第三章直线与方程
3、1、1直线得倾斜角与斜率
教学目标:
知识与技能
(1)正确理解直线得倾斜角与斜率得概念.
(2)理解直线得倾斜角得唯一性、
(3)理解直线得斜率得存在性、
过程与方法
斜率公式得推导过程,掌握过两点得直线得斜率公式.
情感态度与价值观
(1) 通过直线得倾斜角概念得引入学习与直线倾斜角与斜率关系得揭示,培养学生
观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.
(2) 通过斜率概念得建立与斜率公式得推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,
培养学生树立辩证统一得观点,培养学生形成严谨得科学态度与求简得数学精
神.
重点与难点:直线得倾斜角、斜率得概念与公式、
教学用具:计算机
教学方法:启发、引导、讨论、
教学过程:
（一）直线得倾斜角得概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线、那么, 经过一点P得直线l得位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案就是否定得、这些直线有什么联系呢?
(1)它们都经过点P、(2)它们得‘倾斜程度’不同、怎样描述这种‘倾斜程度’得不同?
引入直线得倾斜角得概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成得角α叫做直线l得倾斜角
．．．、特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°、
问: 倾斜角α得取值范围就是什么? 0°≤α＜180°、
当直线l与x轴垂直时, α= 90°、
因为平面直角坐标系内得每一条直线都有确定得倾斜程度, 引入直线得倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内得每一条直线得倾斜程度、
如图, 直线a∥b∥c, 那么它们
得倾斜角α相等吗? 答案就是肯定得、所以一个倾斜角α不能确定一条直线、
确定平面直角坐标系内得一条直线位置得几何要素: 一个点
．．．．．．α．、
．．．P．与一个倾斜角
(二)直线得斜率:
一条直线得倾斜角α(α≠90°)得正切值叫做这条直线得斜率,斜率常用小写字母k表示,也就就是k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在、
由此可知, 一条直线l得倾斜角α一定存在,但就是斜率k不一定存在、
例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－45°) = - tan45°= - 1、
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线得倾斜程度、
(三) 直线得斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点得坐标来表示直线P1P2得斜率?
可用计算机作动画演示: 直线P1P2得四种情况, 并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式得推导、(略)
斜率公式:
对于上面得斜率公式要注意下面四点:
(1) 当x1=x2时,公式右边无意义,直线得斜率不存在,倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直;
(2)k与P1、P2得顺序无关, 即y1,y2与x1,x2在公式中得前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点得坐标求得;
(4) 当y1=y2时, 斜率k = 0, 直线得倾斜角α=0°,直线与x轴平行或重合、
(5)求直线得倾斜角可以由直线上两点得坐标先求斜率而得到.
(四)例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA得斜率, 并判断它们得倾斜角就是钝角还就是锐角、(用计算机作直线, 图略)
分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k得值; 而当k = tanα<0
时, 倾斜角α就是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α就是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α就是0°、
略解: 直线AB得斜率k1=1/7>0, 所以它得倾斜角α就是锐角;
直线BC得斜率k2=-0、5<0, 所以它得倾斜角α就是钝角;
直线CA得斜率k3=1>0, 所以它得倾斜角α就是锐角、
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3得直线a, b, c, l、分析:要画出经过原点得直线a, 只要再找出a上得另外一点M、而M得坐标可以根据直线a得斜率确定; 或者k=tanα=1就是特殊值,所以也可以以原点为角得顶点,x 轴得正半轴为角得一边, 在x 轴得上方作45°得角, 再把所作得这一边反向延长成直线即可、
略解: 设直线a上得另外一点M得坐标为(x,y),
根据斜率公式有1=(y－0)／(x－0)所以x = y
可令x = 1, 则y = 1, 于就是点M得坐标为(1,1)、此时过原点与点M(1,1), 可作
直线a。同理, 可作直线b, c, l、(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习: P86 1、2、3、4、
(六)小结:
(1)直线得倾斜角与斜率得概念. (2) 直线得斜率公式、
(七)课后作业: P89 习题3、1 1、3、
(八)板书设计:
(
(
(三)情感态度与价值观
通过对两直线平行与垂直得位置关系得研究,培养学生得成功意识,合作交流得学习方式,激发学生得学习兴趣.
重点:两条直线平行与垂直得条件就是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用.
难点:启发学生, 把研究两条直线得平行或垂直问题, 转化为研究两条直线得斜率得关系问题.
注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在得情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题.
教学过程
(一)先研究特殊情况下得两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线得倾斜角与斜率得概念, 而且知道,可以用倾斜角与斜率来表示直线相对于x轴得倾斜程度, 并推导出了斜率得坐标计算公式、现在, 我们来研究能否通过两条直线得斜率来判断两条直线得平行或垂直.
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线得斜率也不存在时,两直线得倾斜角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线得斜率为0时,一条直线得倾斜角为90°,另一条直
线得倾斜角为0°,两直线互相垂直.
(二)两条直线得斜率都存在时, 两直线得平行与垂直
设直线L1与L2得斜率分别为k1与k2、我们知道, 两条直线得平行或垂直就是由两条直线得方向决定得, 而两条直线得方向又就是由直线得倾斜角或斜率决定得、所以我们下面要研究得问题就是: 两条互相平行或垂直得直线, 它们得斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合)得情形.如果L1∥L2(图1-29),那么它们得倾斜角相等:α1=α2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2得关系)
∴tanα1=tanα2.即k1=k2.
反过来,如果两条直线得斜率相等: 即k1=k2,那么tgα1=tgα2.
由于0°≤α1＜180°,0°≤α2＜180°,∴α1=α2.又∵两条直线不重合,∴L1∥L2.
结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们得斜率相等;反之,如果它们得斜率相等,那么它们平行,即
注意: 上面得等价就是在两条直线不重合且斜率存在
．．．．．．．．得前提下才成立得,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定、
下面我们研究两条直线垂直得情形.
如果L1⊥L2,这时α1≠α2,否则两直线平行.
设α2＜α1(图1-30),甲图得特征就是L1与L2得交点在x轴上方;乙图得特征就是L1与L2得交点在x轴下方;丙图得特征就是L1与L2得交点在x轴上,无论哪种情况下都有α1=90°+α2. 因为L1、L2得斜率分别就是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°.
,
可以推出: α1=90°+α2. L1⊥L2.
结论: 两条直线都有斜率
．．．．．．．．,如果它们互相垂直,那么它们得斜率互为负倒数;反之,如果它们得斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即
注意: 结论成立得条件、即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定、
(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2得关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2得关系, 得到猜想, 再加以验证、转动时, 可使α1为锐角,钝角等)、
例题
例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ得位置关系, 并证明您得结论、
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证、(图略)
解: 直线BA得斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0、5, 直线PQ得斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0、5, 因为k1=k2=0、5, 所以直线BA∥PQ、
例2 已知四边形ABCD得四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD得形状,并给出证明、(借助计算机作图, 通过观察猜想:四边形ABCD就是平行四边形,再通过计算加以验证)
解同上、
例3已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ得位置关系、解: 直线AB得斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ得斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为k1·k2 = -1 所以AB⊥PQ、
例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC得形状、
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC就是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证、(图略)
课堂练习P89 练习1、2、
课后小结(1)两条直线平行或垂直得真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直、(3) 应用直线平行得条件, 判定三点共线、
布置作业P89 习题3、1 5、8、
板书设计
3、2、1 直线得点斜式方程
一、教学目标
1、知识与技能
(1)理解直线方程得点斜式、斜截式得形式特点与适用范围;
(2)能正确利用直线得点斜式、斜截式公式求直线方程。
(3)体会直线得斜截式方程与一次函数得关系、
2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线得几何要素——直线上得一点与直线得倾斜角得基础上,通过师生探讨,得出直线得点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”得区别。3、情感情态与价值观
通过让学生体会直线得斜截式方程与一次函数得关系,进一步培养学生数形结合得思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系得观点瞧问题。
二、教学重点、难点:
(1)重点:直线得点斜式方程与斜截式方程。
(2)难点:直线得点斜式方程与斜截式方程得应用。
教学方法:启发引导式发现探究式
教学用具:计算机实物投影仪
教学过程设计:
【创设情景】
师:上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线得几何要素。那么,我们能否用给定得条件(点P0得坐标与斜率,或P1,P2得坐标),将直线上得所有点得坐标()满
足得关系表示出来呢？这节课,我们一起学习直线得点斜式方程。
【探求新知】
师:若直线经过点,且斜率为,求直线得方程。
生:(给学生以适当得引导)设点P()就是直线上不同于点得任意一点,因为直线得斜率为,
由斜率公式得:
,可化为:
………………①
〖探究〗:思考下面得问题:(不必严格地证明,只要求验证)
(1)、过点,斜率为得直线上得点,其坐标都满足方程①吗？
(2)、坐标满足方程①得点都在过点,斜率为得直线上吗？
生:经过探究与验证,上述得两条都成立。所以方程①就就是过点,斜率为得直线得方程。
因此得到:
(一)、直线得点斜式方程:
其中()为直线上一点坐标,为直线得斜率。
方程①就是由直线上一定点及其斜率确定,叫做直线得点斜式方程,简称点斜式。
师:直线得点斜式方程能否表示坐标平面上得所有直线呢？(让学生思考,互相讨论) 生1:不能,因为不就是所有得直线都有斜率。
生2:对,因为直线得点斜式方程要用到直线得斜率,有斜率得直线才能写成点斜式方程,如果直线没有斜率,其方程就不能用点斜式表示。
师:very good！
那么,轴所在直线得方程就是什么？轴所在直线得方程又就是什么？
生:因为轴所在直线得斜率为=0,且过点(0,0),
所以轴所在直线得方程就是=0。(即:轴所在直线上得每一点得纵坐标都等于0。)
而轴所在直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示。但轴所在直线上得每
一点得横坐标都等于0。
所以轴所在直线得方程为:=0。
师:那些与轴或轴平行得直线方程又如何表示呢？
生:(猜想)与轴平行得直线得方程为:;
与轴平行得直线得方程为:。
师:当直线得倾斜角为0°时,,即=0,直线与轴平行或重合,直线方程为:,或。
当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,直线与轴平行或重合,它得方程不能用
点斜式表示。这时直线方程为:,或。
经过分析,同学们得猜想就是正确得。
师:已知直线得斜率为k ,与y 轴得交点就是P (0,b ),求直线得方程。
生:因为直线得斜率为,与y 轴得交点就是P(0,b),代入直线方程得点斜式,
得直线得方程为: 即:
(二)、直线斜截式方程:
………… ② 我们把直线与轴交点(0,)
②就是由直线得斜率与它在轴上得截距确定得,
斜截式。
师:截距就是距离吗？
生:不就是,b 为直线l 在y 轴上截距,截距不就是距离,截距就是直线与坐标轴交点得
相应坐标,就是一个实数,可正可负可为零;距离就是线段得长度,就是非负实
数。
师:观察方程,它得形式具有什么特点？
生:左端得系数恒为1,右端得系数与常数均有几何意义:就是直线得斜率,就是直线
在轴上得截距。
师:当直线倾斜角为90°时,它得方程能不能用斜截式来表示？
生:不能,因为直线没有斜率。
师:方程与我们学过得一次函数得表达式之间有什么关系呢？
生:当时,直线斜截式方程就就是一次函数得表示形式。
【例题分析】
〖例1〗直线经过点P 0(-2,3),且倾斜角α=45°,求直线得点斜式方程,并画出直线。 师:分析并根据已知条件,先求得直线方程得斜率。代入直线得点斜式方程即可求得。 生:(思考后自主完成解题过程)
解:直线经过点P 0(-2,3),斜率就是:。 代入点斜式方程得。
这就就是所求得直线方程,如右图中所示。(画图时只需要再找到满足方程得另一个点即可。) 〖例2〗已知直线 试讨论:(1)得条件就是什么？(2)师:生:(思考后互相交流意见、想法。)总结得到:
对于直线
【课堂精练】
课本P 95练习1,2,3,4。
说明:通过加强练习来熟悉直线方程得点斜式与斜截式。
【课堂小结】
师生:通过本节内容得学习,要求大家掌握直线方程得点斜式,了解直线方程得斜截
式,并了解求解直线方程得一般思路。 求直线方程需要两个独立得条件(斜率及
一点),根据不同得几何条件选用不同形式得方程。
【课后作业】
P100习题3、2 1、(1)、(2)、(3)、(5)、(6)
3、2、2 直线得两点式方程
一、教学目标
1、知识与技能
(1)掌握直线方程得两点得形式特点及适用范围;
(2)了解直线方程截距式得形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生在应用旧知识得探究过程中获得到新得结论,并通过新旧知识得比较、分析、应用获得新知识得特点。
3、情态与价值观
(1)认识事物之间得普遍联系与相互转化;
(2)培养学生用联系得观点瞧问题。
二、教学重点、难点:
1、重点:直线方程两点式。
2、难点:两点式推导过程得理解。
三、教学方法:学导式
四、教具准备:幻灯片
五、教学过程
Ⅰ、复习回顾
师:上一节课,我们一起学习了直线方程得点斜式,并要求大家熟练掌握,首先我们作一简要得回顾(略), 这一节,我们将利用点斜式来推导直线方程得两点式、
Ⅱ、讲授新课
1.直线方程得两点式:
其中就是直线两点得坐标、
推导:因为直线l经过点,并且,所以它得斜率、代入点斜式,得,、
当、
说明:①这个方程由直线上两点确定;
②当直线没有斜率()或斜率为时,不能用两点式求出它得方程、
2.直线方程得截距式:,其中a,b分别为直线在x轴与y轴上截距、
说明:①这一直线方程由直线在x轴与y轴上得截距确定,所以叫做直线方程得截距式;
②截距式得推导由例2给出、
3.例题讲解:
例2、已知直线l与x轴得交点为(a,0),与y轴得交点为(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l得方程、
解:因为直线l经过A(a,0)与B(0,b)两点,将这两点得坐标代入两点式,得:
说明:此题应用两点式推导出了直线方程得截距式、
例3、三角形得顶点就是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),求这个三角形三边所在直线得方程、解:直线AB过A(-5,0)、B(3,-3)两点,由两点式得
整理得:,即直线AB得方程、
直线BC过C(0,2),斜率就是,
由点斜式得:
整理得:,即直线BC得方程、
直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点,由两点式得:
整理得:,即直线AC得方程、
说明:例3中用到了直线方程得点斜式与两点式,说明了求解直线方程得灵活性,应让学生引起注意、
Ⅲ、课堂练习:课本P97练习1、2、3
Ⅳ、课堂小结
师:通过本节学习,要求大家掌握直线方程得两点式,并能运用直线方程得多种形式灵活求解直线方程、
Ⅴ、课后作业:P100习题3、2 2、3、4
3、2、3 直线得一般式方程
一、教学目标
1、知识与技能
(1)明确直线方程一般式得形式特征;
(2)会把直线方程得一般式化为斜截式,进而求斜率与截距;
(3)会把直线方程得点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法
学会用分类讨论得思想方法解决问题。
3、情态与价值观
(1)认识事物之间得普遍联系与相互转化;
(2)用联系得观点瞧问题。
二、教学重点、难点:
1、重点:直线方程得一般式。
2、难点:对直线方程一般式得理解与应用。
三、教学过程
(一)、引入新课
点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直得直线;两点式不能表示与坐标轴平行得直线;截距式既不能表示与坐标轴平行得直线,又不能表示过原点得直线.与x轴垂直得直线可表示成x=x0,与x轴平行得直线可表示成y=y0。它们都就是二元一次方程.
我们问:直线得方程都可以写成二元一次方程吗？反过来,二元一次方程都表示直线吗？
(二)直线方程得一般形式
我们知道,在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α.当α≠90°时,直线有斜率,方程可写成下面得形式:
y=kx+b
当α=90°时,它得方程可以写成x=x0得形式.
由于就是在坐标平面上讨论问题,上面两种情形得到得方程均可以瞧成就是二元一次方程.这样,对于每一条直线都可以求得它得一个二元一次方程,就就是说,直线得方程都可以写成关于x、y得一次方程.
反过来,对于x、y得一次方程得一般形式Ax+By+C=0. ①其中A、B不同时为零.
(1)当B≠0时,方程①可化为:
这里,我们借用了前一课y=kx+b表示直线得结论,不弄清这一点,会感到上面得论证不知所云.
(2)当B=0时,由于A、B不同时为零,必有A≠0,方程(1)可化为:
它表示一条与y轴平行得直线.
这样,我们又有:关于x与y得一次方程都表示一条直线.我们把方程写为
Ax+By+C=0
这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程得一般式.
引导学生思考:直线与二元一次方程得对应就是什么样得对应？
直线与二元一次方程就是一对多得,同一条直线对应得多个二元一次方程就是同解方程.
(三)例题
解:直线得点斜式就是
化成一般式得4x+3y-12=0.
把常数次移到等号右边,再把方程两边都除以12,就得到截距式
讲解这个例题时,要顺便解决好下面几个问题:(1)直线得点斜式、两点式方程由于给出得点可以就是直线上得任意点,因此就是不唯一得,一般不作为最后结果保留,须进一步化简;(2)直线方程得一般式也就是不唯一得,因为方程得两边同乘以一个非零常数后得到得方程与原方程同解,一般方程可作为最终结果保留,但须化为各系数既无公约数也不就是分
数;(3)直线方程得斜截式与截距式如果存在得话就是唯一得,如无特别要求,可作为最终结果保留.
例2 把直线l得方程x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l得斜率与在x轴与y轴上得截距,并画图.
解:将原方程移项,得2y=x+6,两边除以2得斜截式:
x=-6
根据直线过点A(-6,0)、B(0,3),在平面内作出这两点连直线就就是所要作得图形(图1-28).
本例题由学生完成,老师讲清下面得问题:二元一次方程得图形就是直线,一条直线可由其方向与它上面得一点确定,也可由直线上得两点确定,利用前一点作图比较麻烦,通常我们就是找出直线在两轴上得截距,然后在两轴上找出相应得点连线.
例3 证明:三点A(1,3)、B(5,7)、C(10,12)在同一条直线上.
证法一直线AB得方程就是:
化简得 y=x+2.
将点C得坐标代入上面得方程,等式成立.
∴A、B、C三点共线.
∴A、B、C三点共线.
∵|AB|+|BC|=|AC|,
∴A、C、C三点共线.
讲解本例题可开拓学生思路,培养学生灵活运用知识解决问题得能力.
(四)课堂练习:P99练习1、2、3
(五)课堂小结:
(1)归纳直线方程得五种形式及其特点.
(2)例4一般化:求过两点得直线与已知直线(或由线)得交点分以这两点为端点得有向线段所成定比时,可用定比分点公式设出交点得坐标,代入已知直线(或曲线)求得.
(六)布置作业:习题3、2 5、9、10
3、3、1两条直线得交点坐标
教学目标
知识与技能:1、直线与直线得交点
2、二元一次方程组得解
过程与方法:1、学习两直线交点坐标得求法,以及判断两直线位置得方法。
2、掌握数形结合得学习法。
3、组成学习小组,分别对直线与直线得位置进行判断,归纳过定点得
直线系方程。
情态与价值:1、通过两直线交点与二元一次方程组得联系,从而认识事物之间得内
在得联系。
2、能够用辩证得观点瞧问题。
教学重点,难点:
重点:判断两直线就是否相交,求交点坐标。
难点:两直线相交与二元一次方程得关系。
教学方法:启发引导式
在学生认识直线方程得基础上,启发学生理解两直线交点与二元一次方程组得得相互关系。引导学生将两直线交点得求解问题转化为相应得直线方程构成得二元一次方程组解得问题。由此体会“形”得问题由“数”得运算来解决。
教具:用POWERPOINT课件得辅助式教学
教学过程:
一、情境设置,导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线得位置关系。
课堂设问一:由直线方程得概念,我们知道直线上得一点与二元一次方程得解得关
系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线得方程有何关系？
二、讲授新课
1．分析任务,分组讨论,判断两直线得位置关系
已知两直线L1:A1x+B1y +C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线得关系？
课堂设问二:如果两条直线相交,怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什
关系？
学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线就是否相交与其方程所组成得方程组有何关系？
（1） 若二元一次方程组有唯一解,L 1与L 2 相交。
（2） 若二元一次方程组无解,则L 1与 L 2平行。
（3） 若二元一次方程组有无数解,则L 1 与L 2重合。
课后探究:两直线就是否相交与其方程组成得方程组得系数有何关系？
2． 例题讲解,规范表示,解决问题
例题1:求下列两直线交点坐标L 1 :3x+4y-2=0 L 2:2x+y +2=0 解:解方程组 得 x=-2,y=2 所以L 1与L 2得交点坐标为M(-2,2),如图3。3。1。
6
4
2
-2
-4
-55y
x
教师可以让学生自己动手解方程组,瞧解题就是否规范,条理就是否清楚,表达就是
否简洁,然后才进行讲解。
同类练习:书本104页第1题。
例2 判断下列各对直线得位置关系。如果相交,求出交点坐标。
（1） L 1:x-y=0,L 2:3x+3y-10=0
（2） L 1:3x-y=0,L 2:6x-2y=0
（3） L 1:3x+4y-5=0,L 2:6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。
三、启发拓展,灵活应用。
课堂设问一。当变化时,方程 3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示何图形,图形
有何特点？求出图形得交点坐标。
（1） 可以一用信息技术,当 取不同值时,通过各种图形,经过观察,让学生
从直观上得出结论,同时发现这些直线得共同特点就是经过同一点。
（2） 找出或猜想这个点得坐标,代入方程,得出结论。
（3） 结论,方程表示经过这两条直线L 1 与L 2得交点得直线得集合。
例2 已知为实数,两直线:,:相交于一点,求证交点不可能在第一象限及轴上、 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标得范围、
解:解方程组若＞0,则＞1、当＞1时,－＜0,此时交点在第二象限内、
又因为为任意实数时,都有1＞0,故≠0
因为≠1(否则两直线平行,无交点) ,所以,交点不可能在轴上王新敞
,得交点(－)
四、课堂小结:直线与直线得位置关系,求两直线得交点坐标,能将几何问题转化为代数问题来
解决,并能进行应用。
五、练习及作业:
1、光线从M(-2,3)射到x 轴上得一点P(1,0)后被x 轴反射,求反射光线所在得直线方程。
2、求满足下列条件得直线方程。经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0得交点,且与直线3x-2y+4=0垂直。
3、课本P104练习:2题
3、3、2两点间得距离
教学目标
知识与技能:掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单得几何问题。 过程与方法:通过两点间距离公式得推导,能更充分体会数形结合得优越性。 情态与价值:体会事物之间得内在联系,,能用代数方法解决几何问题
教学重点:两点间距离公式得推导。
教学难点:应用两点间距离公式证明几何问题。
教学方式:启发引导式。
教学用具:用多媒体辅助教学。
教学过程:
一、情境设置,导入新课
课堂设问一:回忆数轴上两点间得距离公式,同学们能否用以前所学得知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点,分别向x 轴与y 轴作垂线,垂足分别为直线相交于点Q 。在直角中,,为了计算其长度,过点向x 轴作垂线,垂足为 过点 向y 轴作垂线,垂足为 ,于就是有
所以,=。
由此得到两点间得距离公式
在教学过程中,可以提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难得到。
二、例题解答,细心演算,规范表达。
例1 :以知点A(-1,2),B(2, ),在x 轴上求一点,使 ,并求 得值。
解:设所求点P(x,0),于就是有
由 得解得 x=1。
所以,所求点P(1,0)且 通过例题,使学生对两点间距离公式理解。应用。
解法二:由已知得,线段AB 得中点为,直线AB 得斜率为
k=1
2?? ??
?３ｘ－ＰＡ＝３２线段AB 得垂直平分线得方程就是 y-在上述式子中,令y=0,解得x=1。
所以所求点P 得坐标为(1,0)。因此
同步练习:书本106页练习第1,2 题
三、巩固反思,灵活应用。(用两点间距离公式来证明几何问题。)
例2 证明平行四边行四条边得平方与等于两条对角线得平方与。
分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决,让学生深刻体会数形之间得关系与转化,并从中归纳出应用代数问题解决几何问题得基本步骤。
证明:如图所示,以顶点Ａ为坐标原点,ＡＢ边所在得直线为ｘ轴,建立直角坐标系,有Ａ(０,
０)。设Ｂ(ａ,０),Ｄ(ｂ,ｃ),由平行四边形得性质得点Ｃ得坐标为(ａ＋ｂ,ｃ),因为
所以,
所以,
因此,平行四边形四条边得平方与等于两条对角线得平方与。上述解决问题得基本步骤可以让学生归纳如下:第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关得量。第二步:进行有关代数运算。第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。
思考:同学们就是否还有其它得解决办法？还可用综合几何得方法证明这道题。
四、课堂小结:主要讲述了两点间距离公式得推导,以及应用,要懂得用代数得方法解决
几何问题,建立直角坐标系得重要性。
五、布置作业:
1、证明直角三角形斜边上得中点到三个顶点得距离相等
2、在直线x-3y-2=0上求两点,使它与(-2,2)构成一个等边三角形。
3.点(0,5)到直线y=2x得距离就是——。
3、3、3 点到直线得距离公式
教学目标:
知识与技能:理解点到直线距离公式得推导,熟练掌握点到直线得距离公式;
过程与方法:会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞
情感与价值:认识事物之间在一定条件下得转化。用联系得观点瞧问题王新敞
教学重点:点到直线得距离公式王新敞
教学难点:点到直线距离公式得理解与应用、
教学方法:学导式
教具:多媒体、实物投影仪王新敞
教学过程
一、情境设置,导入新课:
前面几节课,我们一起研究学习了两直线得平行或垂直得充要条件,两直线得夹角公式,两直线得交点问题,两点间得距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题得思想方法、这一节,我们将研究怎样由点得坐标与直线得方程直接求点P到直线得距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线得位置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间得距离公式,复习前面所学。要求学生思考一直线上得计算？能否用两点间距离公式进行推导？两条直线方程如下:、
二、讲解新课:
1.点到直线距离公式:
点到直线得距离为:王新敞
(1)提出问题
在平面直角坐标系中,如果已知某点P得坐标为,直线＝0或B＝0时,以上公式,怎样用点得坐标与直线得方程直接求点P到直线得距离呢?
学生可自由讨论。
(2)数行结合,分析问题,提出解决方案
学生已有了点到直线得距离得概念,即由点P到直线得距离d就是点P到直线得垂线段得长、
这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为一个曾今解决过得问题,一个自己熟
悉得问题。
画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。
方案一:
设点P到直线得垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥可知,直线PQ得斜Array率为(A≠0),根据点斜式写出直线PQ得方程,并由与PQ得方程求出点Q
得坐标;由此根据两点距离公式求出｜PQ｜,得到点P到直线得距离为
d王新敞
此方法虽思路自然,但运算较繁、下面我们探讨别一种方法王新敞
方案二:设A≠0,B≠0,这时与轴、轴都相交,过点P作轴得平行线,交于
点;作轴得平行线,交于点,
由得、
所以,｜PＲ｜＝｜｜＝
｜PS｜＝｜｜＝
｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知:·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜王新敞所以可证明,当A=0时仍适用王新敞
这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。
3.例题应用,解决问题。
例1 求点P=(-1,2)到直线3x=2得距离。
解:d=
例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形ABC得面积。
解:设AB边上得高为h,则
S= ,
AB边上得高h就就是点C到AB得距离。AB边所在直线方程为
即x+y-4=0。点C到X+Y-4=0得距离为hh=,
因此,S=
通过这两道简单得例题,使学生能够进一步对点到直线得距离理解应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题得优越性。
同步练习:108页练习第1,2题。
4.拓展延伸,评价反思。(1) 应用推导两平行线间得距离公式
已知两条平行线直线与得一般式方程为:,
:,则与得距离为王新敞
证明:设就是直线上任一点,则点P0到直线得距离为王新敞又即,∴d＝王新敞
得距离、
解法一:在直线上取一点P(４,0),因为∥王新敞
例3 求两平行线:,:,所以点P到得距离等于与得距离、于就是
解法二:∥又、
由两平行线间得距离公式得王新敞
四、课堂练习:
已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点(2,3),求该直线方程。
五、课堂小结:点到直线距离公式得推导过程,点到直线得距离公式,能把求两平行线得
距离转化为点到直线得距离公式王新敞
六、课后作业:
1、求点P(2,-1)到直线2＋3－3＝0得距离、
2、已知点A(,6)到直线3－４＝2得距离d=4,求得值:
3、已知两条平行线直线与得一般式方程为:,
:,则与得距离为王新敞