第1讲 重心、弹簧特性、摩擦角问题合集
重心：
物体的各个部分都要受到重力的作用，物体各部分所受重力的合力就是物体所受的重力，物体所受重力的作用点叫做重心。物体的重心可以在物体上，也可以在物体外。 均匀物体的重心位置只跟物体的形状有关，有对称中心的物体的重心就在对称中心上，有对称轴的物体的重心就在对称轴上。
不均匀物体的重心除了跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关
求物体的重心是竞赛中的一个重要课题，下面我们来详细讨论。
如图所示，A 、B 两质点的质量分别为m A 、m B ，用一质量不计的轻杆相连，若我们用细线与A 端相连将这一系统悬挂起来使其处于平衡状态，可发现杆沿竖直静止(为什么？)，从而可知该系统的重心必在通过杆的直线上(为什么？)。再用
细线与杆上某点C 点相连，将系统悬挂可使其处于平衡状态，则C 点就是该系统的重心(为什么？)，且有(为什么？)
思考：如何求不在同一条直线上的三个质量分别为m 1、m 2、m 3质点的重心？请利用上面求
两质点重心的方法分别求解？
结论：设物体各部分的重力分别为G 1、G 2……G n ，且各部分重力的作用点在oxy 坐标系中的坐标分别是（x 1，y 1）（x 2，y 2）……（x n ，y n ）,物体的重心坐标x c ，y c 可表示为 x c =
∑∑i
i
i G
x
G =
n
n
n G G G x G x G x G ++++++ 212211， y c =
∑∑i
i
i G
y G =
n
n
n G G G y G y G y G ++++++ 212211
例：（2011华约）一个有底无盖的圆柱形桶，底面质量不计，桶侧面质量为a 克，桶的重心在中轴线上的正中间位置，装满水后水的质量为b 克。
(1)若b =3a ，水装到一半，求系统合重心到桶底面的距离与桶的高度之比。 (2)装入水的质量m 为多少时，水和桶的合重心最低？
2、弹簧
胡克定律指出，在弹性限度内弹簧的弹力和弹簧的伸长（或压缩）成正比，即Ｆ＝ｋｘ。其中ｋ为劲度系数，决定于弹簧的材料、圈数、每圈的形状及大小等因素。
将劲度系数分别为k 1、k 2、k 3、…、k n 的几个弹簧串联，串联后等效弹簧的劲度系数为k ，则
n
k k k k k
111113
2
1
+
++
+
=
A B C
将劲度系数分别为k 1、k 2、k 3、…、k n 的几个弹簧并联，并联后等效弹簧的劲度系数为k ，则
k=k 1+k 2+k 3+…+k n
思考：试证明上述两式
例1、如图，弹簧秤外壳质量为m 0，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩吊着一重物质量为m ，现用一方向竖直向上的外力F 拉着弹簧秤，使其向上做匀加速运动，则弹簧秤的读数为：
A.mg;
B.
mg m
m m +0; C.
F m
m m +00; D.
F m
m m +0
例2、如图，弹簧两端连接两个小球A,B ，质量分别为m 和2m ，用轻绳1挂在质量为m 的箱子C 中，箱子C 又通过轻绳2挂在固定的杆上，现轻绳2剪断，那么剪断2的瞬间，小球A,B 和箱子 C 的加速度分别是多少？绳1中的张力是多大？
3摩擦角：
摩擦角的意义：在某一接触面上，物体所受摩擦力f 与弹力N 的合力为F ，F 与弹力N 的夹角θ就是摩擦角，且这个角不变，不管摩擦力或弹力如何变化。设两接触面间的摩擦因数为μ,则
例、水平地面上有一质量为m 的物体,受斜向上的拉力F 作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为μ,则为使拉力F 最小,F 与水平地面间的夹角多大?F 的最小值为多少?
21A B
C F
m 0
m
μ
θ==
N
f tan
错误！未找到引用源。
【习题1.1】 1．（2009年同济）如图所示，一根细长的硬棒上有3个小球，每个小球之间相距a ，小球质量为m 、2m 和3m ，棒的质量分布均匀，总长为4a ，质量为4m ，求整个体系的重心位置 。 2．（2002交大）如图1—4（a ）所示，边长为a 的均匀正方形木板，被挖去一个半径为
4
a 的圆孔，圆孔的边缘和正方形的右边
缘相切，圆心在对称轴PQ 上，求该木板剩余部分的重心的位置 。
3．长度均为L 的长方形匀质木块堆放在水平地面上，每一块都相对下面一块伸出(2)L n n
≥，如图，问最多可以堆几块同样的木块
而刚好不翻到。
4. 放在粗糙水平面上的物块A 、B 用轻质弹簧秤相连，如图所示，物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，今对物块A
施加一水平向左的恒力F ，使A 、B 一起向左匀加速运动，
设A 、B 的质量分别为m 、M ，则弹簧秤的示数（ ）
A ．m MF
B ．m M MF
+ C ．M
m
g
M m F )(+-μ D ．
M
M
m g
M m F ++-)(μ
5、两个质量分别为m 1错误！未找到引用源。2kg 、m 2=3kg 的物体置于光滑的水平面上，中间用轻质弹簧秤连接。两个大小分别为F 1=30N 、F 2=20N 的水平拉力分别作用在m 1、m 2上，则 ( ) A ．弹簧秤的示数是25N B ．弹簧秤的示数是50N C ．在突然撤去F 2的瞬间，m 1的加速度大小为5m/s 2 D ．在突然撤去F 1的瞬间，m 1的加速度大小为13m ／s 2
6、一个劲度系数为k ＝600N/m 的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m ＝15kg 的物体A 、B ，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图1所示，现加一竖直向上的外力F 在物体A 上，使物体A 开始向上做匀加速运动，经0.5s ，B 物体刚离开地面（设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且g ＝10m/s 2）。求此过程中所加外力的最大和最小值。
7、已知弹簧劲度系数为k ，物块重为
m
，弹簧立在水平桌面上，下端固
定，上端固定一轻质盘，物块放于盘中，如图所示。现给物块一向下的压力F ，当物块静止时，撤去外力。在运动过程中，物块正好不离开盘，求： （1）给物块所受的向下的压力F 。
（2）在运动过程中盘对物块的最大作用力。
8、如图所示，水平面上固定着带孔的两个挡板，一平板穿过挡板的孔匀速向右运动，槽中间有一木块置于平板上，质量为m ，已知木板左、右两侧面光滑，底面与平板之间摩擦因数为μ0，当用力F 沿槽方向匀速拉动物体时，拉力F 与摩擦力μmg 大小关系是（ ）
A 、F ＞μmg
B 、F=μmg
C 、F ＜μmg
D 、无法确定
9、如图所示,在倾角θ= 030 的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G,现用与斜面底边平行的水平作用力F(F=G/2)推物体,物体恰好在斜面上作匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 .
10、物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。
11、对于放在水平面上静止的物体，如果用一与竖直方向成θ角斜向下的力F 推物体，若 θ≤S ?(S ?为摩擦角)则不管推力F
多大，物体都不会被推动，这一现象叫做“自锁”。 思考：试分析自锁的原因。
12、压延机由两轮构成，两轮直径各为d =50cm ，轮间的间隙为a =0.5cm .两轮按反方向转动，如图上箭头所示.已知烧红的铁板与铸铁轮之间的动摩擦因数μ=0.1，问能压延的铁板厚度是多少?
V 0
F
θ F