2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷共150分。 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考号填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第Ⅱ卷用0.5 mm 黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考人只将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．集合{12}A =，，{123}B =，，，则下列关系正确的是 (A) A B = (B) A B =? (C) A B ?
(D) A B ?
2．已知3
sin 5α=
，则sin()απ+= (A) 45-
(B) 35
-
(C)
35
(D)
45
3．下列函数中与函数y x =相等的是
(A) y =
(B) y =
(C) 2
y =
(D) 2
x y x
=
4．在ABC ?中，已知1
cos 2
A =，则sin A =
(A)
12
(B) (C) (D)
5．函数()
f x =
(A) (02)， (B) [2)+∞， (C) (0)+∞，
(D) (2)-∞，
6．函数11(01)x y a a a -=+>≠，过定点
(A) (01)， (B) (02)， (C) (11)，
(D) (12)，
7．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(1,P ，则
cos α=
(A) 32
-
(B) 12
-
(C)
12
(D)
32
8．若将函数sin()3y x π
=-图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解
析式为
(A) 1sin()23y x π
=-
(B) 1sin()26
y x π
=-
(C) sin(2)3
y x π
=-
(D) sin(2)3
y x 2π=-
9．已知2log 0()(10)0x x f x f x x >?=?+?
，，
，，≤则(2016)f -的值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3
(D) 4
10．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如右图所示，那么点P 所走的图
形可能是
11．函数2()2x f x x =-的零点个数为
(A) 0个
(B) 1个
(C) 2个
(D) 3个
12．设函数31()411x x f x x x ?>=?-?，，
，，
≤则满足()(())3f a f f a =的实数a 的取值范围是
(A) 1
[)2+∞，
(B) 2
[)3+∞，
(C) (1)+∞，
(D) [1)+∞，
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数()12sin f x x =+的最大值为__________． 14．计算：cos15?=__________．
15．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系e (e 2.718
kx y b =?=为自然对
数的底数，k b ，为常数)．若该食品在0 ℃时的保鲜时间是100小时，在15 ℃时的保鲜时间是10小时，则该食品在30 ℃时的保鲜时间是__________小时. 16．函数()a
f x x a
=
-在区间(3)+∞，上单调递减，则实数a 的取值范围为__________． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）
已知tan 2α=． (Ⅰ) 求tan2α的值； (Ⅱ) 求sin cos sin cos αααα
+-的值．
18．（本小题满分12分）
已知集合{|128}x A x =<≤，集合2{|log 1}B x x =≥． (Ⅰ) 求A
B ；
(Ⅱ) 若全集U =R ，求()(
)U
U
A B ．
19．（本小题满分12分）
已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+-． (Ⅰ) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ) 若[0]2x π
∈，，求()f x 的最大值和最小值．
20．（本小题满分12分）
已知函数2()232f x x kx k =--+（k ∈R ）.
（Ⅰ）若()f x 为偶函数，用定义法证明函数()2y f x x =-在区间[1)+∞，上是增函数； （Ⅱ）若()f x 在区间(0]-∞，上有最小值－2，求k 的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数()sin()(000)2
f x A x A ω?ω?π=+>><<，，满足：①()f x 的最小正周期为π；②当12x π
=
时，函数()f x 取得最大值；③()f x 的图象过点(5)12
π-
，． (Ⅰ) 求函数()f x 的解析式；
(Ⅱ) 若将函数()f x 的图象向右平移(0)m m <<π个单位后，所得图象关于y 轴对称，求m 的值．
22．（本小题满分12分）
已知函数()(1)a f x a x =-（a ∈R ），()lg g x x =||． (Ⅰ) 若()f x 是幂函数，求a 的值；
(Ⅱ) 关于x 的方程(1)(1)0g x f -+=在区间(13)，上有两不同实根1212()x x x x <，，求12
11
a x x ++的取值范围．
参考答案及评分意见（数学）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 1－6.CBADAD ；7－12.CABBDA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 3； 14.
； 15. 1； 16. (0,3]； 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。 17．（本小题满分10分）
（Ⅰ）22tan 44
tan 21tan 143
ααα===-
--． ·································································· 5分 （Ⅱ）
sin cos tan 121
3sin cos tan 121
αααααα+++===---． ·
···························································· 10分 18．（本小题满分12分）
解得(0,3]A =，[2,)B =+∞. ····················································································· 4分 （Ⅰ）[]2,3A
B =. ································································································ 6分
（Ⅱ）因为(],0(3,)U
A =-∞+∞，
(,2)U
B =-∞ ·
················································ 10分 所以 (
)()(,2)(3,)U
U
A B =-∞+∞． ·
······························································· 12分 19．（本小题满分12分）
2()2sin cos 2cos 1sin 2cos2)4f x x x x x x x π
=+-=++． ·
·························· 2分 （Ⅰ）最小正周期22
T π
π==．
·············································································· 4分 由222()2
4
2
k x k k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈Z ，得388
k x k ππ
ππ-
≤≤+()k ∈Z ， 所以増区间为3[,]()88
k k k ππ
ππ-+∈Z . ·
·································································· 6分 （Ⅱ）
0,2x π??
∈????
，52,444x πππ??∴+∈????， ····························································· 8分
所以当24
2
x π
π
+=
，即8
x π
=
时，()f x 取得最大值max ()()8f x f π
=
当524
4x π
π+
=
，即2
x π=时，()f x 取得最小值min ()()12f x f π
==-. ······················ 12分 20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）二次函数的对称轴方程为x k =，
因为二次函数()f x 为R 上的偶函数，所以对称轴为y 轴，则0k =． ···················· 2分 所以2()222y f x x x x =-=-+，令2()22g x x x =-+， 任取12x x ，，且121x x ≤<，
则22
12112
2()()22g x g x x x x x -=--+ 22
1212()2()x x x x =---1212()(2)x x x x =-+-，
因为121x x ≤<，所以120x x -<，1220x x +->， 所以12()()0g x g x -<，即12()()g x g x <， 所以()g x 在[)1,+∞为增函数，
即函数()2y f x x =-在区间[)1,+∞是增函数，得证． ············································· 6分
（Ⅱ）二次函数()f x 开口向上，对称轴为直线x k =，而(],0x ∈-∞，则 ①0k ≤时，22min ()()2322f x f k k k k ==--+=-，
解得4k =-或1k =，又此时0k ≤，所以4k =-. ····················································· 9分 ②0k >时，()f x 在(],0-∞上单调递减，min ()(0)322f x f k ==-+=-， 解得4
3
k =
. ··············································································································· 11分 综上所述：k 的值为4-或43
. ··················································································· 12分 21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）由()f x 的最小正周期为π，得22π
ωπ
==， ·
·············································· 2分 由12
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，以及0A >可得：
2212
2
k π
π
?π?
+=
+()k ∈Z ，即23
k π
?π=
+，又02
π
?<<
，3
π
?=
. ···················· 4分
所以()sin(2)3f x A x π=+过点(,5)12
π-得sin()563A ππ
-+=解得10A =，
所以()10sin(2)3f x x π
=+． ····················································································· 6分 （Ⅱ）()f x 的图象向右平移(02)m m π<<个单位后得sin(22)3
y A x m π
=+-， ·
··· 8分 因为图象关于y 轴对称，所以当0x =时，有2()3
2
m k k π
π
π-=
+∈Z ，
解得()12
2
k m k π
π
=-
-
∈Z . 又0m π<<，所以512m π=或1112
m π
=． ·································································· 12分 22．（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题有11a -=，得2a =， ·········································································· 2分 （Ⅱ）方程化为(1)1g x a -=-，
由题有函数(1)y g x =-与1y a =-在(1,3)x ∈上有两不同交点. ······························· 3分 (1)y g x =-lg(1)x =-lg(1)2lg(1)12x x x x -≥?=?
--<
，，
，， 在(]1,2x ∈时，(1)y g x =-单调递减，[)(1)0,y g x =-∈+∞，
在[)2,3x ∈时，(1)y g x =-单调递增，[)(1)0,lg 2y g x =-∈， ······························· 5分 所以01lg2a <-<，即1lg 21a -<<， ································································· 7分 由12x x <，可知1(1,2)x ∈，2(2,3)x ∈， 且12lg(1)1lg(1)1x a x a --=-??-=-?，，即12
lg(1)(1)lg(1)1.x a x a -=--??-=-?，
相加消去a ，可得12lg(1)lg(1)0x x -+-=，即12(1)(1)1x x --=，
展开并整理得1212x x x x =+，即12
11
1x x +=. ·
···························································· 11分 所以12
11
a x x ++的取值范围为(2lg22)-，. ·
····························································· 12分
2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。)
二、填空题(本大题共4个小题．每小题5分．共20分) 13.
4π 14. 17
- 15. ????－32，3 16. 3
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明。证明过程或演算步骤) 17. 解：（1）1cos 4()3sin 2cos 22
x f x x x -=
+?1cos 43sin 42x x -=+……………………2分
1
sin(4)62
x π=-+．……………………………………………………………………………… 4分
因为 242T ππ=
=， 所以()f x 的最小正周期是2
π
．………………………………………… 6分 （2）由（1）得，1()sin(4)6
2
f x x π
=-+． 因为()1f x =，所以1
sin(4)62
x π-= ………………………………………………………7分 而
84x ππ≤≤， 所以 54366
x πππ
≤-≤
，……………………………………………… 10分 所以4
x π
=
…………………………………………………………………………………………12分 18. 解：（1） 令23x X ππ=
-，则23
x X π2
=+．填表： …………………………………5分
（2）因为[0,2]x ∈，所以
[0,]2
x π
∈π，(
)[,]2333x πππ2π-∈- …………………………………8分 x
32
35 38
311 3
14 X 0 2π π
32
π 2π y
1 0 1-
123451-2
-1-2
y x
1O ………………………………………6分
所以当
233x πππ-=-，即0x =时，sin()23
x y ππ
=-取得最小值32-；…………………10分 当
232x πππ-=，即3x 5=时，sin()23
x y ππ
=-取得最大值1 ……………………………12分 19. 解：f (x)＝3sin(ωx)－2·1－cos (ωx )2＝3sin(ωx)＋c os(ωx)－1＝2sin ????ωx ＋π6－1…………2分 依题意函数f(x)的最小正周期为3π，即2πω＝3π，解得ω＝2
3，所以f(x)＝2sin ????23x ＋π6－1. ……4分 由f(C)＝2sin ????2C 3＋π6－1及f(C)＝1，得sin ????2C 3＋π
6＝1， ……………………………………6分 因为0 2， ………………………………8分 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π 2，2sin 2B ＝cosB ＋cos(A －C)， ∴2cos 2A －sinA －sinA ＝0， ∴sin 2A ＋sinA －1＝0，解得sinA ＝－1±5 2 ，……………………11分 ∵0 5－1 2 ………………………………………………………………………12分 20.解：（1）因为点(,)P x y 在直线1y x =-上，所以点(,1)P x x - …………………………1分 所以(1,1),(,2)PA x x PB x x =---=--， 所以2221 32222(1)=2[()]024 PA PB x x x x x ?=-+=-+-+> …………………………………3分 所以cos ,0|||| PA PB PA PB PA PB ?<>= > ………………………………………………………………4分 若,,A P B 三点在一条直线上，则//PA PB ， 得到(1)(2)(1)0x x x x +---=，方程无解，所以0APB ∠≠……………………………………5分 所以APB ∠恒为锐角. ………………………6分 （2）因为||||AP BP =， 所以||||AP BP =，即2222(1)(1)(2)x x x x ++-=+- ………………………………………8分 化简得到210x -=，所以1 2 x = ，所以11(,)22P - ………………………………………………9分 31 13(,)(,)(2,2)2222 PB PA +=-+-=- …………………………………………………………12分 21.解设扇形的半径为r 考虑到C 为弧AB 上的一个动点,OC -→ xOA y OB -→ -→ =+. 显然,[0,1]x y ∈ ……………………2分 两边平方2 2 OC r -→ ??= ???2 22222xOA yOB x r xyOA OB y r -→-→-→-→??=+=?+?+? ??? 所以：2210y x y x +?+-=,显然2430x ?=-> ……………………………………………6分 得243(0)2x x y y -+-=>,故2 1343322 x x y x -+=-+ . ……………………………9分 不妨令2 1343()([0,1])22 x f x x x -=-+∈ 显然()f x 在[0,1]x ∈上单调递减,(0)3,(1)1f f ==,得()[1,3]f x ∈.…………………12分 22.解：（1）∵(2)(2)f x f x -=+， ∴()f x 的对称轴为2x =，…………………………2分 即4 22a - =，即1a =. ∴所求2()42f x x x =-+. …………………………………………3分 （2）因为22 2()log 45log 8 x y f x ax x x =-=-+- 设2 ()45r x ax x =-+，2()log ([1,2])s x x x =∈ 则原命题等价于两个函数()r x 与()s x 的图像在区间[1,2]内有唯一交点 当0a =时，()45r x x =-+在区间[1,2]内为减函数，2()log ([1,2])s x x x =∈为增函数，且 (1)1(1)0,(2)3(2)1r s r s =>==-<= ………………………………………………………4分 所以函数()r x 与()s x 的图像在区间[1,2]内有唯一交点 当0a <时，()r x 图像开口向下，对称轴为2 0x a = < 所以()r x 在区间[1,2]内为减函数，2()log ([1,2])s x x x =∈为增函数， 则由(1)(1)1011(2)(2)431r s a a r s a ≥+≥????-≤≤??≤-≤?? ，所以10a -≤< …………………………6分 当01a <≤时，()r x 图像开口向上，对称轴为2 2x a =≥ 以()r x 在区间[1,2]内为减函数，2()log ([1,2])s x x x =∈为增函数， 则由(1)(1)10 11(2)(2)431 r s a a r s a ≥+≥????-≤≤? ?≤-≤??，所以01a <≤ ……………………………8分 综上所述，实数a 的取值范围为[1,1]- …………………………………………………………10分
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