第6章--弹性体的一维振动题解
126 习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0 ,00u x u x == (),0u x V =& 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π==,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件 2 0sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ?? ??得2 i D Al ρ= 即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i AVD xdx l πη ρ=?&2i l AVD i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη = &，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 2 2i i ,... 3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=∞ =∞ === =πππππρπη (2)杆的右端突然固定；
127 杆的初始条件为：()()0 ,00u x u x == (),0u x V =& 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π==,… ...5,3,1i ,x 2l i cos C x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件1)2cos (2 =? dx l x i C A i l πρ得Al C i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l i cos Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ?--==l i i i i i l AV C dx l x i AVC 0 2 1 )1(22cos )0(π ρπρη& ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη = &，进而有： t 2l a i sin 2l x i cos i 1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 2 2 1 2i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞ =-∞ =∞ =-== =πππππρπηi 6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。 (1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；
高三物理弹性碰撞
第三节科学探究—一维弹性碰撞 三维教学目标 1、知识与技能 （1）认识弹性碰撞与非弹性碰撞，认识对心碰撞与非对心碰撞； （2）了解微粒的散射。 2、过程与方法：通过体会碰撞中动量守恒、机械能守恒与否，体会动量守恒定律、机械能守恒定律的应用。 3、情感、态度与价值观：感受不同碰撞的区别，培养学生勇于探索的精神。教学重点：用动量守恒定律、机械能守恒定律讨论碰撞问题 教学难点：对各种碰撞问题的理解． 教学方法：教师启发、引导，学生讨论、交流。 教学用具：投影片，多媒体辅助教学设备 （一）引入新课 碰撞过程是物体之间相互作用时间非常短暂的一种特殊过程，因而碰撞具有如下特点： （1）碰撞过程中动量守恒。 提问：（1）守恒的原因是什么？（因相互作用时间短暂，因此一般满足F 内>>F外的条件） （2）碰撞过程中，物体没有宏观的位移，但每个物体的速度可在短暂的时间内发生改变。 （3）碰撞过程中，系统的总动能只能不变或减少，不可能增加。
提问：碰撞中，总动能减少最多的情况是什么？（在发生完全非弹性碰撞时总动能减少最多） （二）进行新课 1、展示投影片1，内容如下： 如图所示，质量为M 的重锤自h 高度由静止开始下落，砸 到质量为m 的木楔上没有弹起，二者一起向下运动．设地层给 它们的平均阻力为F ，则木楔可进入的深度L 是多少？ 组织学生认真读题，并给三分钟时间思考。 （1）提问学生解题方法：可能出现的错误是：认为过程中只有地层阻力F 做负功使机械能损失，因而解之为 Mg （h+L ）+mgL-FL=0。 （2）归纳：第一阶段，M 做自由落体运动机械能守恒，m 不动，直到M 开始接触m 为止。再下面一个阶段，M 与m 以共同速度开始向地层内运动，阻力F 做负功，系统机械能损失。 提问：第一阶段结束时，M 有速度，gh v M 2=，而m 速度为零。下一阶段开始时，M 与m 就具有共同速度，即m 的速度不为零了，这种变化是如何实现的呢？（在上述前后两个阶段中间，还有一个短暂的阶段，在这个阶段中，M 和m 发生了完全非弹性碰撞，这个阶段中，机械能（动能）是有损失的） （3）让学生独立地写出完整的方程组 第一阶段，对重锤有： 22 1Mv Mgh = 第二阶段，对重锤及木楔有： Mv +0=（M+m ）v '． 第三阶段，对重锤及木楔有： 2)(2 10)(v m M FL hL m M '+-=-+
如何巧记弹性碰撞后的速度公式 一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？ 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m1v1=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得： m1v1= （m1+m2） v共 解出v共=m1v1 /（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前 的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式 解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。
另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很 容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得： m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦ 要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰静 止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得两球碰撞后各自的速度+； +，即可得到上面的⑥⑦式。 另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度 v1- v2等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式，再结合①式可解得⑥⑦式。
第3节科学探究——一维弹性碰撞 陈东 （一）知识与技能 1．了解不同类型的碰撞，知道完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的主要特征 2．掌握弹性碰撞的规律，即在弹性碰撞中动量守恒，动能也守恒 3．能根据弹性碰撞的规律解释判断有关的现象和解决有关的问题 （二）过程与方法 通过体会碰撞中动量守恒、机械能守恒与否，体会动量守恒定律、机械能守恒定律的应用。（三）情感、态度与价值观 感受不同碰撞的区别，培养学生勇于探索的精神。 用动量守恒定律、机械能守恒定律讨论弹性碰撞问题 对各种碰撞问题的理解． 教师启发、引导，学生讨论、交流。 引入新课： 碰撞是非常常见的现象，我们发现两物体碰撞时总是符合动量守恒定律，但碰撞的结果却是多种多样的，有的物体碰后分开了，但都朝一个方向运动，有的物体碰后朝两个不同的方向运动，有的物体碰后则黏在一起。为什么同属于动量守恒，却出现了这么多得可能性呢？出现这些情况又要有什么不同的条件呢？今天我们就来研究一下这个问题。 进行新课： 一、碰撞 1．定义：两物体相遇，在极短的时间内运动状态发生改变的过程 2．特点：（1）动量守恒（提问：守恒的原因是什么？）t短F大，内力远大于外力（2）S短，可忽略。但速度在短暂的时间内发生改变． （3）系统的总动能只能不变或减少，不可能增加． 二、分类 1．弹性碰撞：碰撞后物体形变能完全恢复，系统内无机械能的损失的碰撞 【例1】质量m的小球A在光滑的水平面上以v1的速度向右运动，恰撞上质量同为m静止在水平面上的小球B。碰撞后，小球A恰好静止。那么碰撞过程中系统动量和动能守恒么？
[解析] 21mv mv = （动量守恒） 22212 121mv mv = （动能也守恒） [结论] 在弹性碰撞中，动量守恒，机械能也守恒。 2．非弹性碰撞：碰撞前后机械能不守恒 【例2】质量m 的小球A 在光滑的水平面上以v 1的速度向右运动，恰撞上质量同为m 静止在水平面上的小球B 。碰撞后，小球A 和B 黏在一起一起向右运动。那么碰撞过程中系统动量和动能守恒么？ [解析] 212mv mv = （动量守恒） 122 1v v =∴ 21224 1221mv mv =碰后： （动能不守恒） [结论] 在非弹性碰撞中，动量守恒，机械能不守恒。 [特例] 完全非弹性碰撞：碰撞后物体结合在一起，动能损失最大。 三、弹性碰撞 【例3】质量m 1的小球A 在光滑的水平面上以v 1的速度向右运动，恰撞上质量为m 2静止在水平面上的小球B 。碰撞后，小球A 的速度变为v 1’，小球B 的速度变为v 2’。那么，请用v 1表示出v 1’和v 2’。 [解析] 动量守恒 ' 22'1111v m v m v m +=………………….………..…….① 机械能守恒 2'222'11211212121v m v m v m +=……………….………② 由①得 '22'111)(v m v v m =-…………………………………...③ 由②得 2 '2 2'11'111))((v m v v v v m =+-…………………….④ 由③④得 '2'11v v v =+…………………………………………………⑤ 由①⑤得 12121'1v m m m m v +-= 12 11'22v m m m v += [分析] （1）当m 1 =m 2 时， v 1’=0 ， v 2’= v 1 同质量，换速度 （2）当m 1 >m 2 时， v 1’>0 ， v 2’>0 大撞小，同方向 （3）当m 1 高考物理碰撞中“一动一静”一维弹性碰撞模型复习 摘要：一运动的物体与一静止的物体发生弹性碰撞构成一种重要碰撞模型，即“一动一静”一维弹性碰撞模型，碰撞过程动量、机械能守恒，碰后两物体速度可求．两物体通过弹簧弹力作用，把一物体的动能转移给另一物体；或一物体在另一物体表面运动，通过物体间的弹力作用，把一物体的动能转移给另一物体也可构成“隐蔽”的“一动一静”一维弹性碰撞模型． 关键词：“一动一静”一维弹性碰撞，动量守恒，机械能守恒，动能，弹性势能，重力势能。 2017届全国考纲把选修3-5由先前的选考内容角色变换成必考内容角色，这要求我们广大高三物理老师提高对选修3-5复习的重视程度，下面谈谈我如何复习选修3-5动量中“一动一静”一维弹性碰撞重要模型，不足之处请同仁指正． 一运动的弹性小球碰撞一静止的弹性小球，两小球接触碰撞过程中相互作用的力较大，时间又短，系统动量守恒；两小球从开始接触到共速这短暂过程中小球的动能向小球的弹性势能转化，两小球从共速到开始分离这短暂过程中小球的弹性势能向小球的动能转化，系统机械能也守恒． 如图，在光滑的水平面上质量m1、速度v1弹性小球1向右运动与质量m2、静止弹性小球2发生正碰． 设m1、m2碰撞分离后的速度分别为v’1、v’2 系统动量守恒m1v1=m1v’1+m2v’2 系统机械能守恒1 2 m1v12 = 1 2 m1v’12+ 1 2 m2v’22 解得错误!或错误!（增根舍去） （Ⅰ）当m1>m2时，v’1与v1同向（大撞小，同向跑）；当m1>>m2时,v’1≈v1、v’2≈2v1（Ⅱ）当m1=m2时，v’1与v1换速，即v’1=0、v’2=v1 （Ⅲ）当m1 [完全]弹性碰撞后的 速度公式 如何巧记弹性碰撞后的速度公式 一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？ 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m 1v 1 =m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得： m 1v 1 = （m1+m2）v共 解出v共=m1v1/（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大 一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住， ⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。 另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相 对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤ 式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得： m 1v 1 +m2v2=m1v1＇+m2v2＇① ② 由 ①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦ 要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可等 效成m1以速度v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。 因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得两球碰撞后各自的速度 +；+，即可得到上面的⑥⑦式。 习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件2 0sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ?? ?? 得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i AVD xdx l πηρ=?2i l AVD i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得() 0sin i i i i p t p ηη= ，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 22i i ,... 3,1i i i ,... 3,1i i ∑∑∑∞=∞ =∞ === =πππππρπη (2)杆的右端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ...5,3,1i ,x 2l i cos C x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件 1)2cos (2 =? dx l x i C A i l πρ得Al C i ρ2= 20XX 届高三第三轮复习回归课本 --------------二级结论模型归类 先想前提，后记结论 力学 一．静力学： 1． 几个力平衡，则一个力是与其它力合力平衡的力。 2． 两个力的合力:F 大 +F 小≥F 合≥F 大 -F 小。三个大小相等的力平衡，力之间的夹角为120度。 3． 物体沿斜面匀速下滑，则μ=tan α。 4． 两个一起运动的物体“刚好脱离”时：貌合神离，弹力为零。此时速度 加速度相等，此后不等。 二．运动学： 1． 在描述运动时，在纯运动学问题中，可以任意选取参照物；在处理动力学问题时，只能以地为参照物。 2． 匀变速直线运动：用平均速度思考匀变速直线运动问题，总是带来方便： -V =V 2/t = 2 21V V +=T S S 221+ 3． 匀变速直线运动： 当时间等分时：S n －S n-1=aT 2. 位移中点的即时速度：V s/2= 2 2221V V +,V s/2>V t/2 纸带点迹求速度加速度：V t/2=T S S 212+,a =212 T S S -,a =21)1(T n S S n -- 4． 自由落体：V t (m/s): 10 20 30 40 50 = gt H 总（m ）:5 20 45 80 125 = gt 2/2 H 分(m):5 15 25 35 45 = gt 22/2 – gt 12 /2g =10m/s 2 5． 上抛运动：对称性：t 上= t 下v 上= －v 下 6． 相对运动：相同的分速度不产生相对位移。 7． “刹车陷阱”：给出的时间大于滑行时间，则不能用公式算。先求滑行时间，确定 了滑行时间小于给出的时间时，用v 2=2aS 求滑行距离。 8． "S =3t +2t 2”:a =4m/s 2,v 0=3m/s 。（s = v 0t + at 2/2） 9． 绳端物体速度分解：对地速度是合速度，分解为沿绳的分速度合垂直绳的分速度。 三．运动定律： １．水平面上滑行：阿＝－μｇ ２．系统法：动力－阻力＝ｍ总ｇ 绳牵连系统 ３．沿光滑斜面下滑：ａ＝ｇＳｉｎα 时间相等： ４５0时 时间最短： 无极值： 速运动的物体：Ｎ＝212m m m +Ｆ，(N 为4.一起加 [完全]弹性碰撞后的 速度公式 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 如何巧记弹性碰撞后的速度公式 一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m1v1=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v ，由动量守恒 共 定律得： m1v1=（m1+m2）v共 =m1v1/（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继解出v 共 续受到向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一 倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验 中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。 另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相 对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤ 式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得： m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦ 要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可 等效成m1以速度v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得两球碰撞后各自的速度 +；+，即可得到上面的⑥⑦式。 另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近 的相对速度v1-v2等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式，再结合①式可解得⑥⑦式。 先想前提，后记结论 力学 一．静力学： 1． 几个力平衡，则一个力是与其它力合力 平衡的力。 2． 两个力的合力:F 大 +F 小≥F 合≥F 大 -F 小。三个大小相等的力平衡，力之间的夹角为120度。 3． 物体沿斜面匀速下滑，则μ=tan α。 4． 两个一起运动的物体“刚好脱离”时：貌合神离，弹力为零。此时速度 加速度相等，此后不等。 二．运动学： 1． 在描述运动时，在纯运动学问题中，可以任意选取参照物；在处理动力学问题时，只能以地为参照物。 2． 匀变速直线运动：用平均速度思考匀变速直线运动问题，总是带来方便： - V =V 2/t = 2 2 1V V += T S S 22 1+ 3． 匀变速直线运动： 当时间等分时：S n －Ｓn-1=aT 2. 位移中点的即时速度：V s/2= 2 2 2 2 1V V +,V s/2>V t/2 纸带点迹求速度加速度：V t/2= T S S 21 2+, a=2 1 2T S S -, a= 2 1)1(T n S S n -- 4． 自由落体：V t (m/s): 10 20 30 40 50 = gt H 总（m ）:5 20 45 80 125 = gt 2/2 H 分(m):5 15 25 35 45 = gt 22/2 – gt 12 /2 g=10m/s 2 5． 上抛运动：对称性：t 上= t 下 V 上= －Ｖ下 6． 相对运动：相同的分速度不产生相对位移。 7． “刹车陷阱”：给出的时间大于滑行时间，则不能用公式算。先求滑行时间，确定 了滑行时间小于给出的时间时，用V 2=2aS 求滑行距离。 8． "S=3t+2t 2 ”:a=4m/s 2 ,V 0=3m/s 。（s = v 0t+ at 2 /2） 9． 绳端物体速度分解：对地速度是合速度，分解为沿绳的分速度合垂直绳的分速度。 如何巧记弹性碰撞后得速度公式 一、“一动碰一静”得弹性碰撞公式 问题:如图１所示,在光滑水平面上,质量为ｍ１得小球,以速度v1与原来静止得质量为m ２得小球发生对心弹性碰撞,试求碰撞后它们各自得速度？ 图１ 设碰撞后它们得速度分别为ｖ1'与v2＇,在弹性碰撞过程中,分别根据动量守恒定律、机械能(动能)守恒定律得: m1ｖ1=ｍ1v1'+ｍ2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式得右边只有分子不同,但记忆起来容易混。为此可做如下分析:当两球碰撞至球心相距最近时,两球达到瞬时得共同速度ｖ共,由动量守恒定律得: m1v1= (ｍ1+m2) v共 解出ｖ共=m1v1 /(m1＋m2)。而两球从球心相距最近到分开过程中,球ｍ２继续受到向前得弹力作用，因此速度会更大,根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即,而这恰好就是⑦式,因此⑦式就可上述推理轻松记住,⑥式也就不难写出了。如果⑥式得分子容易写成ｍ2-ｍ１,则可根据质量m１得乒乓球以速度ｖ1去碰原来静止得铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此ｖ１'应当就是负得(ｖ1＇<０）,故分子写成m1－ｍ2才行。在“验证动量守恒定律”得实验中，要求入射球得质量ｍ１大于被碰球得质量m2,也可由⑥式解释。因为只有m1＞ｍ２，才有v１'＞０。否则,若v1＇＜0,即入射球m1返回，由于摩擦,入射球ｍ1再回来时速度已经变小了，不再就是原来得v1＇了。 另外，若将上面得⑤式变形可得:,即碰撞前两球相互靠近得相对速度v1-0等于碰撞后两球相互分开得相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”得弹性碰撞公式 问题:如图2所示,在光滑水平面上，质量为ｍ1、m2得两球发生对心弹性碰撞,碰撞前速度分别为v1与v２,求两球碰撞后各自得速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1'与v2',在弹性碰撞过程中,分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得: m１v1+m２v2＝m1v1'+m2ｖ2'① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦ 第三章 弹性体的振动 §3.1 弦的振动 3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程 在前二章里，对弹性体动力学的一般规律、基本原理和基本方程作了介绍。但不同的弹性体有其本身的力学特性，采用不同的简化假设，建立的基本方程是不相同的。因而，它们的解法也不完全一样。除了共同的动力学特性外，还有一些独特的特性，必须分别加以讨论。 弹性体按其构型可分为： （1）一维构型，它的截面尺寸比长度小得多。它有两类，一类是弦、杆、轴；一类是各种梁。 （2）二维构型，它的厚度比其它尺寸小得多。它有膜、平面应力板、弯曲板与壳等。 （3）三维构型，三向尺寸相当。它是各类实体结构。 最简单的弹性体动力学问题是弦的横向振动（图3.1）。受常张力作用的弦是一种一维弹性体。从弦上取出一个微分长度来分析，当它发生横向位移，由于张力作用产生有恢复力，它等于 x T dx ),(t x w e df dx x w T df x e 2 2??= （3.1） 图3.1 弦的横向振动 设弦的长度密度为，则在振动时的惯性力是 m dx t w m df y 2 2???= （3.2） ·1· 根据动力学的基本定律，弦横向振动的基本方程是 02 22 2=+?????f t w m x w T x （3.3） 其中是作用在弦上的横向分布载荷。 ),(t x f 3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程 弦横向振动有三种能量： （1）弦的位能 i U dx x w x w T U x L i ????= ∫210 （3.4） （2）弦的动能T dx t w t w m T L ????= ∫210 （3.5） （3）弦的外力功 e W L L L x L e w fwdx w x w T fwdx W 00 00 ||τ+=??+= ∫∫ （3.6） 其中τ=??x w T x 是张力的垂直分量。弦的哈密尔登作用量为 dt W U T L e i t )(0 +?= ∫ 由哈密尔登作用量原理给出 0}|]2121[{00 =++?????????=∫∫∫dt w dx fw x w x w T t w t w m Ldt L x L t t τδδ （3.7） 上式给出能量泛函的极值条件。经过变分运算可推出基本方程和自然边界条件。动能作用量的变分等于 dx w t w m wdx t w m dxdt x w t w m t t L t L }|{)(02 20 000 δδδ??+???=????∫∫∫∫ 和位能作用量的变分等于 dt w t w T wdx x w T dxdt x w x w T L x x L t x t L }|{020 000δδ??+??? =????∫∫∫∫ 于是，代入哈密尔顿作用量变分原理得 ||)(}{0000222200 =??+???++?????∫∫∫∫ dx w t w m dt w x w T wdxdt f t w m x w T t L L x t x t L δδτδ （3.8） ·2· 高中物理公式推导一 完全弹性碰撞碰后速度的推导 1、简单说明： 1m 、2m 为发生碰撞的两个物体的质量，1v 、2v 为碰撞前1m 、2m 的速度，' 1v 、 ' 2v 为碰撞后 1m 、2m 的速度。 2、推导过程： 第一，由动量守恒定理，得 ' 2'1 122112v m v m v m v m +=+ （1） 第二，由机械能守恒定律，得 2'22'112222112 2 1212121v m v m v m v m +=+（2） 令 12/m m k =，（1）、（2）两式同时除以1m ，得 ' ' 1 212kv v kv v +=+ （3） 2 '2 '1 2 2212 kv v kv v +=+ （4） （3）、（4）两式变形，得 ( ) 2 ' '1 1--2v v k v v = （5） ()()()( ) 2 ' 2' '1 1 '1 1 22 -v v v v k v v v v -+=+ （6） 将（5）式代入（6）式，得 2' ' 1 12v v v v +=+ （7） 联立（5）、（7）两式，将' 1v 、 ' 2v 移到方程的左侧，则有 21' '12kv v kv v +=+ （8） 21' '1 --2v v v v += （9） 由（8）-（9），得 ()()21' 1-212 v k v v k +=+ 21' 11-122v k k v k v +++= 21212112' 1/1-/1/22v m m m m v m m v +++= 2121 21121' -22v m m m m v m m m v +++= （10） 第八章 弹性体振动 §8-1 概述 任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。 多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。 x x ) a ) b (( 图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型 从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。 从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。 从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。 在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴的振动，而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连续的。此外，我们的讨论只局限在线性范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律，而且是均质各向同性的。 完全非弹性碰撞 在光滑的水平面上，设有两个物体，质量分别为1m 和2m ，当物体1m 以速度1 v 跟静止的物体2 m 正碰时粘在一起，共同速度为v ，由动量守恒则有： 1112()m v m m v =+ 系统损失的机械能为 22111211 ()22Q m v m m v = -+ 解得： 2 12 1122()m m Q v m m = + 若 1 m >> 2 m ，则 1 v v ≈， 22212121 1 22(1) m Q v m v m m = ≈+ 而2m 获得的动能 22222111 22k E m v m v Q ?= ≈= 上式表明，当质量很大的物体与质量很小的静止物体发生完全非弹性碰撞时，前者的动能几乎不变，因此系统损失的机械能跟后者增加的机械能几乎相等. 若保持物体恒速，则从碰撞角度而言，就相当于其质量为无限大，由此得到结论： 在恒速物体与静止物体相互作用达到共同速度的过程中，被加速的物体增加了多少动能，系统就增加多少内能（或势能）. 【例1】传送带以1/m s 的速度水平匀速运动，沙斗以20/kg s 的流量向传送带上装沙子，为保持传送带的速率不变，则驱动传送带的电动机因此应增加的功率 （ ） A 、10W B 、20W C 、30W D 、40W 【解析】 每秒流到传送带上的沙子被传送带加速所获得的动能为 2 1102k E mv J = =,在沙子加 速的过程中，因为相对于传送带向后滑动而产生热量，由结论可知每秒增加的内能为10k Q E J ==,为保持传送带的速度不变，电动机所增加的功率应为 1010 201k Q E P W W t ++= ==,所以B 对. 【答案】 B 【例2】如图3-4-8所示，在光滑的水平面上，A B 、两物体质量分别为1m 和2m ，中间用一根原长为0L 、劲度系数为k 的轻弹簧连接在一起，处于自然静止状态，某时刻突然给A 一个水平向右的速度 v ，同时加一个水平向右的外力F ,使物体 A 保持以0v 的速度做匀速运动，在运动过程中弹簧始终处于弹性限度内.试求： （1）A B 、间的最小距离是多少？ （2）从开始运动至A B 、间达到最小距离的过程中，外力F 做了多少功？ 图 3-4-8 高中物理公式推导一 完全弹性碰撞碰后速度的推导 1、简单说明： 1m 、2m 为发生碰撞的两个物体的质量，1v 、2v 为碰撞前1m 、2m 的速度，' 1v 、 ' 2v 为碰撞后 1m 、2m 的速度。 2、推导过程： 第一，由动量守恒定理，得 ' 2'1 122112v m v m v m v m +=+ （1） 第二，由机械能守恒定律，得 2'22'112222112 2 1212121v m v m v m v m +=+（2） 令 12/m m k =，（1）、（2）两式同时除以1m ，得 ' ' 1 212kv v kv v +=+ （3） 2 '2 '1 2 2212 kv v kv v +=+ （4） （3）、（4）两式变形，得 ( ) 2 ' '1 1--2v v k v v = （5） ()()()( ) 2 ' 2' '1 1 '1 1 22 -v v v v k v v v v -+=+ （6） 将（5）式代入（6）式，得 2' ' 1 12v v v v +=+ （7） 联立（5）、（7）两式，将' 1v 、 ' 2v 移到方程的左侧，则有 21' '1 2kv v kv v +=+ （8） 21' '1 --2v v v v += （9） 由（8）-（9），得 ()()21' 1-212 v k v v k +=+ 21' 11-122v k k v k v +++= 21212112' 1/1 -/1/22v m m m m v m m v +++= 2121 21121' -22v m m m m v m m m v +++= （10） 或者 ()2 12 1211' -22m m v m m v m v ++= （10） 完全弹性碰撞碰后速度解答 贵州省务川中学 灰太狼 一、什么是弹性碰撞？ 弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同时满足动量守恒．．．．和动能守恒．．．． 的碰撞。 一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在一直线上的情况，系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。 完全弹性碰撞：①无机械能损失的对心弹性正碰 ②两物体相互碰撞，不分离成碎块，不粘在一起运动，不发生永久形变。 二、 完全弹性碰撞的碰后速度解答: 如图1所示，设质量为m 1的弹性球，速度为v 1 ;与质量为m 2的弹性球，速度为v 2发生碰撞.碰撞后两求的速度分别为v 1/、v 2/。 取向右为矢量的正方向。 由系统的动量守恒定律得：m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1/+m 2v 2/ ……………………① 由系统的动能守恒定律得：1222211212121m v m v m =+v 1/2+22 1m v 2/2……② 解：由①移项得： 1m （-1v v 1/）=1m （v 2/2v -）………………③ 1m v 1/v m v m v m 22211-+=2/……………………④ v m 22/v m v m v m 12211-+=1/……………………⑤ 由②ⅹ2后移项得：1m （121v v -/2）=2m （v 2/22 2v -）……⑥ ⑥/③得：+1v v 1/=v v +22/……………………………………⑦ 由⑦得：v 2/=+1v v 1/-2v ……⑧ v 1/=v v +22/1v -……⑨ 将⑧代入④得：1m v 1/v m v m v m 22211-+=v m 21-1/22v m + §3－7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 一、碰撞（Collision ） 1．基本概念： 碰撞，一般是指两个或两个以上物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在相对较短的时间内发生强烈相互作用的过程。 碰撞会使两个物体或其中的一个物体的运动状态发生明显的变化。 碰撞过程一般都非常复杂，难于对过程进行仔细 分析。但由于我们通常只需要了解物体在碰撞前后运动状态的变化，而对发生碰撞的物体系来说，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用动量、角动量以及能量守恒定律对有关问题求解。 2．特点： 1）碰撞时间极短 2）碰撞力很大，外力可以忽略不计，系统动量守恒 3）速度要发生有限的改变，位移在碰撞前后可以忽略不计 3．碰撞过程的分析： 讨论两个球的碰撞过程。碰撞过程可分为两个过程。开始碰撞时，两球相互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化，直到两球的速度变得相等为止。这时形变得到最大。这是碰撞的第一阶段，称为压缩阶段。此后，由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度改变而有相互脱离接触的趋势，两球压缩逐渐减小，直到两球脱离接触时为止。这是碰撞的第二阶段，称为恢复阶段。整个碰撞过程到此结束。 4．分类：根据碰撞过程能量是否守恒 1）完全弹性碰撞：碰撞前后系统动能守恒（能完全恢复原状）； 2）非弹性碰撞：碰撞前后系统动能不守恒（部分恢复原状）； 3）完全非弹性碰撞：碰撞后系统以相同的速度运动（完全不能恢复原状）。 二、完全弹性碰撞（Perfect Elastic Collision ） 在碰撞后，两物体的动能之和（即总动能）完全没有损失，这种碰撞叫做完全弹性碰撞。 解题要点：动量、动能守恒。 问题：两球m 1，m 2对心碰撞，碰撞前 速度分别为2010,v v ，碰撞后速度变为21,v v 动量守恒 2021012211v m v m v m v m （1） 动能守恒 2 20221012222112 1212121v m v m v m v m （2） 由（1） 22021011v v m v v m （3） 由（2） 2 2 2202210211v v m v v m （4） 由(4)/(3) 202101v v v v高考物理碰撞中“一动一静”一维弹性碰撞模型复习
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