2005浙江卷试题及答案
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的
1．lim
n →∞2
123n
n ++++L ＝( )
(A) 2 (B) 4 (C) 2
1
(D)0
2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)
21 (B) 3
2
(C) 2
(D)2
3．设f (x )＝2
|1|2,||1,
1, ||11x x x x --≤??
?>?+?，则f [f (21)]＝( )
(A)
21 (B)413 (C)－95 (D) 2541
4．在复平面内，复数1i i
+＋(1＋3i )2
对应的点位于( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3
的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121
6．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ?α，m ?β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 (A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
7．设集合{}
(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
(A) (B) (C) (D)
8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( )
(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1
9．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧
＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧
＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N eQ ∧)∪(Q ∧∩N eP ∧
)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7}
10．已知向量a r ≠e r ，|e r |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a r －t e r |≥|a r －e r
|，则 (A) a r ⊥e r (B) a r ⊥(a r －e r ) (C) e r ⊥(a r －e r ) (D) (a r ＋e r )⊥(a r －e r )
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡的相应位置
11．函数y ＝
2
x
x +(x ∈R ，且x ≠－2)的反函数是_________． ，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．
13．过双曲线22
221x y
a b -=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于
x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰
好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
14．从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O ，Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．已知函数f (x )＝－3sin 2
x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (
256
π
)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝4
1
sin α的值．
16．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2
＝2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；
(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．
N
17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．
18．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)当k ＝
2
1
时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小； (Ⅱ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？
19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3
1
，从B 中摸出一个红球的概率为p ．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ．
(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是2
5
，求p 的值．
20．设点n A (n x ，0)，1
(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2
＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－
2－4n －
1
1
2
n -，n x 由以下方法得到： x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2
＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到
C 1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2
＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，
0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．
2005浙江卷试题及答案
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9）A （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分（11）()2,11x
y x R x x
=
∈≠-且；
（12）90?；（13）2；（14）8424 三、解答题：
（15）本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式等基础知识和基本的运算能力满分14
分
解：（1
）25125sin
,cos 6262
ππ==Q ，
225252525sin cos 6666f π
πππ??∴=
+=
?
?
?
（2）()
12sin 2
2
f x x x =
+ 11sin 224f ααα??
∴=+=
???
216sin 4sin 110αα--=，
解得1sin
8
α±=
()0,,sin 0απα∈∴>Q
故1sin 8
α+=
（16）本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识，以及运算和推理能力满分14分
解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则
00000,,2
.0,2
x x
x x y y y y +?=?=-???
?+=-??=??即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上
∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 (Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时，2
210x x -+≤，此时不等式无解
当1x <时，2
210x x +-≤，解得12
x -≤≤ 因此，原不等式的解集为11,2
?-??
（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分
解：(Ⅰ)设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，半焦距为c ，则
2
111,a MA a A F a c c =-=-
()2
222224
a a a c c a a
b
c ?-=-???
=??=+
???
由题意,得2,1a b c ∴=== 22
1.43
x y +=故椭圆方程为
(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >， 当00y >时，120F PF ∠=；
当00y ≠时，22102
F PF PF M π
<∠<∠<
，
∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可
设直线1PF 的斜率011y k m =
+，直线2PF 的斜率0
21
y k m =-，
021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠=
=≤=+-
+ 0||y =时，12
F PF ∠最大，
(,,||1Q m m ∴>
（18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想
象能力和推理运算能力满分14分解：方法一：
(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点，OD PA ∴ ∥
PA PAB ?又平面， OD PAB ∴ 平面∥
(Ⅱ)AB BC OA OC ⊥=Q ，， OA OB OC ∴== ，
OP ABC ⊥Q 又 平面，.PA PB PC ∴== E PE BC POE ⊥取BC 中点，连结，则平面 OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角.
又OD PA ∥，
∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，
sin OF Rt ODF ODF OD ?∠=
=在中，
PBC ∴ PA 与平面所成的角为
（Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF PBC ⊥平面，∴F 是O 在平面PBC 内的射影
∵D 是PC 的中点，
若点F 是PBC ?的重心，则B ，F ，D 三点共线， ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，
,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴=Q ，即k =
反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ?的重心
方法二：
OP ABC ⊥Q 平面，,OA OC AB BC ==，
,,.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥
以O 为原点，射线OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）设,AB a
=
则,0,0,0,,0,,0,0222A a B C ??????-
? ? ? ? ? ???????
，
A
设OP h =，则()0,0,P h (Ⅰ)Q D 为PC 的中点，
1,0,42OD a h ??∴=- ? ???
u u u r ，
又1,0,,,//22PA a h OD PA OD PA ??=-∴=-∴ ? ???u u u r u u u r u u
u r u u u r ，
OD PAB ∴ 平面∥
(Ⅱ)12k =Q
，即2,,,0,2PA a h PA a ??
=∴=∴= ? ???u u u r ， 可求得平面PBC
的法向量1,1,n ?=- ?
r ，
cos ,||||
PA n PA n PA n ?∴??==?u u u r r
u u u r r u u
u r r ， 设PA 与平面PBC 所成的角为θ，则
sin |cos ,|PA n θ=??=
u u u r r
， （Ⅲ）PBC ?
的重心1,,663G a a h ??
- ? ???，
1,,663OG a a h ??
∴=- ? ??
?u u u r ，
,OG PBC OG PB ⊥∴⊥u u u r u u u r
Q 平面，
又22110,,,0,2632PB a h OG PB a h h a ??=-∴?=-=∴= ? ???
u u u r u u u r u u u r ，
PA a ∴==，即1k =，
反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ?的重心
（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力14分
解：(Ⅰ)（i ）22
24
1218
33381
C ???????= ? ?????
(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；
由n 次独立重复试验概率公式()()
1n k
k k n n P k C p p -=-，得
()5
0513*******P C ξ??==?-=
???； ()4
1511801133243P C ξ??==??-=
??? ()2
325
11802133243
P C ξ????
==??-=
? ????? ()32
3511173133243P C ξ????==??-=
? ?????
（或()328021731243243P ξ+?==-=） 随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望是
32808017131
012324324324324381
E ξ=
?+?+?+?=
(Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球
由1
22335
m mp
m +=，得1330p =
（20）本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分14分
解：（Ⅰ）由题意得()2
1111
,0,:7A C y x x b =-+， 设点(),P x y 是1C 上任意一点，
则1||A P =
=
令()()()2
2
2
1
17f x x x x b =-+-+
则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+-
由题意得()20f x '=， 即()()()2221
2
2127270x x x b x
-+-+-=
又()22,2P x 在1C 上，
222127x x b ∴=-+ 解得213,14x b ==
故1C 的方程为2
714y x x =-+ (Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点，
则||n A P =
=
令()()()
2
2
2
n n n
g x x x x a x b =-+++
则()()()()2222n n n n
g x x x x a x b x a '=-++++
由题意得()10n g x +'=
即()()()2111
2220n n n n n n n x x x a x b x
a +++-++++=
又12
12n n
n n n x a x b ++=++Q ，
()()()112201n n n n n x x x a n ++∴-++=≥，
即()
()111220
*n n n n n x x a +++-+=
下面用数学归纳法证明21n x n =-， ①当1n =时，11x =，等式成立；
②假设当n k =时，等式成立，即21k x k =-， 则当1n k =+时，由()*知(
)1
1
12
20k k k k k x
x a +++-+=，
又11
242
k k a k -=---，1122112k k k k k x a x k ++-∴=
=++，
即1n k =+时，等式成立
由①②知，等式对*
n N ∈成立， 故{}n x 是等差数列