人教版高中数学必修 1 课后习题答案 (第一章集合与函数概念 )人教 A 版
习题 1.2（第 24 页）
练习（第 32 页）
1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．
2．解：图象如下
[8,12] 是递增区间，[12,13] 是递减区间，[13,18] 是递增区间，[18, 20] 是递减区间．
3．解：该函数在[1,0] 上是减函数，在
[0,2]
上是增函数，在
[2, 4]上是减函数，在 [4,5]上是增函数．
4 ．证明：设x , x R ，且 x x
2，因为 f ( x ) f ( x )2( x x )2(x x ) ，0 即
121121221 f (x1) f (x2 ) ，所以函数 f ( x) 2 x1在R上是减函数.
5．最小值．
练习（第36 页）
1．解：（ 1）对于函数f (x)2x43x2，其定义域为(,) ，因为对定义域内
每一个
x 都有 f (x)2( x)43( x)2 2 x43x2 f ( x) ，
所以函数（ 2）对于函数f (x)2x43x2为偶函数；
f (x)x32x ，其定义域为( ,) ，因为对定义域内
每一个 x 都有 f (x)(x) 32(x)( x32x) f ( x) ，所以函数 f (x)x32x 为奇函数；
（ 3）对于函数f (x)x21
,0)(0,) ，因为对定义域内x，其定义域为
(
每一个 x 都有f (x)(x)21x21
f ( x)
，x x
所以函数 f (x)x21
x
为奇函数；
（ 4）对于函数f (x)x2 1 ，其定义域为(,) ，因为对定义域内每一个 x 都有f (x)(x) 21x21 f ( x) ，
所以函数 f (x)x2 1 为偶函数.
2．解：f (x)是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；
g( x) 是奇函数，其图象是关于原点对称的．
习题 1. 3（第 39 页）
1．解：（ 1）
函数在 (
, 5 ) 上递减；函数在 [ 5
, ) 上递增； 2 2
（ 2）
函数在 (
,0) 上递增；函数在 [0, ) 上递减 .
2 ．证明：（1）设 x 1
x 2 0 ，而 f ( x 1 ) f ( x 2 ) x 1 2 x 2
2
( x 1 x 2 )( x 1 x 2 ) ，
由 x 1
x 2 0, x 1
x 2 0 ，得 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，
即 f (x 1)
f (x 2 ) ，所以函数 f ( x) x 2 1 在 (
,0) 上是减函数；
（2）设 x
1
x 2 0 ，而 f ( x 1 ) f ( x 2 )
1 1 x 1x
2
，
x 2 x 1
x 1 x 2
由 x 1 x 2 0, x 1 x 2 0 ，得 f (x 1 ) f (x 2 ) 0 ，
即 f (x )
f (x ) ，所以函数 f ( x) 1 1 在 (
,0) 上是增函数 .
1
2
x
3 ．解：当 m
0 时，一次函数 y mx b 在 (
, ) 上是增函数；当 m 0 时，一次函数 y mx
b
在
( , ) 上是减函数，令 f ( x) mx
b ，设 x 1
x 2 ， 而 f ( x 1 ) f ( x 2 ) m( x 1 x 2 ) ，当 m
时，
m( x 1 x 2 ) 0 ，即 f (x 1) f ( x 2 ) ， 得一次函数 y mx b 在 (
,
) 上是增函数；
当 m
时，
m( x 1 x 2 ) 0 ，即 f ( x 1 )
f ( x 2 ) ， 得一次函数 y mx b 在 ( ,
) 上是减函数 .
4 ．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为
x
2
5．解：对于函数 y
162x 21000 ，
50
x
162 4050 时， y max 307050
当
1 ) （元），
2 (
50
4050 元时，租赁公司最大月收益为 307050 元． 即每辆车的月租金为
6．解：当 x
0 时， x
0 ，而当 x 0 时， f (x) x(1
x) ， 即
f ( x)
x(1 x) ，而由已知函数是奇函数，得
f ( x)f ( x)
，
得
f (x)x(1 x) ，即 f ( x) x(1 x) ，
所以函数的解析式为 f (x)
x(1 x), x
x(1
x), x
.
B 组
1．解：（ 1）二次函数
f (x)
x 2
2x 的对称轴为 x 1 ，
则函数 f ( x) 的单调区间为 ( ,1),[1,
)
，
且函数 f ( x) 在 (
,1)上为减函数，在 [1, ) 上为增函数，
函数 g( x) 的单调区间为 [2, 4] ， 且函数 g (x) 在 [2, 4] 上为增函数；
（2）当 x 1 时， f ( x)min
1
，
因为函数
g( x) 在
[2, 4] 上为增函数，所以 g( x) min g(2)
22
2 2 0 ．
2．解：由矩形的宽为
x m ，得矩形的长为 30
3x
m ，设矩形的面积为
S ，
2
则 S x
30
3x 3( x 2 10 x) ， 当 x 5时， S max 37.5 m 2 ，即宽 x 5 m 才能使建造的每
2
2
37.5m 2
3．判断
f (x) 在 ( ,0) 上是增函数，证明如下：
设
x 1 x 2 0，则 x 1 x 2 0 ，
因为函数 f (x) 在 (0,
) 上是减函数，得 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，
又因为函数
f ( x) 是偶函数，得 f (x 1)
f (x 2 ) ，
所以 f (x) 在 (
,0) 上是增函数．
复习参考题（第
44 页）
A 组
1．解：（ 1）方程 x
2
9 的解为 x 1 3, x 2 3 ，即集合 A { 3,3} ；
（2） 1
x 2 ，且 x N ，则 x 1,2 ，即集合 B {1,2} ；
（
3）方程 x 2 3x 2 0的解为 x 1 1,x 2 2 ，即集合 C
{1,2} ．
2．解：（ 1）由 PA
PB ，得点 P 到线段 AB 的两个端点的距离相等，
即 { P | PA PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线；
（ 2） { P | PO
3cm} 表示的点组成以定点 O 为圆心，半径为 3cm 的圆．
3．解：集合 { P | PA
PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线， 集合 { P | PA
PC } 表示的点组成线段 AC 的垂直平分线，
得 { P | PA
PB} { P | PA PC} 的点是线段 AB 的垂直平分线与线段
AC 的
垂直平分线的交点，即
ABC 的外心．
4．解：显然集合
A { 1,1} ，对于集合
B { x | ax 1} ，
当 a 0 时，集合 B ，满足 B
A ，即 a 0 ；
当 a
0 时，集合 B { 1} ，而 B
A ，则
1
1 ，或 1
1，
a
a
a
得 a1 ，或 a 1 ，
综上得：实数 a 的值为 1,0 ，或 1．
5．解：集合 A
B
(x, y) |
2x y 0 B {(0,0)}
；
3x y
{(0,0)} ，即 A
0 集合 A
C
(x, y) |
2x y 0
2x y
，即A C
；
3
集合 B
C
( x, y) | 3x
y 0
{( 3 , 9
)} ； 2x y 3
5 5 则 ( A
B) ( B C ) {(0,0),( 3 , 9
)} .
5 5
6．解：（ 1）要使原式有意义，则 x 2 0
2 ，
x
5 ，即 x
得函数的定义域为 [2, )
；
（2）要使原式有意义，则
x 4 0
，即
x
4 ，且 x
5 ，
| x | 5
得函数的定义域为
[4,5) (5,
) ．
7．解：（ 1）因为 f (x)
1 x ，
1 x
所以 f (a)
1
a
，得 f (a) 1
1
a 1 2 ，
1 a 1 a
1 a
即 f (a)
1 2 ；
1
a
（ 2）因为 f ( x)
1 x ，
1 x
所以 f (a 1)
1 (a 1)
a
，
1
a
1
a
2
即 f (a 1)
a ．
a
2 8．证明：（1）因为 f (x)
1 x
2 ，
1 x 2
所以 f (
x)
1 ( x)
2 1 x 2 f ( x)
，
1 ( x)
2 1 x 2
即 f ( x) f (x) ；
（2）因为 f ( x)
1 x
2 ， 1 x 2
1 ( 1
)
2
x 2
1
)
x 1
f ( x)
，
所以 f (
1
x 2 1
x 1 ( ) 2
x
即 f (
1
)
f ( x) .
x
9．解：该二次函数的对称轴为 x
k
，
8
函数 f (x) 4x 2
kx
8 在 [5,20] 上具有单调性，
k k
5，得 k 160 ，或 k
40 ，
则
20 ，或
8
8
即实数 k 的取值范围为 k
160
，或
k 40
．
10．解：（ 1）令 f ( x)
x 2 ，而 f ( x) ( x) 2
x 2 f ( x) ，
即函数 y
x 2
是偶函数；
（ 2）函数 y
x 2 的图象关于 y 轴对称；
（ 3）函数
（ 4）函数
y
x
y x
2 2 在 (0, ) 上是减函数；
在 ( ,0) 上是增函数．
B 组
1 ．解：设同时参加田径和球类比赛的有
x 人， 则 15 8 14 3
3 x
28 ，得 x
3 ，只参加游泳一项比
赛的有 15
3 3 9 （人），即同时参加田径和球类比赛的有
3 人，只参加游泳一项比赛的有 9 人．
2 ．解：因为集合 A
，且 x 2
0 ，所以 a
0 ．
3 ．解：由 e U ( A
B) {1,3} ，得 A
B {2,4,5,6,7,8,9}
，
集合 A
B 里除去 A (e B) ，得集合
B ，
U
所以集合 B {5,6,7,8,9} .
4 ．解：当 x
时，
f (x)
x( x 4)
，得
f (1) 1
(1 4)
5
；
当 x 0 时， f (x) x( x 4) ，得 f ( 3) 3 ( 3 4) 21 ；
(a 1) a( 5 )a, 1 f (a 1)
1) a(
．
1
(a
3a) ,
. 5．证明：（1）因为 f ( x)
ax b ，得 f (
x 1
x
2 )
2
f (x 1) f (x 2 )
ax 1 b ax 2 b
2
2
所以 f (
x 1
x
2 )
f (x 1
)f (x 2
)
；
2
2
（2）因为 g( x)
x 2 ax b ，
a
x
1
x 2 b a
(x 1 x 2 ) b ，
a
( x 1 2
2
x 2 ) b ，
2
得 g( x 1 x 2
)
2
g ( x 1 ) g
( x 2 )
2
1
( x 12
x 22 2x 1x 2 ) a(
x 1 x 2
) b ， 4
2 1
[( x 12
ax 1 b) ( x 2 2
ax 2 b)]
2
1
(x 12
x 2 2
) a(
x 1 x 2
) b ，
2
2
1
2
2
因为
( x 1 x 2
1
2
2x 1 x 2 )
( x 1
x 2 2
)
1
(x 1 x 2 )2
0 ，
4
即
1
( x 12 x 22
4
所以
g(
x 1
x 2
) 2
1
2
2x 1 x 2 )
(x 1
g( x 1 ) g(x 2 )
2
.
x 2 2 ) ，
6．解：（ 1）函数 f (x) 在 [ b, a] 上也是减函数，证明如下：
设
b x 1 x 2 a ，则 a x 2 x 1 b ，
因为函数 f (x) 在 [a,b] 上是减函数，则
f ( x 2 ) f (
x 1 ) ，
又因为函数
f ( x)
是奇函数，则
f ( x 2 )
f ( x 1 )
，即
f ( x 1 ) f (x 2 )
，
所以函数 f (x) 在 [ b,
a] 上也是减函数；
（ 2）函数 g( x) 在 [
b, a] 上是减函数，证明如下：
设
b x 1 x 2 a ，则 a x 2 x 1 b ，
因为函数 g( x) 在 [a, b] 上是增函数，则
g ( x 2 ) g ( x 1) ，
又因为函数
g (x)
是偶函数，则
g( x 2 ) g( x 1 )
，即
g( x 1 ) g(x 2 )
，
所以函数 g( x) 在 [
b, a] 上是减函数．
7．解：设某人的全月工资、薪金所得为
x 元，应纳此项税款为 y 元，则
0,0 x 2000
( x 2000) 5%,2000
x 2500
y
( x 2500) 10%,2500 x 4000
25 175 (x 4000) 15%,4000 x 5000
由该人一月份应交纳此项税款为
26.78 元，得 2500 x 4000 ，
25 ( x
2500) 10% 26.78 ，得 x
2517.8 ，
所以该人当月的工资、薪金所得是
2517.8
元．