教学中我们可能更多地去训练学生的数学思维，解决数学问题的能力，导致现在的学生只会解答数学题而不知数学家的故事而从中汲取精神，不知感受数学之妙而从中体验审美，不知感受数学思想而从中学习思考，以至于未来不会用数学的眼光观察生活、理解生活、创造生活，那么我们就如同教动物做数学题的杂耍表演，而不是数学教育更何谈延申数学文化的传承。在以后的教学中我们是不是应该通过各种形式来渗透数学文化呢？那么又该如何去渗透呢？ 在这段时间我一直在思考这个问题，我们是否可以通过以下的方法来渐渐渗透数学文化呢？ 一、在问题情境的创设中渗透数学文化 一个好的问题情境，有利于激发学生的学习欲望和主动参与的兴趣，使学生主动思考问题，积极投入到自主探索、合作交流的氛围之中，从而能够顺利地突出这节课的重点，突破难点。利用数学文化中的一些趣味故事正能很好地帮助我们创设问题情境。数学教育故事的运用，也能激发学生的爱数学之“情”。例如：在学习“用数对确定位置”时，我们可以先讲解数学家笛卡尔发明数对和直角坐标系的过程，笛卡尔生病躺在床上静静的思考用什么方法，如何把“点”和“数”联系起来，这时发现一只蜘蛛在左右拉丝，他想可以把蜘蛛看
《离散数学》 课程设计 学院计算机学院 学生姓名 学号 指导教师 评阅意见 提交日期 2011 年 11 月 25 日
引言 《离散数学》是现代数学的一个重要分支，也是计算机科学与技术，电子信息技术，生物技术等的核心基础课程。它是研究离散量（如整数、有理数、有限字母表等）的数学结构、性质及关系的学问。它一方面充分地描述了计算机科学离散性的特点，为学生进一步学习算法与数据结构、程序设计语言、操作系统、编译原理、电路设计、软件工程与方法学、数据库与信息检索系统、人工智能、网络、计算机图形学等专业课打好数学基础；另一方面，通过学习离散数学课程，学生在获得离散问题建模、离散数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，还可以培养和提高抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，为今后爱念族皮及用计算机处理大量的日常事务和科研项目、从事计算机科学和应用打下坚实基础。特别是对于那些从事计算机科学与理论研究的高层次计算机人员来说，离散数学更是必不可少的基础理论工具。 实验一、编程判断一个二元关系的性质（是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性） 一、前言引语：二元关系是离散数学中重要的内容。因为事物之间总是可以 根据需要确定相应的关系。从数学的角度来看，这类联系就是某个集合中元素之间存在的关系。 二、数学原理：自反、对称、传递关系 设A和B都是已知的集合，R是A到B的一个确定的二元关系，那么集合R 就是A×B的一个合于R={(x,y)∈A×B|xRy}的子集合 设R是集合A上的二元关系： 自反关系：对任意的x∈A,都满足
几个有趣的悖论的数学辨析 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的容, 促进了数学的发展。作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课容生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣 1 芝诺悖论 在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。限于篇幅, 在此只辑录其二。 二分法: 你不能在有限的时间穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄, 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌 龟的10倍, 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑1 10 千 米, 然后让阿喀琉斯去追。于是问题来了。当阿喀琉斯追到1 10 千 米的地方, 乌龟又向前跑了 1 100千米, 当阿喀琉斯又追到 1 100 千米时, 乌龟又向前跑了 1 10000千米, … …, 这样一来, 一直追下 去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗? 之所以说这两个论证是悖论, 是因为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟会跑不过大乌龟。然而在当时的人们的知识围, 却找不出芝诺的论证错在什么地方。 1 . 1 芝诺悖论的数学意义 芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意是要用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点, 该两个论证与另外两个论证(“ 飞箭” 与“ 运动场” ) 组合得出了时空既是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。“ 芝诺悖论” 促进了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基础的数学的发展。芝诺论证问题的方法是我们今天数学中仍在使用的反证法。可以说, 这是对反证法的最早的运用。大家知道, 当一个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。
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班级：xxxxxxxxx 浅谈“类比法“ 姓名：学号: 班级： 摘要：类比法，可以使我们充分开动脑筋，养成善于思考、乐于思考、勇于思考的好习惯。 关键词：数学教学；类比；思维 类比法也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。 类比法是一种创造性的数学思想方法。其作用就是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是结论，那么类比思维的过程就是一个推理过程。古典类比法认为，如果我们在比较过程中发现被比较的对象有越来越多的共同点，并且知道其中一个对象有某种情况而另一个对象还没有发现这个情况，这时候人们头脑就有理由进行类推，由此认定另一对象也应有这个情况。现代类比法认为，类比之所以能够“由此及彼”，之间经过了一个归纳和演绎程序即：从已知的某个或某些对象具有某情况，经
过归纳得出某类所有对象都具有这情况，然后再经过一个演绎得出另一个对象也具有这个情况。现代类比法是“类推”。 类比在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法等方面都有着不可忽视运用。开普勒说：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可依赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在数学中是最不可忽视的。”科学家都这么重视，我们就更应该重视。下面举例说明类比在初中数学中的应用： 一、类比引入新知识 1．类比引入新概念 对数学概念的正确理解是学好数学的基础，是培养我们学生能力的先决条件。数学概念不但是数学思维基础，也是数学思维的结果。课本上的概念有的非常简练、有的很抽象，这给我们学生对数学概念的理解带来了困难，从而造成学生数学能力的差异。因此，搞好概念教学，让读者正确理解概念就会为他们学习其它数学知识打下坚实的基础。用类比法引入新概念，可使学生更好地理解新概念的内涵与外延。数学中的许多概念有类似的地方，在新概念的提出过程中，运用类比的方法，能使学生易于理解和掌握。在教学中，被用于类比的旧概念是学生所熟悉的。故学生容易从新旧事物的对比中接受新概念。 如：“一元一次方程和一元一次不等式”的概念。教师在讲授“一元一次不等式”这一概念时，先让学生复习“一元一次方程”这一概念。然后问，“如果我们将概念中的‘等式’换成‘不等式’会得到什么样的概念呢？”让学生进行讨论，充分调动同学们的积极
《离散数学》实验报告 专业网络工程 班级 姓名 学号 授课教师 二 O 一六年十二月
目录 实验一联结词的运算 实验二根据矩阵的乘法求复合关系 实验三利用warshall算法求关系的传递闭包实验四图的可达矩阵实现
实验一联结词的运算 一．实验目的 通过上机实验操作，将命题连接词运算融入到C语言的程序编写中，一方面加强对命题连接词运算的理解，另一方面通过编程实现命题连接词运算，帮助学生复习和锻炼C语言知识，将理论知识与实际操作结合，让学生更加容易理解和记忆命题连接词运算。二．实验原理 (1) 非运算, 符号: ,当P=T时，P为F, 当P=F时，P为T 。 (2) 合取, 符号: ∧ , 当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的真值才为真；否则，P∧Q的真值为假。 (3) 析取, 符号: ∨ , 当且仅当P和Q的真值同为假，命题P∨Q的真值才为假；否则，P∨Q的真值为真。 (4) 异或, 符号: ▽ , 当且仅当P和Q的真值不同时，命题P▽Q的真值才为真；否则，P▽Q的真值为真。 (5) 蕴涵, 符号: →, 当且仅当P为T,Q为F时，命题P→Q的真值才为假；否则，P→Q 的真值为真。 (6) 等价, 符号: ?, 当且仅当P,Q的真值不同时，命题P?Q的真值才为假；否则，P→Q的真值为真。 三．实验内容 编写一个程序实现非运算、合取运算、析取运算、异或运算、蕴涵运算、等价运算。四．算法程序 #include
核心素养理念下的小学数学文化和数学阅读课堂教学观摩研讨会心得体会 2018年10月13日，我参加了由辉县市教育局组织第二届全国“核心素养理念下的小学数学文化与数学阅读”，聆听了南欲晓老师题为《数学阅读课的探索》的知识讲座，王老师精彩的讲解演绎，让我再一次感受到了绘本的独特魅力。同时我认识到了绘本教学的特性，它不同于单一的故事教学，绘本让越来越多的人关注，在绘本故事中，不仅孩子们的想象力、表达力得到了发展，孩子们爱上了绘本。孩子们是在情景中学习的，绘本创造了优质的学习情境，学生不再是一味的去听，而是让学生沉浸其中，主动地去思考、去想象。就像南欲晓老师说的：“绘本是满足孩子需要的典范，绘本教学包含在早期阅读中，早期阅读是包含在语言教学中，要把儿童为主的学习融合在绘本教学之中。当故事成为孩子的一种成长方式，当阅读成为教师的一种教学方式，书成了我们不离不弃的朋友。而随着更多精美、优秀的绘本映入我们的眼帘时，我们着实爱上了它。 由辉县市三里屯小学校长张敏执教的二年级绘本《小鸡搬家》，是一个非常有趣的故事，讲述农场里的小鸡通过几次有趣的搬家。绘本文字简单，图画以鲜亮的暖色为主调，小鸡搬家让孩子对小鸡的家园周长有了很好的认识。
张艳芳老师采用层层递进的方式让学生学习表演。首先，带领学生一起欣赏《倒霉蛋布拉德》，让学生体验布拉德的境遇；然后让学生阅读接下来故事，引发学生的思考，最后推出可以运用学过的数学知识让自己变得幸运起来。听这样的课简直就是一种享受，听课过程中我也像孩子般有一种跃跃欲试参与讨论的感觉。 易博老师的示范课《避开恶猫的方法》，以绘本故事情节为主线开展活动，通过此活动让学生感受什么是一一对应，让孩子们心中对一一对应有了实践上的理解，并且学会了用一一对应解决身边的难题，应用于实践生活，细细品味从书中发现许多的智慧。 许淑一老师的示范课《过去人如何数数的》通过有趣的绘本，让学生去了解数字的背景，通过学生间生成的问题，解决问题，对比各种数字的特征，让学生自主深化了解古代数字。并且通过对比引出主线，十进制计数法，了解十进制计数法的由来，自然而然的学到关于十进制计数法的知识。让学生学会提问，学会发现，学会学习，这是我对本次学习最大的体会。
… 十大数学悖论 1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的
哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。:
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对用‘是’或‘不是’来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 3．跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}
是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗 4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB 上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么 5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天
这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。 1=2？史上最经典的“证明” 设a = b，则a·b = a^2，等号两边同时减去b^2就有a·b - b^2 = a^2 - b^2。注意，这个等式的左边可以提出一个b，右边是一个平方差，于是有b·(a - b) = (a + b)(a - b)。约掉(a - b)有b = a + b。然而a = b，因此b = b + b，也即b = 2b。约掉b，得1 =2。 这可能是有史以来最经典的谬证了。TedChiang在他的短篇科幻小说DivisionbyZero中写到： 引用 There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with somedefinitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equalstwo. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proofhas stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allowsone to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real orimaginary, rational or irrational—are equal. 这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以a - b的，因为我们假设了a = b，也就是说a - b是等于0的。 无穷级数的力量(1) 小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？ 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … 一方面： 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … = [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + … = 0 + 0 + 0 + …
《离散数学》实验报告 专业 班级 姓名 学号 授课教师 二 O 一六年十二月
目录 实验一联结词的运算 实验二根据矩阵的乘法求复合关系实验三利用算法求关系的传递闭包实验四图的可达矩阵实现
实验一联结词的运算 一．实验目的 通过上机实验操作，将命题连接词运算融入到C语言的程序编写中，一方面加强对命题连接词运算的理解，另一方面通过编程实现命题连接词运算，帮助学生复习和锻炼C语言知识，将理论知识与实际操作结合，让学生更加容易理解和记忆命题连接词运算。二．实验原理 (1) 非运算, 符号: ,当时，P为F, 当时，P为T 。 (2) 合取, 符号: ∧ , 当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的真值才为真；否则，P∧Q的真值为假。 (3) 析取, 符号: ∨ , 当且仅当P和Q的真值同为假，命题P∨Q的真值才为假；否则，P∨Q的真值为真。 (4) 异或, 符号: ▽ , 当且仅当P和Q的真值不同时，命题P▽Q的真值才为真；否则，P▽Q的真值为真。 (5) 蕴涵, 符号: → , 当且仅当P为为F时，命题P→Q的真值才为假；否则，P→Q 的真值为真。 (6) 等价, 符号: ?, 当且仅当的真值不同时，命题P?Q的真值才为假；否则，P→Q 的真值为真。 三．实验内容 编写一个程序实现非运算、合取运算、析取运算、异或运算、蕴涵运算、等价运算。四．算法程序 <> () { ; ("请选择运算方式\n"); ("1.析取\n"); ("2.合取\n"); ("3.非\n"); ("4.蕴含\n"); ("5.等价\n");
m; (""); ( m>=1 m<=4 ) { ("请输入P Q的值\n"); (" " ); = 1; (m) { 1( ( >= 1)( < 4 ) ) { (0 0) ("P 析取Q = 0\n"); ("P 析取Q = 1\n"); ; (4) ; ("请输入P Q的值\n"); (" " ); } ; 2( ( >= 0)( < 4 ) ) { (1 1) ("P 合取Q = 1\n"); ("P 合取Q = 0\n"); ; (4) ; ("请输入P Q的值\n"); (" " ); } ; 3( ( >= 0)( < 4 ) ) { (0) ("非Q = 1\n"); ("非Q = 0\n");
十大数学悖论 1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人
所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。 : 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以
自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 3．跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有
一样多的元素吗？ 4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？ 5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。 你能说出为什么这场考试无
有趣的“悖论” —《数学文化》的读书报告 袁凤平 采矿10-2班 2010304198 摘要:什么是悖论,悖论该怎么解释,又对我们日常生活和社会发展有什么影响呢? 关键词: 悖论发展意义 引言: 如果直接说“悖论”，大家肯定会觉得陌生，感觉离我们很遥远。其实我们不知道的是，悖论就存在我们生活中间，也许你早已听说过，只是不知道这就是悖论而已。 想必大家都听过这样的问题：假设上帝是万能的，上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗？第一次听到这种问题感觉很古怪，然后我们会想：如果说他能，那么他创造出来的东西自己不能举起这个东西，就证明他不是万能的。如果他不能，那么不能创造出这样一个东西，也证明他在创造方面不是万能的。我们就非常矛盾，而此时问我们的人就会非常开心。没错，这就是悖论，现在让我们一起了解一下这有趣的“悖论”吧。 一.定义 所谓悖论，其实就是从一个看似正确的前提出发，经过看似正确的推论，而得到了荒唐的答案。即可以这么解释：假设一句话A（比如上帝是万能的）是真的，而由这句话可以推出另一句话B（上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西）,然后，若假定B真，就可推出A不是真的（因为上帝既然造出自己举不起的东西，那他就不是万能的）。而我们就会陷入矛盾中。 二.几种主要悖论 其实悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。而其中比较著名的有以下几种悖论： 1.罗素悖论 如果R是第一类的，R是自己的元素，但由定义，R只由第二类集合组成，于是R又是第二类集合；如果R是第二类集合，那么，由R的定义，R必须是R的元素，从而R又是第一类集合。
1.【实验目的】 对称： 通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为对称关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断关系性质的方法 自反： 通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为自反关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断关系性质的方法。 2.【实验内容】 已知关系R 由关系矩阵M 给出，要求判断由M 表示的这个关系是否为对称关 系。假定R 的关系矩阵为：?????? ? ??=1234210330124321M 3.【实验要求】 C 语言编程实现 4.【算法描述】 对称： 从给定的关系矩阵来判断关系R 是否为对称是很容易的。若M （R 的关系矩阵）为对称矩阵，则R 是对称关系；若M 为反对称矩阵，则R 是反对称关系。因为R 为对称的是等价关系的必要条件，所以，本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。 算法实现： （1） 输入关系矩阵M （M 为n 阶方阵）； （2） 判断对称性，对于i=2，3，….，n ；j=1，2,……，i-1，若存在m ij =m ji ， 则R 是对称的； （3） 判断反对称性； （4） 判断既是对称的又是反对称的； （5） 判断既不是对称的又不是反对称的； （6） 输出判断结果。
自反： 从给定的关系矩阵来断判关系R是否为自反是很容易的。若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为1，则R是自反关系；若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为0，则R是反自反关系；若M（R的关系矩阵）的主对角线元素既有1又有0，则R既不是自反关系也不是反自反关系。本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。 算法实现 （1）输入关系矩阵M（M为n阶方阵）。 （2）判断自反性，对于i=1，2，….，n；若存在m =0，则R不是自反 ii =1，则R是自反的；否则R既不是自反关系也不是的；若存在m ii 反自反关系。 （3）输出判断结果。 源代码 #include
读《数学文化学》心得体会 如何提高自己的数学素养,让自己的课更有数学文化的味道, 是每一个数学教师时时牵挂的问题.带着这些问题,我阅读了郑毓信、王宪昌、蔡仲三位教授共同编写的《数学文化学》一书,通过阅读,让我真正明确了数学教育的意义及实质,对数学教育的目标及达成方式有了更深刻的认识. 这本书从古希腊数学的起源讲到当今飞速发展的数学,在我面前展示了一个数学发展的历史长卷,曾经在小学数学教材中出现的人物一一跃然纸上,通过对西方的数学与中国的数学发展史进行对比,使我对历代数学名家在数学方面的主要贡献及数学发展的历史进程有了一个初步的了解.这本书又不是单纯地历史的叙述,教授以自己的视角进一步阐述了什么数学能够称之为一种文化,及将数学作为文化看待的意义,让我对数学文化的理解更加深刻. 全书对我启发最大的是"从教育的角度看数学文化"这一部分的内容,笔者强调,我们应当注意纠正这样一种倾向,不能一味地强调数学的工具的作用,然而目前,我们中、小学的数学课程的教学目标主要是将数学作为一种工具来进行传授,在我们的日常教学中,应当更为重视数学思维的训练与培养.从教学的角度看,以下问题就有着特别的重要性,即应如何通过日常的数学教学来培养学生的数学思维,因为"思维活动不是在获得课程内容的知能后才出现的,而是成功的学习过程中整体的一
个部分, 因此,课程内容须能够挑动思考的灵感,即使在最不起眼、最基本的课堂情境中,亦可启发学生的思考的源泉."这样的一段话, 让我明确了数学思维的训练和养成与具体的数学知识和技能的学习相比是更为重要的.由此,我深深思考着我自己的课堂"一个没有相当发达的数学文化的民族是注定要衰落的,一个不掌握数学作为一种文化的民族是注定要衰落的,我们应当努力建立民族或国家的清醒的数学意识."我想,我们应当把思维方法的训练渗透于日常数学教学活动中去,应当以思想方法的分析去带动、促进具体数学内容的教学. 书中提到肖文强先生借用了清代文学家袁枚关于"学、才、识"的论述来说明三项数学教育目的,他认为广义的数学教育不是把数学仅仅视作为一件实用的工具,而是通过数学教学达至更广阔的教育功能,包括数学思维延伸至一般思维,培养正确的学习方法和态度、良好的学风和品德修养,也包括从数学欣赏带来的学习愉悦以及知识的尊重我们必须理清三者之间的关系.
《离散数学》 实验报告 题目 专业 学号 姓名 指导教师 提交日期
实验一五种连结词的逻辑运算 一.实验目的 用C语言实现两个命题变元的合取、析取、蕴涵和等价表达式的计算。熟悉连接词逻辑运算规则，利用程序语言实现逻辑这几种逻辑运算。 二.实验内容 从键盘输入两个命题变元P和Q的真值，求它们的合取、析取、蕴涵和等价四种运算的的真值。要求对输入内容进行分析，如果不符合0、1条件需要重新输入，程序有良好的输入输出界面。 三. 实验过程 1. 算法分析： 编程语言为c语言 合取/\：p，q都为1的时候为1，其他为0 析取\/：p，q都为0的时候为0，其他为1 蕴含->：p为1，q为0时为0，其他为1 等价<->：p，q同真同假 流程图
2. 程序代码： #include
do{ printf("请输入q的值(0或1)"); scanf("%d",&q); if(q!=0&&q!=1) printf("输入有误"); }while(q!=0&&q!=1); do{ printf("请选择要进行的操作\n"); printf("1:合取\n2:析取\n3:蕴含\n4:等价\n"); scanf("%d",&i); switch(i){ case 1:{ if(p&&q) printf("合取运算：p/\q=1\n"); else printf("合取运算：p/\q=0\n"); break; } case 2:{ if(p||q) printf("析取运算：p\/q=1\n"); else printf("析取运算：p\/q=0\n"); break; } case 3:{ if(p&&!q) printf("蕴含：p->q=0\n"); else printf("蕴含：p->q=1\n"); break;} case 4:{ if((p&&q)||(!p&&!q)) printf("等价运算：p<->q=1\n"); else printf("等价运算：p<->q=0\n"); break; } }printf("是否继续运算1\\0\n"); scanf("%d",&t); }while(t); return 0; }