2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共
注意事项:
23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码
区域内。
2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5 .保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符
合题目要求的。
1. i(2+3i)=
A . 3-2i
B . 3 2i
C . -3-2i D. -3 2i
2.已知集合A<1,3,5,7 ?,B 二「2,3,4,5 ［贝U A P1B二
A . ：3?
B .
C . ：3,5?D.「1,2,3,4,5,7?
3.函数f(x)二
e - e
e
2e的图象大致为
2 x
4.已知向量a , b满足| a|=1 , a b 二-1，则a (2a-b)=
C . y」x
2
D. y~x
2
AC =5，贝U AB =
绝密★启用前
5.
A. 4
从2名男同学和
B . 3
3名女同学中任选
C . 2
2人参加社区服务，则选中
D . 0
2人都是女同学的概率为
6.
A . 0.6
2 2 双曲线务 ^2 a
b
B . 0.5 C. 0.4 D . 0.3
=1( a 0,b 0)的离心率为.3，则其渐近线方程为
A . 42
B . .30
C . 29 D. 2 5
在△ABC中,
111 11
8?为计算2 _2寸a m 99 -硕，设计了右侧的程
A . i =i 1
B . i =i 2
C . i 二i 3
D .
i =i 4 9 ?在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线 AE 与CD 所成角的正切
值为
2
B C
2
. 2 . 2 f (x) =cosx -sinx 在［0, a ］是减函数，则a
的最大值是
n
- B .-
4 2
11.已知F 1 , F 2是椭圆C 的两个焦点,
则C 的离心率为
\/3
A. 1——
2
12 .已知f (x)是定义域为(_：：,；)的奇函数，满足f(1-x) = f(1x).若f (1>2，则
f ⑴ f(2)
f(3)山 f(50) =
A . -50
二、 填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。 13 .曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 ______________ .
|x 2y -5> 0,
14 .若x, y 满足约束条件 x -2y 3> 0,则z =x ? y 的最大值为 _________________ .
x-5 w 0,
{ 5 n 1
15 .已知 tan a
，贝V tan a - _________ .
I 4丿5
16 .已知圆锥的顶点为 S ,母线SA , SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30 ,若厶SB
的面积为8，则该圆锥的体积为 _____________ .
三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第17?21题为必考题， 每
个试题考生都必须作答。第 22、23为选考题。考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60分。
序框图，则在空白框中应填入 D- ￥
10.若 C . 3/ 4
P 是C 上的一点，若 PF 1 _ PF 2，且/PF 2F 1 =60 ,
B . 2-3 D . 50
17. (12 分)
记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知a i =-7 ,隹二―15 . (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求S n ，并求0的最小值. 18. （ 12 分）
F 图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额
归模型.根据 2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,山,17 )建立模型①：
y =-30.4 J3.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,山，7 )建立模
型②：？=99 17.5t . (1)
分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基
础设施投资额的预测值;
(2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 19. (12 分)
如图，在三棱锥 P-ABC 中，A^BC =2 2 ,
PA =PB =PC =AC =4 , O 为 AC 的中点.
(1) 证明：PO_平面ABC ;
(2) 若点 M 在棱BC 上，且 MC =2MB ，求点C 到平面
POM 的距离.
20. (12 分)
设抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k 0) 的直线I 与
C 交于A , B 两点，| AB| =8 .
(1) 求I 的方程；
y (单位：亿元)的折线图.
■
Ji
C
(2)求过点A , B且与C的准线相切的圆的方程.
21. （12 分）
已知函数f(x)丄3 _a(x2 X 1).
3
(1)若a =3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f (x)只有一个零点.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. ［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分)
x2cos p
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为- '(B为参数)，直线I的参数方
、y=4sin 0,
程为乂“ tC0S a ( t为参数).
y =2 +tsin a
(1)求C和I的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线I所得线段的中点坐标为(1,2)，求I的斜率.
23. ［选修4—5:不等式选讲］(10分)
设函数f(x) =5-|x a|-|x-2| .
(1)当a=1时，求不等式f (x) > 0的解集；
(2)若f (x) < 1，求a的取值范围.
绝密★启用前
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文科数学试题参考答案
、选择题
1. D
2. C
3. B
4. B
5. D
6. A
7. A8. B9. C10. C11 . D12. C
、填空题
13. y=2x-214. 915.3
2
6. 8 n
三、解答题
17?解：
(1)设｛a n｝的公差为d,由题意得3a1+3d= -15.
由a1=-得d=2.
所以｛a n｝的通项公式为a n=2n -9. (2)由(1)得S n=n2-8n= (nF) 2-16.
所以当n=4时，S h取得最小值，最小值为—6.
1&解:
(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$= 430.4+13.5 19=226.1 (亿元).
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
§=99+17.5 S=256.5 (亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=￡0.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势. 2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设
施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型
$ =99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19. 解:
(1)因为AP=CP=AC=4, O为AC的中点，所以
OP丄AC, 且OP = 2 .3 .
石
连结OB .因为AB=BC=」AC，所以△ABC为等 2
腰直角三角形，且OB丄AC, OB=丄AC =2 .
2
由OP2 OB2=PB2知，OP丄OB .
由OP丄OB, OP丄AC知PO丄平面ABC .
(2)作CH丄OM,垂足为H .又由(1)可得OP丄CH，所
以CH丄平面POM . 故CH的长为点C到平面POM的距离.
文科数学试题第5页(共8页)
由题设可知0C=[A C=2CM = -BC = 4-2，/ ACB=45°
2 3 3
所以OMn-J , CH= OC MC Sn ACB = 口 .
3 OM 5
所以点C到平面POM的距离为4卫.
5
20. 解：
（1，0），l 的方程为y=k（x-）（k>0）.
设 A (X i, y i), B(X-, y-).
由得y =4x
2 2 2 2
k x —(2k 4)x k 二0.
2
22k-+4
.■: =16k 16 =0 ,故x1x2—
k
2
所以AB 二AF| -|BF =(为1) (x- “二4^4
2
由题设知4k 2*4 =8，解得k=-（舍去），k=1 .
k
因此I的方程为y=x-1.
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3, 2）,所以AB的垂直平分线方程为y 2 _ -(x - 3),即y - -x 5 .
设所求圆的圆心坐标为（X0, y°）,则
y。= 一x■ 5,
(x0 ?仁1)-16.解得y0 x
0 =3,仝X。=11,
y°- -6.
=2
因此所求圆的方程为
————
(x—3) (y -2) =16或(x -11) (y 6) =144 .
21.解:
1
(1)当a=3 时，f (x) =—x3-3x—-3x -3 , f ' (x) =x— -6x -3 .
3
令 f ' (x) =0 解得x= 3 _2.3 或x= 3 2.3.
当x €( -oo 3_—胸)U( 3+275 , +8)时，f ' (x) >0;
当x€( 3 -2、.3 , 3 - 2-、3 )时，f ' (x) <0.
（1）由题意得F