人教版高中数学 平面的基本性质与推论
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；
掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 会判断异面直线、掌握异面直线的求法；
会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系．
一、平面
1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．
平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：
(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：
画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被
遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）
3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言
空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直
线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示
α
B
A
β
α
A
B
α
β
α
βB
A
A
β
αB
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
b A =
a α?
α=?
A α=
l β= 二、平面的基本性质
1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：
A AB
B ααα∈?
???∈?
． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α? 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；
②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．
2. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
推理模式：
A A l A ααββ∈?
?∈=?∈?
如图示：
或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈
公理2的作用：
(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 3. 公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ?
?
∈???∈?
不共线与β重合
或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 三、空间两直线的位置关系
四、平行直线 1. 公理4 平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式：//,////a b b c a c ?．
(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性 2.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等． 由球的半径R 计算球表面积的公式：S 球＝ .即球面面积等于它的大圆面积的4倍． 五、异面直线 1. 定义：
不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线； (2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线 (3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法． 2．异面直线的画法
画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．
3．异面直线判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
推理模式：l A B B L ααα?????
??∈????
直线AB 与直线l 是异面直线
六、异面直线所成的角 1. 定义：
已知a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把直线a '和b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．
(1)异面直线所成的角与O 点的位置无关．
(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作a b ⊥． (3)异面直线所成角的范围是0,2π?
?
??
?
． 2. 求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角； （2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角． 七、直线、平面的位置关系
1．空间直线与平面的位置关系有以下三种：
(1)直线在平面内：如果一条直线a 与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a ?α.
(2)直线与平面相交：直线a 与平面α只有一个公共点A ，叫做直线与平面相交，记作a ∩α＝A ，公共点A 叫做直线a 与平面α的交点．
(3)直线与平面平行：如果一条直线a 与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a ∥α. 2.两个平面的位置关系有且只有一下两种： (1)两个平面平行---没有交点 (2)两个平面相交---有一条公共直线
3.顺次连接不共面的四点A 、B 、C 、D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做
b
a
α
β
b
a
α
空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．
类型一 平面及其性质 例1：(2014·邵阳一中月考)对下图的几何图形，下列表示错误的是( )
A ．l ∈α
B ．P ?l
C ．l ?α
D ．P ∈α
解析：由图形可知，l ?α，P ?l ，P ∈α，故选A. 答案：A
练习1：判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）平面的形状是平行四边形（ ） （2）任何一个平面图形都可以表示平面（ ） （3）平面ABCD 的面积为10㎡（ ） （4）空间图形中，后引的辅助线是虚线（ ） 答案： （1）（3）（4）错，（2）正确． 练习2：1、下列说法正确的个数（ ）
①铺的很平的一张纸是一个平面；②可以一个长20cm 、宽30cm 的平面；③通常300页的书要比10页的书厚一些，那么300个平面重合在一起时一定比10个平面重合在一起厚． A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 答案：A
练习3：若点Q 在直线b 上，b 在直线平面β内，则,,Q b β之间的关系可记作（ B ） A 、Q b β∈∈ B 、Q b β∈? C 、Q b β?? D 、Q b β?∈ 答案：B
例2：如右图，已知,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边,,,AB AD BC CD
上的点，且EF GH P =，求证：,,B D P 共线．
解析：由公理2可判断D 点在交线上． 答案：证明：∵EF
GH P = ∴P EF ∈
∵EF ?平面ABD ∴P ∈平面ABD 同理P ∈平面CBD ∵平面ABD
平面CBD BD = ∴P BD ∈
∴,,B D P 共线
练习1：已知l 与三条平行线,,a b c 都相交，求证：l 与,,a b c 共面． 答案： 证明：如右图所示
∵//a b ∴直线a 与直线b 确定一个平面，设为α ∵,l
a A l
b B == ∴,A a B b ∈∈
P
H G
F E
D
C B
A
C
B A
α
l
c
b
a
∴,A B αα∈∈ ∴l α?
∵//b c ∴直线b 与直线c 确定一个平面，设为β 同理可证l β? ∵,,,,l l b b l b B αβαβ????= ∴平面α与平面β重合
∴l 与,,a b c 共面
练习2：两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（ ）
A 、2个
B 、有无数个且在一条直线上
C 、一个或无数个
D 、1个 答案：B
练习3：下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则必有l α∈；②四边形的两条对角线必交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四边作为平面边界线；④梯形是平面图形．其中正确的命题个数为（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 答案：D
类型二 直线及其位置关系
例3：(2014·甘肃嘉峪关市一中高一期末测试)若a 、b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关
系是( )
A ．相交
B ．异面
C ．平行
D ．异面或相交
解析：如图，借助正方体可知c 与b 相交或异面． 答案：D 练习1：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BD 和CD 的中点，长方体的各棱中与EF 平行的有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
答案：如图所示
∵E 、F 分别为BD 、CD 的中点， ∴EF ∥BC ，又∵BC ∥B 1C 1，
∴EF ∥B 1C 1，同理，EF ∥A 1D 1，EF ∥AD . 故选D ．
练习2：空间四边形ABCD 中，给出下列说法：
①直线AB 与CD 异面； ②对角线AC 与BD 相交； ③四条边不能都相等；
④四条边的中点组成一个平行四边形． 其中正确说法的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案：本题主要考查空间四边形，关键要理解空间四边形的概念．由定义知①正确；②错误，否则
A 、
B 、
C 、
D 四点共面；③不正确，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；④正确，由平行四边形的判定定理可证．故选B ． 练习3：a 、b 、c 是空间中三条直线，下面给出几种说法：
①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；
②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交；
③若a 、b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行． 上述说法中正确的是________(仅填序号)． 答案：由基本性质4知①正确．
若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 可能平行，也可能相交或异面，②错误． 若平面α∩β＝l ，a ?α，b ?β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．
例4：已知正方体1111ABCD A B C D -,E 、F 分别为1AA 、1CC 的中点，求证:1//BF ED 解析：平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．
答案：证明：如右图，取1BB 中点G ，连结1GC 、GE ． ∵F 为1CC 的中点 ∴1//BG C F
∴四边形1BGC F 为平行四边形 ∴1//BF GC 又∵111111//,//EG A B C D A B ∴11//EG C D
∴ 四边形11EGC D 为平行四边形 ∴11//ED GC ∴1//BF ED
练习1：已知棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -,M 、N 分别为CD 、AD 的中点， 求证:四边形11MNA C 是梯形
答案：证明：如右图 ∵M 、N 分别为CD 、AD 的中点
∴1
//
2
MN AC 由正方体的性质知11//AC A C ∴111
//
2
MN A C ∴四边形 11MNA C 是梯形．
练习2：已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AE AB ＝AH AD ＝1
2
，
CF CB ＝CG CD ＝1
3
，则四边形EFGH 形状为________． 答案：如右图
在△ABD 中，∵AE AB ＝AH AD ＝1
2
，
∴EH ∥BD 且EH ＝1
2
BD .
在△BCD 中，∵CF CB ＝CG CD ＝1
3
，
∴FG ∥BD 且FG ＝1
3BD ，∴EH ∥FG 且EH >FG ，
∴四边形EFGH 为梯形．
N D 1
C 1B 1
M
A 1D C
B
A
例5：已知E 、1E 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、11A D 的中点． 求证：111BEC B E C ∠=∠
解析：由等角定理，证明角的边之间的关系，进而得到角的关系． 答案: 证明：如右图，连结1EE
∵E 、1E 分别是AD 、11A D 的中点 ∴11//A E AE ∴四边形11A E EA 为平行四边形 ∴11//A A E E 又∵11//A A B B ∴11//E E B B
∴四边形11E EBB 是平行四边形 ∴11//E B EB 同理可证：11//E C EC
又111C E B ∠与CEB ∠方向相同 ∴111BEC B E C ∠=∠
练习1：如右图，111,,AA BB CC 不共面，且1111//,//BB AA CC AA ,
求证：△ABC ≌△111A B C
答案：证明：∵11//BB AA ∴四边形11AA B B 是平行四边形 ∴11//AB A B 同理可证：11//AC A C
又∵BAC ∠和111B A C ∠方向相同 ∴BAC ∠=111B A C ∠
∴△ABC 和△111A B C 中有1111111AB A B AC A C BAC B A C
=??
=??∠=∠?
∴△ABC ≌△111A B C
练习2：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．
求证：∠NMP ＝∠BA 1D
.
答案：如图，连接CB 1、CD 1，
易得 四边形A 1B 1CD 是平行四边形， ∴A 1D ∥B 1C .
∵M 、N 分别是CC 1、B 1C 1的中点， ∴MN ∥B 1C ，∴MN ∥A 1D .
C 1B 1
A 1
C
∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1.
∵M 、P 分别是CC 1、C 1D 1的中点，∴MP ∥CD 1， ∴MP ∥A 1B ，
∴∠NMP 和∠BA 1D 的两边分别平行且方向都相反， ∴∠NMP ＝∠BA 1D .
例6：如右图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，M 、P 是直线a 上
两点，N 、Q 分别是直线b 、c 上一点．求证：MN 和PQ 是异面直线． 解析：证明其中一点不属于两外三点确定的平面即可． 答案：证明：∵a
b O = ∴由a 、
c 确定一个面，设为β
∵,P a Q c ∈∈ ∴,P Q ββ∈∈
∴PQ β?且,M M PQ β∈? 又∵,,a b c 不共面，N b ∈ ∴N B ? ∴MN 和PQ 是异面直线
练习1：1、两条异面直线是指（ ）
A 、空间没有公共点的两条直线
B 、分别位于两个平面内的直线
C 、平面内的一条直线与平面外的一条直线
D 、既不平行也不相交的两条直线 答案：D
练习2：下列说法正确的有 ．
①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任一直线均构成异面直线；④和两条一面直线都相交的直线的两直线必是异面直线． 答案：② 练习3：已知,,a b a b A αββ=?=且,//c c a α?，求证：b ，c 为异
面直线．
答案：证明：如右图 ∵,,c a b A a ααβ?== ∴A a α∈?而//a c
∴A c ?
在直线b 上任取不同于A 的一点B ∵b β? ∴B α? ∴AB 与c 是异面直线，即b ，c 为异面直线
例7：正四面体A BCD -的棱长为a ，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，求异面直线AF 和CE 所成角的余弦值．
解析：找出其中一条直线的平行线，构造三角形求解．
c b
a
O
Q
P
N
M
A
答案：如右图， 连结FD ，在面AFD 内过E 点作//EO AF 交FD 于O ，则OEC ∠ (或其补角)为异面直线AF 与CE 所成的角，且O 是FD 的中点． 又∵E 为AD 的中点 ∴1
//
2
EO AF ∵△ABC 和△ACD 均为等边三角形，且边长为a ，AF 、CE 分别是它们的中线
∴2
AF CE a ==
，则1224EO a a =?= 在Rt △DFC
中，11,22FO FD a FC a =
==
∴CO == 在△OEC
中，2
2
2
2222cos 2342
EO EC OC OEC EO EC ???
+-??????+-∠==
=??
即异面直线AF 与CE 所成的角的余弦值为2
3
练习1：已知m 、n 为异面直线，m α?，n β?，l α
β=，则直线l （ ）
A 、与m 、n 都相交
B 、与m 、n 至少一条相交
C 、与m 、n 都不相交
D 、至多与m 、n 中的一条相交 答案：B
练习2：在棱长为1的1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与
CN 所成角的余弦值是（ ）
A
B
、35 D 、25
答案：D
练习3：如右图，等腰直角三角形ABC
中，90,,A BC DA AC DA AB ∠==⊥⊥,若1DA =，
且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．
答案：取AC 的中点F ，连结EF ，在△ACD 中，E 、F 分别为AD 、AC 的中点．
∴//EF CD ∴BEF ∠或其补角即为所求异面直线BE 与CD 所成的角
在Rt △EAB 中，11
1,22
AB AE AD ===
∴2BE =
在Rt △AEF 中，11
,22
AF AE =
=
∴2EF = F
E D C
B
A
在Rt △ABF 中，1
1,2
AB AF ==
∴BF =
在等腰△EBF
中，1
2cos EF
FEB BE ∠==
∴异面直线BE 与CD
1．在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）
A 、两两相交的三条直线
B 、三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C 、三个点
D 、三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
E 、两条直线 答案：D
2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A ．异面
B ．相交
C ．平行
D ．异面或相交 答案：D
3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（ ） A 、相交 B 、异面 C 、平行 D 、相交或异面 答案：D
4．从空间一点P 分别向BAC ∠的两边,AB AC 作垂线,PE PF ，垂足分别为,E F ，则EPF ∠与
BAC ∠的关系为（ ）
A 、互补
B 、相等
C 、互补或相等
D 、以上都不对
答案： D
5．在正四面体A BCD -中，E 为AD 的中点，则AB 与CE 所成角的余弦值为 ．
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
基础巩固
1. 空间有四个点，其中无三点共线，可确定 个平面；若将此四点两两相连，再以所得线段中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体至多有 个面． 答案：1或4，8
2、三个两两相交的平面最多可把空间分为 个部分． 答案：8
3、下面6个命题：
①四边相等的四边形是菱形；②两组对边相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角相
等，则该四边形是圆内接四边形；④在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一
条；⑤四条直线两两平行，无三线共面，它们共可确定6个平面．其中正确命题的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 答案：B
4. 在正方体1111ABCD A B C D 中，与1AD 成60的面对角线共有（ ）
A 、4条
B 、6条
C 、8条
D 、10条
答案：C
5. 已已知棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 、N 分别为CD 、AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．
答案：平行
能力提升
6. (2014·山东泰安肥城高一期末测试)如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．
答案：③. ①中PQ ∥RS ，②中RS ∥PQ ，④中RS 和PQ 相交．
7. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( )
A ．异面
B ．平行
C ．相交
D ．三种关系都有可能 答案：D
8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∩D 1B 1＝O ，E 、F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则在长方体各棱中与EF 平行的有________条．
答案：∵E 、F 分别是B 1O 与C 1O 的中点， ∴EF ∥B 1C 1，
又∵在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C 1∥A 1D 1∥BC ∥AD ， ∴EF ∥A 1D 1，EF ∥BC ，EF ∥AD .
故在长方体的各棱中与EF 平行的有4条．
9. 如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B ，C ，D ∈a ，线段AB ，AC ，AD 分别交平面α于E ，F ，G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.
答案：∵a ∥α，α∩平面ABD ＝EG ，∴a ∥EG ，即BD ∥EG ，
∴EG BD ＝AF AF ＋FC ，则EG ＝AF ·BD AF ＋FC ＝5×45＋4＝209. 10. 如右图，正方体1111ABCD A B C D -中，求AC 与1A D 所成角的大小
答案：（1）连结1B C ．
由正方体的性质可知，11//A B CD ∴四边形11A DCB 是平行四边形
∴11//A D B C ∴1B C 与AC 所成的锐角或直角就是异面直线1A D 和AC 所成的角 设正方体的棱长为a ，连结1AB ，在Rt △1B BC
中，1B C ===
同理可得：1,AC AB =
=∴△1AB C 是等边三角形
∴160B CA ∠= ∴AC 与1A D 所成角为60
F
E
D 1
C 1
B
1
A 1D
C
B
A
平面的基本性质(一) 教学目的： 1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 2理解平面的无限延展性 3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系 4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性 教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力 本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用 9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何 为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形 这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图 教学过程： 一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形 当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？ 二、讲解新课： 1．平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
高中立体几何教案第一章直线和平面平面的基本性质之一教案 教学目标 1．了解三个公理及公理3的三个推论； 2．了解推论1的证明过程． 教学重点和难点 公理3的引入与掌握及推论1的证明是教学的重点也是教学的难点． 教学设计过程 师：上节课我们讲过平面是原名，没有方法定义，所以平面的性质只能以公理的形式给出，我们今天就来研究以公理形式给出的平面的性质． （当教师说完上述话后，拿出一根小棍作为直线的模型，一矩形硬纸板作为平面的模型，让学生自己也拿同样的模型，师生一起观察．然后，再提出问题） 师：直线与平面有几种位置关系？ 生：有三种位置关系：平行，相交，在平面内． 师：相交时，直线与平面有且只有几个公共点？ 生：有且只有一个公共点． 师：当直线与平面有几个公共点时，我们就能判定直线在平面内？ 生：只要有两个公共点． 师：对，这就是公理1．（同时板书） 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1） 这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
师：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．我们只把点作为基本元素，于是直线、平面都作为“点的集合”，所以： 点A在直线a上，记作A∈a； 点A在平面α内，记作A∈α； 所以公理1用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则 公理2可用如下方法引入：教师用矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题． 师：看模型，能否说这两个平面只有一个公共点？ 生：不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线． （这时教师用手动矩形硬纸板，表示同意学生的意见，并说） 师：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．（同时板书） 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）
资源信息表
（3）平面及其基本性质 ——三个公理三个推论的应用 上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析 本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课 的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个 公理三个推论进行证明. 公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线. 它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公 共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公 共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是 这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上. 公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把 空间问题转化为平面问题的条件. 二、教学目标设计
理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点 利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题 四、教学流程设计 五、教学过程设计 （一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α? C 、AB α? D 、AB C α?= 2）判断 ①若直线a 与平面α有公共点，则称a α?. （×）
②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ） A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形. B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形. C 、三条互相平行的直线一定共面. D 、梯形是平面图形. 4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分. （二）证明 1、共面问题 例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上. 证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ?=?=?=?= l 3 l 2 B C l 1 A
教学过程 —、复习预习 思考：1、直线的性质,平面的性质 2、直线在一个平面内的判定？ 3、直线与直线相交与两个平面相交的区别 4、三角形的稳走性指的是什么？ 二知识讲解 考点］ 公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内? 考点2 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那么它们还有具他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的F直线? 考点3 公理3 :经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面? 推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面； 推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面； 推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理的用途
公理1:①证明点在平面内；②证明直线在平面内? 公理2 :①确走两个平面的交线；②证明三点共线或三线共点? 公理3 :①确走一个平面的条件；②证明有关的点线共面问题? 考点4 公理4平行于同一条直线的两条直线平行.它给出了平面中直线平行的传递性在空间也成立. 考点5 异面直线的判走异面直线所成的角 三.例题精析 【例题1］如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别在AB、BC、 CD、AD 上，且满足AE : EB=CF : FB=2 :1 , CG : GD= AH : HD=3 : 1 ,过E、 F、G的平面交AD于H ,连接EH.求证:EH、F G、BD三线共点. 1 〃— 证明T AE : EB=CF : FB=2 : 1 /. EF= 3 AC ; 又. CG : GD= AH : HD=3 : l t 丄 .-.GH =4 AC ;则EF//GH且EFHGH , ???四边形EFGH为梯形.令EHCIFG=P ,则PeEH，而EHu平面ABD , PeFG r FG<=平面BCD f平面ABDA平面BCD=BD r .??PVBDJ.EH、FG、BD 三线共点. 【例题2］如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE : EB = CF:FB=2:1 # CG : GD=3 :1,过E. F x G 的平面交AD 于H?
平面的基本性质及推论 一 教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用 教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用 教学过程： （一） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 1、直线与平面的位置关系 2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈, 点A 在平面α内,记作α∈A , 直线a 在平面α内,记作α?a （二） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合 是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =?βα. （三） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四） 问题： (1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内? (2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么? (3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (五)给出几个正方体作出截面图形 课堂练习：教材第40页 练习A 、B 小结： 本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题. 2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题. 3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化. 课后作业：略 平面的基本性质及推论 二 教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用 教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用 教学过程：
平面的基本性质 一、知识梳理 一）平面 1．特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） ，平面是抽象出来的，只能描述，如平静的湖面，不能 定义.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分. 2．表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示 如：平面α，平面AC 等. 3．画法：通常画平行四边形来表示平面 (1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍 长，如图1（1）. (2)直线与平面相交，如图1（2）、（3），： （3）两个相交平面：画两个相交平面时，先定位，后交线，邻边依次添，若一个平面的一部分被另 一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）. 4.点、线、面的基本位置关系如下表所示： a βα B A β B A α β B A α α β a 图 2 A （1）
a α a α? 直线a 在平面α内. a α a α=? 直线a 与平面α无公共点. a A α a A α= 直线a 与平面α交于点A . l αβ= 平面α、β相交于直线l . 点可看成元素，直线和平面可看成集合，符号“∈”只能用于点与直线，点与平面的关系，“?”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言. 例1、将下列符号语言转化为图形语言： （1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈； （2）a α?，b β?，//a c ，b c p =，c αβ=. 说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）. 例2、将下列文字语言转化为符号语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ； （3）直线l 在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l .） 例3、在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形. 二）三条公理 人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理． 公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 应用： ①判定直线在平面内；②判定点在平面内.模式：a A A a α α???∈? ∈?． B A α
平面的基本性质（1） 教学目标： 1．了解立体几何研究的对象及方法，初步建立空间的概念； 2．掌握平面的概念，平面的画法及其表示法，掌握平面的基本性质公理1、2、3； 3．初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化． 教学重、难点：平面的基本性质公理1、2、3，空间概念的建立． 教学过程： （一）新课讲解： 1．平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分． 2．平面的画法及其表示方法： ①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45o，横边画成邻边的两倍。画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画． ②一般用一个希腊字母α、β、γ----来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示 如平面α，平面AC等． 3．空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：
4．平面的基本性质： 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 推理模式： A A B B ααα∈? ???∈? ． 如图示： 应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内．模式：a A A a α α???∈? ∈?． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 一条直线。 推理模式： A l A ααββ∈? ?=?∈? I 且A l ∈且l 唯一． 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上． 公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。 推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ? ? ∈???∈? 不共线与β重合． 应用：①确定平面；②证明两个平面重合． （二）例题分析： 例1 将下列文字语言转化为符号语言，图形语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ；
1.2.1平面的基本性质与推论 时间：2011-9-27 【使用说明与学法指导】1．结合学习目标和重难点，先用15分钟认真预习课本P35-38，划出重要知识；认真完成导 学案，并用红色笔做好疑难标记； 2．独立思考，找出疑难点，准备讨论解决。3．本节内容是培养空间想象能力和逻 辑推理能力的基础知识，同学们可以通过直观感知，操作确认，思辨论证理解平面的基本性质与推论。 【学习目标】1.掌握平面的基本性质与推论，提高对自然、图形、符号语言间的相互转化与应用能力。 2.通过小组 合作、讨论交流，借助实际图形感知平面的基本性质和推论的方法。3.激情投入，体验符号语言与图形语言的魅力。 【重点难点】重点：1.平面的基本性质与推论；2.文字语言、图形语言和符号语言的相互转化。 难点：平面的基本性质与推论的应用。 一、问题导学 1.试用集合（符号）语言完成下题 如右上图，平面ABEF 记作α，平面ABCD 记作β，根据图形填写 ⑴__B α，__D α；⑵ =?AB AF ,=?BC BE ; ⑶___α β=; ⑷AB α，AB β,CD α，CD β,AE α，AE β 2.请你用尺子做实验并回答以下问题，感知平面的基本性质1与2，并理解记忆。 （1）如果一直线与一平面有一个公共点，那么这条直线在平面内吗？有两个公共点呢？ （2）过一点有几个平面？过两点呢？ （3）过在同一直线上的三点有几个平面？过不在一直线上的三点呢？ 试分别用自然、图形、符号语言写出基本性质1与2： 3.把三角板的一个角立在课桌上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交与一点B ？为什么？ 这验证了哪一性质？并理解记忆。 试分别用自然、图形、符号语言写出基本性3： 【思考】如何应用平面的基本性质得到3个推论？ 4.两直线的位置关系有哪些？结合课本，说明如何判断两直线是异面直线？ 如右上图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，试找出几组平行、相交或异面的直线。 二、合作探究 例1已知一直线a 分别与两平行直线b,c 相交。求证：a,b,c 三线共面 例2如图，已知△ABC 的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB 、 BC 、AC 延长后分别交平面α于点P ，Q ，R. 求证：点P,Q,R 在同一直线上 三、巩固训练 1.三条直线两两相交，可以确定平面的个数是( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 1个或3个 2.空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面( ) A 必定有4个 B 4个或1个 C 3个或1个 D 1个或3个或4个 3.已知平面ABD 与平面CBD 相交于直线BD ，直线EF 与直线GH 分别在已知的两个平面内且相交于点M,则（ ） A 点M 在直线BD 上 B 点M 在直线EG 上 C 点M 在直线AC 上 D 点M 在直线FH 上 【课堂小结】 1.知识：总结三个基本性质与推论的文字语言、符号语言、图形语言及其作用。 2.数学思想与方法 D B B A C A C D1 b c a A C B P R Q E F A B C D
14.1平面及其基本性质 1、理解平面的概念，会画出平面和用字母表示平面。 教学目 标： 、能用集合符号表示点与直线，点与平面，直线与平面，平面与平面的关系。 2 3、掌握平面性质的三条公理和推论并知道其作用，会证明简单的共线和共面问 题。 教学重 平面的无限延展性和揭示平面基本性质的三条公理及推论。 点： 教学难 三个推论的证明和共面问题的证明。 点： 教学过程： 一、预习反馈： 1、三个问题： (1)你能画出一个四边形，使它的对角线所在的直线不相交吗? 空间四边形 (2)过任意一点，你能引出三条两两垂直的直线吗? (3)你能用六根粉笔在桌上搭出四个全等的三角形吗? 2、引出立体几何与平面几何的不同和联系。 (1) 从集合的观点看，立体图形和平面图形一样是点的集合，构成平面图形的点是在同一平面上的，而构成 立体图形的点不全在一个平面上； (2) 立体几何研究的对象是空间图形，是平面几何的扩充。 (3) 立体几何和平面几何有着紧密的联系，平面几何的概念和性质在立体几何中对于同一平面内的图形 依然成立，但在空间不一定成立。 例如：过直线上一点有且只能引一条直线与它垂直(X) 过直线外一点只能作一条直线与它平行( “ 垂直于同一条直线的两条直线必平行(X) 二、新课： (一)、平面的概念： 1、生活中的桌面、墙面、湖面都是平面的形象，在数学中我们把平面抽象为: 无厚度、无边界在空间中可以无限延展的“平”的面， 注：直线是往两端无限延伸，而平面是可以往四面八方无限延伸的。
2、表示方法: （1）字母表示：平面可以用一个大写字母或小写的希腊字母表示，也可以用平面上的三个点（或三个以 上）的字母表示。比如：平面 M 平面：?，平面ABCD 等。 （2）图像： 画平面可以画它的局部，画出一个有一个角为 （3）点和直线、平面的位置关系符号表示: 点A 在直线| 上: A l ； 点B 不在直线|上：B - l 。 点A 在平面:-上: A 「工；点B 不在平面:-上: B ° （4）直线和平面位置关系: 1、 直线l 在平面o 上（或平面ot 经过直线| ）:直线I 所有的点都在平面 ?上， 记作：|「X 2、 直线I 与平面:-相交于点A :直线I 与平面〉有一个公共点A ,记作：I 'I = A 3、 直线|与平面:平行：直线|与平面〉没有公共点，记作：I 〔 - ?一 （or I l ；） 注：2, 3也叫做 直线|在平面「夕卜。 （5）完成课后练习14.1/1 （二）、公理1 : 1、公理1:如果直线I 上有两点在一个平面:-内，那么直线I 在平面〉上 集合语言表述： 若A ? I, B ? I,且A 三壮,B 三：￡ 「If 作用：1）判断直线是否在平面内的理论依据； （证明一条直线在一个平面内，只需证明直线上有两 点 在平面内） 2）也可鉴别一个面是否是平面（如木工检查工作物的表面是否平整，就用一把直尺紧靠表面 任意滑动，看直尺的边是否和表面处处密合） 2、书例1：已知若BW ：；,M 是AB 的中点，求证： M 三：； （学生自己看书） 45的平行四边形。 垂直
《平面的基本性质与推论》教案 教学目标 1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。 2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。 3、能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 教学重难点 重点：平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。 难点：自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。 教学过程 一、导入 生活中的图形由哪些元素组成？点线面作为基本图形，他们之间有什么关系呢？ 二、平面的基本性质 1、关于公理1 （1）三种数学语言表述： 文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 图形语言表述：如图1所示 图1 符号语言表述： （2）内容剖析： 公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。 （3）公理1的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平
面。 2、关于公理2 （1）公理2的三种数学语言表述： 文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 图形语言表述：如图2所示 图2 符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使. （2）内容剖析： 公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘．同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。 公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。这里的“有”是说图形存在。“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。 （3）公理2的作用： 作用一是确定平面； 作用二是可用其证明点、线共面问题。 3、关于公理3 （1）公理3的三种数学语言表述： 文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形语言表述：如图3所示。
1 / 1 §1.2 点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质与推论 一、基础过关 1． 下列图形中，不一定是平面图形的是 ( ) A ．三角形 B ．菱形 C ．梯形 D ．四边相等的四边形 2． 空间中，可以确定一个平面的条件是 ( ) A ．两条直线 B ．一点和一条直线 C ．一个三角形 D ．三个点 3． 已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有 ( ) A ．1条或2条 B ．2条或3条 C ．1条或3条 D ．1条或2条或3条 4． 给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________． 5． 已知α∩β＝m ，a ?α，b ?β，a∩b ＝A ，则直线m 与A 的位置关系用集合符号表示为________． 6． 如图，梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB>CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出 平面SBD 和平面SAC 的交线，并说明理由． 7． 空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于 一点． 二、能力提升 8． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 9． 已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是 ( ) A ．A ∈ a ，A ∈ β， B ∈ a ，B ∈ β ? a ? β B ．M ∈ α，M ∈ β，N ∈ α，N ∈ β ? α ∩ β＝MN C ．A ∈ α，A ∈ β ? α ∩ β ＝ A D ．A 、B 、M ∈ α，A 、B 、M ∈ β，且A 、B 、M 不共线?α、β重合 10．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________． 11．如图所示，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ，BC ，DC ，AD(或延长线)分别与平面α相交于E ，F ，G ，H ，求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上． 三、探究与拓展 12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点． 求证：(1)C 1、O 、M 三点共线；2)E 、C 、D 1、F 四点共面．
2019-2020年高中数学 1.2.1平面的基本性质及推论2教案新人教B版 必修2 教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用 教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用 教学过程： （一）公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 1、直线与平面的位置关系 2、符号:点在直线上,记作, 点在平面内,记作, 直线在平面内,记作 （二）公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作. （三）公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四）问题： (1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内? (2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么? (3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (五)给出几个正方体作出截面图形 课堂练习：教材第40页练习A、B 小结： 本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题. 2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共 线”问题. 3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化. 课后作业：略 平面的基本性质及推论二
平面的基本性质练习题 一、选择题： 1．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ） Ａ、N α∈∈a Ｂ、N α?∈a Ｃ、N α??a Ｄ、N α∈?a 2.Ａ，Ｂ，Ｃ表示不同的点，a, 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是（ ） Ａ.A ααα??∈∈∈∈ B B A ,;, Ｂ.βαβαβα??∈∈∈∈B B A A ,;,=AB Ｃ.αα??∈?A A , Ｄ.A,B,C α∈,A,B,C β∈且A ，B ，C 不共线α?与β重合 3. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ） Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.１或４ Ｄ. 无法确定 4. 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ） A. 4或6或7个部分 B. 4或6或7或8个部分 C. 4或7或8个部分 D. 6或7或8个部分 5．下列说法正确的是( ) ①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α?, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内. A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ 6．如果,,,,B b A a b a =?=??? αα那么下列关系成立的是( ) A. α? B.α? C. A =?α D.B =?α 7．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为( ) A.7个 B.6个 C. 5个 D.4个 8．两个平面重合的条件是它们的公共部分有( ) A. 两个公共点 B. 三个公共点 C. 四个公共点 D.两条平行直线 9．空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ?GH=P ，则点P （ ） A. 一定在直线BD 上 B. 一定在直线AC 上 C. 在直线AC 或BD 上 D. 不在直线AC 上也不在直线BD 上 10．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线EF 是平面ACD 1与下面哪个平面的交线（ ） A ．面BD B 1 B. 面BD C 1 C. 面ACB 1 D. 面ACC 1 二、填空题： 11．设平面α与平面β交于直线 , 直线α?a , 直线β?b ,M b a =?, 则M_______ .
“平面的基本性质”教案、教案说明及点评 张宏海执教（内蒙古包头市第一中学） 章建跃点评（人民教育出版社中学数学室） 教案 一、立体几何中的符号语言 创设情境 板书：一加一等于二 1+1=2 师：如果让你选择其中一种方法表示，你更喜欢哪一种？ ……
师：为什么？ …… 师：好，这就体现了我们数学中的一种简约美，这种简约美在立体几何中也有很好的体现。我们可以把线、面看成是点的集合，这样的话，点与直线、点与平面的位置关系就是元素与集合的关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系就是集合与集合之间的关系，那么，我们能用已经学过的集合语言来描述一下空间中的点、线、面的位置关系吗？ 请看题： 组织活动：（实物投影） 点A 在直线l 上 （l A ∈） B 点B 在直线l 外 （B l ?） A l 点A 在平面α内 （α∈A ） B 点B 在平面α外 （α?B ） α A 直线a 和直线b 相交于点O a O （a b O = ） b 平面α与平面β相交于直线l α （l =βα ） β （或.βα??l l 且） 学生在下面练习，可以互相讨论。把学生答案通过实物投影展示。 构建符号 空间图形位置关系，可以用集合符号来表示。
尝试应用： 公理1的内容（即条件和结论）是什么？图形表示是什么？怎样运用符号来表示？ 公理1： ααα??? ??∈∈AB B A 直线 师：任何事物都是相对的，符号语言是很简洁，但也不是万能的，有时需要辅以必要的文字说明。以公理3为例让学生体会。 公理3： A 、B 、C 三点不共线?? ???∈∈∈?ααααC B A ，使有且只有一个平面 回顾反思： 立体几何的研究对象是立体图形，图形直观地反映了空间点、线、面的位置关系，文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是文字语言的简单化和再次抽象，对于研究对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，学习立体几何的过程中，要求同学们能够将三种语言进行熟练的转化，文字语言或是图形语言转化为符号语言的时候，一定要做到既不重复又不遗漏且符合原意，有时符号与文字共用，这说明任何事物都是辩证的。 二、确定平面的方法 创设情境 公理3的作用是什么？并以教室的门为实例，分析“有且只有一个”是“确定”的意思。所谓“确定”就是固定住了。 师：公理3用不共线的三点确定了一个平面，那么，根据大家的生活实践经验，还有其它确定平面的方法吗？ 组织活动： 学生拿出准备好的竹签和垫板，按照学习小组分组讨论。 要求学生动手实验，如何把垫板固定住？ 探索发现： 派学生代表上讲台交流实验发现的结果。 师：如果把两根竹签抽象成两条直线，垫板抽象成一个平面，那么我们会得到什么样的结论？ 学生：思考 构建理论： 引导学生归纳总结得出结论： 1. 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 师：公理是无需证明的，但对于上述结论的正确性，还是需要进行严格的证 明。 分析：（1）与平面几何的证明一样，证明立体几何问题的一般步骤是： 第一步：根据题意作图，写出已知、求证。 第二步：写出证明过程。
平面的基本性质 白银市会宁县第二中学姚广 教材分析 这篇案例是在初中平面几何知识的基础上进一步研究平面的基本性质.平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，这节课既是立体几何的开头课，又是基础课，学生对本节内容理解和掌握得如何，是能否学好立体几何的关键之一.这节课的教学重点是平面的基本性质，难点是平面的基本性质的应用及建立空间概念、正确应用符号语言. 教学目标 1. 在引导学生观察思考生活中的实例、实物模型等的基础上，总结和归纳出平面的基本性质，初步学会用数学的眼光去认识和感受现实的三维空间. 2. 会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理，能用公理及推论解决有关问题，提高学生的逻辑推理能力. 3. 通过画图和识图，逐步培养学生的空间想象能力，使学生在已有的平面图形知识的基础上，建立空间观念. 教学任务 这节课是立体几何学习的基础，但学生空间立体感还不强.为此，教学时要充分联系生活中的实例，如白行车有一个脚撑等，通过实例，使学生尽快形成对空间的正确认识，建立初步的空间观念；在联系实际提出问题和引入概念时，要合理运用教具，如讲解公理1时，可让学生利用手中
的直尺去测桌面是不是平的；讲解公理2时可让学生观察教室的墙面的关系等.通过这些方式加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力. 当用文字和符号描述对 象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言.在阐述定义、定理、公式等重要内容时，宜先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，这样, 就有可能收到较好的效果，给学生留下较为深刻的印象. 教学过程设计 一、问题情景 1. 利用你手中的直尺，如何判定你课桌的桌面是不是平的. 2. 你骑的白行车有一个脚撑就可站稳，为什么？ 3. 矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，硬纸板与讲台面不重合，能否说这两个平面只有一个公共点？ (利用多媒体屏幕呈现问题情景，即在屏幕上出现桌子与直尺、有一个脚撑的白行车、矩形硬纸与讲台面及相应的问题.与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出，能够活跃课堂气氛，激发学生学习兴趣，从而引导学生积极主动的去探究问题) 二、建立模型 1.探究公理 (1) 问题1的探究
14．1 （１）平面及其基本性质 ——平面及其表示法 一、教学内容分析 本节的重点是平面的概念、平面的画法，点、线、面的位置关系的集合语言表示法.集合语言是学生比较熟悉的内容，而点、线、面是学生刚刚接触不太熟悉的内容，用已知的知识来表示未知的内容，更有利于学生接受和掌握新知识，也让学生更清楚的明确点、线、面的关系.但要注意的是，这里仅是借用集合语言来表示点、线、面的关系，而并不完全等同于集合中的相应关系，如a∩α=A就是一个例子. 本节的难点是平面的概念、平面的画法.“平面”没有具体的定义，它的概念是现实中平面形象抽象的结果，所以，可以从学生之前学习的点、直线的概念入手，让学生理解平面的“平，没有厚度，在空间无限延伸”的特点.通过对平面概念的理解以及动手在纸上划出一个或几个平面的过程，初步认识平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，为以后解决空间一些基本直线和平面之间的位置关系打下基础. 二、教学目标设计 理解平面的概念，能画出平面和用字母表示平面，掌握用集合符号表示点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系；培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣. 三、教学重点及难点 平面的概念、平面的画法，点、线、面的位置关系的集合语言表示法. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、立体几何发展史 立体几何在生活中无处不在；本章研究空间中的直线和平面，是处理空间问题、形成空间想象能力的基础. 二、讲授新课 （一）平面 定义：平面是平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形. 数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等. 平面的表示方法： （1）用大写的英文字母表示：平面M，平面N等； （2）用小写的希腊字母表示：平面α，平面β等； （3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示：（如图14-1）平面ABCD等. 图14-1 平面的直观图画法： 正视图垂直放置的平面M 水平放置的平面M
【课堂例题】 例1.用符号表述下列语句并画图： “直线BC 与平面α交于点,C 平面α经过直线AC ，直线BD 平行于平面α” 例2.用符号表述下列图形中的点、直线、平面间的位置关系. 例3.已知点,A B 在平面α上，点C 在平面α外，问,,A B C 三点能否确定一个平面？ (选用)课堂练习 1.判断下列命题的真假： (1)过一条直线的平面有无数多个； (2)如果两个平面有三个的公共点，则这两个平面重合为一个平面. 2.不共面的四点可以确定几个平面？ 3.当直线不在平面内时，直线与平面有几个公共点？ 4.“已知平面α与平面β平行，平面γ与,αβ相交，交线分别为,a b .” 请画图表示上述语句，并判断直线,a b 的位置关系.
【知识再现】 阅读教材相应部分，并抄写： 公理1： （文字表述） 公理2： （文字表述） 公理3： （文字表述） 【基础训练】 1.“直线a 经过平面α外一点P ”用符号表示为： . 2.如下图，长方体1111ABCD A BC D -，填空： (1)直线1 AA 平面ABCD = ；(2)直线BC 平面11BCC B = ； (3)平面ABCD 平面11ADD A = ；(4)平面ABCD 平面1111A B C D = . 3.如上图，为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？ . 4.下列说法中，正确的是 .(写出所有正确命题的序号) A.如果两个平面有公共点，那么公共点不止一个； B.因为,l P αβαβ=∈，所以P l ∈； C.因为,P Q αβ∈∈，所以PQ α β=； D.如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α就没有公共点; 5.用几何语言表示下列语句并画图表示： (1)点M 是平面α与平面β的公共点且平面α与平面β不重合； (2)平面α与平面β没有公共点，且直线l 与平面α和平面β分别交于点A 和点B . 6.已知点,,A B C 在平面α上，证明：ABC ?的三条边所在直线都在平面α上. A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D
【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 1. 平面的基本性质与推论 2. 空间中的平行关系 二. 教学目的 1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。 2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 三. 教学重点、难点 【重点】平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。 【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。 四. 知识分析 （一）平面的基本性质与推论 1. 平面的基本性质 （1）关于公理1 ①三种数学语言表述： 文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 图形语言表述：如图1所示 图1 ∈∈∈α∈α??α 符号语言表述：A m,B m,A,B m ②内容剖析： 公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。 ③公理（1）的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。 （2）关于公理2 ①公理2的三种数学语言表述： 文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 图形语言表述：如图2所示 图2