第三节 平行线的综合及平移初步
一、课标导航
课标内容 课标要求
目标层次 平行线 会用平行线的判定和性质解决简单问题 ★★ 会用平行线的知识解决相关问题 ★★★ 两条平行线的距离
理解两条平行线的距离的概念 ★
利用两条平行线间的距离解决有关问题
★★ 平移
了解图形的平移，理解平移中对应点连接平行（或在一条直线上）且相等的性质
★ 能按要求作出简单平面图形平移后的图形，指出平移的方向和距离 ★★ 能应用平移的知识解决有关问题及进行图形设计
★★★ 命题
知道什么是命题，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分构成的
★ 对于给定的命题，能找出它的题设和结论，并会把该命题写成“如果···，那么···”的形式。能判定命题的真假
★★
二、核心纲要
(1)平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． (2)平移的性质
①经过平移后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等． ②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等， 注：平移中一变是位置的变化；两不变是形状和大小不变． 2.两条平行线间的距离 在平面内，同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线间的距离．平行线间酌距离处处相等． 3.命题
(1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．
(2)定理：从公理或其他真命题出发，判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
(3)命题的组成：每个命题由题设、结论两部分组成．命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论． 4.基本几何模型
(1)转折角处巧添平行线（拐点十平行线）．
(2)利用平移解决与线段有关的问题（包括线段长、周长、面积及最短路径等问题）．
5.思想方法：转化思想.
本节重点讲解：一个性质（平移的性质），一个思想，两大模型，四个概念（平移、两平行线 间的距离、命题和定理）．
三、全能突破
基础演练
1.有以下现象：①温度计中液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．②④ 2.如图5-3-1所示，将三角形ABC 平移到△.A B C ''''
在上述平移过程中，联结各组对应点的线段即AA BB CC '''、、之间的数量关系是 ；位置关系是 ．
3.判断下列各命题的真假，真命题画“√’’，假命题画“×’’ (1)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．( ) (2)相等的角是对顶角．( )
(3)如果AC=BC ，那么C 点是AB 的中点．( )
(4)若x 2
=4，则x=2．( )
(5)同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．( ) (6)同位角相等．( )
(7)邻补角的角平分线互相垂直．( )． 4.对于命题：
(1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，写成 “如果……那么……”的形式为 .
(2)对顶角相等．写成“如果……那么……”的形式为 . 5.如图5-3-2所示，已知AB ∥CD ，∠a 等于 ．
6.已知，如图5-3-3所示，AB ∥CD ，请你观察∠E 、∠B 、∠D 之间有什么关系，并证明你所得的结论．
能力提升
7．如图5-3-4所示，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是( ) A ．18 B ．16 C ．12 D ．8
8.探照灯，汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图5-3-5所示是一探照灯碗的剖面，从位于O 点的灯泡发出的两束光线OB,OC ，经灯碗反射以后平行射出，其中∠ABO=a ，∠DCO=β，则∠BOC 的度数是( )
A.0180a β-- B ．1()2
a β+ C.a β+ D.900a β+- 9.将直角梯形ABCD 平移得梯形EFGH ，若HG= 10 ,MC=2 ,MG=4，则图5-3-6中阴影部分的面积为 . 10.如图5-3-7所示，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3m ，其侧面如图所示，则买地毯至少需要 元。
11.如图5-3-8所示，直线AB ∥CD ，∠EFA= 300，∠FGH=900，∠HMN=300，∠CNP=500
，则∠GHM 的大小是 .
12.(1)如图5-3-9(a )所示，1MA ∥2NA ，则∠1A +∠2A = 度. 如图5-3-9(b )所示，1MA ∥3NA ，则∠1A +∠2A +∠3A = 度． 如图5-3-9(c )所示，1MA ∥4NA ，则∠1A +∠2A +∠34A A +∠= 度． 如图5-3-9(d )所示，1MA ∥5NA ，则∠1A +∠2A +∠345A A A +∠+∠= 度． 从上述结论中我们发现，如图5-3-9(e )所示，1MA ∥n NA ，则∠1A +∠2A +∠3A +…n A +∠= 度．
(2)如图5-3-10 (a )所示，1AA ∥2BA ，则121,,A A B ∠∠∠之间的关系为 ; 如图5-3-lO(b )所示，1AA ∥3BA ，则12312,,,,A A A B B ∠∠∠∠∠之间的关系为 ; 如图5-3-10(c )所示，1AA ∥n BA ，则123,,,A A A ∠∠∠…12,,,,n A B B ∠∠…1,n B - 之间的关系为 ;
13.已知，如图5-3-11所示，AB//CD ，12,3 4.∠=∠∠=∠ 求证：.EK FK ⊥
14.已知，如图5-3-12所示，AB//CD, ,ABF DCF ∠=∠ 求诬：∠BFE=∠FEC ．
15.如图5-3-13所示，AB ∥ED,,.a A E B C D β=∠+∠=∠+∠+∠．
证明：2a β=．
16.已知，如图5-3-14所示，CD//EF ，12,ABC ∠+∠=∠ 求证：AB//GF ．
17.如图5-3-15所示，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部 分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，联结PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD
三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是O o
角．） (1)当动点P 落在第①部分时，求证：么∠APB=∠PAC+∠PBD ；
(2)当动点P 落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）?
(3)当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
18.图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）：
●在图5-3-16(a )中，将线段12A A 向右平移1个单位到12B B ，得到封闭图形1221A A B B （即阴影部分）； ●在图5-3-16(b )中，将折线123A A A 向右平移1个单位到123B B B ，得到封闭图形123321A A A B B B （即阴 影部分）．
(1)在图5-3-16 (c)中，请你类似地画一条有两个折点的线（所画的线互不交叉），同样向右平移1个单 位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
1S = ，2S = ，3S = ．
(3)联想与探索
如图5-3-16(d)所示，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个 单位），请你猜想空白部分表示的草场地面积是多少？并说明你的猜想是正确的． 画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）
19.小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“如图5-3-17所示，A 、B 两村庄在一条河的两岸，从A 村庄去B 村庄，需要在河上造一座桥MN ，请问桥造在何处从A 村庄去B 村庄的路径晟短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）” 小强的解题思路：因为桥与河岸垂直，线段MN 是一个不变的量，将它平移到A 处得线段AA '，折线段AMNB 的长度与折线段AA NB '的长度相等，故要使AA NB '最短，就是求点A '到点B 最短即可，所以点N 应是A B '与2l 的交点．
根据上述材料解答下列问题：
如图5-3-18所示：A 、C 两个驻军地被两条河隔开，上级安排紧急任务，现要求一名士兵从A 地出发到C 地完成这项任务，现要修两座与河岸垂直的桥，问桥建在何处使得这名士兵走的路径最短？（假定河的两
岸是平行的直线，且两条河宽相等）
中考链接
20.下列选项中只能用其中一部分平移可以得到的是( )
21.如图5-3-19所示，△DEF 经过怎样的平移得到△ABC( ) A ．把△DEF 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B ．把△DEF 向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C ．把△DEF 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D ．把△DEF 向左平移4个单位，再向上平移2个单位 22.如图5-3-20所示，已知直线a ∥b ，0
140∠=，
0260∠=，则∠3等于( )
A ．1000
B ．600
C ．400
D ．200
23.已知三条不同的直线,,a b c 在同一平面内，下列四个命题：
①如果//a c ，a c ⊥，那么b c ⊥; ②如果//b a ，//c a ，那么//b c ； ③如果,b a c a ⊥⊥，那么b c ⊥; ④如果,b a c a ⊥⊥，，那么//b c ．
其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
巅峰突破
24.如图5-3-21所示，两直线AB 、CD 平行，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=（ ）
A ．6300 B. 7200 C ．8000 D. 9000
25.如图5-3-22所示，AB ∥CD ．11,,44EAF EAB ECF ECD ∠=∠∠=∠求证：3
.4
AFC AEC ∠=∠
易达彼思教育学科教师辅导讲义 知识回顾 写出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角
用该符号语言表示：如图， 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
两直线平行的判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单地说: 同旁内角互补 ,两直线平行. 例4. 如图所示，回答下列问题，并说明理由． （1）由∠C＝∠2，可判定哪两条直线平行？ （2）由∠2＝∠3，可判定哪两条直线平行？ （3）由∠C＋∠D＝180°，可判定哪两条直线平行？ 注：（1）要掌握直线平行的判定方法，首先要掌握同位角、内错角、同旁内角的定义； （2）判定方法是从角的关系得到两直线平行的。 知识点4：平行线的判定方法的推论 （一）两条平行线间的距离 1、定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。 如图所示，a//b，A是直线上任意一点，，垂足为B，则线段AB的长即是两平行线、间的距离。若在直线上任找一点，过作，垂足为D，则线段CD的长也是两平行线、间的距离。由此可见： 2、平行线间的距离处处相等。 例4.如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1=∠2. （1）请说明AB∥CD的理由 （2）试问BM与DN是否平行？为什么？ 二、平行线的性质 知识点1：平行线的性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等. 如图所示，AB∥CD，有∠1=∠2. 格式：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 例1.如图，已知a∥b,∠1=65°,则∠2的度数为（） A.65° B.125° C.115° D.25° 知识点2：平行线的性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 格式：如图所示，AB∥CD，有∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）. 说明：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） ∵∠1=∠3，∴∠2=∠3 例2.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C=50°， ∠BDE=60°，则∠CDB的度数等于（） A.70° B.100° C.110° D.120° 知识点3：平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 格式：如图所示，∵AB∥CD（已知）. ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） 例3.如图，若AB∥DE，BC∥FE，则∠E+∠B= . 注：同位角相等、同旁内角互补；内错角相等，都是平行线特有的性质，且不可忽略前提条件“两直线平行”，不要看到同位角或内错角，就认为是相等的。 三、平行线的性质和判定方法的综合应用 平行线的判定和性质的区别和联系：
平行线的性质及平移（提高）巩固练习 撰稿：孙景艳责编：赵炜 【巩固练习】 一、选择题 1. 若∠1和∠2是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2的度数是() A．45°B．135°C．45°或135°D．不能确定 2．（山东日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（） A．70°B．80°C．90°D．100° 3．(湖北襄樊)如图所示，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为() A．150°B．130°C．120°D．100° 4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是() A．∠1+∠2-∠3＝90° B．∠2+∠3-∠1＝180° C．∠1-∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180° 5. 如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，且交EF于点O，则与∠AOE相等的 角有() A．5个B．4个C．3个D．2个 6．（湖北潜江）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（）
A ．23° B ．16° C ．20° D ．26° 7. 如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，把线段EF 向右平移3个单位，向下平移1个单位得到线段GH ，则阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是( ) A ．3:4 B ．5:8 C ．9:16 D ．1:2 8. 有下列语句中，真命题的个数是( ) ①画直线AB 垂直于CD ；②若|x |＝|y |，则x 2＝y 2． ③两直线平行，同旁内角相等；④直线a 、b 相交于点O ；⑤等角的余角相等． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 9．（四川广安）如图所示，直线a ∥b ．直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、 点B ，AM b ⊥，垂足为点M ，若158∠=?，则2∠＝ _____，直线a b 与之间的距离_____． 10.如图所示，AB ∥CD ，若∠ABE ＝120°，∠DCE ＝35°，则有∠BEC ＝________． 11.（四川攀枝花）如图，直线l 1∥l 2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3= ． 12.一个人从点A 出发向北偏东60°方向走了4m 到点B ，再向南偏西80°方向走了3m 到点C ，那么∠ABC 的度数是________．
命题、定理、推论、平移 【教学目标】 1、了解命题，定理，推论 2、理解平移，以及平移的特点 【教学重点与难点】 重点：平移的特点 难点：非单方向的平移 【教学方法】 以问题为导向给学生提供思考的空间，引导学生积极思考。使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主思考的学习过程，引到学生在学习思考中形成自己的观点。 【教学过程】 一、复习前文 1、复习平行线的判定1、 2、3 2、复习平行线的性质1、2、3 3、讲解习题 二、承前启后，引入新课概念 1、由平行线的判定1.同位角相等，两直线平行。得出 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知项，结论是由已知事项推出的事项。 题设成立，结论一定成立的命题叫真命题 题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫假命题 一些命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理 一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理的过程叫做证明 2、回顾证明平行线的判定1的画图方法，我们观察三角板ABC和A1B1C1的位置和大小？
得出： 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。 图形的这种移动叫平移（平移并不限于水平的） 三、初步应用 1、下列语句中，是命题的是（） ①对顶角相等，②若∠1=60°，∠2=60°，则∠1=∠2，③若|x|=1，则x=1，④ 同一平面内两条直线的位置关系不是相交就是平行，⑤垂线段最短 四、.反思总结 1．本节课你学习了什么? （本节主要学习什么是命题，什么是定理和。以及命题的推论过程叫证明） 2、图形的简单平移 五、布置作业 1、命题的题设是事项，结论是由事项推出的事项。 2、对于下列的假命题，各举一个反例 （1）如果ac=bc,那么a=b 是一个假命题 反例： （2）两个锐角之和是钝角。 反例： 3、判断下列语句是不是命题？ （1）两直线相交，只有一个交点 （2）对顶角相等 （3）两点之间，线段最短 （4）角平分线是一条射线 4、如图：在直角三角形Rt△ACB中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D。求证：∠BCD=∠A.
第2讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A 【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，错角相等； 两条直线平行，同旁角互补. 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数 为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25° 02．（）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65° 03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数. 【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠ EFC ＝45°，求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平 分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【变式题组】 01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________ 02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数. A B C D O E F A E B C （第1题图） （第2题图） E A F G D C B B A M C D N P （第3题图）
5.4 平移 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共12小题） 1．下列图形中，哪个可以通过如图平移得到（） A．B．C．D． 2．如图所示，四幅汽车标志设计中，能通过平移得到的是（） A．B． C．D． 3．同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（） A．B．C．D． 4．在以下现象中，属于平移的是（） ①在挡秋千的小朋友 ②电梯上升过程 ③宇宙中行星的运动 ④生产过程中传送带上的电视机的移动过程． A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 5．如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（）
A．100米B．99米C．98米D．74米 6．下列生活中的各个现象，属于平移变换现象的是（） A．拉开抽屉 B．用放大镜看文字 C．时钟上分针的运动 D．你和平面镜中的像 7．如图，大矩形长是10厘米，宽是8厘米，阴影部分宽为2厘米，则空白部分面积是（） A．36平方厘米B．40平方厘米C．32平方厘米D．48平方厘米 8．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（） A．2 B．3 C．D． 9．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（） A．8 B．10 C．12 D．16 10．如图，△ADE是由△DBF沿BD所在的直线平移得到的，AE、BF的延长线交于点C，若∠BFD=45°，则∠C的度数是（）
平行线性质的应用 ——同底三角形面积存在性的探究 教学目标 知识目标：平行线距离处处相等和平行线分线段成比例性质的理解和应用； 会运用平行线解决抛物线中三角形面积相关问题 能力目标：利用平行线性质解决同底三角形面积存在性问题的能力； 经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发 展空间观念、推理能力和有条 理表达的能力；培养学生分类，转化方程思想； 情感目标：通过自主探究 培养学生勤于思考、勇于探索、钻研的能力； 教学重点：在坐标系中平行线间的距离之比等于在Y 轴上对应线段之比的理解，并利用求平行线解析式判断交点情况； 教学难点：理解同底三角形面积相等或成比例时如何求相应的平行线解析式以及判断点的个数. 教学设计 一、课前准备 1.如图，在平面内能否找到一点P 使△ABC 与△PBC 面积相等？如果能,请画出所有的点P ；如果不能，请说明理由. 设计意图：在学生已学会的简单三角形出发，引入课例，为学生解决较难的综合题提供简洁的方法，以达到由浅入深的目的. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴，y 轴于点A(-3,0)，B(0,-3)．则： (1)直线AB 的函数解析式是__________ (2)若直线l 过点C （1，1）且与直线AB 平行，则直线l 解析式_______________ (3)若直线AB 向上平移2个单位，得直线___________ 设计意图：学生简单回顾平行线解析式的求法 为后面铺垫. 二、合作探究 在y=-x-5上取一点D(-1,-4)，连接AD,BD,问在坐标轴上是否存在一 点C,使得 , 若存在，请求出所有C 点坐标； 若不存在，请说明理由. 变式：若使得 ABD ABC S S ??=2 ，C 点坐标怎么求？ 思考：如何解决同底三角形面积相等或成比例时找点的问题呢？ 设计意图：让学生很快进入知识情景，在坐标轴中寻找使面积相等的点，为引入函数做好准备 . ABD ABC S S ?? =
（第1题） O A B C D E （第2题） C D （第3题） D E D 平行线的判定与性质培优经典题（1） 知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质； ② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用； ③ 平行线的判定方法 、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交. 基础训练： 1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE . 2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD . 3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， 则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ . 4. 如图，直线AB 、CD 交于点O . （1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ;
（第5题） E D （第7题）O A B C D F E （第6题） O A B C D E F B D A （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ . 5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍 大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE . 6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF . 7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ， 垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .
C B 8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 . 经典题型： 1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以 O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2） 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中 与∠1相等的角有（ ）对. A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 （西 宁市中 考题） 3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛题)
第二讲平行线的性质及平移 教学目标:1.根据平行线的性质判断角度关系（重点） 2.平行线中添加辅助线和动点问题 3.平行线的性质和实际运用 教学过程： 请同学们回顾下平行的判定方法！ 判定方法:(1) 同角相等,两直线平行; (2)内错角相等,两直线平行; (3)同旁内角互补,两直线平行; (4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行. 性质: (1)两直线平行,同位角相等; (2)两直线平行,内错角相等; (3)两直线平行,同旁内角互补. 1.将直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A．60° B．50° C．40° D．30° 第1题图第2题图2．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，AC是∠BAD的平分线，则与∠1相等的角(∠1除外)有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，第三次拐弯的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，则∠C的度数为( ) A．120° B．130° C．140° D．150° 填空题 4．如图，要使AD∥BC，需添加一个条件，这个条件可以是 ________．(只需写出一种情况)
第4题图第5题图 5.如图，直线AB，CD被直线AE所截．若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝________°. 6．用两个相同的三角板按照如图所示方式作平行线，理由是________________________． 第6题图第7题图 7.如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2分别相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝________°. 8.如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP1，OP2与绳线的夹角分别是30°和70°，则夹角∠P1OP2＝________°. 第8题图第9题图 9.如图是一小区大门的栏杆示意图，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度． 1.C 2．C 解析：∠DCA，∠ACB，∠EAO，∠EOA，∠BAO都和∠1相等． 3．D 解析：过点B作直线MN∥AE即可． 4．∠1＝∠4(答案不唯一) 5.70 6．内错角相等，两直线平行7.20 8．40 解析：如图，过O作OA∥P2C，则∠AOP2＝∠P2＝70°.由题意，得P1B∥P2C，∴OA∥P1B，∴∠AOP1＝∠P1＝30°，∴∠P1OP2＝∠AOP2－∠AOP1＝70°－30°＝40°. 9．270
七年级数学下册第10章 相交线、平行线与平移测试题 （考试时间120分钟 试卷满分100分） 姓名： 班级： 得分： 一、精心选择（15） 1.下列图形中，由A B C D ∥，能得到12∠=∠的是（ ） 2.如图，直线L 1∥L 2 ,则∠α为（ ）. A.1500 B.1400 C.1300 D.1200 3.下列命题： ①不相交的两条直线平行； ②梯形的两底互相平行； ③同垂直于一条直线的两直线平行； ④同旁内角相等，两直线平行. 其中真命题有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列命题： A C B D 1 2 A C B D 1 2 A ． B ． 1 2 A C B D C ． B D C A D ． 1 2 1100 500 L 1 L 2 α （第2题图）
①两个连续整数的乘积是偶数；②带有负号的数是负数； ③乘积是1的两个数互为倒数；④绝对值相等的两个数互为相反数. 其中假命题有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，AB ∥CD ，那么∠BAE+∠AEC+∠ECD =（ ） A.1800 B.2700 C.3600 D.5400 二、细心填空（15） 6.观察如图所示的三棱柱. （1）用符号表示下列线段的位置关系： AC CC 1 ,BC B 1C 1 ； （2）⊿A 1B 1C 1 可看作是把⊿ABC 而得到的. （3） 7.如图三角形ABC 中，∠C = 900 ，AC=23 ,BC=32 ,把AC 、BC 、AB 的大小关系用“>”号 A B C D E A 1 A B C B 1 C 1 A C B A B C D E F （第6题图） （第7题图） （第8题图）
海豚教育个性化简案 学生姓名：丁露娜年级：七年级科目：数学授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时 教学目标1.探索平行线的性质 2.运用平行线的性质及判定方法解决问题 3.知道平移的概念及平移的不变性 重难点导航 1、运用平行线的性质及判定方法解决问题 2、平移的不变性 教学简案： 1、认识平行线的性质 2、运用平行线的性质及判定方法解决问题 3知道平移的概念及平移的不变性 4 能够根据题目要求做出已知图形的平移后图形 授课教师评价：□准时上课：无迟到和早退现象 （今日学生课堂表□今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况 （大写）□海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象学生签字：教师签字： 备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：
H F E D C B A 海豚教育个性化教案（真题演练） 真题演练: 【1】（2010山东）1．填空并完成以下推理： 已知，如图，∠1＝∠ACB ，∠2＝∠3，FH ⊥AB 于H ，求证：CD ⊥AB ． 解：∵∠1＝∠ACB （已知）∴DE ∥BC （ ） ∴∠2＝ （ ） ∵∠2＝∠3（已知） ∴∠3＝ ∴CD ∥FH （ ） ∴∠BDC ＝∠BHF （ ） 又∵FH ⊥AB （已知） ∴ 【2】10．两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置,AB=10,DH=4,平移距离为6,求阴影部分的面积. C A B D E F H 1 2 3
F E D C B A 课题：平行线的性质和判定的综合运用 课型：复习 学习目标：1.分清平行线的性质和判定.已知平行用性质, 要证平行用判定. 2.能够综合运用平行线性质和判定解题. 学习重点：平行线性质和判定综合应用 学习难点：平行线性质和判定灵活运用 学习过程： 一、学前准备 1、预习疑难： 。 2、填空：①平行线的性质有哪些？ ②平行线的判定有哪些？ 二、平行线的性质与判定的区别与联系 1、区别：性质是：根据两条直线平行，去证角的相等或互补． 判定是：根据两角相等或互补，去证两条直线平行． 2、联系：它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提； 它们的条件和结论是互逆的。 3、总结：已知平行用性质,要证平行用判定 三、应用 （一） 例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。 1、分析： (执果索因)从图直观分析，欲证AD ∥EF ，只需∠A +∠AEF =180°，(由因求果)因为AD ∥BC ，所以∠A +∠B =180°，又∠B =∠AEF ， 所以∠A +∠AEF =180°成立．于是得证 2、证明：∵ AD ∥BC （已知） ∴ ∠A+∠B ＝180°（ ） ∵ ∠AEF=∠B （已知） ∴ ∠A ＋∠AEF ＝180°（等量代换） ∴ AD ∥EF （ ） 3、思考：在填写两个依据时要注意什么问题？ 4、推广：你有其他方法证明这个问题吗？你写出过程。 （二）练一练： 1、如图，已知：AB ∥DE ，∠ABC+∠DEF=180°, 求证：BC ∥EF 。 2、如图，已知：∠1＝∠2，求证：∠3＋∠4=180o 3、如图，已知：AB ∥CD ，MG 平分∠AMN ,NH 平分∠DNM ，求证：MG ∥NH 。 4、如图，已知：AB ∥CD ，∠A ＝∠C ， 求证：AD ∥BC 。 四、学习体会： 1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？ 2、预习时的疑难解决了吗？ 五、自我检测： 1、如图1,AB ∥EF,∠ECD=∠E,则CD ∥AB.说理如下: 因为∠ECD=∠E, 所以CD ∥EF( ) 又AB ∥EF, 所以CD ∥AB( ). （1） 2、下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;?③内错角相等,两直线平 行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④ 3、如图,平行光线AB 、DE 照射在平面镜上，经反射得到光线BC 与EF ，已知∠1= ∠2， ∠3= ∠4，则光线BC 与EF 平行吗？为什么？ A B C D F E C A B C D M F G 12 34 5 1A B C D M F G E H N 2 B E
平行线的判定及性质（一） 【知识要点】 一.余角和补角: 1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余 2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等. 四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行. 2、内错角相等, 两直线平行. 3、同旁内角互补, 两直线平行. 4、同平行于一条条直线平行. 5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等； 2. 两直线平行, 内错角相等； 3. 两直线平行, 同旁内角互补. 【典型例题】 一、余角和补角 例1. 如图所示， 互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________； 变式训练：1. 一个角的余角比它的的 1 3 还少20o，则这个角为_____________。 2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD 是∠AOB 的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=1 2 ∠EOC, ∠DOE=72o, 求∠EOC 的度数。 二、“三线八角” 例2 （1） 如图，哪些是同位角？内错角？同旁内角？ E D C B A O A B C D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3
（2） 如图，下列说法错误的是（ ） A. ∠1和∠3是同位角 B. ∠1∠5是同角 C. ∠1和∠2是内角 D. ∠5和∠6是内错角 （3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,则图中共有 同位角 对，内错角 对，同旁内角 。 三、平行线的判定 例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2 ∴ _____∥_____， （ ） ② ∵ ∠2＝_____ ∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180o ∴ ____∥_____， （ ） ∴ AC ∥FG ， （ ） 变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B ∴ ∥_____， （ ） ∵ ∠1/∠2 ∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180o， ∴ AB ∥EF ( ) 例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，求AB ∥CD , A B C D G 1 3 2 C A B E D 1 A B C D E F 1 2 3 1 2 3 4 5 7 6
第三节平行线的综合及平移初步 一、课标导航 二、核心纲要 1．平移变换(简称：平移) （1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. （2）三角形内角和定理的应用 ①经过平移后，对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等. ②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等. 注:平移中一变是位置的变化;两不变是形状和大小不变. 2．两条平行线间的距离 在平面内，同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线间的距离.平行线间的距离处处相等. 3．命题 命题:判断一件事情的语句，叫做命题.正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.
定理:从公理或其他真命题出发,判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的 依据，这样的真命题叫做定理. 命题的组成:每个命题由题设、结论两部分组成.命题通常可以写成“如果……，那么……”的形 式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论. 4．基本几何模型 转折角处巧添平行线(拐点+平行线). 利用平移解决与线段有关的问题(包括线段长、周长、面积及最短路径等问题). 5．思想方法：转化思想 本节重点讲解：一个性质(平移的性质)，一个思想，两大模型，四个概念(平移、两平行线间的距离、命题和定理)。 三、全能突破 基础演练 1．有以下现象：①温度计中液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是( )． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 2．如图5-3-1所示，将△ABC 平移到△A ′B ′C ′． B 在上述平移过程中，连接各组对应点的线段即AA ′、BB 、CC 之间的数量关系是________；位置关系是________________。 A B E D C C D A B E A B D C
相交线与平行线
答案：原题上出示（D） 解析： 为了便于确定那两条直线被哪一条直线所截，应当将复杂的组合图形分解成若干个基本图形，这样才能保证不重不漏地准确辨别同位角、错角、同旁角.分解时一般要看图中共有多少条直线，哪两条直线可能被第三条直线所截，由其位置关系得到基本图形. 例3 如图1-4，直线l∥m，将含有45°的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（A） A.20° B. 25° C. 30° D. 35° 解析：过点B作直线n∥l，如图所示 直线l∥m，∴n∥l∥m， ∴∠4=∠1=25°，∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°， ∴∠2=∠3=20°. 答案：原题上出示A. 例4 如图1-5，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ C ） A.∠1=∠2 B. ∠1=∠5 C. ∠1+∠3=180° D. ∠3=∠5（点击选项在图上出示对应角度） 解析：平行线的判定定理：(下一步) 1.同位角相等，两直线平行； 2.错角相等，两直线平行； 3.同旁角互补，两直线平行. 举一反三： 1.如图1-8，AB∥CD,AC⊥BC,AC≠BC,则图中与∠BAC互余的角有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 解析：与∠BAC互余的角有∠ABC,∠BCD,∠NBG
架设小桥.若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 _140__m. 解析：小桥可以平移到长方形的边上，（下一步）（动画：图中小桥平移到长方形的长与宽） 得出小桥的长等于长方形的长与宽的和，故小桥总长为280÷2=140（m）答案：原题出示140 例6[2013.]如图1-7，如图，长方形ABCD中，AB=6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形 A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右 平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形 An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向平移5个单位，得到长方 形AnBnCnDn（n＞2）． （1）求AB1和AB2的长． （2）若ABn的长为56，求n． 解析： 根据平移性质得出AA1=5，A1A2=5，…An-1An=5; A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，
第2讲 平行线得性质及其应用 考点·方法·破译 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A ＝【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补、 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 得延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 得度数为 （ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25° 02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65° 03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 得度数、 【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 得度数、 【解法指导】平行线得性质与对顶角、邻补角、垂直与角平 分线相结合，可求各种位置得角得度数，但注意瞧清角得位置、 【变式题组】 01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 得得度数＝_______________ 02、如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 得 度数、 【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F 、 【解法指导】 因果转化，综合运用、 A B C D O E F A E B C （第1题图） （第2题图） E A F G D C B B A M C D N P （第3题图） C D A B E F 1 3 2
平行线的判定和性质经典题 一．选择题（共18小题） 1．如图所示，同位角共有（） 第1题第2题 A．6对B．8对C．10对D．12对 2．如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定 3．下列说法中正确的个数为（） ①不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 ④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交 A．1个B．2个C．3个D．4个 4．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（） A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定 5．若两个角的两边分别平行，且这两个角的差为40°，则这两角的度数分别是（）A．150°和110°B．140°和100°C．110°和70°D．70°和30° 6．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（） 第6题第7题 A．40°B．50°C．60°D．不能确定 7．如图，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，则α=（）A．10°B．15°C．20°D．30°
8．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（） A．②③B．①②③C．①②④D．①④ 9．已知∠AOB=40°，∠CDE的边CD⊥OA于点C，边DE∥OB，那么∠CDE等于（）A．50°B．130°C．50°或130°D．100° 10．如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（） 第10题第11题 A．5个B．4个C．3个D．2个 11．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（） A．5对B．6对C．7对D．8对 12．已知∠A=50°，∠A的两边分别平行于∠B的两边，则∠B=（） A．50°B．130°C．100°D．50°或130° 13．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（） 第13题第14题 A．6对B．5对C．4对D．3对 14．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 15．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（） A．42°、138°B．都是10°
平行线的性质及平移（基础） 【学习目标】 1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； 2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念； 3．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和区别，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计. 【要点梳理】 要点一、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释： （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 要点二、两条平行线间的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离． 要点诠释： （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线间的距离． (2)两条平行线间的距离处处相等． 要点三、图形的平移 1. 定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移． 要点诠释：图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． 2. 性质： （1）平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. （2）一个图形和它经过平移所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. 要点诠释： （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
平行线的判定和性质的综合应用 2. 如图，AD ⊥BC 于点D ，EF ⊥BC 于点F ，EF 交AB 于点G ，交CA 的延长线于点E ，且∠1=∠2．AD 平分∠BAC 吗？说说你的理由． C E 1 2 A B C D F G E
3. 如图，若AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E =∠F ，为什么？ 4、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°， 求 ∠A 的度数． 5、如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连结P A ，PB ，构成∠P AC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．） （1）当动点P 落在第①部分时，试说明：∠APB =∠P AC +∠PBD ． （2）当动点P 落在第②部分时，∠APB =∠P AC +∠PBD 是否成立？ （3）当动点P 落在第③部分时，请全面探究∠P AC ，∠APB ， ∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论， 选择其中一种结论加以说明． 1 2 A B C D E F A D B C 1 2 A E
一、能力提升 1. 如图，已知∠ABC +∠ACB =110°，BO 、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF 过O 与BC 平行，则∠BOC = ． 2. 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°， 则∠AED ′的度数为 ． 3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠= ． 4.如图,已知∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD 平分∠BDF.求证:BC 平分∠DBE. B 1 2 F D E C A 5、如图，已知∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°． 求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°． 6、如图，已知AB ∥CD ，∠BAE =30°，∠DCE =60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． （1）求∠AEF 的度数； （2）求证：EF ∥AB ． E G D C F A B 1 2 3 E D B C′ F C D ′ A 第1题图 第2题图 第3题图 C 1 2 3 A B D F E
第10章相交线、平行线与平移 一、选择题（共10小题） 1．（2011?江西模拟）如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）A．21°B．48°C．58°D．30° 2．（2012?大连二模）如图，AB∥CD，∠A=44°，∠F=24°，则∠E的度数是（） A．20°B．22°C．24°D．68° 3．（2012?湖北模拟）如图，直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠EFG=50°，∠EGF的度数是（）A．40°B．55°C．60°D．65° 4．（2011?龙岩质检）如图，l1∥l2，l3与l1、l2都相交，若∠1=120°，则∠2的余角是（） A．30°B．45°C．60°D．75° 5．（2012?萧山区一模）如图，直线AB∥CD，∠E=30°，∠C=40°，则∠A等于（） A．70°B．60°C．40°D．30° 6．（2012?朝阳区二模）如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）A．19°B．38°C．42°D．52° 7．如图，能推断AB∥CD的是（） A．∠3=∠5 B．∠2=∠4 C．∠1=∠2+∠3 D．∠D+∠4+∠5=180°8．（2008?海珠区一模）如图，直线a与直线b互相平行，直线l与直线a、b相交，则∠α的度数是（）A．40°B．60°C．140°D．160° 9．如图，与∠1是同位角的是（） A．∠A B．∠B C．∠C D．∠CED 10．（2009?浙江）如图，一块砖的外侧面积为x，那么图中残留部分墙面的面积为（） A．4x B．12x C．8x D．16x 二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 11．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，棱AB与棱HG的位置关系是_________． 12．如图，已知EF，GH与AB，CD都相交，∠1=62°，∠2=118°，∠3=74°，则∠4=_________度．13．（2012?和平区二模）如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=25°，那么∠1的度数是_________°． 14．如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上． 理由是：_________． 15．（2008?晋江市质检）附加题：已知：如图，a∥b，∠1=70°，则∠3的度数为_________度．16．（2011?徐汇区二模）如图，把一块直角三角板放在直尺的一边上，如果∠2=65°，那么∠1=_________°．17．如图，∠1+∠2=260°，b∥c，则∠3=_________，∠4=_________． 18．如图，点A在直线DE上，若∠BAC=_________度，则DE∥BC． 19．如图，若∠1=50°，∠2=130°，则直线a，b的位置关系是_________． 20．（2014?牡丹江二模）若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠A=_________．三、解答题（共8小题）（选答题，不自动判卷） 21．如图，AB∥DE，∠B=70°，∠D=150°，求∠C的度数． 22．线段填空完成推理过程： 如图，点E为线段DF上的点，点B为线段AC上的点，连接AF，BD，CE，已知∠1=∠2，∠C=∠D，试说明AC∥DF． 解：∵∠1=∠2（已知） ∠1=∠3_________ ∴∠2=∠3（等量代换） ∴BD∥_________（同位角相等，两直线平行） ∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）