2.3对定积分概念及几何意义理解不清致误
一、易错提醒
定积分是高考数学理科试卷常考问题,一般以客观题形式出现,主要考查求定积分及利用定积分求曲边多边形的面积,难度是中等或中等以下,在高考试题中属于得分题,但由于教材中定积分的内容比较少,安排的课时比较少,教学中对其重视不够,致使相当一部分同学对定积分概念及几何意义理解不清,在基础试题上失分,实在可惜.总结近几年高考试卷定积分失分情况主要有以下几种类型：求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错,不会用面积法求积分, 对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确． 二、典例精析
(一) 求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错
要求定积分首先要要求出被积函数的原函数,为此对高中阶段我们需要掌握的函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、五个特殊的幂函数、三角函数、对勾函数等要会求其定积分．当被积函数比较复杂,看不出原函数时,我们可以先化简,再积分.
【例1】【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】．π
4
cos2d cos sin x
x x x =+?
A. )
2
1
1
1
D. 2【错因分析】本题易出错的原因有两方面,一是不知道如何化简被积函数,求不出原函数,由于被积函数比较复杂,可先化简三角函数式,然后再求定积分.二是对公式的记忆不准确,误以为sin x 的原函数是cos x . 【答案】C
【解析】2244
4000cos 2cos sin (cos sin )(sin cos )4cos sin cos sin 0
x x x dx dx x x dx x x x x x x
π
ππ
π
-==-=+++??
?1=,故选C ．
【小试牛刀】【2017河南百校联盟高三理11月质监】曲线()2
2
1
f x x =-直线2x =,3x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
A.ln 2
B.ln 3
C.2ln 2
D.3ln 2
【答案】D 【解析】所求面积
()()3
33
32222
22111113ln 1n 1ln ln ln ln 1111232x dx dx x l x x x x x -??=-=--+==-=?? ???--++??
?
?,故选D. (二) 不会用面积法求积分
根据定积分的几何意义,我们可以用定积分求曲边多边形的面积,反过来,我们也可以通过求曲边多边形的面积来求定积分,特别是被积函数的原函数不易求的,高中阶段一些被积函数是二次根式的一般用面积法去求,求的时候注意取值区间.
【例2】【2017届四川双流中学高三训练】定积分?
的值为（ ）
A ．
4π B ．2
π
C ．π
D ．2π
,又不知道利用面积求定积分,导致解题受阻,或忽略y
的范围,把定积分的值等同于整个圆的面积. 【答案】A
【解析】因
?
dx x ?--=1
2)1(1,令t x =-1,则
?
4
arcsin 211200
1
2
π
π
==-=--?
t dt t ,故应选A.
【小试牛刀】【2018届湖南省长沙市高三第三次月考】已知6
0,a x
?
>-??
展开式的常数项为15，则)
sin2a
a
x dx -=?__________．
【答案】
2
π
(三) 对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确． 定积分的主要应用是求曲边多边形的面积,其步骤是： （1）画图；
（2）求交点坐标,分出函数的上下关系；
（3）分割曲边梯形,根据交点坐标,分成几个部分；
（4）对每个部分求积分,找出每个部分的面积,然后相加
【例3】抛物线y 2
＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为__________．
【错因分析】一是对定积分理解不透彻．不知道面积肯定是正的,而积分可以为任意实数致误；二是对于有交叉的图形,不知道分段处理；对于具有对称性的图形,不善于利用对称性,使问题简化；三是在求面积的时候找不到上下关系,求出的值易出错；四是 有些题目让我们求封闭图形的面积,有些同学们误认为坐标轴也是封闭图形的一条线,事实上有些题目的封闭图形中,并不包含坐标轴． 【解析】如图所示,所求面积S ＝S A ＋S B ,
解方程组?
???
?y 2
＝2x ，y ＝4－x ， 得交点坐标为(2,2),(8,－4)．
A 部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ,下半支方程为y ＝－2x ,所以：
S A ＝??0
2[2x －(－2x )]dx ＝22?
?0
2x 12dx ＝22·23x 3
2|20＝16
3.
B 部分：S B ＝??28
[4－x －(－2x )]dx ＝? ??
??4x －12x 2
＋223x 32|82＝383.于是S ＝163＋383＝18. 【小试牛刀】【2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考】如图所示，曲线2
y x =和直线0,1x x ==及
1
4
y =
所围成的图形（阴影部分）的面积为__________．
【答案】
14
【解析】根据题意得曲线2
(0)y x x =>与14y =的交点坐标为11,24?? ???
∵曲线2
y x =和直线0x =， 1x =， 1
4
y =
所围成的图形（阴影部分）的面积为
11
2
22102
1144S x dx x dx ???
?=-+- ? ??
?????
∴围成的图形的面积为3311
11111111111| | 21433482434248402
S x x x x ????=-+-=-
+--+= ? ????? 故答案为
1
4
三、迁移运用
1.【2018届湖南省长沙市第二次模拟】若()
2
sin 18a
a
x
x dx -+=?，则a =__________．
【答案】3 【解析】
(
)
3
3
2
2sin cos 1833a
a
a
a
x a x x dx x --??+=-== ???? ， 327a = ，则3a =.
2．【2018届北京市东城区65中学高三上学期期中】定积分3
112d x x x ?
?
-= ??
?
?__________． 【答案】8ln3- 【解析】3
112d x x x ??-
??
?
? ()231ln |x x =- ()()22
3ln311ln =--- 8ln3=-． 3．【2018届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10
月联考】计算
)1
1
e
d x
x -=?______________.
【答案】
π
2e 22
+-
4．【2017届黑龙江虎林一中高三理上学期月考】曲线 2y x =和曲线 2y x =围成的图形面积是（ ）
8的
质,4426864==++a a a a ,故选C.
6．由曲线x y 1=,直线2
1
=x ,2=x 及x 轴所围成图形的面积是（ ） A ．2ln 2
1 B ．2ln
2 C ．415 D ．417[
【答案】B 【解析】曲线x y 1=,直线21=x ,2=x 及x 轴所围成图形的面积22
1
221|ln 1x dx x =?2ln 221
ln 2ln =-=,故答案为B ．
7．曲线x
y e =在点()
22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A ．
292e B ．23e C ．2e D ．21
2
e 【答案】D
数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
精品文档 定 积 分 教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解． 1.定积分的概念： 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明： （1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）积分的几何意义：曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 积分的物理意义： 变速运动路程21()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质2 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）
高中数学-定积分的概念测试 1．定积分??0 1 1d x 的值等于 ( ) A ．0 B ．1 C.1 2 D ．2 答案 B 2．已知??1 3 f (x )d x ＝56，则 ( ) A.??1 2 f (x )d x ＝28 B.??2 3f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3 f (x )d x ＝56 答案 D 3．如图所示，??a b f 1(x )d x ＝M ，??a b f 2(x )d x ＝N ，则阴影部分的面积为 ( ) A ．M ＋N B ．M C ．N D ．M －N 答案 D
4．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式 ( ) (1)??01 x d x ________??0 1x 2d x (图1)； (2)??01x d x ________??1 2 x d x (图2)； (3)??024－x 2d x ________??0 2 2d x (图3)． 答案 (1)> (2)< (3)<
1．定积分可以表示图形的面积 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分??a b f (x )d x 就表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分??a b f (x )d x 的几何意义． 2．定积分表示图形面积的代数和 被积函数是正的，定积分的值也为正，如果被积函数是负的，函数曲线在x 轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和． 3．此外，定积分还有更多的实际意义，比如在物理学中，可以用定积分表示功、路程、压力、体积等． 4．定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即??a b f (x )d x ＝??a b f (u )d u ＝??a b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，另外定积分??a b f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得的值也不同，例如??01(x 2＋1)d x 与??0 3(x 2 ＋1)d x 的值就不同.
选修2-21.5.3定积分的概念 一、选择题 1．定积分??1 3(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 [答案] A [解析] 由积分的几何意义可知??1 3(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3，y ＝0及y ＝－3所围成的矩形面积的相反数，故??1 3(－3)d x ＝－6. 2．定积分??a b f (x )d x 的大小( ) A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关 B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关 C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关 D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 [答案] A [解析] 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A 正确． 3．下列说法成立的个数是( ) ①??a b f (x )d x ＝∑i ＝1 n f (ξi )b －a n ②?? a b f (x )d x 等于当n 趋近于＋∞时，f (ξi )·b －a n 无限趋近的值 ③??a b f (x )d x 等于当n 无限趋近于＋∞时，∑i ＝1 n f (ξi )b －a n 无限趋近的常
数 ④??a b f (x )d x 可以是一个函数式子 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] A [解析] 由??a b f (x )d x 的定义及求法知仅③正确，其余不正确．故应 选A. 4．已知??1 3f (x )d x ＝56，则( ) A.??1 2f (x )d x ＝28 B.??2 3f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??1 2f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 [答案] D [解析] 由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝3及y ＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝2及y ＝0围成的曲边梯形知由y ＝f (x )，x ＝2，x ＝3及y ＝0围成的曲边梯形． ∴??1 3f (x )d x ＝??1 2f (x )d x ＋??2 3f (x )d x 即??1 2f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56. 故应选D. 5．已知??a b f (x )d x ＝6，则??a b 6f (x )d x 等于( ) A ．6 B ．6(b －a )
高中数学-定积分的概念练习 一、基础达标 1．下列命题不正确的是 ( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则 B ．若f (x )是连续的偶函数，则 C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则??a b f (x )d x >0 D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且??a b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 答案 D 2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3 ＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为 ( ) A. B ．2??0 1(x 3 ＋sin x )d x C ． D.??0 1(x 3 ＋sin x )d x 答案 B 3．已知??a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，??a b g (x )d x ＝10，则??a b f (x )d x 等于 ( ) A ．8 B ．10 C ．18 D ．不确定 答案 A 4．已知定积分??06f (x )d x ＝8，则f (x )为奇函数，则??-6 6f (x )d x ＝ ( ) A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 答案 A 5．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积， S ＝________.
答案 ??a b [f 1(x )－f 2(x )]d x (两图积分式相同) 6．由定积分的几何意义，定积分sin x d x 表示________． 答案 由直线x ＝0，x ＝π 2，y ＝0和曲线y ＝sin x 围成的曲边梯形的面积 7．根据定积分的几何意义推出下列积分的值． (1) x d x ；(2) cos x d x . 解 若x ∈[a ，b ]时，f (x )≥0，则??a b f (x )d x 的几何意义是表示由直线x ＝a ，x=b y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的平面图形的面积；若x ∈[a ，b ]时，f (x )≤0，则??a b f (x )d x 表示所围成的图形面积的负值． (1)如图①，x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图②，cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0. 二、能力提升 8．和式 1n ＋1＋1n ＋2＋ (12) ，当n →∞时的极限值用定积分式子可表示为 ( ) A.??011x d x B.? ?0 1 1 x ＋1d x
§1.5.3定积分的概念 教学目标： 1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景； 2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分； 3.理解掌握定积分的几何意义． 教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习： 1． 2二．新课讲授 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[ ,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a x n -D =），在每个小区间 []1,i i x x -上任取一点()1,2, ,i i n x =L ，作和式： 11 ()()n n n i i i i b a S f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ? ）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =ò， 其中 - ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量， [,]a b －积分区间，( )f x dx －被积式。 说明：（1）定积分() b a f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ? 时）记 为 ()b a f x dx ò，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取 点[]1,i i i x x x -?；③求和：1 ()n i i b a f n x =-?；④取极限：() 1 ()l i m n b i n a i b a f x dx f n x =-=?ò （3）曲边图形面积：()b a S f x dx = ò；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =ò ；变力做功 ()b a W F r dr = ò 2．定积分的几何意义
第 1 页 定 积 分 一、定积分的概念 1、曲边梯形的面积 分割→近似取代→求和→求极限 说明：（1）常用的求和公式 )12)(1(61...3212222++=++++n n n n 223333)1(4 1...321+=++++n n n （2）在定积分理论中，这种分割是任意的，只要保证每个区间的长度都向于0.在这里“等分”与“任意分割”等价的。 2、定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 3、定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[]b a ,上函数 )(x f 连续且恒有0)(≥x f 。那么定积分?b a dx x f )(表示由直线a x = b x =,)(b a <，0=y 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形 的面积。 4.性质1 、 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质2、 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? （定积分的线性性质） 性质3 、 ()()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<
学习目标 1．理解曲边梯形面积的求解思想, 掌握其方法步骤； 2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件； 3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法. 学习过程 一、课前准备 （预习教材，找出疑惑之处） 复习1：函数23 (sin) y x =的导数是 复习2：若函数2 log(23) a y x x =--的增区间是(,1) -∞-，则a的取值范围是 二、新课导学 学习探究 探究任务一：曲边梯形的面积 问题：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线() y f x =的一段，我们把直线x a =，x b =() a b ≠，0 y=和曲线() y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢？ 研究特例：对于1 x=，0 y=，2 y x =围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？ 新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程 分割?近似代替?求和?取极限 2.定积分的定义： 1 ()lim() n b i a n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ? 3.定积分的几何意义：
4.定积分的性质： （1）()()b b a a kf x dx k f x dx =?? （k 为常数） （2）1212[()()]()() b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? （3）()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+???（其中a c b <<） 试试：求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积. 反思：在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么？（如何分割，求和逼近是两大难点） 典型例题 例1 利用定积分的定义，计算1 30x dx ?的值 变式：计算2 30x dx ?的值，并从几何上解释这个值表示什么？
定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计) 题目：定积分的意义及其在几何中的应用 学院兰州大学数学与统计学院 专业数学应用 班级 09数学教育二班 学号 1500902052 姓名蔡兴盛 指导教师王宾国 兰州大学教务处制 二Ｏ一二年三月
定积分的意义及其在几何中应用 定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们 的生活中也起着很重要的作用！ 内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。 关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何 一、定积分的概念 1.1定积分的定义 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限． 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为 ()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑ ； ④取极限：() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑?
教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解． 1.定积分的概念： 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间 等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式： 如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为： 其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。 说明： （1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：等分区间； ②近似代替：取点； ③求和：； ④取极限： （3）积分的几何意义：曲边图形面积：； 积分的物理意义： 变速运动路程； 变力做功 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 性质2 （其中k 是不为0的常数） 性质3 性质4 例题：求曲线2x y =与0,1==y x 所围成的区域的面积 解：（1）分割:将区间等分成个小区间： （2）近似代替： 2)1(1n i n s i -=? （3）求和： 从而得到的近似值 )12)(11(61n n s --= （4）取极限：
例1．利用定积分的定义计算dx x )1(21 0+?的值。 例2．计算定积分=。 练习： 1.利用定积分的定义计算dx x )12(1 0+?的值。 2.计算下列定积分 （1） （2） （3） dx x )43(22 2--?- （4）求定分d x ．
§1.5.3定积分的概念 【学情分析】： 前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。 【教学目标】： （1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质 （2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。 （3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣. 【教学重点】： 理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质 【教学难点】： 对定积分概念形成过程的理解
练习与测试： （基础题） 1.函数()f x 在[] ,a b 上的定积分是积分和的极限，即 ()b a f x dx =? _________________ . 答案：0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑ 2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 . 答案：被积函数,积分区间,积分变量； 3.定积分的几何意义是_______________________ . 答案：介于曲线()y f x =,x 轴 ,直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和； 4.据定积分的几何意义()a b <，则________;b a dx =?________.b a xdx =?
答案：b a - ， 22 2 b a - （提高题） 5.将和式极限表示成定积分 (1). 2 1 lim (12)n n n →∞+++L 解：122 011 11 1 lim (12)lim lim n n n n n i i i n i xdx n n n n →∞→∞→∞==+++===∑∑?L (2). 2 1lim ()n i i i f x λξ→=?∑，其中{}0121,[,],n i i i i x a x x x b x x Max x ξλ-=<<<<=∈=L 解：2 20 1 lim ()()()n b b i i a a i f x g x dx f x dx λξ→=?==∑?? 6. 利用定义计算定积分 2 1 1 .dx x ? 解：在[1,2]中插入分点2 1 ,,,n q q q -L ,典型小区间为1[,]i i q q -，（1,2,,i n =L ） 小区间的长度11(1)i i i i x q q q q --?=-=-,取1 i i q ξ-=，（1,2,,i n =L ） 1 11 111 1()(1)n n n i i i i i i i i i f x x q q q ξξ--===?=?=-∑ ∑∑1 (1)(1)n i q n q ==-=-∑ 取2n q =即12n q =， 11 ()(21),n n i i i f x n ξ=?=-∑ 1 121 lim (21)lim ln 2,1 x x x x x x →+∞ →+∞--==Q 1lim (21)ln 2,n n n →∞ ∴-= 12 1 0111 lim lim (21)ln 2.n n i n i i dx x n x λξ→→∞==?=-=∑? () i g ξi x ?i ξ
定积分几何意义的动态演示 ------兼谈几何画板的制图方法 孙国庆 沿河县第二中学 565300 定积分是普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2中的重要内容，它的几何意义是：如果在区间],[b a 上函数)(x f 连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分?b a dx x f )(表示由直线0,,===y b x a x 和)(x f y =所围成的曲边梯形（图1）的面积.为了求曲边梯形的面积，主要采取“分割、近似代替、求和、取极限”等步骤来完成，在教学过中如果借助几何画板，可以形象直观地展示“以直代曲”“逼近”的过程，为帮助学生理解定积分的定义.本文拟借助几何画板求以2)(x x f =为曲边的曲边梯形面积的过程，渗透“以直代曲”的方法和极限思想. 一．用几何画板制作曲边梯形 步骤1.单击“图表”中的“正方形网格”，在横坐标轴上 “构造”线段AB ，分别“度量”出点A 、B 的值作为区间[b a ,]. 步骤2.在线段AB 上“构造”一点C ，并“度量”点C 的 “横坐标”得C x 的横坐标值. 步骤3.在“图表”中“新建函数”2)(x x f =，单击“度量” 中的“计算”，在“新建计算”框中点击2)(x x f =，再点击C x 点“确定”得函数2)(x x f =的纵坐标值. 步骤4.先后选中度量值C x 、2 C x ，单击“图表”中的“绘 制点”，得函数2)(x x f =图象上的一个点1C . 步骤5.先后选中点C 和1C ，单击“构造”中的“轨迹”，得函数2)(x x f =在区间[b a ,]上的图象. 步骤6.重复步骤3、4分别得出点A 、B 在函数图象上的 对应点1A 、1B ，再分别“构造”线段1AA 、1BB ，得曲边梯形11A ABB （如图1）. 二、对曲边梯形进行均匀分割 步骤1.在线段AB 上“构造”一点D ，重复上述“一”中的步骤6画线段1DD .
年 级 高二学科数学 内容标 题 定积分的计算 编稿老 师 胡居化 一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数) (x f在区间［a，b］上的定积分表示为：?b a dx x f) ( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f（x）在区间[a，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f) (的
几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图 （3）中：dx )x (f b a ?表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x= b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则
高中数学-定积分的概念课后练习 课时演练·促提升 A组 1. 如图所示,f(x)d x等于() A.S1+S2+S3 B.S1-S2+S3 C.-S1+S2-S3 D.-S1-S2+S3 解析:由定积分的几何意义,当f(x)≥0时,f(x)d x表示面积S,当f(x)≤0时,f(x)d x=-S.故选C.答案:C 2. 图中阴影部分的面积用定积分表示为() A.2x d x B.(2x-1)d x C.(2x+1)d x D.(1-2x)d x 答案:B 3.已知x d x=2,则x d x等于() A.0 B.2 C.-1 D.-2 解析:∵f(x)为奇函数,∴x d x=-x d x=-2. 答案:D 4.已知f(x)=x3-x+sin x,则f(x)d x的值为()
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.不确定 解析:易知f (x)为奇函数,由奇函数的性质f(x)d x=-f(x)d x,而f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x=0. 答案:A 5.设a=d x,b=x2d x,c=x3d x,则a, b,c的大小关系是() A.c>a>b B.a>b>c C.a=b>c D.a>c>b 解析:根据定积分的几何意义,易知x3d x
第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．当n 的值很大时，函数2()f x x =在区间,[ ]1i i n n -上的值可以用下列函数值近似代替的是 A ．()1f n B ．()2 f n C ．()f i n D ．()0f 2． π20 (sin )d x x x -=? A ．2 π14- B ．2π18- C ．2π8 D ．2 π18 + 3．若2 2 11 d s x x = ? ，1 22 d 1 s x x =? ，132d e x s x =?，则123s s s ，，的大小关系为 A ．123s s s << B ．213s s s << C ．231s s s << D ．321s s s << 4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲 和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是 A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面
5．物体A 以231(m /s)v t =+的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5m 处，同时以10(m /s)v t =的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用时间(s)t 为 A ．3s B ．4s C ．5s D ．6s 6．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25 ()731v t t +t =-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 2 7．已知函数()sin()1(0)2 f x x ??π =--<<，且230[()1]d 0f x x π+=?，则函数()f x 的一个零点为 A ．56π B ．3π C ．6π D ．712 π 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 8．已知函数()f x 为偶函数，且6 ()d 8f x x =? ，则6 6 ()d f x x -=?________________． 9．若 π20 (sin cos 2)d x x a x -=? ，则实数a =________________． 10．已知函数2 213,[3,0] 3()9,(0,3]x x f x x x ?-+∈-?=??-∈? ，则33 ()d f x x -=?________________． 11．如图，在边长为1的正方形OABC 内，阴影部分由曲线2(,01)y x y x x = =≤≤围成，在正方形内随 机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a ，则函数31(log ,()),3 x x x a f x x a ≥?? =?
4．5.3 定积分的概念 一、基础达标 1．下列命题不正确的是 ( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则 B ．若f (x )是连续的偶函数，则 C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则??a b f (x )d x >0 D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且??a b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 答案 D 2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为 ( ) A. B ．2??01(x 3＋sin x )d x C ． D.??0 1(x 3＋sin x )d x 答案 B 3．已知??a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，??a b g (x )d x ＝10，则??a b f (x )d x 等于 ( ) A ．8 B ．10 C ．18 D ．不确定 答案 A 4．已知定积分??06f (x )d x ＝8，则f (x )为奇函数，则??-6 6f (x )d x ＝ ( ) A ．0 B ．16 C ．12 D ．8
答案 A 5．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积， S ＝________. 答案 ??a b [f 1(x )－f 2(x )]d x (两图积分式相同) 6．由定积分的几何意义，定积分 sin x d x 表示________． 答案 由直线x ＝0，x ＝π 2，y ＝0和曲线y ＝sin x 围成的曲边梯形的面积 7．根据定积分的几何意义推出下列积分的值． (1) x d x ；(2) cos x d x . 解 若x ∈[a ，b ]时，f (x )≥0，则??a b f (x )d x 的几何意义是表示由直线x ＝a ，x=b y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的平面图形的面积；若x ∈[a ，b ]时，f (x )≤0，则??a b f (x )d x 表示所围成的图形面积的负值． (1)如图①，x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图②，cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0. 二、能力提升
曲边梯形的面积 一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。 二、教学重难点： 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限） 难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景 我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。 一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析 问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 ()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面 积？ 例题：求图中阴影部分是由抛物线2 y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。 思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化
为求“直边图形”面积的问题？ 分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用． 0.1 把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S ．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割 在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 间：10,n ??????，12,n n ??????，…，1,1n n -?? ? ??? 记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -?? =? ?? ?，其长度为 11 i i x n n n -?=-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
第五章定积分及其应用 5-1定积分的概念.几何意义、性质 5-2变限积分函数 5-3牛顿—莱布尼兹公式 5-4定积分的换元积分法和分部积分法 5-5广义积分与瑕积分 5-6定积分的几何应用 学IR 5. 1定积分的概念、几何意义、性质 V 引入实例 4二、定积分的概念 ＞三、定积分的几何意义 定积分的几何意义
一、引入实例 1.曲边梯形的面积 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积. 解决步骤： (1)分割用分点H "州勺? J ? f r 把区间阪耐分成〃个小区间 第「个小区间的长度记为A%?(心1,2,…，町，即
一、引入实例 1.曲边梯形的面积 (2)近似代替 在第i个小区间上任取一点＜匕W叫)， 用以△坷为宽JC)为高的小‘ 矩形 的面积/?)△叫近似代替相应小曲 边梯形的面积，即 一、引入实例 1.曲边梯形的面积 (3)求和 n n 1=1 t=l (4)取极限 a i| & E-iW E * b x AAj ?(/ = 1,2,…， “) 04占儿九禺心? b 天令兄=max{ Ax p Ax, ........ Ax n},则 职业技术学IR
一、引入实例 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，已知速度V= 且>0,如何计算物体从时刻t =找到时刻所经过的路程？ 一.引入实例 2?变速直线运动的路程 __________________ 解决步骤： (1) 把时间区间S0］分成〃个小区间 第，个小区间的长度记为 △“ = “ 一= 1,2,.??，“) 肩业技术字IR