二元一次方程
1．教学重点：二元一次方程及其解的概念
2．教学难点：（1）用列表法求二元一次方程的解
（2）把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形成，其实质是解一个含有字母系数的方程，是难点。
3．教学方法：启发式讲授法、合作探究法
4．教学过程:
教师活动学生活动设计意图
回顾旧知，学习新课：
一元一次方程的概念及一元一次方程解的概念。
情景一：
体育课上老师组织投球比赛，投一球得2分，有位同学一共得10分，问这位同学一共投了多少个球？（用一元一次方程求解）有几种情况？
情景二：
根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分，在一次中学生篮球联赛中，一支球队赛完若干场后得20分。问该队赢多少场？输多少场？
师点拨：用表格的方法列出输赢的所有可能情况。
思考：（1）你是怎样列表的?
（2）填表过程中有什么发现？
（3）
教师追问：我们知道，每取一个x，就有一个y相对应；反之，若先确定y，x能否确定？（1）含有一个未知数；
（2）未知数的的次数为
1；（3）方程（整式）。
能使方程左右两边相等
的未知数的值叫做方程
的解。
积极思考，独立完成：设
投进x个球。则有：2x=10
有唯一解，投进5个球。
设该队赢了x场,输了y
场
2x+y=20
学生在老师的调动下积
极思考，发现问题，寻求
解决方案。
先独立思考、独做，后分
组讨论：
发现：（1）x、y必须取
非负整数，且有一定的范
围；
（2）不止一个答案；
（3）每取一个x，就有
一个y相对应。
生：可以！但是当y=1，
3，5，……时，x为小数,
不合题意，不予考虑。
通过回顾一元一
次方程的概念，渐
渐引入二元一次
方程
通过思考、探究，
初步体会二元一
次方程解的不唯
一性和相关性
逆向思维，进一步
加深对解的相关
性的理解。
2x+y=20，2x+3y=25是什么方程？这两个方程有哪些共同的特点？ 二元一次方程的概念
二元一次方程解的概念\
师追问：（1）一个二元一次方程有多少个解？（2）在上述情境中呢？
先观察，独立思考，再分组讨论交流。
小组小结：二元一次方程：（1）含有两个未知数；（2）所含有未知数的项的次数都是1；（3）方程（整式）。
适合二元一次方程的一对未知数的值称为这个二元一次方程的一个解。
一般的，一个二元一次方程有无数个解，但在实际问题中要具体考虑。
通过类比的方法将一元一次方程的相关概念适时的迁移到二元一次方程上来，符合学生学习的最近发展区理论。 通过观察、思考、分析两个方程的特点，使学生经历概念的归纳和概括的过程，引导学生深层次地参与到概念的形成过程中。
区别纯代数问题和实际问题，力求数学思维的完备性。
巩固练习，拓展思维
例1：下列方程中,哪些是二元一次方程?不是的说明理由.
(3)3pq=-8 (4) 2y 2-6y=1 (5)5(x-y)+2(2x-3y)=4 (6) 7x+2=3
例2：下面3对数值，那几对是二元一次方程2x+y=3的解？那几对是3x+4y=2的解？
根据二元一次方程的概念，学生口答。
学生板演：
根据二元一次方程解的概念
(2)、(3)是2x+y=3的解，（1）（2）是3x+4y=2的解。
生独做。（1）展示错误资源；
（2）师生共同探讨。
通过练习使学生巩固二元一次方程的概念，把握住概念的本质.
渗透两个二元一次方程的公共解，为后续知识的学习服务。
X=-2 y=2
X=2 y=-1
X=0.5 y=2
1
23)1(=+y x
3
)2(x y +
归纳小结
教师引导学生从回顾知识和总结方法两个方面进行课堂小结．
(1)回顾知识:二元一次方程的相关概念． (2)总结方法:
设未知数 列方程
数学方法的多样性等。
课外训练：
(1)二元一次方程2x-y=3中，当x=2时，y= ; 二元一次方程 中，当y=-2时，x= ;
(2)甲种铅笔每枝０．２元，乙种铅笔每枝０．５元，现在某人买了x 枝甲种铅笔，y 枝乙种铅笔，共花了７元．
（１）列出关于x,y 的二元一次方程． （２）如果x ＝５，那么y 的值是多少？ （３）如果乙种铅笔买了１０枝，那么甲种铅笔买了多少枝？
今天，我的收获是……
学生当堂完成。
主要由学生进行总结和互相补充，教师只做适当的点拨，以培养学生的归纳概括能力．
限时训练，主要是对本节课所学知识的终结性评价.
实际问题 二元一次方程 12
=+y x
1对1个性化教案 学生学科数学年级九年级教师李瑞芳授课日期授课时段 课题一元二次方程 重点难点重点：掌握一元二次方程的概念、解法及应用 难点：一元二次方程的特殊解法、韦达定理及应用 教学内容 【基础知识：】 1、一元二次方程的概念怎样？其一般形式怎样？ 2、你能说出下列方程是几元几次方程吗？ (1) 2x + 3 = 0 (2) 3x – 8 = 0 (3) 3x + y = 7 (4) 3、分析：一元二次方程一般形式中各部分概念？（即认识：二次项及二次系数、一次项及一次项系数、常数项） 4、方程的根：x = 3是一元一次方程2x – 6 = 0的根吗？ x = 1及x = -3是一元一次方程的根吗？ 例1、你能找出下列方程的根吗： 5、一元二次方程的解题思想-------降次 （1）直接开平方法； （2）配方法； （3）公式法； （4）因式分解法--------十字相乘法； （5）根与系数的关系-------韦达定理。 【重点知识】 一、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是() 200 ax bx c a ++=≠． 典型例题解析:
例1．方程()221 170m m m x x m --++-=是一元二次方程，则m = ． 分析：考查一元二次方程的概念及其成立的条件（二次项系数a 不为零）． 例2：指出下列一元二次方程中a,b,c 的值 （1）2x 2+3x-4=0； （2）16y 2+9=24y ； （3）3x 2-2x+2=0； （4）3t 2-36t+2=0； （5）5（x 2+1）-7x=0． 二、用适当的方法解方程 1、直接开平方法：形如 或者 的方程； 例1、给下下列等式填上适当的数字。 例2、用直接开平方法求出下列方程的根： 2、配方法：方程都能化成或形式，从而 去求解。 1、思考：求的根 例1：解下列方程：
《第三课：我国政府是人民的政府之政府的职能》 教学设计 一、讲授章节： 第三课第一节——政府的职能：管理与服务 二、全章概述： 本章节从学生熟悉的实例入手，通过认识政府履行国家职能及其表现来感受和理解政府的作用，真正体味到我们政府的主要职责是管理与服务；在了解政府职能是管理与服务后，进一步深入了解政府的具体职能及其政府履职的目的和目标，体味人民政府的真正内涵。 三、教学目标： （一）知识目标 1、理解人民民主专政的国体与政府行使管理与服务职能的内在关系。 2、识记我国政府职能的含义；我国政府职能的只要内容；我国政府履职的目的及目标。 3、结合日常生活的事例感受政府的作用。 （二）能力目标 1、从国家行使国家职能的具体事实，判断其属于何种职能。 2、说明政府履职对我们生活和社会经济发展的影响和作用。 （三）情感、态度与价值目标 通过对我国的政府职能的学习，使同学们进一步升华对我国政
府是人民的政府的认同。同时，使同学们树立热爱祖国，拥护政府，关心时政的思想觉悟。 四、教学重难点： 政府职能及其区分 五、教学方法： 教师启发、引导，学生自主阅读、思考、讨论，总结与回顾。六、教学过程： （一）复习提问 我国的国家性质是什么？ 学生回答：人民民主专政的社会主义国家。 老师引入：人民民主专政的社会主义国家我国政府是人民的政府（板书课题） （二）引入新课 我国是一个人民民主专政的社会主义国家，人民民主的本质是人民当家作主。这就决定了我国的政府是人民的政府。大到社会管理，小到公民日常生活，我们时时刻刻感受到政府的作用。那么在社会生活中政府主要在为我们做什么？政府的行为对我们有什么影响？这都是我们本课要学习和探究的问题。那么，首先我们来感性体味一下政府的“公仆”本色。 （三）进入新课 1、“公仆”本色 教师：引导学生阅读教材36页的材料并填写PPT上的表格。
一元二次方程的解法例析 【要点综述】： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。 根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式 方程叫做一元二次方程，一般式为：。 一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。 整式方程的概念：方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数。 因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方 程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。 下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。 一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法； 3、公式法； 4、因式分解法。如下表：
方法适合方程类型注意事项 直接开平 方法 ≥0时有解，＜0时无解。 配方法二次项系数若不为1，必须先把系 数化为1，再进行配方。 公式法≥0时，方程有解； ＜0时，方程无解。先化为一般形 式再用公式。 因式分解法方程的一边为0，另 一边分解成两个一 次因式的积。 方程的一边必须是0，另一边可用 任何方法分解因式。
【举例解析】 例1：用开平方法解下面的一元二次方程。 （1）；（2） 分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程， 其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做； 解：（1） ∴（注意不要丢解）由得，由得 ，∴原方程的解为：， （2） 由得， 由得∴原方程的解为：， 说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式， 像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时， 只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。 例3：用配方法解下列一元二次方程。
微格教学教案格式
化学微格教学教案 系别：化学系 专业：化学教育 班级：121班 姓名：王瑗 学号：2012121146
微格教学教案格式 班级：__121________科目：____高中化学____时间__2014.11.19__ 主讲人: _____王瑗 _____指导老师：李鹏鸽 从
1分30秒【提问】展示一个实验装置：在 硫酸溶液中插入一个锌片和铜 片，问大家会看到什么现象？ 【再次提问】那如果我们用一根 导线将锌片和铜片连接起来，和 原来会有什么不同吗？ 【过度】很好，那我们再在导线中 接上一个电流表后发现，电流表指针 发生了偏转，说明有电流产生，是不 是也就验证了大家刚才的猜想。 【讲述】1.实验中铜片表面为什么有 气泡？2.流计指针为什么偏转？ 1.Zn、Cu用导线连接一同浸入稀硫 酸时，Zn比Cu活泼，易失去电子， 电子从Zn片流出通过导线流向Cu 片，电子定向移动形成电流，故电流 计指针有偏转。 2.溶液中的H+从Cu片获得电子， 2H+ +2e-=H2，生成氢气，故Cu片表面有 气泡生成。 【提问】我们大家现在根据这个 提问技 能 提问技 能 讲解技 能 【回答】 锌表面会有气泡 产生，铜和硫酸 不反应。 导线是用来连接 电路的，应该有 电流吧 锌片逐渐溶解， 铜片上有大量气 泡产生。指针发 生偏转，产生电 流。 对照书本，认真 做笔记。 从已学的知识一点一 点向新知识渗透，通 过实验装置的一点点 变化，引出原电池的 装置，便于学生的吸 收，且让学生在观 察、分析、讨论中发 现问题、提出问题、 解决问题。 提高学生的分析、表 达、归纳能力。 用旧知识引导学生从
一元二次方程复习
期末复习——一元二次方程 1. 一元二次方程的概念： （1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。 （2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法： ()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的 方程。 ax b c a c +=≠≥200() （2）配方法： ()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次 项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。 1x px p x m n n 22220+?? ?? ?+=≥() （3）公式法： 用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。 关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要 注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式）， 若，则代入求根公式。a b c b ac b ac x b b ac a ?=--≥=-±-22 244042 （4）因式分解法： 适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式 ()来判断。即根的情况可以用判别式一元二次方程?-≠=++ac b a c bx ax 400 22 当时，方程有两个不相等的实数根。b ac 240-> 当时，方程有两个相等的实数根。b ac 240-= 当时，方程没有实数根。b ac 240-< 根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程根与系数关系。 ()已知、是一元二次方程＋＋＝的两个根，那么，，，逆命题也成立。x x ax bx c a x x b a x x c a 122121200≠+= -?= 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。 （2）不解方程，求某些代数式的值。 （3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。 （4）已知两数和与积，求这两个数。
山不一定要高，有了仙人就著名了。水不一定要 深，有了龙就灵异了。这虽是简陋的房子，只是 我的品德美好（就不感到简陋了）。青苔碧绿， 长到台阶上，草色青葱，映入帘子中。与我谈笑 的是博学的人，往来的没有不懂学问的人。可以 弹奏朴素的古琴，阅读珍贵的佛经。没有嘈杂的 音乐扰乱两耳，没有官府公文劳累身心。它好比 南阳诸葛亮的茅庐，西蜀扬子云的玄亭。孔子说： “有什么简陋的呢” 4、研读课文（分组讨论法） 现在给大家一些时间分组讨论以下的几个问题（ppt）等下请同学们回答。 （1）文章开头诗人用有仙之山，有龙之水具体比什么 “山不在高，有仙则名。水不在深，有龙则灵。运用比喻、对偶起兴，以虚衬实，以山 水引出陋室。这里，用山、水来比“室”，用“不 在高”“不在深”比“陋”，用“仙”“龙”来 比“德”，用“名”和“灵”来比“馨”。 作者的目的是写陋室，却用山水作比喻，这种方法叫比兴。这种比兴的修辞，不仅构思新颖， 文意通达，而且句句相连，使文意波澜起伏耐人 寻味。既然山之名不在于高而在于仙，水之灵不 在于深而在于龙，那么，室之陋与不陋，也就不 在于它是否富丽堂皇，而在于主人之德是否高 尚。看来“馨”字画龙点睛，统领全篇，是全文 的文眼。 （2）、“斯是陋堂，惟吾德馨。”这两句在文中起什么作用深刻含义是什么 “陋室”二字扣题。“德馨”二字统领全篇，是 全文的核心。用“惟”字加强语气。这两句包含 两层意思，一层是由于人的品德高尚，就忘却了 室陋，另一层意思是由于人的品德高尚为陋室增 光添采。 （3）、陋室不陋具体表现在哪些方面呢 A、“苔痕上阶绿，草色入帘青”，写环境 的清幽、雅致。——景。反映出室主人淡泊名利 的志趣。这是写陋室的环境，用的是对偶、拟人 的修辞方法。 对偶还用了什么方法呢回答：。 “上、入”采用拟人的方法，以动写静，采用拟 人的手法，赋予苔藓、草色以人的灵性，“苔藓” 也想从台阶爬到陋室，听听主人在说些什么； “草色”也想从窗户窥视主人在干些什么。这样 把苔藓和青草写活了。既有精神又有韵味，我们 已不觉陋室的环境凄凉、荒芜，而感觉春意正浓， 生机盎然。用拟人的手法渲染了环境的幽雅，流 露出了作者的喜悦之情。 B、“谈笑有鸿儒，往来无白丁”，写朋友的贤 良儒雅，反映出室主人高洁傲岸的情怀。除了对 偶，还有衬托。作者没写自己是什么人，而是写 与他交往的朋友。俗话说，欲知其人应知其友， 知其友者必知其人。因此我们便得知主人必是高 雅之士。主人德才兼备，表明主人高雅脱俗的情
第二十一章一元二次方程单元测试卷 时间：40分钟 分数：100分 班别____________ 考号__________ 姓名___________ 一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1.若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m ＝2 C ．m ＝ —2 D ．2±≠m 2. 关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．k ≤92 B ．k ＜92 C ．k ≥92 D ．k ＞92 3.如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1，那么这个一元二次方程是（ ） A. x 2＋3x ＋4＝0 B.x 2＋4x －3＝0 C.x 2－4x ＋3＝0 D. x 2＋3x －4＝0 4．一元二次方程(m －2)x 2－4mx ＋2m －6＝0有两个相等的实数根，则m 等于 （ ） A. －6 B.1 C. 2 D. －6或1 5.已知m ，n 是方程x 2－2x －1＝0的两根，且(7m 2－14m ＋a)(3n 2－6n －7)＝8，则a 的值等于 （ ） A ．－5 B.5 C.－9 D.9 6．已知代数式3－x 与－x 2＋3x 的值互为相反数，则x 的值是（ ） A ．－1或3 B ．1或－3 C ．1或3 D ．－1和－3 7．一元二次方程x 2＋3x －4＝0的解是 （ ）． A ．x 1＝1，x 2＝－4 B ．x 1＝－1，x 2＝4 C ．x 1＝－1，x 2＝－4 D ．x 1＝1，x 2＝4 8．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2－16x ＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24 B ．24或58 C ．48 D ．58
化学微格教学教案 系别：化学系 专业：化学教育 班级：121班 姓名：王瑗 学号：2012121146
微格教学教案格式 班级：__121________科目：____高中化学____时间__2014.11.19__ 主讲人: _____王瑗_____指导老师：李鹏鸽
1分30秒【提问】展示一个实验装置：在硫酸 溶液中插入一个锌片和铜片，问大家 会看到什么现象？ 【再次提问】那如果我们用一根导线 将锌片和铜片连接起来，和原来会有 什么不同吗？ 【过度】很好，那我们再在导线中 接上一个电流表后发现，电流表指针 发生了偏转，说明有电流产生，是不 是也就验证了大家刚才的猜想。 【讲述】1.实验中铜片表面为什么有 气泡？2.流计指针为什么偏转？ 1.Zn、Cu用导线连接一同浸入稀硫酸 时，Zn比Cu活泼，易失去电子，电 子从Zn片流出通过导线流向Cu片， 电子定向移动形成电流，故电流计指 针有偏转。 2.溶液中的H+从Cu片获得电子，2H+ +2e-=H2，生成氢气，故Cu片表面有 气泡生成。 提问技能 提问技能 讲解技能 【回答】 锌表面会有气泡产 生，铜和硫酸不反 应。 导线是用来连接电 路的，应该有电流 吧 锌片逐渐溶解，铜 片上有大量气泡产 生。指针发生偏转， 产生电流。 对照书本，认真做 笔记。 从已学的知识一点一点 向新知识渗透，通过实 验装置的一点点变化， 引出原电池的装置，便 于学生的吸收，且让学 生在观察、分析、讨论 中发现问题、提出问题、 解决问题。 提高学生的分析、表达、 归纳能力。
附：板书设计 §4-4 原电池原理
- - . 广东技术师范学院 微格教学实施方案 学院数学与系统科学学院 班级2013级 专业数学与应用（师范） 时间2015- 2016学年二学期
一、微格教学简介 1、课程性质： 微格教学（Microteaching）作为一个有控制的教育教学系统，是对教师进行职前培养和在职培训课堂教学技能的有效方法，是培养和提高师范生教学实践能力和基本教学技能水平的重要途径，也是师范生在校期间必须接受和努力完成的一项基本训练。 必修考查课程 2、开课学期：第七学期 3、适用专业：数学与应用数学 4、实施条件： 先修《中学数学教材教法》 二、教学目的要求： 1、明确微格教学的意义，学习和掌握微格教学的基本教学过程。 2、通过理论学习和示范观摩，理解和掌握微格教学理论和教师课堂教学技能要求。 3、学习和掌握微格教学的微型教案的设计及说课。 4、通过微格教学技能训练，加强学生对科学课程教学步骤的理解和掌握，提高学生课堂教学能力。 三、教学内容及要求： 1第一教学板块：试教说课技能 （1）根据自己说课课题内容按进行“说课”训练。 （2）时间：10-15分钟/每人。 2、第二教学板块：试教基础技能 （1）每个学生根据自己讲授内容按进行“讲解技能/演示技能/提问技能”训练。 （2）时间：7-8分钟/每人。 3、第三教学板块：试教综合技能 （1）每个学生自我介绍，根据自己讲授内容按进行“导入技能/变化技能/结束技能/组织技能”训练。 （2）时间：7-8分钟/每人。 4、第四教学板块：试教综合实训语言、导入、讲解、提问、板书、演示、结束、组织、互动技能训练。 （1）要求针对教学内容和学生的特点导入课题，导入目的明确，通过不同的导入类型引起学生兴趣，进入课题自然合理。
一元二次方程的应用
28.1一元二次方程（一）教学设计 教学设想 信息技术与初中数学学科整合教学可以增强学生的学习能力，优化学习方法，培养学生的创新精神。通过信息网络，可以在短时间内给学生提供大量的感性材料，丰富学生的感性认识，可创设和展示有意义的情境开展教学，使学生数学学习的资料丰富起来，使学习更加多姿多彩。 本节课主要通过多媒体和学生访问数学教学网站，让学生在网站内进行与教学相关的资料如一元二次方程的概念和一般形式的交流，最大限度地实现学生的自主学习。 教材分析 本节教学内容是冀教版九年级（上）第30—32页，一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．一元二次方程是初中数学的主要内容，在初中代数中占重要地位。本节课通过以学生自主合作学习为出发点，以教师的诱导参与点拨为依托，学生积极动手、动脑、动口为主线来完成。在教学中渗透类比化归等数学思想，让学生充分观察、体验，同时营造轻松愉快的学习氛围，以此激发学生的学习兴趣。 学情分析 九年级学生已经学习了网络的基础知识，了解信息技术的应用环境及信息的一些表现形式，并在使用信息技术时学会与他人合作，学会使用多媒体资源进行学习； 教学目标 1. 知识与能力目标：要求学生会根据实际问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，培养学生归纳、分析的能力。
2. 过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念。 3. 情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。 教学重点、难点 1．重点： 通过实际问题模型建立一元二次方程的概念,认识一元二次方程一般形式. 2．难点: 通过实际问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 正确识别一般式中的“项”及“系数 教法、学法 因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式。本节课从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。 课堂教学结构流程图
化学微格教学 课程说明: 1.教学目的与任务 使学生在掌握中学化学教学基本原则和方法的基础上,学会结合具体化学教学内容灵活运用几种重要教学技能,提高课堂教学效果. 2.教学要求 在本门课程的教学中应用典型案例使学生理解不同教学技能的选取原则,使用方法,注重学生的教学实践训练,使学生学会根据具体教学内容运用适当的教学技能. 教学大纲: 第一讲教学语言,讲解,板书技能 一,教学要求 选择中学化学教材中具有代表性的内容,进行教学语言技能,讲解技能,板书技能的教学应用分析,使学生学会依据教学内容不同类型来确定教学语言的表达,讲解的组织和板书的设计. 二,教学内容 1.讲授部分:教学语言技能,讲解技能,板书技能应用分析;(3学时) 2.实践部分:教学语言技能,讲解技能,板书技能的单项微格教学训练.(3学时) 三,教学方法 典型案例分析——组织讨论——分析总结——编写微格教案——微格教学训练——评价与小结 第二讲导入,过渡,结束技能 一,教学要求 选择中学化学教材中具有代表性的内容,进行导入技能,过渡技能,结束技能的教学应用分析,使学生学会依据教学内容和教学时间来确定导入,过渡,结课的形式和语言表达,进行系统优化的教学设计. 二,教学内容 1.讲授部分:导入技能,过渡技能,结束技能应用分析;(3学时) 2.实践部分:导入技能,过渡技能,结束技能的单项微格教学训练.(3学时) 三,教学方法 典型案例分析——组织讨论——分析总结——编写微格教案——微格教学训练——评价与小结 第三讲演示,变化,课堂组织调控技能 一,教学要求 选择中学化学教材中具有代表性的内容,进行演示技能,变化技能,课堂组织调控技能的教学应用分析,使师范生学会依据中学生认知,兴趣,心理特点来确定演示,变化,课堂组织调控的方式. 二,教学内容 1.讲授部分:演示技能,变化技能,课堂组织调控技能应用分析;(3学时) 2.实践部分:演示技能,变化技能,课堂组织调控技能的单项微格教学训练.(3学时) 三,教学方法 典型案例分析——组织讨论——分析总结——编写微格教案——微格教学训练——评价与小结 第四讲提问,强化,课堂诊断技能 一,教学要求 选择中学化学教材中具有代表性的内容,进行提问技能,强化技能,课堂诊断技能的教学应用
二元一次方程 1．教学重点：二元一次方程及其解的概念 2．教学难点：（1）用列表法求二元一次方程的解 （2）把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形成，其实质是解一个含有字母系数的方程，是难点。 3．教学方法：启发式讲授法、合作探究法 4．教学过程: 教师活动学生活动设计意图 回顾旧知，学习新课： 一元一次方程的概念及一元一次方程解的概念。 情景一： 体育课上老师组织投球比赛，投一球得2分，有位同学一共得10分，问这位同学一共投了多少个球？（用一元一次方程求解）有几种情况？ 情景二： 根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分，在一次中学生篮球联赛中，一支球队赛完若干场后得20分。问该队赢多少场？输多少场？ 师点拨：用表格的方法列出输赢的所有可能情况。 思考：（1）你是怎样列表的? （2）填表过程中有什么发现？ （3） 教师追问：我们知道，每取一个x，就有一个y相对应；反之，若先确定y，x能否确定？（1）含有一个未知数； （2）未知数的的次数为 1；（3）方程（整式）。 能使方程左右两边相等 的未知数的值叫做方程 的解。 积极思考，独立完成：设 投进x个球。则有：2x=10 有唯一解，投进5个球。 设该队赢了x场,输了y 场 2x+y=20 学生在老师的调动下积 极思考，发现问题，寻求 解决方案。 先独立思考、独做，后分 组讨论： 发现：（1）x、y必须取 非负整数，且有一定的范 围； （2）不止一个答案； （3）每取一个x，就有 一个y相对应。 生：可以！但是当y=1， 3，5，……时，x为小数, 不合题意，不予考虑。 通过回顾一元一 次方程的概念，渐 渐引入二元一次 方程 通过思考、探究， 初步体会二元一 次方程解的不唯 一性和相关性 逆向思维，进一步 加深对解的相关 性的理解。
1对1个性化教案 学生学科数学年级九年级 教师瑞芳授课日期授课时段 课题一元二次方程 重点 难点 重点：掌握一元二次方程的概念、解法及应用 难点：一元二次方程的特殊解法、韦达定理及应用 教 学 容 【基础知识：】 1、一元二次方程的概念怎样？其一般形式怎样？ 2、你能说出下列方程是几元几次方程吗？ (1) 2x + 3 = 0 (2) 3x – 8 = 0 (3) 3x + y = 7 (4) 3、分析：一元二次方程一般形式中各部分概念？（即 认识：二次项及二次系数、一次项及一次项系数、常数项） 4、方程的根：x = 3是一元一次方程2x – 6 = 0的根吗？ x = 1及x = -3是一元一次方程的根吗？ 例1、你能找出下列方程的根吗： 5、一元二次方程的解题思想-------降次 （1）直接开平方法； （2）配方法； （3）公式法； （4）因式分解法--------十字相乘法； （5）根与系数的关系-------韦达定理。 【重点知识】 一、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的 整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是() 200 ax bx c a ++=≠．典型例题解析:
例1．方程()2 21 170m m m x x m --++-=是一元二次方程，则m = ． 分析：考查一元二次方程的概念及其成立的条件（二次项系数a 不为零）． 例2：指出下列一元二次方程中a,b,c 的值 （1）2x 2+3x-4=0； （2）16y 2+9=24y ； （3）3x 2-2x+2=0； （4）3t 2-36t+2=0； （5）5（x 2+1）-7x=0． 二、用适当的方法解方程 1、直接开平方法：形如 或者 的方程； 例1、给下下列等式填上适当的数字。 例2、用直接开平方法求出下列方程的根： 2、配方法：方程都能化成或形式，从而 去求解。 1、思考：求的根 例1：解下列方程：
教育实习校内教学集训试讲说课稿院系：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学姓名：汪雄学号：1006014132 一元二次方程的解法的说课稿 各位老师，大家好！ 今天我说课的课题是一元二次方程的解法.下面我将从以下几个方面进行阐述： 首先，我对本节教材进行简要分析。 1.说教材 本节内容是北京师范大学出版社出版的初中九年级数学课程标准实验教科书《数学》第一册第二十二章第二节，属于数与代数领域的知识。在此之前，学生已经学习了一元一次方程及整式的平方、开方、因式分解等，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是学生学过的一元一次方程的延续和拓展，又是后续研究高次方程的基础，同时还为后续学习一元二次不等式和研究一元二次函数解的分布情况作了有力的铺垫。它是整个方程研究中起着承上启下作用的核心知识之一。因此，在方程研究中，占据着重要的不可替代的地位。 本节课中解一元二次方程的方法是重点，选用恰当的方法解方程是难点，求根公式是关键，其理论依据是完全开平式。 基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的有效教学的基本理念，考虑到学生已有的认知结构与心理特征，制定如下的教学目标。
2.说目标 知识与技能：了解一元二次方程及解一元二次方程的三种解法；理解选用恰当的方法解方程的方法。 过程与方法：利用回顾已学的相关知识，引导学生探索一元二次方程的一般形式，从例题中总结出解方程的方法，采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师的主导作用，体现学生主体地位，学生通过自己一系列思维活动获取知识，启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活性、严谨性、深刻性等良好思维品质。 情感态度与价值观：让学生领悟一元二次方程的应用及意义，进一步了解数学与实际生活的紧密联系，培养学生数学知识的应用意识，在教学中不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践。 为突破重点、突破难点、抓住关键，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈设计思路。 3.说教学方法 教法选择与教学手段：基于学生已经学习了一元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、推广式的教学方法与手段，即引导探究、讲练结合的教学模式，其理论依据是数学与实践的联系，一元一次方程的推广。 学法指导：教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式.本节课借助多媒体辅助教学，充分利用多媒体演示中的生动性、灵活性，把图形的静变成动，增强直观性；指导学生通过直
微 格 教 学 心 得 体 会 班级： 姓名：XXX 学号：
微格教学心得体会 作为职业技术师范学子，我一直就对我校的教育模块的课程充满兴趣。这学期开学初，我从课表上了解了本学期会有一门课程叫做微格教学。当从同学们口中得知这是一门关于上讲台讲课的课程时，自己异常的兴奋。这门课程不同于我们大学期间的其他课程，它对于那些要走师范路线的学子们意义重大。它拥有很强的实践性。当你踏上三尺讲台讲课时，你个人的知识水平、舞台表现力和自信心定将暴露无余。我对它的期待也是因为想看看自己是否有成为一名优秀教师的潜质。 课程为期两周，包含了试讲、微格录像教学、教案撰写和录像点评四个环节。通过这两周的课程，从备课到真正走上讲台授课，虽然只有两次近20分钟的体验，但我深刻地体会到了作为一名教师的那份艰辛，在这里请允许我向每位正在奋斗或是曾经奋斗在教师岗位上的园丁们说一声，“幸苦了”。 虽说这次微格教学是面对自己班的同学，但是当自己上台时，还是表现出了紧张的状态。还好自己很快的就调整过来了，进入了讲课的状态。上讲台之前我没忘记对自己所讲的内容进行适当的准备，也就是备课。当我上讲台的时候，我才真真正正地发现原来备课是老师讲课讲好的关键。我通过平时对知识的积累，果断的选择了我们上课时所用的清华大学出版社的《单片机原理与应用及C51程序设计》作为参考书目。然后我再课下先对自己所要讲的知识做了系统性的梳理和总结，尝试着把这些知识转化成自己的东西，然后把自己所消化
的东西归纳金自己的PPT以及教案当中。同时，我还对重要概念的理解进行了板书设计。对于课堂语言，我尽量描述的通俗易懂。 20分钟的试讲之后，孙老师进行了简要的点评。我从中也了解到了自己对于内容编排还有语言组织上的不足。回去之后进行了深入的改进，后来在正式录像的时候进步十分明显。这绝对和老师的细心指导是分不开的。 这次自己对PPT的把握不尽人意，色彩过于单一，排版过于繁杂，且内容过于生硬。加之缺少与同学们的互动，其实教学过程中互动是一环向当重要的环节，通过互动不仅仅能增加学生学习的积极性，而且可以使教学环节更加的行之有效。而这次比较严重的问题还是出现在自己板书的部分，由于之前疏于训练加之上台经验缺乏导致自己的板书写得很糟糕，而且板书分配也不是很合理。对于这几点，我以后会进行深入系统的检讨和改进，不断地自我完善。 在讲课中，我始终觉得作为在讲台上的教师应该时刻饱满热情，以最好的精神面貌来对待学生。如果课堂上充满着热情洋溢的氛围，学生绝对会积极全身心的投入到课堂教学中来。对于教师来说，我们是在给学生授课，而不是与他们聊天，我们应该用我们自己的语调和自己的肢体语言来调动课堂气氛。而这也就是要求我们在课堂上不要那么拘谨，应该放开来讲。而在这一点上，我还得再努力改进。 在讲课过程中，我发现自己任然对教材挖掘的不够深，这也依赖于自身的理论水平还有待于提高。我相信自己有一天定能轻松自如的驾驭和把握课堂教学的。这有待于自身经验的积累和对自身素养的努
试讲小结 古之学者必有师,师者,所以传道授业解惑也。为提高师范生的讲课技能，我们班打算进行一次微格试讲。毕竟，“纸上得来终觉浅，绝知此事须躬行”嘛，再多的理论也需要实践与之结合才能获得提高。 一、讲课准备 接到微格试讲的通知后，我选的课题是“函数的概念”。选题后，我首先认真分析教材,剖析重难点,然后着手准备教案和课件,初步完成后再进行修改。再在网上观看优秀老师的讲课视频，学习他们的讲课技能。我发现当好一个老师不是件容易的事，一个优秀的老师，不仅需要广博的学识，还需要极高的讲课技巧，这就需要我们在实践中不断提高了。 二、试讲过程 准备完毕后，我们小组4个人自己组织几次练习，相互点评找出缺点，然后改正。然后找老师指导，讲完课后先自我评价，然后同学互评，最后老师给出宝贵的点评。讲完课后老师和同学们给我的点评是：1，讲的内容有点多2，有点紧张3，语速有点快。课后我又进行了修改，通过老师的指导，我的讲课水平有了一定的提高。虽然讲课过程中出现了一些问题，但是也发现了自己的不足，为提高自己的讲课水平找到了方向： 1．用多媒体时，需要板书的是课题，定义，和本节课的核心内容，其他的不需要板书，体现多媒体的高效性，也减轻自己的负担。 2．讲课前要弄清楚重难点，做到哪些地方要重点讲，哪些可以提下就行，哪些要提问，哪些要自己讲。 3．讲课内容要适量。 4．课件简洁，重复的删去 5.说话要简洁，尽量不说和本节课无关的话 6.数学公式要用公式编辑器。 最大的收获是：知道了该怎么样板书，讲课有重难点，详略得当。 从大二到现在有过好多次讲课了，现在基本上克服了讲课紧张的情况，也知道了讲课的流程，做课件遇到公式要用公式编辑器。但还是存在一些问题需要改进，以后要多找机会讲课，锻炼讲课技能。同时也多到网上找些优质的讲课视频观看，学习别人好的讲课方法，也要注意请教老师，和同学交流，通过各种渠道提高自己的讲课技能。 三、收获 经过这次训练，我的讲课水平有了很大的进步。我终于可以轻松地站在讲台上进行正常的教育教学工作。通过这次微格试讲，我或多或少地掌握了教学方面的技巧，这不管是对我将来入学进行教学还是为人处世都有积极意义。我发现很多问题不是自己懂得就也能使别人懂得；有些问题甚至到了课堂上才会出现。我要做的就是在课堂之外，尽可能将更多问题解决。在进行解惑的同时要清楚如何解惑才能清楚明白的使得所谓“惑”在学生的眼里不再成为“惑”。我个人认为在备课的时候多问几个为什么，多想想自己当年学习时遇到的困难，并想办法解决困难，这样才能将准备工作做到位。 以上是我本人讲课的一点心得，真诚希望老师能给予批评和指正，让我提高自己数学讲课的水平，为数学教育贡献自己的一份力量。
微格教学自我评价 通过这几次微格教学学习，我收获很大。从着手准备，到真真正正地走上三尺讲台，这 其中有许许多多的酸甜苦辣，虽然每次只有一次十五分钟或一次十分钟，但就是在这短短的 时间里，我体会到了作为一个老师的辛苦。 这几次微格教学试刚开始讲课的时候会有一点尴尬但是很快的就能够适应角色自我感觉 还是不错的，我理解到了想要讲好课程就要求深度要与我们所要教导的学生的理解能力相适 应，并且要注意他们对于你讲到的每一个知识点的反应。 备课是一个老师讲课好坏的重要因素之一，我的一位老师曾经这样说过，教师上课时看 他的精神面貌就知道他备课的充裕程度，所以我一定要备好课，做一名有自信的老师。我选 择了我们上课时用的人民教育出版社的初中《物理》作为参考书目。然后我本身先对我讲课 所要涉及的知识作了梳理和总结，用黑红两色笔标出重点的东西，例如我要提问的问题、学 生可能做出的答案，我在遇到特殊情况发生的时候应该怎么样去处理等等，以防出错。在讲 课之前，我和其他同学互相试讲，相互点评，找出缺点，又对教案进行了部分修改，这样， 备课部分基本结束。 对于讲授课程时的语言的设计上基本上采用了一种带有互动性的讲课的风格。我不知道 教师的讲话风格因该是什么样子的，只能尽我所能的讲解清楚，带动同学们的积极性并且尽 量带有一些亲和力。通过老师事后对我试讲内容的点评，让我知道了我本次实践还有很多不 足的地方，这些不足的主要原因还是缺乏足够的练习，比如对 于课程设计中的缺陷没有在事前进行改正，不过这些可以通过经验的积累和不断的练习 可以得到改善。对教学内容的分配把握得不是很好所以对于时间的控制严重不足，还有由于 从小到大缺乏粉笔字的练习，我的板书写得很糟糕很难看，而且板书分配也不是很好. 在这次微格教学中，我始终认为在讲台上作为老师的我们应该投以最大的热情，以最好 的精神面貌面对学生。用老师的热情营造出生动的课堂，令学生全身心地投入到课堂中来， 参与老师的教学。我们面对着学生，是给他们授课，而不是与他们聊天，我们应该更多地用 我们的语调、用我们的肢体语言来调动学生。而这就要求我要在课堂上要能放得开，在这一 点上我觉得我做的还是不够我还是比较拘谨，不能很好的融合进入角色。而且我在在讲课过 程中，在对教材的挖掘程度上仍需努力，这反映出我的理论水平还有待提高。在驾驭和把握 课堂教学的环节中，尚需积累更多经验，不断提升自身素质。 我在这几次微格教学中，收获最大的是，让我明白了我需要在今后的学习生活中不断充 实自己，提升理论水平，并进一步用完善的知识体系和教育理念武装自己，不断改进教学方 法、提高教学水平，争取把微格教学中所取得的经验都用在我们以后的学习和工作中我们现 在要做的是，总结经验、吸取教训、学好知识迎接新的一天、新的挑战！把我的工作做得更 好！篇二：微格教学教案(14分钟) 微格教学教案（14分钟） 设计者：林晓凡教学对象：高一学生科目：信 息技术课题：表格信息的加工与表达—函数的应用主要的教学 技能：综合技能教学目标: 知识与技能：掌握excel软件上函数的基本知识，能运用函数进行数据的分析过程与方 法：从类到个例，使学生根据需要选择合适的函数类型，学会函数的应用；情感态度与价值 观：体验表格信息的运用的巨大魅力教学重点：函数 的应用 教学难点：函数的使用教学过程： 1 2
个人总结 刚刚完成了为期两周的试讲，微格教学录像，和关于讲课相关知识的讲座等这些教学实训课程，通过这将近两个星期的微格教学实习，从着手准备,到真真正正地走上三尺讲台，这其中有许许多多的酸甜苦辣，虽然只有一次十分钟和一次二十分钟试讲，但就是在这短短的时间里，我体会到了作为一个老师的辛苦。在这里请允许我向二十多年来每一位教过我的老师致敬。 这次微格教学试讲的实习面对的是和我朝夕相处的同学，虽然刚开始讲课的时候会有一点尴尬但是很快的就能够适应角色自我感觉还是不错的，我理解到了想要讲好课程就要求深度要与我们所要教导的学生的理解能力相适应，并且要注意他们对于你讲到的每一个知识点的反应。 因为是第一次走上讲台面对这么多人，还要在这么多人的面前讲课，紧张是难以避免的可是我并没有被紧张这个纸老虎吓到，我马上回想我的老师在为我们讲课的时候我是什么感觉的，我需要获取什么知识，希望老师怎么为我们讲课，还有老师的在课上是怎么做的，在我的大脑中搜索一切有价值的信息。 当然在走上讲台之前我没有忘记最重要的备课过程，备课是一个老师讲课好坏的重要因素之一，我的一位老师曾经这样说过，教师上课时看他的精神面貌就知道他备课的充裕程度，所以我一定要备好课，做一名有自信的老师。我通过查阅资料然后对我所要讲的时域离散系统的网络结构中的无限脉冲响应的网络结构，我选择了我们上课 时用的西安电子科技大学出版社的《数字信号处理（第三版）》和它所对应的“《数字信号处理（第三版）》学习指导”作为参考书目。然后我本身先对我讲课所要涉及的知识作了梳理和总结，争取把这些东西同化成我自己的东西然后把期中重要的东西都记录到我的教案之中。而且我还在教案之中，设计了板书，并用黑红两色笔标出重点的东西，例如我要提问的问题、学生可能做出的答案，我在遇到特殊情况发生的时候应该怎么样去应对等等，以防出错。毕竟这是我第一次这样讲课。在讲课之前，我们也经常在宿舍里互相试讲，相互点评，找出缺点，又对教案进行了部分修改，这样，备课部分基本结束。 在上课的时候为了增加学生学习的兴趣和积极性，如果采取主动举手发言的方式，我担心不够踊跃，我想了很多中互动方式，比如同学到台上写答案，回答问题，为老师挑错，在课堂最后的时候总结全课内容等等。由于学生回答的答案不可控制，所以对于同学可能得出的答案我都想了相应的应对方式，和引导方法在最初构思的时候本来想用多媒体的教学方式，不过最后还是觉的用最原始的教学方法才能得到最大的锻炼，所以放弃了用多媒体教学的想法。 对于讲授课程时的语言的设计上基本上采用了一种带有互动性的讲课的风格。我不知道教师的讲话风格因该是什么样子的，只能尽我所能的为同学们讲解清楚，带动同学们的积极性并且尽量带有一些亲和力。 通过老师事后对我试讲内容的点评，让我知道了我本次实践还有很多不足的地方，这些不足的主要原因还是缺乏足够的练习，比如对 于课程设计中的缺陷没有在事前进行改正，不过这些可以通过经验的积累和不断的练习可以得到改善。对教学内容的分配把握得不是很好所以对于时间的控制严重不足，还有由于从小到大缺乏粉笔字的练习，我的板书写得很糟糕很难看，而且板书分配也不是很好。在第二次试讲之前，我刻意去练习了粉笔字。但是第二次试讲我的板书依然很不成功。我明白了粉笔字原来是和书法一样的，是一个长期积累的底蕴，而不是一天两天就可以达到一个高度的。 在实习中，我始终认为在讲台上作为老师的我们应该投以最大的热情，以最好的精神面貌面对学生。用老师的热情营造出生动的课堂，令学生全身心地投入到课堂中来，参与老师的教学。我们面对着学生，是给他们授课，而不是与他们聊天，我们应该更多地用我们的语调、用我们的肢体语言来调动学生。而这就要求我们老师在课堂上要能放得开，在这一点上我觉得我做的还是不够我还是比较拘谨，不能很好的融合进入角色。而且我在在讲课过程中，在对教材的挖掘程度上仍需努力，这反映出我的理论水平还有待提高。在驾驭和把握课堂教学的环节中，尚需积累更多经验，不断提升自身素质。
初中数学《一元二次方程》试讲教案一、教学目标 （一）使学生学会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。 （二）通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。 （三）通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。 二、教学重难点 （一）教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。 （二）教学难点：根据数与数字关系找等量关系。 三、教学准备 多媒体课件PPT、资料 四、教学方法 谈话法：师生间进行交流对话。 讲授法：教师启发学生，讲授基本的教学内容。
自主探究法：让学生自己通过各种渠道搜集资料，通过主动探究获取新知识。 五、教学过程 （一）复习提问 1、列方程解应用问题的步骤？ （1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）答 2、两个连续奇数的表示方法是（）。（n表示整数） （二）例题讲解 例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。 分析：1、两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2。 2、设元（几种设法）a．设较小的奇数为x，则另一奇数为；b．设较小的奇数为，则另一奇数为；c．设较小的奇数为，则另一个奇数。 以上分析是在教师的引导下，学生回答。有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。 解法1：设较小奇数为x，另一个为， 据题意，得
整理后，得 解这个方程，得。 由得，由得， 答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。 解法2：设较小的奇数为，则较大的奇数为。据题意，得 整理后，得 解这个方程，得。 当时， 当时，。 答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17，解法3：设较小的奇数为，则另一个奇数为。 据题意，得 整理后，得 解得，或