数值分析实验报告——方程求根

《数值分析》实验报告

班级信科1501 学号150803114 姓名梁恩昊日期2017.10.3

实验一________ 方程求根_______

一、实验目的：

掌握二分法、Newt on法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。

二、实验内容：

二分法、Newt on法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。观察初值对收敛性的影响。

三、实验步骤：

①、二分法：

定义：对于区间［a, b］上连续不断且f (a)?f (b) <0的函数y=f (x),通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

实现方法：首先我们设一方程400*(x A4)-300*(x A3)+200*(x A2)-10*x-仁0 ，并求其在区间［0.1,1］上的根，误差限为e=10A-4。

PS：本方法应用的软件为matlab。

disp('二分法')

a=0.1;b=1;

tol=0.0001;

n0=100;

fa=400*(a.A4)-300*(a.A3)+200*(a.A2)-10*a-1;

for i=1: n0 p=(a+b)/2;

fp=400*(p.A4)-300*(p.A3)+200*(pA2)-10*p-1;

if fp==0||(abs((b-a)/2)

disp(' 用二分法求得方程的根p=')

disp(p)

disp(' 二分迭代次数为：')

disp(i)

break;

end;

if fa*fp>0 a=p; else b=p;

end;

end;

if i==n0&&~( fp==0||(abs((b-a)/2)

程序调试:

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运行结果：

用二分法求得方程的根p=

0.1108

二分迭代次数为：

14

②Newton 法

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定义：取定初值xO,找到函数对应的点，然后通过该点作函数切线，交x轴，得到新的横坐标值，然后找函数对应的点，做切线，得到新的横坐标值,重复上述步骤，多次迭代，直

到收敛到需要的精度。

实现方法：我们与二分法一样，先设一方程400*(x A4)-300*(x A3)+200*(x A2)-10*x -仁0 ，并求其在区间[O.1,1] 上的根。

PS：本方法应用的软件为matlab。

syms x;

diff(400*(x.A4)-300*(x.A3)+200*(x.A2)-10*x-1) %求导方程

函数文件：

function Newton=fun(a)

Newton=400*(a.A4)-300*(a.A3)+200*(a.A2)-10*a-1;

end

function Newton2=dfun(b)

Newton2=1600*bA3-900*bA2+400*b-10; %fun 函数的导数

end

主程序：

x0=1;

while 1

x1=x0-fun(x0)/dfun(x0);

if abs(x1-x0)<1e-8 || abs(fun(x1))<1e-10 break;

end x0=x1; end

disp('用牛顿法求得的方程的根为：x=') disp(xl)

程序调试：

运行结果：

用牛顿法求得的方程的根为：

x=0.1108

③ 、不动点迭代法：

采用不动点迭代法计算x3+4x2-10=0，在区间[1,2]上的一个根

PS ：本方法应用的软件为 matlab 。

不动点迭代法程序： 函数文件：

fun ctio n [y, n]=BDD(x,eps) if nargin==1 eps=1.0e-6;

elseif nargin<1 error return end x1=gg(x); n=1;

while (norm(x1-x)>=1e-6)&&(n<=10000) x=x1; x1=gg(x); n=n+1;

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y=x;

M函数：

function f=gg(x)

f(1)=sqrt(2.5-(xA3)/4);

结果如下：

>> BDD(1)

n =

21

ans =

1.3652

④、弦截法：

定义：弦截法是求非线性方程近似根的一种线性近似方法。它是以与曲线弧AB对应的弦AB 与x轴的交点横坐标作为曲线弧AB与x轴的交点横坐标的近似值□来求出方程的近似解。

该方法一般通过计算机编程来实现。弦截法的原理是以直代曲即用弦 (直线) 代替曲线求方程的近似解，也就是利用对应的弦与轴的交点横坐标来作为曲线弧与轴的交点横坐标的近似值。

实现方法：我们与二分法一样，先设一方程400*(x A4)-300*(x A3)+200*(x A2)-10*x -仁0 ，并求其在区间[0.1,1] 上的根。

PS：本方法应用的软件为matlab。

函数文件：

function[p1,err,k,y]=secant(f,p0,p1,delta,max1) % f 是非线性函数

%p0,p1 是初始值

%delta 是给定允许误差

%max是迭代次数的上限

%p1是所求得的方程的近似解

%err 是p1-p0 的误差估计

%k 是所需要的迭代次数

%y=f(p1)

K=0,p0,p1,feval('f',p0),feval('f',p1)

for k=1:max1 p2=p1-feval('f',p1)*(p1-p0)/(feval('f',p1)-feval('f',p0));

err=abs(p2-p1);

p0=p1;

p1=p2;

k,p1,err,y=feval('f',p1)

if(err

break,end

end

M文件：

seca nt('400*(xA4)-300*(xA3)+200*(xA2)-10*x-1=0',0,1,1.0e-4,100);

disp('用弦截法求得的方程的根为：x=')

disp(p1)

运行结果：

用弦截法求得的方程的根为：

x=0.1108

四、实验中遇到的问题及解决方法：

MATLAB运用不熟练，于是翻开以前的课本与ppt,并结合网上查阅的资料，才又掌握了一些基础的运用方法。

一开始忘了怎么创建函数文件，于是实现二分法的程序时变得十分麻烦。后来复习过后，运用在牛顿法上，就简单了许多。

二分法与牛顿法是比较容易掌握并实现的，而后两个方法则是查阅了很多资料，却仍然似懂非懂，程序也是大部分参考了资料。我将在此之后继续钻研它们，直到能熟练运用为止。

数值分析实验报告1

实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);

ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n

很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法

数值计算实验报告

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩：

数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)

1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #includeMAX_N) { printf("the input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n"); return 1; } if(n<=0) { printf("please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N); return 1; } printf("now input the (x_i,y_i)i=0,...%d\n",n); for(i=0;i<=n;i++) { printf("please input x(%d) y(%d)\n",i,i);

数值分析实验报告1

实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =

的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。

数值分析实验报告

数值分析实验报告 姓名：周茹 学号： 912113850115 专业：数学与应用数学 指导老师：李建良

线性方程组的数值实验 一、课题名字：求解双对角线性方程组 二、问题描述 考虑一种特殊的对角线元素不为零的双对角线性方程组（以n=7为例） ?????????? ?????? ? ???? ?d a d a d a d a d a d a d 766 55 44 3 32 211??????????????????????x x x x x x x 7654321=?????????? ? ???????????b b b b b b b 7654321 写出一般的n （奇数）阶方程组程序（不要用消元法，因为不用它可以十分方便的解出这个方程组） 。 三、摘要 本文提出解三对角矩阵的一种十分简便的方法——追赶法，该算法适用于任意三对角方程组的求解。 四、引言 对于一般给定的d Ax =，我们可以用高斯消去法求解。但是高斯消去法过程复杂繁琐。对于特殊的三对角矩阵，如果A 是不可约的弱对角占优矩阵，可以将A 分解为UL ，再运用追赶法求解。

五、计算公式（数学模型） 对于形如????? ?? ????? ??? ?---b a c b a c b a c b n n n n n 111 2 2 2 11... ... ...的三对角矩阵UL A =，容易验证U 、L 具有如下形式： ??????? ????? ??? ?=u a u a u a u n n U ...... 3 3 22 1 ， ?? ????? ? ?? ??????=1 (1) 1132 1l l l L 比较UL A =两边元素，可以得到 ? ?? ??-== = l a b u u c l b u i i i i i i 111 i=2, 3, ... ,n 考虑三对角线系数矩阵的线性方程组 f Ax = 这里()T n x x x x ... 2 1 = ,()T n f f f f ... 2 1 = 令y Lx =，则有 f Uy = 于是有 ()?????-== --u y a f y u f y i i i i i 1 1 11 1 * i=2， 3, ... ,n 再根据y Lx =可得到

(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告

实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。

Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;

%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);

数值分析实验报告模板

数值分析实验报告模板 篇一：数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二：数值分析实验报告 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收

敛，但精度不够。熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x);

数值分析实验报告——非线性方程求根

数值分析实验报告——非线性方程求根 二分法 一、题目 用二分法求方程= 的所有根 x .13要求每个根的误差小于 -x + 0.001. . 2 1 二、方法 二分法 三、程序 1、Jiangerfen.M的程序 function[c,yc]=jiangerfen(f,a,b,tol1,tol2) if nargin<4 tol1=1e-3;tol2=1e-3;end %nargin<4表示若赋的值个数小于4，则tol1和tol2取默认值。 ya=feval('f',a);%令x=a代入到方程f中，ya即f(a)。 yb=feval('f',b); if ya*yb>0,disp('(a,b)不是有根区间');return,end max=1+round((log(b -a)-log(tol2))/log(2));%round函数是将数据取整，使数据等于其最接近的整数。 for k=1:max c=(a+b)/2; yc=feval('f',c); if((b-a)/2> format compact >> fplot('[x^3-2*x-1,0]',[-1.5,2]); >> jiangerfen('f',-1.5,-0.8); k = 8 c = -0.9996

数值分析实验报告

实验一、误差分析 一、实验目的 1．通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2．通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念； 3．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 二．实验原理 误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。 三．实验内容 对20,,2,1,0 =n ，计算定积分 ?+=10 5dx x x y n n . 算法1：利用递推公式 151--=n n y n y , 20,,2,1 =n , 取 ?≈-=+=1 00182322.05ln 6ln 51dx x y . 算法2：利用递推公式 n n y n y 51511-= - 1,,19,20 =n . 注意到 ???=≤+≤=10 10202010201051515611261dx x dx x x dx x , 取 008730.0)12611051(20120≈+≈y .: 四.实验程序及运行结果 程序一： t=log(6)-log(5);

n=1; y(1)=t; for k=2:1:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y y =0.0884 y =0.0581 y =0.0431 y =0.0346 y =0.0271 y =0.0313 y =-0.0134 y =0.1920 y =-0.8487 y =4.3436 y =-21.6268 y =108.2176 y =-541.0110 y =2.7051e+003 y =-1.3526e+004 y =6.7628e+004 y =-3.3814e+005 y =1.6907e+006 y =-8.4535e+006 y =4.2267e+007 程序2： y=zeros(20,1); n=1; y1=(1/105+1/126)/2;y(20)=y1; for k=20:-1:2 y(k-1)=1/(5*k)-(1/5)*y(k); n=n+1; end 运行结果：y = 0.0884 0.0580 0.0431 0.0343 0.0285 0.0212 0.0188 0.0169

数值分析2016上机实验报告

序言 数值分析是计算数学的范畴，有时也称它为计算数学、计算方法、数值方法等，其研究对象是各种数学问题的数值方法的设计、分析及其有关的数学理论和具体实现的一门学科，它是一个数学分支。是科学与工程计算（科学计算）的理论支持。许多科学与工程实际问题（核武器的研制、导弹的发射、气象预报）的解决都离不开科学计算。目前，试验、理论、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。 数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。现在面向数值分析问题的计算机软件有：C,C++,MATLAB,Python,Fortran等。 MATLAB是matrix laboratory的英文缩写，它是由美国Mathwork公司于1967年推出的适合用于不同规格计算机和各种操纵系统的数学软件包，现已发展成为一种功能强大的计算机语言，特别适合用于科学和工程计算。目前，MATLAB应用非常广泛，主要用于算法开发、数据可视化、数值计算和数据分析等，除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 本实验报告使用了MATLAB软件。对不动点迭代，函数逼近（lagrange插值，三次样条插值，最小二乘拟合），追赶法求解矩阵的解，4RungeKutta方法求解，欧拉法及改进欧拉法等算法做了简单的计算模拟实践。并比较了各种算法的优劣性，得到了对数值分析这们学科良好的理解，对以后的科研数值分析能力有了极大的提高。

目录 序言 (1) 问题一非线性方程数值解法 (3) 1.1 计算题目 (3) 1.2 迭代法分析 (3) 1.3计算结果分析及结论 (4) 问题二追赶法解三对角矩阵 (5) 2.1 问题 (5) 2.2 问题分析（追赶法） (6) 2.3 计算结果 (7) 问题三函数拟合 (7) 3.1 计算题目 (7) 3.2 题目分析 (7) 3.3 结果比较 (12) 问题四欧拉法解微分方程 (14) 4.1 计算题目 (14) 4.2.1 方程的准确解 (14) 4.2.2 Euler方法求解 (14) 4.2.3改进欧拉方法 (16) 问题五四阶龙格-库塔计算常微分方程初值问题 (17) 5.1 计算题目 (17) 5.2 四阶龙格-库塔方法分析 (18) 5.3 程序流程图 (18) 5.4 标准四阶Runge-Kutta法Matlab实现 (19) 5.5 计算结果及比较 (20) 问题六舍入误差观察 (22) 6.1 计算题目 (22) 6.2 计算结果 (22) 6.3 结论 (23) 7 总结 (24) 附录

数值分析实验报告资料

机电工程学院 机械工程 陈星星 6720150109 《数值分析》课程设计实验报告 实验一 函数插值方法 一、问题提出 对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。试用Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。 数据如下： （1 求五次Lagrange 多项式5L ()x ，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈） 实验步骤： 第一步：先在matlab 中定义lagran 的M 文件为拉格朗日函数 代码为： function[c,l]=lagran(x,y) w=length(x); n=w-1; l=zeros(w,w); for k=1:n+1 v=1; for j=1:n+1 if(k~=j) v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end l(k,:)=v; end c=y*l; end

第二步：然后在matlab命令窗口输入： >>>> x=[0.4 0.55 0.65 0.80,0.95 1.05];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382]; >>p = lagran(x,y) 回车得到： P = 121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845 由此得出所求拉格朗日多项式为 p（x）=121.6264x5-422.7503x4+572.5667x3-377.2549x2+121.9718x-15.0845 第三步：在编辑窗口输入如下命令： >> x=[0.4 0.55 0.65 0.80,0.95 1.05]; >> y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718 *x-15.0845; >> plot(x,y) 命令执行后得到如下图所示图形，然后 >> x=0.596; >> y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718 *x-15.084 y =0.6257 得到f（0.596）=0.6257 同理得到f（0.99）=1.0542

数值分析实验报告总结

数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科

如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以

数值分析实验报告1

实验一 误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =

数值分析实验报告——方程求根

《数值分析》实验报告 班级信科1501 学号150803114 姓名梁恩昊日期2017.10.3 实验一________ 方程求根_______ 一、实验目的： 掌握二分法、Newt on法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。 二、实验内容： 二分法、Newt on法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。观察初值对收敛性的影响。 三、实验步骤： ①、二分法： 定义：对于区间［a, b］上连续不断且f (a)?f (b) <0的函数y=f (x),通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 实现方法：首先我们设一方程400*(x A4)-300*(x A3)+200*(x A2)-10*x-仁0 ，并求其在区间［0.1,1］上的根，误差限为e=10A-4。 PS：本方法应用的软件为matlab。 disp('二分法') a=0.1;b=1; tol=0.0001; n0=100; fa=400*(a.A4)-300*(a.A3)+200*(a.A2)-10*a-1; for i=1: n0 p=(a+b)/2; fp=400*(p.A4)-300*(p.A3)+200*(pA2)-10*p-1;

if fp==0||(abs((b-a)/2)0 a=p; else b=p; end; end; if i==n0&&~( fp==0||(abs((b-a)/2)r2 ffp"iDb* p. 4)^J &6" p> 31+2D0? ■ p. Z E ]. if fji-=< 11 f*b. i 'b-? i /2 ■ rnd.; If UsuCSr rp=Ql II?Ife-Sl IlTil^SXr&li 4-llpi WI nsns' 「二〒迭代垢归*i X出方程茁霍r “ 二泌 曲二讨；t3HS芳壮甘训壮匕 ?. n$9 _曲乜竹Tfl-n： U k r>\ 运行结果： 用二分法求得方程的根p= 0.1108 二分迭代次数为： 14 ②Newton 法 Vllw M F aim0.1 BQ ^1104Mia aw EeaE7?■ IM MM sita LWJOr-CA UJM 宀li > aihJ H^.ul 囈鬥收 i-1 严 f rt*b>F2, . fp=-；00rlp ■jJ-MKhri-p - 3)4 200. p. ■? ” if fp=：!| I ahi lh-3l Z' .llAt fe^F. 4H4 : 'if i—rOtt ""(f p—-fl 11 I' ②讥= dlTpC r 二一：启Tf； 7■尢詳国??舉■ 亡远 -" □ * * SI ■ ■ Q ■ 113知祢硝—■福鼻耕■ | ibhb-irfpte 电 R 曰 昌 昌 曰 曰

数值分析实验报告

实验五 解线性方程组的直接方法 实验5.1 （主元的选取与算法的稳定性） 问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。 实验要求： （1）取矩阵?? ? ?? ?? ?????????=????????????????=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。取n=10计算矩阵的 条件数。让程序自动选取主元，结果如何？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。 （4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。重复上述实验，观察记录并分析实验结果。 思考题一：（Vadermonde 矩阵）设 ?? ??????????????????????=? ? ? ?????????????=∑∑∑∑====n i i n n i i n i i n i i n n n n n n n x x x x b x x x x x x x x x x x x A 0020 10022222121102001111 ，， 其中，n k k x k ,,1,0,1.01 =+=， （1）对n=2,5,8，计算A 的条件数；随n 增大，矩阵性态如何变化？ （2）对n=5，解方程组Ax=b ；设A 的最后一个元素有扰动10-4，再求解Ax=b （3）计算（2）扰动相对误差与解的相对偏差，分析它们与条件数的关系。 （4）你能由此解释为什么不用插值函数存在定理直接求插值函数而要用拉格朗日或牛顿插值法的原因吗？ 相关MATLAB 函数提示： zeros(m,n) 生成m 行，n 列的零矩阵 ones(m,n) 生成m 行，n 列的元素全为1的矩阵 eye(n) 生成n 阶单位矩阵 rand(m,n) 生成m 行,n 列(0,1)上均匀分布的随机矩阵 diag(x) 返回由向量x 的元素构成的对角矩阵 tril(A) 提取矩阵A 的下三角部分生成下三角矩阵

数值分析实验报告1

实验一 误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =

数值分析实验报告3

实验报告 实验项目名称数值积分与数值微分实验室数学实验室 所属课程名称数值逼近 实验类型算法设计 实验日期 班级 学号 姓名 成绩

实验概述： 【实验目的及要求】 本次实验的目的是熟练《数值分析》第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，掌握复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式。 本次试验要求编写复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。 【实验原理】 《数值分析》第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，包括：复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的相应算法和相关性质。 【实验环境】（使用的软硬件） 软件： MATLAB 2012a 硬件： 电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑 操作系统：Windows 8 专业版 处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容： 【实验方案设计】 第一步，将书上关于复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用以上求积公式的程序编码求解不同的问题。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。 实验：用不同数值方法计算积分 (1) 取不同的步长h.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？ (2) 用龙贝格求积计算完成问题（1）。 (3)用勒让德多项式确定零点，再代入计算高斯公式，使其精度达到10-4 （1）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现复合梯形求积公式的程序代码如下：

数值分析实验报告77712

《数值分析》 实验报告 学院：计算机科学与软件学院姓名：XXX 班级：计算机XX班 学号：XXXXXX 实验一：舍入误差与数值稳定性

实验目的： 1、 通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言； 2、 通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 3、 通过上机计算，了解运算次序对计算结果的影响，从而尽量避免大数吃小数的现象。 实验内容：用两种不同的顺序计算644834.1100001 2≈∑=-n n ，分析其误差 的变化。 实验流程图： 实验源程序:

#include #include void main() { int i; float s1=0,s2=0,d1,d2; for (i=1;i<=10000;i++) s1=s1+1.0f/(i*i); for (i=10000;i>=1;i--) s2=s2+1.0f/(i*i); d1=(float)(fabs(1.644834-s1)); d2=(float)(fabs(1.644834-s2)); printf("正向求和结果为%f\n 误差为%f\n\n",s1,d1); printf("反向求和结果为%f\n 误差为%f\n\n",s2,d2); if(d1

实验分析：第一次做数值实验，又一次使用C语言编程，没有了刚学习C语言的艰难，能够将实验步骤转换成流程图并编写出完整的实验代码，在经过多次调试、改正后得到正确的程序和结果。这个实验较简单，计算误差时如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是稳定的，否则称此算法是数值不稳定的，减少运算次数可以减小舍入误差。在运算中，如果参加运算的数的数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象，进而影响计算结果的可靠性，所以计算过程中要注意运算次序，避免出现这种现象。 实验二：拉格朗日插值法和牛顿插值法 实验目的：分别用拉格朗日差值和牛顿插值解决数学问题，并比较各方法的优略。 1、拉格朗日插值 实验内容： x i -3.0-1.0 1.0 2.0 3.0 y i 1.0 1.5 2.0 2.0 1.0 作二次插值，并求x 1=-2，x 2 =0，x 3 =2.75时的函数近似值。

数值分析实验报告2

一、实验名称 复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分。 二、实验目的及要求 1. 掌握复合梯形求积计算积分、复合辛普森求积计算积分、龙贝格求积计算积分和自适应辛普森积分的基本思路和步骤. 2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境 计算机，MATLAB 软件 四、实验内容 1.用不同数值方法计算积分9 4 ln 1 0-=? xdx x 。 （1）取不同的步长h 。分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确指比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善。 （2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。 （3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10-4。 五、算法描述及实验步骤 1.复合梯形公式 将区间[a,b]划分为n 等份，分点x k =a+ah,h=(b-a)/h,k=0,1,...,n ，在每个子区间[x k ,x k +1](k=0,1,...,n-1)上采用梯形公式（），得 )]()([2 )(b f a f a b dx x f b a +-≈ ? （） )]()(2)([2)]()([21 1 110b f x f b f h x f x f h T n k k k n k k n ++=+=∑∑-=+-= （） ),(),(12 )(' '2b a f h a b f R n ∈-- =ηη （） 其中Tn 称为复合梯形公式，Rn 为复合梯形公式的余项。 2.复合辛普森求积公式 将区间[a,b]划分为n 等份，在每个子区间[x k ,x k +1](k=0,1,...,n-1)上采用辛普森公式（），得 )]()2 (4)([6b f b a f a f a b S +++-= （）

第二章 数值分析--方程求根

第二章 方程求根 教学内容： 1．二分法 2．基本迭代法 3．牛顿法 4．弦位法 5．埃特金法和斯基芬森法 6．重根的情况 教学重点： 各种算法的思路及迭代公式的构造 教学难点： 各种算法的收敛性、收敛速度及误差估计 计划学时：5-6学时 授课提纲： 方程求根就是求函数)(x f 的零点*x ，即求解方程 0)(=x f 这里，0)(=x f 可以是代数方程，也可以不是，如超越方程。 方程的根既可以是实数，也可以是复数；既可能是单根，也可能是重根；即可能要求求出给定范围内的某个根，也可能要求求出方程全部的根。 本章介绍的方法对两类方程都适用，但大部分都是要求知道根在什么范围内，且在此范围内只有一个单根。若有α使得0)(,0)(≠'=ααf f ，则称α是方程0)(=x f 的单根；若有α使得 0)(,0)()()()()1(≠==='=-ααααm m f f f f ， 则称α是方程0)(=x f 的m 重根。 设)(x f 在区间[a,b]连续，若0)()(

2.1.2 二分法思想 区间对分，去同存异 2.1.3 二分法计算步骤 步1：令2/)(0b a x +=，计算)(0x f ； 步2：若0)(0=x f ，令0*x x =，计算结束； 步3：若)(0x f *)(a f >0，令0x a =；否则令0x b =； 步4：若ε≤-||a b ，令2/)(*b a x +=,计算结束；否则转步1。 2.1.4 二分法误差分析和收敛性 记第k 次区间中点为k x ，则有 2/)(0*a b x x -≤-，21*2/)(a b x x -≤-，1*2/)(,+-≤-k k a b x x 故当∞→k 时，*x x k →。 为使ε≤-k x x *，解不等式ε≤-+12/)(k a b ，得 12ln /]ln )[ln(---≥εa b k 2.1.5 二分法的优缺点 ● 算法简单直观，易编程计算； ● 只需)(x f 连续即可； ● 区间收缩速率相同，收敛速度慢； ● 无法求复根和偶重根。 例2-1 p15例1 2.2 迭代法 2.2.1 迭代法原理 0)(=x f ? )(x x ?= )(x f 的根 )(x ?的不动点 2.2.2 迭代法思路 任取初值],[0b a x ∈，令)(01x x ?=，)(12x x ?=，反复迭代，即得 ),2,1,0(),(1 ==+k x x k k ? 直到满足精度要求的k x 来近似*x 。称)(x x ?=为迭代公式，)(x ?为迭代函数，{k x }为迭代序列。 若{k x }收敛时，称迭代公式是收敛的。此时设=∞ →k k x lim *x ，当)(x ?连续时 )()lim ()(lim lim *1*x x x x k k k k k ???====∞ →∞ →+∞ → 亦即0)(*=x f 。若{k x }不收敛，称迭代公式是发散的。