年级：______________________班级：__________________姓名：__________________考试号：______________________
x
y G F E
A
C
B O
D
苏州市立达中学校
2018-2019
学年度
第 二 学 期
二模考试 试卷
数 学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．下列实数中的无理数是（ ）
A ．1
B ．0
C ．1
3
D ．π
2．一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是（ ）
A ．864×102秒
B ．86.4×103秒
C ．8.64×104秒
D ．0.864×105秒
3．下列计算正确的是（ ）
A ．a 3?a 3＝a 9
B ．a 2＋a 2＝2a 4
C ．a 2÷a 2＝0
D ．(a 2)3＝a 6 4．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．计算
a 2－
b 2
ab ÷(1a －1
b
)结果为（ ） A ．1
B ．－1
C ．a ＋b
D ．－a －b
6．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD =30°，则∠BAD 的度数为（ ）
A ．30°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）
A ．47
B ．37
C ．27
D ．17
8．如图，已知矩形AOBC 的顶点O （0，0），A （0，3），B (4，0)，按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC 、OB 于点D 、E ；②分别以点D 、E 为圆心，大于
1
2
DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点F ；③作射线OF ，交边BC 于点G ．则点G 的坐标为（ ） A ．（4，
43） B ．（43，4） C ．（53，4） D ．（4，53
） 9．如图，一船以每小时36海里的速度向正北航行到A 处，发现它的东北方向有一灯塔B ，船继续向北航行40分钟后到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东75°方向，则此时船与灯塔的距离为（ ） A ．24 B ．2 C ．6 D ．242
（第9题） （第10题）
10．如图，直线333
--
=x y 与x 、y 轴分别交于A 、B ，与反比例函数x
k y =的图像在第二象限交于点C ，过A 作x 轴的垂线交该反比例函数图像于点D ．若AD =AC ，则k 值为（ ） A ．93-
B ．3-
C ．33-
D ．23-
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 11．64的立方根是 ▲ ．
12．样本数据3，2，4，a ，8的平均数是4，则这组数据的众数是 ▲ ． 13．关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是﹣2和1，则n m 的值为 ▲ ． 14．正六边形的边长为8cm ，则它的面积为 ▲ cm 2．
15．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝9，D 为AB 中点，F 为CD 上一点，且CF ＝
1
3
CD ，过点B 作BE ∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长度为 ▲ ．
（第15题） （第17题） （第18题）
16．圆锥的底面周长为6πcm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面展开扇形的圆心角度数为 ▲ ． 17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，
点A 对应点G 落在矩形ABCD 的边CD 上，若∠CEF ＝α，则tan α的值为 ▲ ．
18．如图，菱形ABCD 的边AB ＝8，∠B ＝60°，P 是AB 上一点，BP ＝3，Q 是CD 边上一动点，将四
边形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，则CA ′的长度最小值为 ▲ ．
三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 19．（本题满分5分）计算：11
|2|()163
--+-．
20．（本题满分5分）解不等式组：3(2)4,2113x x x x -->??
+?>-??．
21．（本题满分6分）已知△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，点D ，E 分别为边AB 、
AC 的中点，求证：BE ＝CD ．
22．（本题满分6分）端午节放假期间，小明和小华准备到苏州的金鸡湖（记为A ）、天平山（记为
B ）、虎丘（记为
C ）、同里古镇（记为
D ）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同． （1）小明选择去天平山游玩的概率为 ．
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去同一个景点游玩的概率．
23．（本题满分8分）某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进
行分析，绘制成如下的统计表：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩x /分 频数 频率 第1段
x ＜60
2 0.04 第2段 60≤x ＜70 6 0.12 第3段 70≤x ＜80 9 b 第4段 80≤x ＜90 a 0.36 第5段 90≤x ≤100
15
0.30
请根据所给信息，解答下列问题： （1）a ＝ ，b ＝ ； （2）请补全频数分布直方图；
（3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第 段；
（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估
计该年级成绩为优的有多少人？
24．（本题满分8分）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客
车和5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个． （1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值． 25．（本题满分8分）已知，抛物线y ＝ax 2+ax +b （a ≠0且a ＜b ）与x 轴交于点A （1，0）．
（1）求b 与a 的关系式及抛物线的顶点B 所在象限；
（2）点A 关于y 轴的对称点是点A ′，将该抛物线沿着y 轴向下平移2个单位长度得到一条
新抛物线，若新抛物线经过点A ′，求新抛物线对应的函数表达式．
26．（本题满分10分）如图，AB ，AC 是⊙O 的弦，过点C 作CE ⊥AB
于点D ，交⊙O 于点E ，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，交CE 于点G ，连接BE ．
（1）求证：BE ＝BG ；
（2）过点B 作BH ⊥AB 交⊙O 于点H ，若BE 的长等于半径，BH ＝4，
AC ＝27，求CE 的长．
G
F
E
C
B
D A
年级：______________________班级：__________________姓名：__________________考试号：______________________
27．（本题满分10分）已知矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE 于点F ．
（1）如图1，若2BE =，求AE ·AF 的值；
（2）如图2，连接AC 交DF 于点G ，若
2
3
AG CG =，求cos ∠FCE 的值； （3）如图3，延长DF 交AB 于点G ，若G 点恰好为AB 的中点，连接FC ，过A 作AK ∥FC 交
FD 于K ，设△ADK 的面积为S 1，△CDF 的面积为S 2，则12
S
S 的值为 ．
28．（本题满分10分）如图①，正方形ABCD 中，点A ，B 的坐标分别为（0，10），（8，4），
点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，
同时动点Q 以相同的速度在x 轴正半轴上运动，当点P 到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．
（1）正方形边长AB ＝__________，顶点C 的坐标为___________；
（2）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函
数图像如图②所示，设此时△OPQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式并写出自变量的取值范围．
（3）如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否
相等？若能，求出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．
图3
图1
图2
数学模拟试题答案
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．D2．C3．D4．A5．D 6．C7．A8．A9．D10．B 二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．4 12．3 13．16 14．963
15．6 16．216°17．1
3
18．2
三、解答题：（共76分）
19．（本题满分5分）
解：原式＝2+3-4 ………………………………3分
＝1．………………………………5分
20．（本题满分5分）
解：解不等式①，得x＞1，………………………………2分解不等式②，得x＜4，………………………………4分
所以不等式组的解集为：1＜x＜4．………………………………5分
21．（本题满分6分）
证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
∵点D、E分别是AB、AC的中点．∴AD＝AE，
在△ABE与△ACD中，
AD AE
A A AC AB
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD．22．（本题满分6分）
解：（1）1
4
（2分）；
（2）画树状图分析如下：
（5分）因为两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同一个景点的方案有4种，所以小明和小华都选择去同一个景点游玩的概率P=
41
164
=．（1分）
23．（本题满分8分）
解：（1）a＝18，b＝0.18（2分）
（2）略（4分）
（3）4（6分）
（4）400×0.3=120名，
答：该年级成绩为优的有120人．（6分）
24．（本题满分8分）
解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个，
根据题意可得：
17
65300
y x
y x
-=
?
?
+=
?
，（2分）
解得：
18
35
x
y
=
?
?
=
?
．
答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；（4分）（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则
18a+35（11﹣a）≥300+30，（6分）
解得：a≤3．
符合条件的a最大整数为3．（8分）
答：租用小客车数量的最大值为3．（8分）
25．（本题满分8分）
解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点A（1，0），
∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a．
∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+
1
2
）2﹣
9
4
a．
∴抛物线顶点B的坐标为（﹣
1
2
，﹣
9
4
a）．
∵a＜b，即a＜﹣2a，∴a＜0，∴﹣
9
4
a>0．
∴抛物线的顶点B在第二象限；（4分）
（2）点A 关于y 轴的对称点点A ′（－1，0）
设抛物线向下平移2个单位，则新抛物线解析式为y ＝a (x ＋12)2－9
4a －2
由于该抛物线经过点A ′（－1，0），故14a －9
4a －2＝0 ∴a ＝－1
∴新抛物线的函数表达式是y ＝－(x ＋12)2＋1
4
（8分）
26．（本题满分10分）
（1）证明：由圆周角定理得，∠BAC ＝∠BEC ，
∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠ADC ＝∠GFC ＝90°， ∴∠CGF ＝∠BAC ，∴∠BEC ＝∠CGF ，
∵∠BGE ＝∠CGF ，∴∠BEC ＝∠BGE ，∴BE ＝BG ；（4分）
（2）解：连接OB 、OE 、AE 、CH ，
∵BH ⊥AB ，CE ⊥AB ∴BH ∥CE ， ∵四边形ABHC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ACH ＝∠ABH ＝90°，∴BF ∥CH ， ∴四边形CGBH 为平行四边形，（6分） ∴CG ＝BH ＝4，
∵OE ＝OB ＝BE ，∴△BOE 为等边三角形，∴∠BOE ＝60°， ∴∠BAE ＝12∠BOE ＝30°，∴DE ＝12
AE ，（7分）
设DE ＝x ，则AE ＝2x ，由勾股定理得，AD ＝223AE DE x -=， ∵BE ＝BG ，AB ⊥CD ，∴DG ＝DE ＝x ，∴CD ＝x +4，
在Rt △ADC 中，AD 2+CD 2＝AC 2，即（3x ）2+（x +4）2＝（27）2，（9分） 解得，x 1＝1，x 2＝﹣3（舍去）
则DE ＝DG ＝1，∴CE ＝CG +GD +DE ＝6．（10分）
27．（本题满分10分）
（1）证得△ABE ∽△DF A ，∴AE AD ＝BE
AF （2分）
∴AE ·AF ＝AD ·BE ＝22×2＝4（3分）
（2）延长DF 交CB 延长线于点P ，可证得AD CP ＝AG CG ＝2
3（5分）
则AF ＝CF ＝BE ，进而∠AEB ＝60°，∠FCE ＝30°，cos ∠FCE ＝3
2
（7分） （3）3
8
（10分）
28．（本题满分10分）
解：（1）AB =10（1分）
C 点的坐标为（14，12）；（3分）
(2) 由图②知：点Q 横坐标为t ＋1，t ＝0时，Q （1，0），
点P 在边AB 上运动时间为10秒，
所以速度为：10÷10＝1，则点P 运动速度为每秒1个单位长度； 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， ∴PM ∥BF ，则△APM ∽△ABF ∴AP AB ＝AM AF ＝MP BF
∴t 10＝AM 6＝MP 8
∴AM ＝35t ，PM ＝45
t
∴PN ＝OM ＝10－35t ，ON ＝PM ＝4
5
t
∴S ＝12OQ ·PN ＝12×(10－35t )×(1＋t )＝－310t 2＋47
10
t ＋5（0≤t ≤10）（7分）
（3）OP 与PQ 相等，组成等腰三角形，
即当点P 的横坐标等于点Q 横坐标一半时，满足条件：
①当P 在AB 上时（0≤t ≤10）， 45t ＝12(t ＋1)，t ＝5
3
②当P 在BC 上时（10＜t ≤20），8＋35(t －10)＝1
2(t ＋1)，t ＝－15（舍去）
③当P 在CD 上时（20＜t ≤30），14－45( t －20)＝12(t ＋1)，t ＝295
13
综上所述，当t ＝53或295
13
时，OP 与PQ 相等（10分）