导数及其应用小结
课标要求
（1）导数概念及其几何意义 ① 了解导数概念的实际背景. ② 理解导数的几何意义. （2）导数的运算
① 能根据导数定义，求函数x
y x y x y c y 1
,,,2
=
===的导数. ② 能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：
(C 为常数)；
1)'(-=n n nx x , n ∈N +； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=;
x x e e =)'(;
a a a x
x
ln )'(=;
x x 1)'(ln =
; e x
x a a log 1
)'(log =.
法则1 )()()]()(['
'
'
x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+.
法则3 )0)(()
()
()()()(])()([
2≠'-'='x v x v x v x u x v x u x v x u . （3）导数在研究函数中的应用
① 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.
② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.
（4）生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.
知识结构
知识小结
1． 导数的概念
(1)如果当0x ?→时，
y
x
??有极限，就说函数()y f x =在点0x x =处存在导数，并将这个极限叫做函数()f x 在点0x x =处的导数(或变化率)，记作0()f x '或0|x x y ='，即
00()lim __________________.
x y
f x x
?→?'==?0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的 ；瞬时速度就是位移函数()s t 对 的导数；加
速度就是速度函数()v t 对______________的导数.
(2)如果函数()f x 在开区间(,)a b 内的每一点都可导，其导数值在(,)a b 内构成一个新函数，这个函数叫做()f x 在开区间(,)a b 内的导函数，记作 或 . 2．几种常见函数的导数 (1) '____C =(C 为常数)； (2)()'________n
x =, n ∈N +
；
(3)(sin )'_______x =；
(4)(cos )'_______x =; (5)()'________x
e =; (6)()'_________x a =; (7)(ln )'______x =; (8) e x
x a a log 1
)'(log =
. 3．可导函数的四则运算法则
法则1'
[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 [()()]____________u x v x '=.(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)
法则3 ()
[
]_______________(()0)()
u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号) 4．函数的单调性
函数()f x 在某个区间(,)a b 内，若()0f x '>，则()f x 为 ；若()0f x '<，则()f x 为 ；若()0f x '=，则()f x 为 。
5．如果一个函数在某个区间内的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化 ，这时函数的图象就越“ ”。 6．（1）函数极值的概念
函数()y f x =在点x a =处的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都小，
()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧 ，右侧 ，则点x a =叫做
函数()y f x =的 ，()f a 叫做函数()y f x =的 .
函数()y f x =在点x b =处的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都大，
()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧 ，右侧 ，则点x b =叫做
函数()y f x =的 ，()f b 叫做函数()y f x =的 .
极小值点与极大值点统称为 ，极小值与极大值统称为 . （2）求函数极值的步骤：
① ； ② ； ③ 。
7．函数的最大值与最小值
在闭区间[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，()f x 在闭区间[,]a b 上求最大值与最小值的步骤是：
（1） ；
（2） 。
8．生活中常遇到求利润 ，用料 ，效率 等一些实际问题，这些问题通常称为 。
9．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
（1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中 ，根据实际问题确定 。
（2）求函数()y f x =的 ，解方程 ，得出定义域内的实根，确定 。 （3）比较函数在 和 的函数值的大小，获得所求函数的最大（小）值。
（4）还原到原实际问题中作答。
说明
1．导数是从众多实际问题中抽象出来的一个重要的数学概念，要从它的几何意义和物理意义来对这一概念加以认识，才能把握其实质；
2．导数的概念及其运算是导数就用的基础，是高考考查的重点内容.考查方式多以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义，也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题；
3．在对导数的概念进行理解时，特别要注意0()f x '与0(())f x '是不一样的，0()f x '代表函数()f x 在0x x =处的导数值，不一定为0 ；而0(())f x '是函数值0()f x 的导数，而函数值
0()f x 是一个常量，其导数一定为0，即0(())f x '=0；
4．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.
5．复合函数的求导问题是个难点，要分清中间变量与复合关系，复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环. 防止漏掉一部分或漏掉符号造成错误.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.
6．导数的应用包括以下几个方面:
(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间; (2)利用导数研究函数极值与最值; (3)利用导数研究曲线的切线问题; (4)利用导数研究不等式的证明问题; (5)利用导数研究函数的零点; (6)利用导数求参数的取值范围等.
在复习的过程中,应注意总结规律,一般来说,利用导数解决的问题,其所涉及的函数往往具有明显的特征,例如:三次函数等高次函数,非常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解决.再如：①f (x )在某个区间内可导，若f ′(x )＞0,则f (x )是增函数；若f ′(x )＜0,则f (x )是减函数.②求函数的极值点应先求导，然后令y ′=0得出全部导
数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y =x 3
,当x =0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y ′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.③可导函数的最值可通过(a ,b )内的极值和端点的函数值比较求得等等。
另外,在复习过程中,要注意等价转化,分类讨论,数形结合等数学思想方法的训练,在解决导数的综合应用题中,这些思想方法始终贯穿于其中,是正确解决问题的关键. 7．利用导数解决实际问题，关键在于要建立适当的数学模型（即函数关系），如果函数在区间内只有一个点使得()0f x '=的情形，此时函数在这点有极大（小）值，那么可不与区间端点的函数值进行比较，也可以知识这一点即为最大（小）值点。
8．实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义域是求解的关键。
典型例题
例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0
(2)(2)
lim
2h f h f h h
→+--；
(2)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++，求(0)f '.
解：(1)由已知条件和导数的定义，可得： 0(2)(2)
lim (2)1x f x f f x
?→+?-'==?，
当x h ?=时，00(2)(2)(2)(2)
lim lim 1h h f h f h f f h h h
→-→+----==-
00(2)(2)[(2)(2)][(2)(2)]
lim lim
22h h f h f h f h f f f h h h →→+--+-+--∴= 001(2)(2)1(2)(2)1[lim ][lim ][11]1222
h h f h f f f h h h →→+---=+=+=.
(2)解法一：000()(0)()
(0)lim lim lim(1)(2)(2008)2008!0x x x f x f f x f x x x x x
→→→-'===+++=-
解法二：令()(1)(2)
(2008)h x x x x =+++，则()()f x x h x =?
从而由导数乘法的计算公式得()()()f x h x x h x ''=+? 所以(0)(0)0(0)(0)1220082008!f h h h ''=+?==???=
例2．求下列函数的导数 (1)2
(21)(31)y x x =-+
(2)221
1
x x y x x -+=++
(3)y =
(4)32x
x
x
y e e =-+ (5)2ln 1
x
y x =
+ (6)2
sin(cos )y x =
解：(1) 解法一：2
3
2
(21)(31)6231y x x x x x =-+=+--，
32322(6231)(6)(2)(3)184 3.y x x x x x x x x '''''∴=+--=+-=+-
解法二：2
2
2
2
2
(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)12463y x x x x x x x x x x '''=-++-+=++-=++-
2184 3.x x =+-
(2) 222
22
11221,111x x x x x x
y x x x x x x -+++-===-++++++ 222222
2(1)2(21)22
(1)(1)x x x x x y x x x x ++-+-'∴=-=++++
(3) (111(1)x y x =
===--
y '∴= (4) (3)(2)(3)3()(2)3ln 2ln 2(3)32ln 2x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y e e e e x e e ln e '''''''=-+=+-=?-=-
(5) 2
2
2
2222222
1(1)ln 2(ln )(1)ln (1)(12ln )1
(1)(1)(1)x x x
x x x x x x x y x x x x +-?''+-?+-+'===+++.
(6)2222
cos(cos )(cos )cos(cos )2cos (cos )cos(cos )2cos (sin )y x x x x x x x x '''===-
2sin 2cos(cos ).x x =-
例3．已知函数x
e y x
=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值。
解：由于 x e y x =，所以0
00()x e f x x =，又2(1)x e x y x ?-'=，0002
(1)()x e x f x x -'∴= 依题意得00()()0f x f x '+=，即0002
00
(1)
0x x e x e x x -+=，0210x ∴-=，得012x =。 例4．已知曲线314
33
y x =+.
（1） 求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)P 的切线方程。
解：(1)所求切线的斜率为2
2|24x y ='==，故所求的曲线的切线方程为44(2)y x -=-即
440.x y --=
(2)设曲线31433y x =+与过点(2,4)P 的切线相切于点30014
(,)33
A x x +，
则切线的斜率为02
|x x k y x ='==，切线方程为3200014()()33
y x x x x -+=-，因为点(2,4)P 在切线上，所以32
000144()(2)33
x x x -+=-，
解得02x =或01x =-，故所求的切线的方程为：440x y --=或20.x y -+=
例5．在曲线y =x 3－x 上有两个点O (0，0)、A (2，6)，求弧OA 上点P 的坐标，使△AOP 的面积最大.
解：解法一:因为k OA =3，所以过弧OA 上点P 的直线的斜率k ′=k OA =3.
所以k ′=y ′=3x 2－1=3.所以3x 2=4. 所以x =332或x =－3
3
2 (舍去).
所以x =332,y =932，即P (332，9
3
2).
解法二:设P (a ,a 3
－a ),∵O (0,0)、A (2,6),∴直线OA 的方程为3x －y =0.
点P 到它的距离为d =
10
|
3|3a a a +-=
10
10|a 3
－4a |, ∵0＜a ＜2,∴4a ＞a 3.∴d =
10
10
(4a －a 3). ∵(d )′=1010 (4－3a 2),令4－3a 2=0,得a =332或a =－3
3
2.
∵0＜a ＜2,∴x =a =332时取最大值，此时y =(332)3－332=9
3
2.
∴P (332，9
32).
例6．已知抛物线21:2C y x x =+或2
2:C y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，
则称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。 (1)a 取什么值时1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； (2)若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。
解：(1)函数2
2y x x =+的导数是22y x '=+，曲线1C 在点2111(,2)P x x x +处的切线方程为：
21111(2)(22)()y x x x x x -+=+-，即211(22).y x x x =+- ①
函数2
y x a =-+的导数是2y x '=-，曲线2C 在点22(,)Q x x a -+处的切线方程为： 222()2()y x a x x x --+=--，即2
22
2y x x x a =-++ ②
如果直线l 是过点P 和Q 的公切线，则①②都是直线l 的方程，从而有12
22
12
1x x x x a +=-??-=+? 消去2x 得方程2
112210x x a +++=，由442(1)0a ?=-?+=，得12
a =-.
此时1212x x ==-，即点P 和Q 重合.故当1
2a =-时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，此公
切线方程为1
4
y x =-.
(2)由(1)知，当1
2
a <-时，1C 和2C 有两条公切线.设其中的一条公切线在1C 和2C 上的
切点分别为1122(,),(,)P x y Q x y ，
则2222
12121121111,2()2(1)1x x y y x x x a x x x a a +=-+=++-+=+-++=-+
即公切线段PQ 的中点是11(,
)22
a
-+-
同理可证，另一条公切线段P Q ''的中点也是11(,)22
a
-+-，所以公切线段PQ 和P Q ''相互
平分。
例7．若函数2
1()ln 22
f x x ax x =-
-存在单调递减区间,求实数a 的取值范围. 解：2121
()2ax x f x ax x x
+-'=--=-.因为函数()f x 存在单调递减区间,所以()0
f x '≤有解.又因为函数的定义域为(0,)+∞,则2
210ax x +-≥应有0x >的解.
(1)当0a >时,2
21y ax x =+-为开口向上的抛物线,2210ax x +-≥,总可以找到
0x >的解;
(2)当0a <时,2
21y ax x =+-为开口向下的抛物线,要使2210ax x +-≥总有大于0的解,则440a ?=+>且方程2210ax x +-=至少有一个正根,此时10a -<<.
(3)当0a =时,显然符合题意.
综上所述,实数a 的取值范围是(1,)-+∞.
例8．(2005年北京卷) 已知函数3
2
()39.f x x x x m =-+++3
2
()32g x x a x a =-- 若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20.
(1)求实数m 的值;
(2)是否存在实数1a ≥,使得对于1[2,2]x ?∈-,总存在0[0,1]x ∈,都有01()()g x f x =成立?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,说明理由.
解：（1）
2'()369.f x x x =-++令'()0f x <,解得1x <-或3,x >
所以函数()f x 的单调递减区间为(,1),(3,).-∞-+∞递增区间是(1,3)-. 又因为(2)812182f m m -=+-+=+,(2)8121822f m m =-+++=+ 所以(2)(2).f f >-
因为在(1,3)-上'()0f x >,所以()f x 在[1,2]-单调递增,
又由于()f x 在[2,1]--上单调递减,因此(2)f 和(1)f -分别是()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值.于是有2220m +=,解得 2.m =-
(2)由(1)知3
2
()39 2.f x x x x =-++-因此(1)13927.f -=+--=-
即函数()f x 在区间[2,2]-上的值域为[7-,20].22
()33g x x a '=-,由于1a ≥,所以当
[0,1]x ∈时,()0g x '≤,
因此当[0,1]x ∈时,()g x 为减函数,从而当[0,1]x ∈时,()[(1),(0)]g x g g ∈. 又因为2
(1)123,(0)2g a a g a =--=-,即当[0,1]x ∈时2
()[123,2]g x a a a ∈---
若对于1[2,2]x ?∈-,总存在0[0,1]x ∈,都
有01()()g x f x =,则应有2
[7,20][123,2]a a a -?---,即21237
220a a a ?--≤-?-≥?
,解得:10a ≤-但由于1a ≥,
故不存在这样的实数a .
例9．将函数ln 2y x =-的图象按向量(1,2)=-a 平移得到函数()y f x =的图象,求证:当
0x >时,2()2
x
f x x >
+. 解：将函数ln 2y x =-的图象按向量(1,2)=-a 平移得到函数()ln(1)y f x x ==+.
令2()()2
x
g x f x x =-+,则222
12(2)2()1(2)(1)(2)x x x g x x x x x +-'=-=++++, 因为0x >,所以()0g x '>,即函数()g x 在区间(0,)+∞上是单调增函数,于是有
()(0)0g x g >=,即2()02x f x x -
>+,因此有当0x >时,2()2
x f x x >+ 例10．设a 为实数,函数3
()3f x x x a =-++
(1)求()f x 的极值;
(2)当a 为何值时,函数()y f x =恰好有两个零点?
解：(1)令2
()330f x x '=-+=，得121,1x x =-=.又因为(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<； (1,1)x ∈-时，()0f x '>；(1,)x ∈+∞，()0f x '<，所以()f x 的极小值为(1)2f a -=-；
()f x 的极大值为(1)2f a =+.
(2)因为()f x 在(,1)x ∈-∞-上单调递减，且当x →-∞时，()f x →-∞；又()f x 在
(1,)x ∈+∞上单调递减，且当x →+∞时，()f x →-∞；而22a a +>-，即函数的极大
值大于极小值，所以当极大值大于或等于零时，有极小值小于或等于0，此时曲线()y f x =与x 轴恰好有两个交点，即函数()y f x =恰好有两个零点，所以20,2a a +==-；当极小值等于0时有极大值大于0，此时曲线与曲线()y f x =与x 轴也恰好有两个交点，即函数
()y f x =恰好有两个零点，所以20,2a a -==。
综上所述知，当2a =±时，函数()y f x =恰好有两个零点。 例11．(2007山东省样题)已知函数()()2
1ln ,,02
f x x
g x ax bx a ==
+≠ （Ⅰ）若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围； （Ⅱ）设函数()x f 的图象C 1与函数()x g 图象C 1交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.
解：（I ）x ax x x h b 22
1ln )(,22
--==时，则.1221)(2x x ax ax x x h -+-
=--=' 因为函数()x h 存在单调递减区间，所以0)(<'x h 有解. 又因为0>x 时，则0122
>-+x ax 有0>x 的解.
①当0>a 时，122
-+=x ax y 为开口向上的抛物线，0122
>-+x ax 总有0>x 的
解；