指数式、对数式的运算
一、基础知识
1.指数与指数运算
(1)根式的性质
①(n
a)n＝a(a使
n
a有意义)．
②当n是奇数时，n
a n＝a；
当n是偶数时，n
a n＝|a|＝
??
?
??a，a≥0，
－a，a<0.
(2)分数指数幂的意义
分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．
①a m
n＝
n
a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②a -
m
n＝
1
a
m
n
＝
1
n
a m
(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；
②a r
a s＝a
r－s(a>0，r，s∈Q)；
③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．
(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．
(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．
2．对数的概念及运算性质
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.
指数、对数之间的关系
(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N ＝log a M －log a N ；
③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)．
二、常用结论
1．换底公式的变形 (1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝
1
log b a
(a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n
m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)；
(3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M
log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．
2．换底公式的推广
log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式 a
log a N
＝N (a >0且a ≠1，N >0)．
考点一 指数幂的化简与求值
[典例] 化简下列各式：
(1)????2 350＋2－2·???
?2 14-1
2－(0.01)0.5； (2)56
a 1
3·b －2·????－3a -12b －1÷(4a 2
3·b －3)1
2. [解] (1)原式＝1＋14×????4912－????11001
2＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615
.
(2)原式＝－52a -16b －3÷(4a 23·b －
3)12＝－54a -16b －3÷(a 13b -32)＝－54a -12·b -3
2＝－54·1ab
3＝
－5ab
4ab 2
.
[解题技法] 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
[题组训练]
1．若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－
2＝4
B ．2a －
3＝12a 3
C ．(－2)0
＝－1
D ．(a
-14)4
＝1a
解析：选D 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －
3＝2a 3，故B 错误；对于C ，
(－2)0
＝1，故C 错误；对于D ，(a
-
14)4
＝1
a
，故D 正确．
2．化简4a 23
·b -
13
÷? ??
??－23a -13b 2
3的结果为( ) A ．－2a
3b
B ．－8a
b
C ．－6a b
D ．－6ab
解析：选C 原式＝－6a
??-- ???
2133b
--1233
＝－6ab －
1＝－6a b
.
3．计算：－????32－2＋????－278-2
3＋(0.002)-1
2＝________.
解析：原式＝－????232＋????????－323-23＋????1500-1
2
＝－49＋4
9＋105＝10 5.
答案：10 5
考点二 对数式的化简与求值
[典例] 计算下列各式：
(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 23·log 38＋(3)log 34.
[解] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg
54
lg 54
＝1.
(2)原式＝lg 3lg 2·3lg 2lg 3
＋3log 431
2＝3＋3log 32
＝3＋2＝5.
[题组训练]
1．(log 29)·(log 34)＝( ) A ．1
4
B ．12
C ．2
D ．4
解析：选D 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2
lg 2·lg 3＝4.
法二：原式＝2log 23·log 24
log 23
＝2×2＝4.
2．计算：????lg 14－lg 25÷
100-1
2＝________. 解析：原式＝lg ????
14×125×1001
2＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－20
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2＋a )且f (3)＝1， ∴1＝log 2(9＋a )， ∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－7 4．计算：log 5[4
21
log 102
－(33)23
－7
7log 2
]＝________.
解析：原式＝log 5[22log 10
－(332
)23
－2]＝log 5(10－3－2)＝log 55＝1.
答案：1
[课时跟踪检测]
1．设1x ＝log 23，则3x －3－
x 的值为( )
A.8
3 B.32
C.52
D.73
解析：选B 由1x ＝log 23，得3x ＝2，∴3x －3－
x ＝2－12＝32
.
2．化简????2a 23b 12
(－6a 12b 13
)÷????－3a 16b 5
6的结果为( )
A ．－4a
B ．4a
C ．11a
D ．4ab
解析：选B 原式＝[2×(－6)÷(－3)]a +-211
326
b
+-115
236
＝4ab 0＝4a .
3．(log 29)(log 32)＋log a 5
4＋log a ????45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ????54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 4．设a >0，将
a 2a ·3
a 2
表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A ．a 12
B ．a 56
C ．a 76
D ．a 32
解析：选C
a 2a ·3a 2
＝
a 2a ·a
2
3
＝
a 2a
53
＝
a 2
a
56
＝a
52-
6
＝a 76
.
5．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q (a >0，且a ≠1)，那么P
Q 的值为( )
A.14 B ．4 C ．1
D ．4或1
解析：选B 由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，得log a (P －2Q )2＝log a (P Q )．由对数运算性质得(P －2Q )2＝P Q ，即P 2－5P Q ＋4Q 2＝0，所以P ＝Q (舍去)或P ＝4Q ，解得P
Q
＝4.
6．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．1 B ．0或1
8
C.18
D ．log 23
解析：选D 由题意知lg2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)，由对数的运算性质得2(2x ＋5)＝(2x
＋1)2，即(2x )2－9＝0,2x ＝3，x ＝log 23.
7．已知函数f (x )＝?????
log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，
则f (f (1))＋f ????log 3 1
2的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：选D ∵log 3 12
<0，由题意得f (f (1))＋f ????log 3 12＝f (log 21)＋331
-log 2＋1＝f (0)＋33log 2＋1＝30＋1＋2＋1＝5.
8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b ＝2，则m 等于( )
A.10 B ．10 C ．20
D ．100
解析：选A 由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1
b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.
因为1a ＋1
b ＝2，所以log m 10＝2.
所以m 2＝10，所以m ＝10.
9．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：由4a ＝2，得a ＝12，又因为lg x ＝a ＝1
2，
所以x ＝1012
＝10. 答案：10 10．计算：9591
log 2-＝________.
解析：9
591
log 2
-＝912
×9
5
9log -＝3×15＝35
.
答案：35
11．化简：
(a 23
·b －1
)
-
12
·a
-
1
2
·b
1
3
6
a ·
b 5
＝________.
解析：原式＝a
-
13
·b 12
·a -12
·b
1
3
a 1
6
·b
56
＝a
---111326
·b
+-115
236
＝1a
. 答案：1a
12．已知指数函数y ＝f (x )，对数函数y ＝g (x )和幂函数y ＝h (x )的图象都过点P ????
12，2，如果f (x 1)＝g (x 2)＝h (x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝________.
解析：令f (x )＝a x
(a >0,且a ≠1)，g (x )＝log b x(b>0,且b ≠1)，h (x )＝x c
，则f ????12＝a 1
2＝2，
g ????12＝log b 12＝－log b 2＝2，h ????12＝????12c ＝2，∴a ＝4，b ＝22，c ＝－1，∴f (x 1)＝4x 1＝4?x 1＝1，同理，x 2＝14，x 3＝14.∴x 1＋x 2＋x 3＝32
.
答案：3
2
13．化简下列各式：
(1)????2790.5＋0.1－2＋????210272
-3－3π0＋3748
； (2)
3a 7
2
·a －3
÷
3
a －
3·a －
1；
(3)lg 3＋25lg 9＋3
5
lg 27－lg 3
lg 81－lg 27
.
解：(1)原式＝????25912＋10.12＋????6427-2
3－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748
＝100.
(2)原式＝
3
a 7
2
·a
3-2
÷
3a
-
3
2
·a
-
1
2
＝
3a 72
÷
3a
-
12
＝a 7
6
÷a
-
16
＝a 86＝a 43
.
(3)法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝????1＋45＋910－12lg 3
(4－3)lg 3＝11
5.
法二：原式＝
lg (3×925
×27
?1325
×3
-
12
)
lg 8127
＝
lg 311
5
lg 3＝11
5
.
第九节 指数函数
一、基础知识
1．指数函数的概念
函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．
形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋
k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函
数．
2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质
二、常用结论
指数函数图象的特点
(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a )，????－1，1
a ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)函数y ＝a x 与y ＝????1a x
(a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．
(3)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图
象“上升”；当0 考点一 指数函数的图象及应用 [典例] (1)函数f (x )＝21－ x 的大致图象为( ) (2)若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________． [解析] (1)函数f (x )＝21－ x ＝2×????12x ，单调递减且过点(0,2)，选项A 中的图象符合要求． (2)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减， 所以k 的取值范围为(－∞，0]． [答案] (1)A (2)(－∞，0] [变透练清] 1.[变条件]本例(1)中的函数f (x )变为：f (x )＝2|x － 1|，则f (x )的大致图象为( ) 解析：选B f (x )＝2|x － 1|的图象是由y ＝2|x |的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B 正确． 2.[变条件]本例(2)变为：若函数f (x )＝|3x －1|－k 有一个零点，则k 的取值范围为________． 解析：函数f (x )有一个零点，即y ＝|3x －1|与y ＝k 有一个交点，由 典例(2)得y ＝|3x －1|的图象如图所示， 故当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以函数f (x )有一个零点． 答案：{0}∪[1，＋∞) 3．若函数y ＝21－ x ＋m 的图象不经过第一象限，求m 的取值范围． 解：y ＝21－x ＋m ＝????12x －1＋m ，函数y ＝??? ?12x －1的图象如图所示， 则要使其图象不经过第一象限， 则m ≤－2. 故m 的取值范围为(－∞，－2]． 考点二 指数函数的性质及应用 考法(一) 比较指数式的大小 [典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243 ，b ＝425 ，c ＝2513 ，则( ) A ．b D ．c [解析] 因为a ＝24 3 ，b ＝425 ＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b 3＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23 在(0，＋∞)上为增函数知，a 考法(二) 解简单的指数方程或不等式 [典例] (2019·西安质检)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________． [解析] ∵f (x )为偶函数， 当x ＜0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－ x －4. ∴f (x )＝? ??? ? 2x －4， x ≥0，2－x －4，x ＜0， 当f (x －2)＞0时，有????? x －2≥0，2x －2－4＞0或????? x －2＜0， 2 －x ＋2－4＞0， 解得x ＞4或x ＜0. ∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}． [答案] {x |x >4或x <0} [解题技法] 简单的指数方程或不等式问题的求解策略 (1)a f (x )＝a g (x )?f (x )＝g (x )． (2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0 (3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 考法(三) 指数型函数性质的综合问题 [典例] 已知函数f (x )＝????13243 －＋ax x . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝??? ?13243－－＋x x ， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝????13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝????13g (x ) ， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有???? ? a >0，g ??? ?2a ＝3a －4a ＝－1， 解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. [解题技法] 与指数函数有关的复合函数的单调性 形如函数y ＝a f (x )的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关： (1)若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间； (2)若0 [题组训练] 1．函数y ＝????12221 ＋－x x 的值域是( ) A ．(－∞，4) B ．(0，＋∞) C ．(0,4] D ．[4，＋∞) 解析：选C 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝????12t . 因为0<1 2 <1， 所以y ＝????12t 为关于t 的减函数． 因为t ＝()x ＋12－2≥－2， 所以0 故所求函数的值域为(0,4]． 2．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a D ．b 解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.51，所以b 3．(2018·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2 －a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋ ∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝????1a 0.1 的大小关系是( ) A ．M ＝N B ．M ≤N C ．M D ．M >N 解析：选D 因为f (x )＝x 2 －a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调 性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝????1a 0.1<1，所以M >N . 4．已知实数a ≠1，函数f (x )＝? ???? 4x ，x ≥0， 2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________． 解析：当a <1时，41－ a ＝21，所以a ＝12；当a >1时，代入可知不成立．所以a 的值为12. 答案：1 2 [课时跟踪检测] A 级 1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( ) 解析：选A 因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质． 2．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝4＋2a x －1 的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,6) B ．(1,5) C ．(0,5) D ．(5,0) 解析：选A 由于函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x －1 的图象恒过定点P (1,6)． 3．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c . 4．(2019·南宁调研)函数f (x )＝???? 12的单调递增区间是( ) A.????－∞，12 B.????0，1 2 C.????12，＋∞ D.????12，1 解析：选D 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝????12t 是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间????12，1，故选D. 5.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 解析：选D 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝a x －b 在定义域上 单调递减，所以0 的图象是在y ＝a x 的图象的基础上向 左平移得到的，所以b <0. 6．已知函数f (x )＝? ???? 1－2－ x ，x ≥0， 2x －1，x <0，则函数f (x )是( ) A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减 C ．奇函数，且单调递增 D ．奇函数，且单调递减 解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－ x ，－f (x )＝2－ x －1，此时－x <0，则 f (－x )＝2－ x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－ 2 －(－x ) ＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C. 7．(2018·深圳摸底)已知a ＝????13 3.3 ，b ＝????13 3.9，则a ________b ．(填“<”或“>”) 解析：因为函数y ＝????13x 为减函数，所以????13 3.3>????13 3.9，即a >b . 答案：> 8．函数y ＝????14x －????12x ＋1在[－3,2]上的值域是________． 解析：令t ＝????12x ，由x ∈[－3,2]，得t ∈????14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝????t －122＋3 4????t ∈????14，8. 当t ＝12时，y min ＝3 4；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数的值域是????3 4，57. 答案：??? ?3 4，57 9．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________. 解析：当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得???? ? a － 1＋b ＝－1，a 0 ＋b ＝0 无解．当0 ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得? ???? a － 1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得????? a ＝12， b ＝－2， 所以a ＋b ＝－3 2 . 答案：－3 2 10．已知函数f (x )＝a |x ＋ 1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系 是________． 解析：因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋ 1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1. 由于函数f (x )＝a |x ＋ 1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数 f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)． 答案：f (－4)＞f (1) 11．已知函数f (x )＝????12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)． (1)求a 的值； (2)若g (x )＝4－ x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值． 解：(1)由已知得????12－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝????12x ， 又g (x )＝f (x )，则4－ x －2＝????12x ， ∴????14x －????12x －2＝0， 令??? ?12x ＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0， 即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t >0，故t ＝2，即????12x ＝2，解得x ＝－1， 故满足条件的x 的值为－1. 12．已知函数f (x )＝????23|x |－a . (1)求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最大值是9 4 ，求a 的值． 解：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝????23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又y ＝????23t 在R 上单调递减， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． (2)由于f (x )的最大值是94，且94＝????23－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2. B 级 1．(2019·郴州质检)已知函数f (x )＝e x －1 e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等 式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( ) A.? ???－∞，－4 3∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C.? ???－∞，4 3∪(2，＋∞) D ．(－∞，2) 解析：选B 函数f (x )＝e x －1 e x 的定义域为R ， ∵f (－x )＝e － x －1e －x ＝1e x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，那么不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0 等价于f (2x －1)>－f (－x －1)＝f (1＋x )，易证f (x )是R 上的单调递增函数，∴2x －1>x ＋1，解得x >2，∴不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为(2，＋∞)． 2．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值 范围是________． 解析：①当0 －2|(0 3 . ②当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(2)，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解． 所以实数a 的取值范围是????0，23. 答案：??? ?0，2 3 3．已知函数f (x )＝??? ?1a x －1＋1 2x 3(a ＞0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性； (2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝????1a －x －1＋12(－x )3＝????a x 1－a x ＋12(－x )3＝????－1－1a x －1＋1 2(－x )3 ＝????1a x －1＋1 2x 3＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数， ∴只需讨论x ＞0时的情况．当x ＞0时，要使f (x )＞0， 则??? ?1a x －1＋1 2x 3＞0， 即1a x －1＋1 2＞0，即a x ＋12(a x －1)＞0，则a x ＞1. 又∵x ＞0，∴a ＞1. ∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0. 第八节指数式、对数式的运算 ?基础知识 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使 n a有意义)． ②当n是奇数时，n a n＝a； 当n是偶数时，n a n＝|a|＝ ?? ? ??a，a≥0， －a，a<0. (2)分数指数幂的意义 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a m n＝ n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a - m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)； ②a r a s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)； ③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b. 指数、对数之间的关系 (1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)． ? 常用结论 1．换底公式的变形 (1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝ 1 log b a (a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)； (3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式 a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)． 考点一 指数幂的化简与求值 [典例] 化简下列各式： 指数和对数运算 一、选择题 1.log ( )． A ．－12 D ．12 2.已知 3log 2 a =，那么 33log 82log 6 -用a 表示是（ ） A ．52a - B ．2a - C ．2 3(1)a a -+ D ． 2 31a a -- 3.1 2lg 2lg 25 -的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.已知4213 5 3 2,4,25a b c ===，则( ) A. c a b << B. a b c << C.b a c << D. b c a << 5.设3 .02.03.03.0,3.0,2.0===z y x ，则z y x ,,的大小关系为( ) A.x z y << B. y x z << C. y z x << D. z y x << 6.设0.2 1.6 0.2 2,2,0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A c a b <<． B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c << 二、填空题 7.7 33log 8lg 125lg ++= . 8.2 log 510＋log 50.25＝_________. 9.22log 12log 3-= ． 10.若lg2 = a ，lg3 = b ，则lg 54=_____________． 11.若2log 31x =，则3x 的值为 。 12.化简2 log 2 lg5lg2lg2+-的结果为__________. 13.计算=÷--21 100)25lg 41 (lg _______． 三、解答题 14.(本小题满分12分)计算 （Ⅰ）2 221 log log 6log 282 -； （Ⅱ）213 4 270.00818-?? -+ ? ?? 15. lg(x 2 +1)－2lg(x+3)+lg2=0 指数式和对数式比较大 小 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU- 指数式和对数式比较大小五法 方法一：利用函数单调性 同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读： 1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性. 2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性. 3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性. 例1：比较下列各组数的大小 （1）0.30.3,30.3 （2）2log 0.8,2log 8.8 （3）0.30.3,0.33 [解]（1）利用函数0.3x y =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,<3,所以0.30.3>30.3. （2）利用函数2log y x =的单调性. 因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,<,所以2log 0.8<2log 8.8. （3）利用函数0.3y x =的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,<3,所以0.30.3<0.33. 方法二：中间桥梁法 既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小. （1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =) （2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题. 例2：比较下列各组数的大小 （1）0.41.9, 2.40.9 （2）124()5,139()10 [解]（1）取中间值1. 因为0.4 01.9 1.91>=, 2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>. （2）取中间值1 29()10 . 利用函数910 x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>1 24()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.） 预习 1.化简下列各式： (1)0.027－13－????17－2＋????27912－(2－1)0； (2)????56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)1 2·ab . (3)g 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (4)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． (5)a ·1a ＋(5a )5－6a 6 (6) 4a 23·b －13÷? ????－23a －1 3b 23 2．计算：－????32－2＋????－278－23＋(0.002) －1 2＝____________． 课堂讲解 1．计算2log 63＋log 64的结果是_____________. 2．若x log 23＝1，则3x ＋3－ x ＝_____________. 3．计算log 5????412log 2 10－（33）23－7log 72＝____________． 4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________． 5.a 3 a ·5a 4(a >0)的值是____________． 6．已知2x ＝3，log 483 ＝y ，则x ＋2y 的值为____________． 7.（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64 ＝____________． 2 / 2 课后练习1． ()2a 23b 12()－6a 12b 13÷()－3a 16b 56 =_________________. 2．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么P Q 的值为_________________. 3．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于_________________. 4．已知函数f (x )＝? ????log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ????log 312的值是_________________. 5．定义a ·b ＝? ????a ·b ，a ·b ≥0，a b ，a ·b <0，设函数f (x )＝ln x ·x ，则f (2)＋f ????12＝_________________. 6．化简：（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5 ＝____________． 7．若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝____________． 8．若67x ＝27，603y ＝81，则3x －4y ＝____________． 9．化简下列各式： (1)????2790.5＋0.1－2＋????21027－23－3π0＋3748 ； (2) 3 a 72·a －3÷ 3a －3·a － 1； (3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27 . 高中数学指数、对数的运算 一．选择题（共28小题） 1．（2014?济南二模）log2+log2cos的值为（） A．﹣2 B．﹣1 C．2D．1 2．（2014?成都一模）计算log5+所得的结果为（） A．1B．C．D．4 3．若a＞2，b＞2，且log2（a+b）+log2=log2+log2，则log2（a﹣2）+log2（b﹣2）=（）A．0B．C．1D．2 4．（2014?泸州二模）式子log2（log216）+8×（）﹣5=（） A．4B．6C．8D．10 5．（2014?泸州一模）的值为（） A．1B．2C．3D．4 6．（2015?成都模拟）计算21og63+log64的结果是（） A．l og62 B．2C．l og63 D．3 7．（2014?浙江模拟）log212﹣log23=（） A．2B．0C．D．﹣2 8．（2014?浙江模拟）下列算式正确的是（） A．l g8+lg2=lg10 B．l g8+lg2=lg6 C．l g8+lg2=lg16 D．l g8+lg2=lg4 9．（2014?和平区二模）已知3x=5y=a，且+=2，则a的值为（） A．B．15 C．±D．225 10．（2013?枣庄二模）已知函数，则的值是（） A．9B．﹣9 C．D． 11．（2013?婺城区模拟）已知函数f（x）=log2，若f（a）=，则f（﹣a）=（） A．2B．﹣2 C．D． ﹣ 12．（2013?泸州一模）log2100+的值是（） A．0B．1C．2D．3 13．（2013?东莞一模）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）A． B．C．D．﹣54 ﹣ 14．（2013?东城区二模）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2 B．2C．﹣4 D．4 15．（2012?安徽）（log29）?（log34）=（） A．B．C．2D．4 16．（2012?北京模拟）函数y=是（） B．区间（﹣∞，0）上的减函数 A．区间（﹣∞，0） 上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数 C．区间（0，+∞） 上的增函数 17．（2012?杭州一模）已知函数则=（） A．B．e C．D．﹣e 18．（2012?北京模拟）log225?log34?log59的值为（） A．6B．8C．15 D．30 19．（2012?北京模拟）实数﹣?+lg4+2lg5的值为（）A．2B．5C．10 D．20 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34 a = （3）35 a - = （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4 y x = （2）)0(2>=m m m （3 = （4 = ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）31()4-= ；（4）3 416()81 - = （5）12 2 [(]- = （6）(12 2 1??-???? = （7）=3 264 4.化简 （1）=??12 74331a a a （2）=÷?654323 a a a （3）=÷-?a a a 9)(34 323 （4）322 a a a ?= （5）3 1 63)278(--b a = （7）()0,053542 15 65 8≠≠÷???? ? ? ?- -b a b a b a = 5.计算 （1） 43 512525÷ - (2) （3）21 0319)41 ()2(4)21(----+-?- ()5.02 1 20 01.04122432-?? ? ???+??? ??-- （5）48 37 3271021.097203 225 .0+ -? ? ? ??++? ?? ??- -π （6）241 30.75 3323(3)0.04[(2)]168 ----++-+ （7）( ) 3 263 425.00 3 1323228765 .1?? ? ??--?+?+?? ? ??-?- 6.解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x （3）1321(0.5)4x x --= 7.(1).已知112 2 3a a -+=，求下列各式的值（1）1a a -+= ；（2）22 a a -+= （2）.若1 3a a -+=，求下列各式的值：（1）112 2 a a - += ； （2）22 a a -+= ； (3).使式子34 (12) x --有意义的x 的取值范围是 _. (4).若32a =，1 35b -=,则323 a b -的值= . 2016-2017学年度???学校9月月考卷 1．计算：________． 2．已知666log log log 6a b c ++=，其中*,,a b c N ∈，若,,a b c 是递增的等比数列，又b a -为一完全平方数，则a b c ++=___________. 3．已知3log 21x =,则42x x -=________. 4．lg83lg5+的值是 ． 5．lg0.01＋log 216＝_____________. 6= ． 7．已知,53m b a ==且，则m 的值为 . 8．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则 9，0a b c <<<，0)()()( 参考答案 1．1 【解析】＝lg10＝1. 2．111 【解析】 试题分析：66666log log log log 6,6a b c abc abc ++===， 2b ac =，所以366,36b b ==.46ac =，因为b a -为一完全平方数，所以27,48,111a c a b c ==++=. 考点：1.对数运算；2.数列. 【思路点晴】本题涉及很多知识点，一个是对数加法运算，用的是公式 log log log a a a b c bc +=.然后,,a b c 是递增的等比数列，可得2b ac =，接下来因为b a -为一完全平方数，比36小的完全平方数只有25,16,9，故可以猜想27a =，通过计算可得27,48,111a c a b c ==++=.有关几个知识点结合起来的题目，只需要对每个知识点逐个击破即可. 3．6 【解析】 试题分析：由条件可知2log 3x =，故222log 3log 34222936x x -=-=-=. 考点：对数运算的基本性质. 4．3 【解析】 试题分析：3lg83lg5lg8lg5lg10003+=+==。 考点：对数运算法则的应用。 5．2 【解析】lg0.01＋log 216＝－2＋4＝2 考点：本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力. 6【解析】 考点：指数和对数的运算法则。 7【解析】略 8．2 【解析】略 指数式与对数式的运算 指数与指数幂的运算 教学目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 知识点回顾： 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n a ，其中n >1，且n N *∈.（n 叫做根指数，a 叫做被开方数）n 次方根具有如下性质： （1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零. （2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式： ()n n a a =；,||,n n a n a a n ?=?? 为奇数为偶数；np n mp m a a =，（a ≥0）. 2.规定正数的分数指数幂：m n m n a a = （0,,,1a m n N n *>∈>且）； 注意口诀：（根指 数化为分母，幂指数化为分子）， 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．0的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 范例解析 例1求下列各式的值： （1）3n n π-（）（*1,n n N >∈且）； （2）2()x y -. 解：（1）当n 为奇数时，33n n ππ-=-（）； 当n 为偶数时，3|3|3n n πππ-=-=-（）. （2）2()||x y x y -=-. 当x y ≥时，2()x y x y -=-；当x y <时，2()x y y x -=-. 例2已知221n a =+，求33n n n n a a a a --++的值. 解：332222()(1)1121122121 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-+=-+++. 例3化简：（1）2 115113366 22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）3322 114 4 23 ()a b ab b a b a ?（a ＞0，b ＞0）； （3）24 3 819?. 指数对数运算 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是 （ ） A ． 3 2 B ．1 C ． 2 3 D ．2 2．设a,b,c 都是正数，且3a =4b =6，那么 （ ） A ． b a c 1 11+= B ． b a c 122+= C ． b a c 2 21+= D ． b a c 212+= 3．已知==)5(,)10(f x f x 则 （ ） A ．5 10 B . 10 5 C. 10log 5 D. 5lg 4．若a>1,b>1，a a p b b b log )(log log =，则a p 等于 （ ） A ．1 B ．b C ．log b a D ．a b a log 5．设15 112 1)3 1 (log )3 1 (log --+=x ，则x 属于区间 （ ） A ．（－2，－1） B ．（1，2） C ．（－3，－2） D ．（2，3） 6．若32x +9=10·3x ，那么x 2 +1的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．1或5 7．已知2lg(x －2y)=lgx+lgy ，则y x 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ． 4 1 或4 8．方程log 2(x+4)=2x 的根的情况是 （ ） A ．仅一个正根 B ．有两正根 C ．有两负根 D ．有一正根和一负根 9．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．7177)(m n m n = B. 3124 3)3(-=- C. 43 433)(y x y x +=+ D. 33 39= 10. 化简??? ? ??÷???? ??-???? ??656131 21213231 3b a b a b a 的结果是 （ ） A ．a 6 B. a - C. a 9- D. 2 9a 11．若x x 则,0)](log [log log 25.02=等于 （ ） A ．2 B. 2 C. 2 1 D. 1 指数与对数运算（习题） 1. 若log x z =，则（ ） A ．7z y x = B ．7z y x = C ．7z y x = D ．7x y z = 2. 若a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．log log log a c c b b a ?= B ．log log log a c c b a b ?= C ．log ()log log a a a bc b c =? D ．log ()log log a a a b c b c +=+ 3. 已知x ，y 为正实数，则下列式子中正确的是（ ） A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+ B ．lg()lg lg 222x y x y +=? C ．lg()lg lg 222x y x y ?=? D ．lg lg lg lg 222x y x y ?=+ 4. 若235log [log (log )]0x =，则x 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．125 5. 已知3log 2a =，那么33log 22log 6-可用a 表示为（ ） A ．5a -2 B ．-a -2 C ．3a -(1+a )2 D ．3-a 2-1 6. 若25a b m ==，且112a b +=，则m 的值为（ ） A ． B ． 10 C ．20 D ．100 7. 若3log 41x =，则44x x -+的值为（ ） A ．1 B ．83 C ．103 D ．2 8. 求下列各式的值： ； ； 2 3278?? ??? =____________； 1 236-=_________________； 3 481625-?? ??? =______________． 9. 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）： 2 ； ； ； =____________． 10. 化简下列各式（其中各式字母均为正数）： 11. 已知8112()log 1x x f x x x -?=?>?≤）） （（，若1()4f x =，则x =_________． 12. 计算下列各式： 高中数学指数、对数的运算一．选择题（共28小题） 1．（2014?济南二模）log2+log2cos的值为（） A．﹣2B．﹣1C．2D．1 2．（2014?成都一模）计算log5+所得的结果为（） A．1B．C．D．4 3．若a＞2，b＞2，且log2（a+b）+log2=log2+log2，则log2（a﹣2）+log2（b﹣2）=（）A．0B．C．1D．2 4．（2014?泸州二模）式子log2（log216）+8×（）﹣5=（） A．4B．6C．8D．10 5．（2014?泸州一模）的值为（） A．1B．2C．3D．4 6．（2015?成都模拟）计算21og63+log64的结果是（） A．l og 2B．2C．l og63D．3 6 7．（2014?浙江模拟）log212﹣log23=（） A．2B．0C．D．﹣2 8．（2014?浙江模拟）下列算式正确的是（） A．l g8+lg2=lg10B．l g8+lg2=lg6C．l g8+lg2=lg16D．l g8+lg2=lg4 9．（2014?和平区二模）已知3x=5y=a，且+=2，则a的值为（） A．B．15C．±D．225 10．（2013?枣庄二模）已知函数，则的值是（）A．9B．﹣9C．D． 11．（2013?婺城区模拟）已知函数f（x）=log2，若f（a）=，则f（﹣a）=（） A．2B．﹣2C．D． ﹣ 12．（2013?泸州一模）log2100+的值是（） A．0B．1C．2D．3 13．（2013?东莞一模）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）A． B．C．D．﹣54 ﹣ 14．（2013?东城区二模）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4 15．（2012?安徽）（log29）?（log34）=（） A．B．C．2D．4 16．（2012?北京模拟）函数y=是（） B．区间（﹣∞，0）上的减函数 A．区间（﹣∞，0） 上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数 C．区间（0，+∞） 上的增函数 17．（2012?杭州一模）已知函数则=（）A．B．e C．D．﹣e 18．（2012?北京模拟）log225?log34?log59的值为（） A．6B．8C．15D．30 19．（2012?北京模拟）实数﹣?+lg4+2lg5的值为（）A．2B．5C．10D．20 指数运算与对数运算练习题 基础题 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34 a = （3）35 a - = （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4 y x = （2）)0(2>=m m m （3= （4= ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）31()4-= ；（4）3 4 16()81 -= （5）12 2 [(]- = （6）(12 2 1?????? = （7）=3 264 一、选择题 1、以下四式中正确的是（ ） A 、log 22=4 B 、log 21=1 C 、log 216=4 D 、log 221=4 1 2、下列各式值为0的是（ ） A 、10 B 、log 33 C 、（2－3）° D 、log 2∣－1∣ 3、2 5 1 log 2 的值是（ ） A 、－5 B 、5 C 、 51 D 、－5 1 4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ） A 、 2 5 B 、3 C 、10 D 、1 5、设N ＝ 3log 12＋3 log 1 5，则（ ） A 、N ＝2 B 、N ＝2 C 、N ＜－2 D 、N ＞2 6、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ） A 、 a >5或a <2 B 、 25< 指数式、对数式的运算 一、基础知识 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使 n a有意义)． ②当n是奇数时，n a n＝a； 当n是偶数时，n a n＝|a|＝ ?? ? ??a，a≥0， －a，a<0. (2)分数指数幂的意义 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a m n＝ n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a - m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)； ②a r a s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)； ③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b. 指数、对数之间的关系 (1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)． 二、常用结论 1．换底公式的变形 (1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝ 1 log b a (a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)； (3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式 a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)． 考点一 指数幂的化简与求值 [典例] 化简下列各式： (1)????2 350＋2－2·??? ?2 14-1 2－(0.01)0.5； (2)56 a 1 3·b －2·????－3a -12b －1÷(4a 2 3·b －3)1 2. [解] (1)原式＝1＋14×????4912－????11001 2＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615 . 第1节 实数指数幂的运算（2课时） 考试要求 2.会进行有理指数幂的计算。 知识精讲 1.有理指数幂的有关概念。 （1）零指数幂：0 a = （0≠a ）。 （2）负整数指数幂：n a -= （0,≠∈+a N n ）。 （3）分数指数幂： n m a = （n m a ,,0>互质+∈N n m ,）。 n m a - = （n m a ,,0>互质+∈N n m ,）。 2.幂的运算性质：（R n m b a ∈>>,,0,0） （1）n m a a = ， （2）n m a a = ， （3）n m a )(= ， （4）m ab )(= ， （5）n b a )(= 。 3.根式的概念 （1）式子n a 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 。 （2）n n a )(= （N n n ∈>,1）。 （3）当n 为奇数时，n n a = ，当n 为偶数时， n n a =||a =) 0() 0(__________________<≥?? ?a a 。 基础训练 1.有下列运算结果（1）1)1(0 -=-；（2）a a =2；（3）a a =-22 1 )(； （4）3 13 13 2 a a a =÷；（5）3333 55 3=?，则其中正确的个数是（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3 2.把下列各式化成分数指数幂的形式 （1）32a = ， （2） 3 1a = ， （3）b a 3 = ， （4）332b a += ， （5）5 3151)(-?b a = ， （6）432b a = 。 3.比较下列各题中的两个数值的大小（用“>”“<”“=”填空） （1）0 )100(- 2 12 （2）3 227- 23- （3）31 )8 1(- 31 )27 1(- （4）4116 4 181- 典型例题 1】化简计算 （1）43 )81 16(- （2）03 31)5(])4 3[(--- （3）633333?? （4）40242)()32()2(--?÷a b a b a b 变式训练 计算：1. 21 21 1 001.0)4 9(4)817(-?+-- 2. 443 2733?? 3. 03 23 11 )53(2764 2+++?- 4. 7 77? 1．指数、对数的运算法则； 2．指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=． 指数式与对数式的底a 取值范围为(0,1)∪(1，+∞). 在底确定的前提下，指数运算与对数运算互为逆运算. 1．重视指数式与对数式的互化； 2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． （三）例题分析： 例1．计算：（1）12131 6 32 4 (1243)27162(8)--+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+； （3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+． 解：（1）原式12 1 33(1)246 3 2 4 (113 2 28 ? -?-?? =+-+-? 2133 3 2 113222 118811? =++-?=+-=． （2）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=． （3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3 ( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2 =+?+=+?+ 3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 =?=． 例2．已知112 2 3x x - +=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值． 解：∵112 2 3x x -+=，∴112 2 2()9x x - +=，∴129x x -++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， 又∵331112 2 2 2 ()(1)3(71)18x x x x x x -- -+=+?-+=?-=， ∴22332 22472 3183 3 x x x x -- +--= =-+-． 例3．已知35a b c ==，且11 2a b +=，求c 的值． 解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a =； 同理可得 1log 5c b =，∴由11 2a b += 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c > ，∴c =． 例4．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >． 由2log 2log 30x y y x -+=得2 230t t -+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1 log 2 x y =，∴1 2y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-． 指数对数运算 一、选择题 1． 3 log 9 log 28的值是 （ ） A ． 3 2 B ．1 C ． 2 3 D ．2 2．设a,b,c 都是正数，且3a =4b =6，那么 （ ） A ． b a c 1 11+= B ． b a c 122+= C ． b a c 2 21+= D ． b a c 212+= 3．已知==)5(,)10(f x f x 则 （ ） A ．5 10 B . 10 5 C. 10log 5 D. 5lg 4．若a>1,b>1，a a p b b b log )(log log =，则a p 等于 （ ） A ．1 B ．b C ．log b a D ．a b a log 5．设15 112 1)3 1 (log )3 1 (log --+=x ，则x 属于区间 （ ） A ．（－2，－1） B ．（1，2） C ．（－3，－2） D ．（2，3） 6．若32x +9=10·3x ，那么x 2 +1的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．1或5 7．已知2lg(x －2y)=lgx+lgy ，则y x 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ． 4 1 或4 8．方程log 2(x+4)=2x 的根的情况是 （ ） A ．仅一个正根 B ．有两正根 C ．有两负根 D ．有一正根和一负根 9．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．717 7)(m n m n = B. 31243)3(-=- C. 43 433)(y x y x +=+ D. 33 39= 10. 化简??? ? ??÷???? ??-???? ??656131 21213231 3b a b a b a 的结果是 （ ） A ．a 6 B. a - C. a 9- D. 2 9a 11．若x x 则,0)](log [log log 25.02=等于 （ ） A ．2 B. 2 C. 2 1 D. 1 g3.1016指数式与对数式 一、知识回顾： 指数式与对数式的底a 取值范围为(0,1)∪(1，+∞). 在底确定的前提下，指数运算与对数运算互为逆运算. 二、基本训练： 1、下列各式：（1）2 1) (x x -=- （2）33 1x x -=- （3） )0()()(43 43 >=-xy x y y x （4）3 1 62 y y = ，其中正确的是______________ 2、= ++- 31 021 )64 27()5(lg )972(___________, =-2lg 9lg 2 1 100 _________________ 3、____________50lg 2lg 5lg 2=?+ =+-)223(log ) 12( _____________ 4、设,213 3=+ x x 求x x 1 + 的值 5、已知,518,9log 18==b a 求45log 36 三、例题分析 例1、(1)若0)](log [log log 432=x ，则x =___________ (2 )对于 1,0≠>a a ，下列说法中，正确的是 （ ） (A)N M N M a a log log ,==则若 (B) N M N M a a ==则若,log log (C) N M N M a a ==则若,log log 22 (D) 22log log ,N M N M a a ==则若 （3）已知n m <<1，令)(log log ,log ,)(log 22m c m b m a n n n n ===，则( ) (A)a高中数学,指数式与对数式的运算考点题型总结
100道指数和对数运算
指数式和对数式比较大小
指数式、对数式的运算
高中数学+指数、对数的运算
指数对数概念及运算公式
指数与对数运算练习题
指数对数基本运算
指数式与对数式的运算
指数对数运算经典习题及答案.doc
指数与对数运算(习题)
高中数学指数对数的运算
指数与对数运算练习题
指数式、对数式的运算
指数对数运算习题
指数式与对数式
指数对数运算经典习题及答案
高中数学g3.1016指数式与对数式
相关主题
文本预览