芜湖一中2010年高一自主招生考试
数 学 试 卷
题 号 一
二
三
总 分
13
14
15
16
17
得 分
一、选择题（每题6分，共36分）
1．若2
610x x -+=，则4
4-+x
x 的值的个位数字是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知二次函数2
2y x =的图象不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新的坐标系下抛物线的解析式是（ ） A ．2
2(2)2y x =-+
B ．2
286y x x =++
C ．2
286y x x =-+
D ．2
2810y x x =++
3．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3.则直角三角形的面积为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 4．若222(1)(1)y x x x =
+++-，则y 的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．如图，在锐角△ABC 中，以BC 为直径的半圆O 分别交AB ，AC 与D ，E 两
点，且cos A =
3
3
，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的值为（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
32
D ．
33
6．如图，正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 上的点，DE 交AC 于
N
M
E
O
D
A
B
C
M，AF交BD于N；若AF平分
BAC
∠，DE AF
⊥；
记
BE
m
OM
=,
BN
n
ON
=,
CF
p
BF
=,则有（）
A．m n p
>>B．m n p
==
C．m n p
=>D．m n p
>=
二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）
7．已知2
,32
2-
=
+
=
+y
xy
xy
x,则=
-
-2
23
2y
xy
x。
8. 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形区域ABCD表示黑色物体甲，其中，A (1，1)，
B (2，1)，
C (2，2)，
D (1，2)，用信号枪沿直线y = 2x + b发射信号，当信号遇到区域甲
时，甲由黑变白．则b的取值范围为时，甲能由黑变白。
9．已知关于x的方程x
p
x=
-有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是。10．如图，//,,,130,
DC AB BAE BCD AE DE D
∠=∠⊥∠=?B
∠=。
11．如图，一个5×5的方格网，按如下规律在每个格内都填有一个数：同一行中右格中的数与紧邻左格中的数的差是定值，同一列中上格中的数与紧邻下格中的数的差也是定
值．请根据图中已填好的数，按这个规律将第3行填满(填在图中)。
第8题第10题
12．已知一个有序数组)
,,
,
(d
c
b
a，现按下列方式重新写成数组,
,
,
(
1
1
1
1
d
c
b
a，使a1=a+b,b1=b+c,c1=c+d,d1=d+a，按照这个规律继续写出)
,
,
,
(
2
2
2
2
d
c
b
a，…，)
,
,
,
(
n
n
n
n
d
c
b
a，若2000
1000<
+
+
+
+
+
+
<
d
c
b
a
d
c
b
a
n
n
n
n，
则=
n。
三、解答题：（本大题共5小题，计72分，写出必要的推算或演算步骤．）
13．（15分）已知二次函数22
2(1)22
y x m x m
=--+-
（1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在某一函数图象上，并求出此图象的函数解析式；
（2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为23，求出此二次函数的解析式。
第11题
14．（14分）如图所示，△ABC中AB=2，AC=3，
∠A=∠BCD=45°，求BC的长及△BDC的面积。
15．（14分）某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(a)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(b)，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图(c)，则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作? 在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?
16．（14分）已知p 为质数，使二次方程01522
2=--+-p p px x 的两根都是整数，求
出所有可能的p 的值。
17．（15分）如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2切于点P ，外公切线AB 与连心线O 1O 2相交于点
C ，A 、B 是切点，
D 是AP 延长线上的点，满足4
5
AP AC AB AD ==。 求：（1）cos D ；（2）1
2
:O O S S
的值
芜湖一中2010年高一自主招生考试
数学试卷参考答案
一、选择题（每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案
D
B
C
C
A
D
7．12
8．一3≤ b ≤ 0
9．104
P ≤<
10．40°
11．26 66 106 146 12．10
三、解答题：（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
13．解：（1）二次函数的顶点坐标为（2
1,23m m m -+-），消去m 得到 2
4y x x =+
故不论m 为何值，二次函数的顶点都在抛物线2
4y x x =+上 ………………4分 （2）设二次函数的图象与x 轴交于点1(,0)A x ，2(,0)B x ，由已知2123x x -=，再利用根与系数的关系得
122
122(1)22
x x m x x m +=-??=-? 又22
211212()()4x x x x x x -=+-，则 22124(1)4(22)m m =---02m ?=-或 ………………10分
当0m =时，2
22y x x =+- 当2m =-时，2
66y x x =++ …………14分 14．解：如图，过C 作CE ⊥AB 交AB 于E 。
则2622CE AE AC ==
= ∴ 646
222
BE -=-
= 又2
2
2
BC CE BE =+ ∴72661BC =-=-……………………6分 再过D 作DF ⊥BC ，交CB 的延长线于F ，并设DF=CF=x ，则
1BF x BC x =-=+ 又Rt △DFB ∽Rt △CEB ∴
DF CE
BF BE
=
即
=∴
32x +=
因此，111)22BCD S BC DF ?=
?=?
=……14分 15．解：图（a ）表明，输入传送带可运进货物13 t/h ；图（b ）表明，输出传送带可以运出
货物15 t/h ；图（c ）表明，在0:00～2:00时间段内仓库中货物增加
128
2 /2
t h -=。 ……5分
设此时有x 条输入传送带、y 条输出传送带在工作，则有13152x y -=
故15222
1313
y y x y ++=
=+
因020y ≤≤，故取2226y +=，得14,12x y == ……………………9分 在4:00～5:00内，同理得方程
131512x y -=- 故1512212
1313
x y x y --=
=+
因020x ≤≤，020y ≤≤，取212021226x y -=-=或， 得6,621,19(21)x y x y x =====或不合题意,舍去。…13分
答：在0:00～2:00内有14条输入传送带和12条输出传送带在工作；在4:00～5:00内有6条输入传送带和6条输出传送带在工作。…………………………14分
16．解：由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以
2244(51)4(51)p p p p ?=---=+是完全平方数，从而51p +是完全平方数，令
251p n +=，n 是正整数，
则 5(1)(1)p n n =-+
所以，5(1)(1)n n -+，即5(1)5(1)n n -+或。 …………………………5分
若5(1)n -，令15n k -=，则(52)p k k =+，由于p 是质数，故1k =，7p =，此
时方程为2
14130x x -+=，11x =，213x =满足条件。
若5(1)n +，令15n k '+=，则(52)p k k ''=-，故1k '=，3p =，此时方程为
26700x x --==，11x =-，27x =满足条件。…………………………13分
综上所述，所求的质数p 为3或7 ………………………………14分 17．解：（1）过P 作两圆的内公切线交AB 于Q ，连接PB 。 ∵ AB 是两圆的外公切线，
∴ QA QP QB == ∴ 90APB ∠= ∵
,,AP AC AD AC
CAD PAB AB AD AB AP
==∠=∠即 ∴△CAD ∽△PAB ∴90ACD APB ∠=∠=?
在Rt △ACD 中，令AC=4t ，AD=5t ，则CD=3t ， ∴ 3
cos 5
CD D AD ==……7分 （2）在Rt △APB 中，设AP=8a ，AB=10a ，则PB=6a 。
作1O E AP ⊥于E ，1O F BP ⊥于F ，则1
42
EP AP a =
=，3FP a = 在Rt △PO 2F 中，2FO P APB D ∠=∠=∠ ∴Rt △PFQ 2∽Rt △ACD ， ∴
23
4
FO CD PF CA ==，又112//,O E PF EO P EPO ∠=∠ ∴△EO 1P ∽△FPO 2， ∴
122416
994
O P PE a O P O F a === ∴12
212256
(
)81
o o S o P S
o P ==
………………15分